CC BY
164INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
XUSUSIY HOSILALI GIPERBOLIK TIPDAGI TENGLAMALAR UCHUN BOSHLANG'ICH VA CHEGARAVIY MASALALAR HAQIDA Qodirova Shaxnoza Ural qizi
Termez davlat universiteti magistri https://doi.org/10.5281/zenodo.7295087
Annotasiya. Maqolada yuqori va ikkinchi tartibli matematik fizika tenglamalarining tasnifi to 'liq bayon qilingan. Xususiy hosilali giperbolik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan boshlang'ich va chegaraviy masalalar tahlil qilingan. Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi, Darbu va Gursa masalalari tizimli tartibda berilgan. Bir nechta tipik ko'rinishdagi masalalar yechib ko'rsatilgan.
Kalit so'zlar: matematik modellar, tenglama, giperbolik tip, elliptic tip, parabolic tip, aralash tip, chegaraviy masala, singulyar integral tenglama, integrallar nazariyasi, Trikomi masalasi, matematik biologiya, affin almashtirishlar, vektor, xarakteristik determinant, kompleks o'zgaruvchili funksiya.
О НАЧАЛЬНЫХ И КРАЕВЫХ ЗАДАЧАХ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТИПА
Аннотация. В статье подробно описана классификация уравнений математической физики высшего и второго порядка. Анализируются начальные и краевые задачи для уравнений с частными производными гиперболического типа. Системно изложена задачи Коши, Дарбу и Гурсы для уравнений гиперболического типа. Указаны решения несколько типичных задач.
Ключевые слова: математические модели, уравнение, гиперболический тип, эллиптический тип, параболический тип, смешанный тип, краевая задача, сингулярное интегральное уравнение, теория интегралов, задача Трикоми, математическая биология, аффинные замены, вектор, характеристический определитель, функция комплексной переменной.
ON THE INITIAL AND BOUNDARY BORDER PROBLEMS FOR EQUATIONS OF THE HYPERBOLIC TYPE WITH PARTICULAR DERIVATIVES
Abstract. The classification of higher and second-order mathematical physics equations is fully described in the article. The initial and boundary problems for hyperbolic type equations with specific derivatives are analyzed. Cauchy, Darbou, and Gursa problems for hyperbolic type equations are given systematically. Several typical-looking problems are solved.
Keywords: mathematical models, equation, hyperbolic type, elliptic type, parabolic type, mixed type, boundary value problem, singular integral equation, theory of integrals, Tricomi problem, mathematical biology, affine substitutions, vector, characteristic determinant, complex variable function.
KIRISH
Ma'lumki, bir qator fizik, mexanik, biologik va kimyoviy jarayonlarning matematik modellari matematik fizikaning tenglamalari orqali ifodalanadi. O'z navbatida matematik fizika tenglamalarini echish turli tipdagi integral tenglamalarga olib kelinadi. Jarayonlarni matematik modelini tuzish, ya'ni matematik fizikaning tenglamalar nazariyasini ishlab chiqishning birinchi bosqichida ularning umumiy yechimini topishdan ko'ra ko'p kuch sarflanadi. Dalamber J. (1747 yil) to'lqin tenglamasining umumiy yechimini topgan. Eyler L. (1770 yil) qo'llagan
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
almashtirishlarga asoslanib, Laplas P. (1773 yil) «Kaskad usuli» ni taklif qilgan. Boshqa ba'zi bir chiziqli bir xil ikkinchi tartibli giperbolik tenglamalarning ikkitasi bilan umumiy yechimini beradi.
Biroq, bunday umumiy yechim juda kam hollarda topilgan: oddiy differensial tenglamalardan farqli o'laroq, xususiy hosilali differentsial tenglamalar uchun umumiy yechimni juda oddiy formula shaklida olish mumkin bo'lgan birorta ham muhim tenglamalar sinfi ajratilmagan. Fizik jarayonlarni tahlil qilishda matematik fizika tenglamalari odatda qo'shimcha shartlar bilan o'rganiladi. Ularning xususiyati yechimni o'rganish yo'nalishiga tubdan ta'sir qiladi.
Masalani algebraik (odatda chiziqli) tenglamalar sistemasini yechishga keltiriladigan chegaraviy masalalarni taxminiy yechish usullari keng tarqalgan. Shu bilan birga, tizimdagi noma'lumlar sonini ko'paytirish orqali har qanday darajadagi yaqinlashish aniqligiga erishish mumkin. Shu bilan bir qatorda buzilish chizig'iga ega giperbolik va aralash tipdagi tenglamalar uchun chegaraviy masalalar nazariyasi hozirgi vaqtda xususiy hosilali differensial tenglamalar nazariyasining muhim tarmoqlaridan biri hisoblanadi. Aralash tipdagi tenglamalar bilan singulyar integral tenglamalar (aralash tipdagi tinglamalarni echish singulyar integral tenglamalarga olib kelinadi. Singulyar integral tenglamalar esa Karleman-Vekua usuli yordamida Fredgol'm integral tenglamalari yoki sistemalariga keltirilib, echimning mavjudligi isbotlanadi) nazariyasidagi masalalar, integral o'zgarishlar nazariyasi va maxsus funksiyalar o'rtasidagi to'g'ridan-to'g'ri bog'lanishlar, shuningdek, mexanika va matematik fizikaning bunday tenglamalarga keltiruvchi amaliy muammolari bilan bog'liq (Мусхелишвили Н.И. Сингулярные интегралные уравнения. Москва, «Наука», 1968 г., 513 с.). Bu nazariyaning asoslari Trikomi F. va Gellershtedt S. asarlarida yoritilgan (Трикоми Ф. О линейных уравнениях смешанного типа. - М. -Л.: Гостехиздат, 1947. - 192 с., Gellerstedt S. Quelques problems mixtes pour i'equation
ymZxx + Zyy = 0 // Arkiv f. Math. Astr.OchFysik, 1938.-26 A., №.3.).
Tekislikda siqilgan muhitning transonik (tovush tezligidan yuqori tezlikda) oqimi muammolari, qobiqlarning momentsiz nazariyasi aralash tipdagi tenglamalar bilan tavsiflanadi. Ular uchun Trikomi masalasi ham, uning matematik umumlashmalarining amaliy tadbiqlari mavjud. So'nggi yillarda buzilish chizig'iga ega giperbolik va aralash turdagi tenglamalar uchun siljish bilan bog'liq muammolarni o'rganish ayniqsa jadal olib borilmoqda. Ushbu tadqiqotlarning dolzarbligi matematik fizika tenglamalari uchun klassik muammolarni nazariy umumlashtirishning ichki ehtiyojlari bilan ham, qo'llaniladigan qiymat bilan ham aytish mumkin. Chunki ular gaz dinamikasi, issiqlik o'tkazuvchanligi nazariyasi, elastiklik nazariyasi, qobiqlar nazariyasi, plazma nazariyasi, matematik biologiya va mexanikaning boshqa ko'plab masalalari bilan bog'liq. Lokal bo'lmagan muammolar neft qatlamlarini matematik modellashtirishda, yer osti suvlarini filtrlashda, murakkab tuzilishga ega bo'lgan ob'yektda issiqlik va massa almashinuvida, simlardagi elektr tebranishlarida, g'ovak muhit bilan o'ralgan kanalda suyuqlik harakatida va boshqa hodisalarda uchraydi. Aralash tipdagi tenglamalar uchun nolokal masalalar etarlicha chuqur o'rganilgan.
TADQIQOT MATERIALLARI VA METODOLOGIYASI
Endi umumiy holda berilgan yuqori tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalarning tasniflarini keltiramiz. Xususiy hosilali да-tartibli kvachiziqli tenglama
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
I
aa(x)Dau +F(x,u,...Dßu,...) = 0 (1)
lal=m
ko'rinishida yoziladi, bu yerda F ifoda noma'lum u = u(x) funksiyaning m — 1 dan yuqori bo'lgan hosilalarini o'z ichiga olmaydi. (1) tenglamaga mos bo'lgan xarakteristik shakl
K(Äi.....Xn) = I aaXa (2)
lal=m
ko'rinishida yoziladi.
Agar tenglama qaralayotgan D sohaning tayin x nuqtasida X1, ...,Xn o'zgaruvchilarning shunday X1=X1 (p.1, i = 1,...,n affin almashtirilishini (affin almashtirish maxsus
bo'lmagan X = A^ + B (detA ^ 0, B € En) almashtirishdan iboratdir) topish mumkin bo'lsaki, natijada (2) shakldan hosil bo'lgan shakl m o'zgaruvchilarning farqi l tasini (0 < l < n) o'z ichiga olsa, (1) tenglama x nuqtada parabolik yoki parabolik buziladi deb aytiladi.
Parabolik buzilishi bo'lmaganda, faqatgina X1 = 0,..., Xn = 0 bo'lgandagina K(X1, ...,Xn) = 0 bo'lsa, (1) tenglama x E D nuqtada elliptik tip deyiladi.
Agarda X1,.,Xn o'zgaruvchilar orasidan bittasini, masalan Xn = X ni ajratib olish mumkin bo'lsaki (zarur bo'lgan holda bu o'zgaruvchilarni affin almashtirishdan so'ng), barcha X' = (X1, ...,Xn-1) E En-1 nuqtalar uchun Xga nisbatan xarakteristik
K(Xi,..., Xn-i, X) = 0
tenglamaning barcha ildizlari haqiqiy bo'lsa, (1) tenglama x E D nuqtada giperbolik deyiladi.
Agarda X ildizlarning bir qismi haqiqiy, qolganlari kompleks bo'lsa, (1) tenglama x E D nuqtada qo'shma tipdagi tenglama deyiladi.
Bu ta'rifga asosan a > 3 bo'lganda (1) tenglama qo'shma tip bo'lishi mumkin.
Qo'shma turdagi tenglamaga -— (uXlXl + uX2X2) = 0 tenglama misol bo'ladi.
i
Xuddi shunga o'xshash, chiziqli bo'lmagan F = F(x, ...,Da,...) = 0 tenglama
VdF
ZdF
7 ■ ........ "2
a=m
shakl xususisiyatiga asosan tiplarga ajratiladi. Bu shakl koeffisientlari x nuqta bilan birga izlanayotgan u(x) yechim va uning hosilalariga bog'liq bo'lgani sababli, tiplarga ajratish tekshirilayotgan holda faqat shu yechim uchungina ma'noga ega bo'ladi. Masalan,
0
u(x^uXiXi + uXiXi i=2
tenglama u(x) > 0 bo'lgan x E D nuqtalarda elliptik, u(x) < 0 bo'lganda gipperbolik va u(x) = 0 bo'lgan x E D nuqtalarda parabolik buziladi. Endi xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasining klassifikatsiyasiga qisqacha to'xtalib o'tamiz.
F— funksiya N o'lchovli F = (F1,...FN) vektordan iborat. Bu vektorning F1,.,FN komponentlari D soha x nuqtalarning hamda pJQ=Uj, pJa = DaUj j=1,..., M haqiqiy o'zgaruvchilarning berilgan haqiqiy funksiyalari bo'lsin.
Fi(x,...,DaUj ,...) = 0, i = 1,... N,j = 1,...M (3)
n
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
ko'rinishdagi tenglik, noma'lum U-1,..., Um funksiyalarga nisbatan xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi deyiladi.
(3) tenglamalar sistemasiga kirgan noma'lum funksiyalar hosilalarining eng yuqori tartibi shu sistemaning tartibi deyiladi.
(3) sistemaning tartibi m ga teng bo'lsin. Agar hamma F\ — funksiyalar barcha pJa o'zgaruvchilarga nisbatan chiziqli bo'lsa, (3) sistema chiziqli, agarda Ft— lar, i = 1,...,N, barcha pJa, la\=m, larga nisbatan chiziqli bo'lsa, (3) sistema kvachiziqli deyiladi.
Agar N = M,N > M,N < M bo'lsa, u holda (3) sistema mos ravishda aniq, ortig'i bilan aniqlangan, yetarlicha aniqlanmagan deyiladi. (3) sistema aniq bo'lib, uning har bir tenglamasining tartibi m ga teng bo'lsin.
Ushbu
n
,i,j = 1,...,N,^ak =
dF,-
dpi
m
k=1
kvadratik matritsani tuzamiz. K(Ä!.....Än) = det ^ aXa = det ^ aai.....Ä^1.....Äann (4)
lal=m lal=m
ifoda haqiqiy skalyar A1, ...,An parametrlarga nisbatan Nm tartibli shakldan iboratdir. Bu shakl (3) sistemaning xarakteristik determinanti deyiladi.
(4) shaklning xarakteriga qarab, xuddi (1) tenglamaga o'xshash, (3) sistema ham tiplarga ajratiladi. Juda ko'p hollarda amalyotda uchraydigan tenglamalar sistemasini bitta
^ aaDau = f (5)
lal<m
matritsa tenglama ko'rinishida yozish mumkin.
Bu yerda Da differensial operator, u = (u1(x), ...,uN(x)) vektor funksiya yoki w=||uy|| j = 1,...,N matritsa-ustunning har bir komponentiga ta'sir qiladi, aa- koeffisientlar N — tartibli matritsadan iborat bo'lib, bular hamda (5) sistemaning o'ng tomoni f = (f1, ...fN) yoki f = HfjH, nomalum Uj(x) funksiyalarga va ularning tartibi m — 1 dan katta bo'lmagan hosilalariga bog'liq bo'lishi mumkin, m = 1 bo'lganda (5) sistemadan birinchi tartibli xususiy hosilali differensial tenglamalar sistemasi
n
^ ajDjU + bu = f (6)
j=i
kelib chiqadi, bu yerda b — N — tartibli kvadratik matritsa. (6) tenglamalar sistemasiga mos bo'lgan N — tartibli xarakteristik shakl ushbu
K(Ä1, ...,Än) = det ^ ajÄj j=i
formula bilan beriladi.
Misol uchun (6) da n = N = 2,b = 0,f = 0,
1 0 0 —1
a1 = 0 1 , U2 = 1 0
bo'lsin. Bu holda ushbu sistemaga ega bo'lamiz:
n
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
yoki du1
du7
1 0 0 1 D1u1 + 0 0 + D1U2
du1
d
dx1 +
+
u1 U2
0 - D2U2
D2U1 + 0
0 -1 1 0
d
u1
U2
dX2 D-U- - D2U2 D2U-1 + D-U2
0
0
du7
(7)
dx1 dx2 dx2 dx1 Shunday qilib, kompleks o'zgaruvchili funksiyalar nazaryasidan ma'lum bo'lgan Koshi-Riman sistemasi hosil bo'ldi. (7) sistemaga mos bo'lgan xarakteristik shakl
K = det(a1A1 + a2X2) = det
¿1 -¿2
¿2 A-
= ¿2 +a2
ko'rinishga ega bo'ladi.
Demak, Koshi-Riman sistemasi elliptik tipdagi sistema ekan.
Endi bevosita ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili differensial tenglamalarni
kanonik ko'rinishga keltirish yo'llarini bayon qilamiz.
Ikkita x va y haqiqiy o'zgaruvchili ikkinchi tartibli kvazichiziqli tenglama ushbu
d2u d2u d2u / du du\
A(x,y) — + 2B(x,y)^r + C(x,y) — +®(x,y,u,—,—) = 0 (8)
dxdy
dy2
dx2
ko'rinishda yoziladi.
(8) tenglama xarakteristiklarining tenglamasi chiziqli bo'lmagan
/dtä\2 öm öm /öm\2 \dx) dx dy \dx)
0
(9)
dx dy tenglamadan iborat.
Bu tenglamani soddagina usul bilan oddiy differensial tenglamaga keltirish mumkin. Haqiqatan ham, w(x,y) funksiya (9) tenglamaning yechimi bo'lsa, w(x,y) = const egri chiziq (8) tenglamaning xarakteristikasidir. Bu xarakteristika atrofida
— dx +--dy = 0 yoki —:— = dy\(-dx)
dx dy dx dy y K J
munosabat bajariladi.
(9) tenglamada ^: ^ nisbatni dy: (-dx) ga almashtirilib,
Ady2 -2 B dydx + C dx2 = 0 (10)
oddiy differensial tenglamaga ega bo'lamiz.
Aksincha, agar m = const (10) tenglamani integrali bo'lsa, w(x,y) funksiya (9) xarakteristikalar tenglamasini qanoatlantirishi ko'rinadi. (10) tenglik esa xaraktestik egri chiziqlarning oddiy differensial tenglamasidan iborat bo'ladi.
(10) tenglik bilan aniqlangan (dx,dy) yo'nalish odatda xaraktestik yo'nalish deyiladi. Ady2 + 2Bdxdy + Cdx2 kvadratik bo'lgan shaklning aniqlangan (musbatligi yoki manfiyligi), ishorasi o'zgaruvhan yoki yarim aniqlangan (buzilgan) bo'lganiga qarab, (8) tenglama elliptik, giperbolik yoki parabolik tipga tegishli bo'ladi. Shunga asosan Ady2 + 2Bdxdy + Cdx2 kvadratik shaklni diskriminanti B2 - AC noldan kichik bo'lishi, katta yoki nolga teng bo'lishiga qarab, mos ravishda (8) tenglamaning tipi elliptik, giperbolik yoki parabolik bo'ladi.
(8) tenglama elliptiklik sohasida haqiqiy xarakteristik yo'nalishlarga ega bo'lmaydi, har bir giperboliklik nuqtasida 2 ta turli haqiqiy xarakteristik yo'nalish, har bir paraboliklik nuqtada
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
bitta haqiqiy xarakteristik yo'nalishlar mavjud. Demak, A, B va C koeffitsientlar yetarli silliq funksiyalar bo'lganda, (8) tenlamaning giperboliklik sohasi xarakteristik egri chiziqlarning ikkita oilasi turi bilan, paraboliklik sohasi esa xarakteristik egri chiziqlarning bitta oilasi turi bilan qoplanadi. Endi bir amaliy masalani giperbolik tipga tegishli bo'lgan tenglamaga kelishini isbotlab ko'rsatmaiz.
Tor deganda erkin egiladigan ingichka ip tushuniladi, boshqacha aytganda, tor shunday qattiq jismki, uning uzunligi boshqa o'lchovlaridan ancha ortiq bo'ladi. Torga ta'sir qilib turgan taranglik kuchi yetarli darajada katta deb tasavvur qilamiz. Shu sababli torning egilganligi qarshiligini tarangligiga nisbatan hisobga olmasa ham bo'ladi. Ikki nuqta orasida tarang qilib tortilgan torni tekshiramiz. Aniqlik uchun bu Ox o'qida joylashgan bo'lsin. Biz torning tekis ko'ndalang tebranishini tekshiramiz, ya'ni bu shunday tebranishki, tor hamma vaqt bir tekislikda yotadi va torning har bir nuqtasi Ox o'qqa perpendikulyar bo'lib siljiydi. Bu degan so'z, muvozanat paytida x absissaga ega bo'lgan torning nuqtasi tebranish jarayonida ham shu absissaga ega bo'ladi.
Bu nuqtaning ordinatasi u vaqt o'tishi bilan o'zgaradi, ya'ni u torning muvozanat holatidan siljishidan iborat. Tor tebranishining matematik qonunini topish uchun u ning t vaqtga va x ga qanday bog'liqligini, ya'ni u = u(x, t) funksiyani topish kerak. Biz torning faqat kichik
tebranishlarini tekshiramiz, ya'ni u(x, t) va ^ ga nisbatan yuqori tartibli kichiklikdagi
(u2 (j^) ,... ) miqdorlarni hisobga olmaymiz.
Tor egilishga qarshilik ko'rsatmaganligi tufayli, uning t vaqtda x nuqtadagi tarangligi T(x,y) x nuqtada torga o'tkazilgan urinma bo'yicha yo'nalgan bo'ladi. Torning ixtiyoriy (x1,x2) qismini olamiz. Bu qism tebranish davrida (M1,M2) shaklga keladi. Buning t vaqtdagi yoy uzunligi
2
du\
1 + ( — ) dx « x7 — x1
Ui+(ß
ya'ni, kichik tebranishlarda tor qismlarining uzunligi cho'zilmaydi va qisqarmaydi. Demak, Guk qonuniga asosan taranglik miqdori \T(x, t)| = T0.
Tor tebranishining tenglamasini chiqarish uchun Dalamber prinsipidan foydalanamiz. Bunga asosan, torning ajratilgan qismiga ta'sir qiluvchi barcha kuchlarning yig'indisi nolga teng bo'lishi kerak. Birlik uzunlikda hisoblangan va torga Ou o'qqa parallel ta'sir
qiladigan tashqi kuch p(x, t) bo'lsin. Mt, M2 qismga ta'sir qiladigan kuch f*2 p(x, t)dx ga teng
Xi
bo'ladi.
x2 nuqtadagi taranglikning Ou dagi proeksiyasi T0sma(x2) ga, x1 nuqtadagi esa -
T0sina(x1) ga teng bo'ladi. Ushbu
. , . tg a(x) ux
sin a(x) = "
^1 + t g2a(x) + u2 formulaga asosan
fdu\ (du
T0sina(x2) — ToSÍn^Cx!) = T0
zdu\ zdu\ r
\dx' X=X2 \dx/ x=X1 J
*2
d2 u
T ' ~dx2dx
Xl
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
tenglikka ega bo'lamiz. Torning chiziqli zichligi, ya'ni tor kichkina bo'lagi massasining uning uzunligiga bo'lgan nisbatining limiti p(x) bo'lsin.
du d"2 u
M nuqta tezligi — tezlanishi — bo'lgani uchun M1,M2 bo'lakning inersiya kuchi f*2 p(x)^^dx ga teng bo'ladi. Dalamber prinsipiga asosan
f d2u d2u
J T0 — + p(x,t)-p(x)
dx = 0
dx2 J dt2
Xi
tenglikka ega bo'lamiz. x^va x2 lar ixtiyoriy bo'lgani uchun
d2u d2u
T0 — + P{x,t)-P{x)w=°
bo'ladi. Bu esa tor kichik ko'ndalang tebranishlarning tenglamasidir.
Agar zichlik p(x) o'zgarmas bo'lsa, p(x) = p torning tebranish tenglamasi
d2u nd2u w=a2w + f(x,t)
ko'rinishda yoziladi, bunda a2 = A Bu tenglama odatda bir o'lchovli to'lqin tenglamasi
ham deyiladi. Torga ta'sir qilayotgan tashqi kuch p(x,t) = 0 bo'lsa, torning erkin tebranish tenglamasi
d2u „d2u
Tor yoki sterjen tebranish jarayonining fizik ma'nosidan shu narsa kelib chiqadiki, bu jarayonni bir qiymatli ifodalash uchun qo'shimcha u siljish va u1 tezlikning boshlang'ich vaqtdagi qiymatlarini (boshlang'ich shartlar) berish zarur:
du
u\t=t0 = = Vi(x)-
ol t=t0
Bundan tashqari, torning chetki nuqtalaridagi holatini ham ko'rsatish kerak. Torning tekshirilayotgan 0 < x < l qismining ikki chekkasi mustahkamlangan bo'lsa, izlanayotgan yechim
u\x=0 = 0, u\x=t = 0
shartlarni qanoatlantirishi zarur. Agar torning yoki sterjenning chetlari mustahkamlanmay, biror qonun bo'yicha harakatlanayotgan bo'lsa
u\x=0=fi(t), u\x=l=f2(t)
shartlarni berish kerak.
Agar torning l chetiga berilgan kuch ta'sir qilayotgan bo'lsa,
du dx
bo'ladi. Haqiqatan ham, bu holda
du
x=l T0
Todx
« T0sina\x=l = ^(t).
x=l
Agar sterjenning ikki yoki bir cheti, masalan x = l elastik mustahkamlangan bo'lib, a
mustahkamlanganlik qattiqligi koiffisienti bo'lsa, Guk qonuniga asosan
(du \ ( E -—+ au ) =0
\ dx ) x=i
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
bo'ladi, ya'ni x = I chet siljishi mumkin, ammo mustahkamlanganlikning elastik kuchlari bu chetda taranglik paydo bo'lishga sabab bo'ladi, bu esa siljigan chetni oldingi holatiga keltirishga intiladi.
Yuqorida keltirib chiqarilgan to'lqin tebranish tenglamalari ravshanki, giperbolik tipga tegishlidir. Giperbolik tipga tegishli tenglamalar uchun quyidagi aralash masalalarni qo'yish mumkin.
Tebranishlar tenglamasi (giperbolik tip), ya'ni (23) tenglama uchun aralash masala bunday qo'yiladi: C2(ST) nCL(ST) sinfga tegishli, ST silindrda (11) tenglamani, t = 0, x E G(ST) silindrning quyi asosida
du
UU=+0 = uo(x),
= ut(x)
t= + 0
boshlang'ich shartlarni va xES, 0<t<T (ST ning yon sirti) da I, II yoki III chegaraviy shartlardan bittasini qanoatlantiruvchi u(x, t) funksiya topilsin.
TADQIQOT NATIJALARI
Boshqa masalalar. Ikkinchi tartibli ikki o'zgaruvchili kanonik ko'rinishga keltirilgan
ushbu
d2u d2u du 3u
gX2-g^2+a(x,y)gX + b(x,y)dy+C(X,y)U=f(X,y) (±2)
umumiy chiziqli tenglama berilgan bo'lsin. Bu tenglamaning xarakteristikalari tenglamasi dy2 — dx2 = 0 dan iborat.
Bundan x — y = const, x + y = const to'g'ri chiziqlar oilasi (12) tenglamaning xarakteristikalari ekanligi kelib chiqadi.
Uchlari A,B,C va D nuqtalarda tomonlari (12) tenglamaning xaraktristikalaridan iborat bo'lgan to'rtburchakni G orqali belgilab olamiz. Odatda bu to'rtburchak xarakteristik to'rtburchak deyiladi.
Gursa masalasi. G to'rtburchakda regular, G da uzluksiz va
uU = (p, u^b = ^
shartlarni qanoatlantiruvchi (12) tenglamaning u(x,y) yechimi topilsin.
Masalaning qo'yilishiga asosan, ^ va ^ funksiyalar berilgan sohasida uzluksiz va ty(A) = ^(A) shart bajarilishi zarur. Demak, Gursa masalasida (12) tenglamaning ikkita kesishadigan xarakteristikalarida bitta chegaraviy shart beriladi.
Gursa masalasida shartlar xarakteristikalarda berilgani uchun bu masala xarakteristik masala deb ham ataladi. Endi G orqali y = 0 o'qning ixtiyoriy A(xr,0), B(x2,0) kesmasi va (12) tenglamaning AC: x + y = x1,BC: x — y = x2 xarakteristikalari bilan chegaralangan uchburchakni belgilaymiz. Bu uchburchak xarakteristik uchburchak deyiladi.
Darbu (Koshi-Gursa) ning birinchi masalasi
G da regulyar, G da uzluksiz va
u(x, 0) = t(x), x1 < x < x2, ulAC = ^(x), x2 < x < Xl++X2
shartlarni qanoatlantiruvchi (12) tenglamaning yechimi topilsin, bunda t(x1) va ^(xx) — berilgan funsiyalar.
Darbu (Koshi-Gursa) ning ikkinchi masalasi
G da regulyar, G da uzluksiz, AB kesmagacha birinchi tartibli hosilaga ega bo'lgan va
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
limuy(x,y) = v(x), xt < x <x2, ulAC = ^(x), x1 < x < Xl+X2
v(x) E C(x1,x2),^(x) E C
x
y^0 * ' ' ' 2
shartlarni qanoatlantiruvchi (12) tenglamaning yechimi topilsin, bunda
x1+x2 ' 2
Giperbolik tipga tegishli kanonik ko'rinishga keltirilgan tenglama uchun qo'yilgan ayrim chegaraviy masalalarni echimlarini ko'rib chiqamiz. Xususan, Gursa masalasini o'rganamiz. Bu masala fizikaviy jihatdan ham qiziqarli bo'lib, u ko'plab tadbiqiy masalalarda, ayniqsa gaz tozalash, quritish jarayonlari bilan bog'liq masalalarni o'rganishda uchraydi. Bu masalada chegaraviy shartlar tenglamaning xarakteristikalarida berilgani uchun ham Gursa masalasi chegaraviy masala deb yuritiladi. Gursa masalasi chegaraviy masala bo'lib, chegaraviy shartlar tenglamaning bir nuqtadan chiquvchi xarakteristikalarida beriladi. (x, t) o'zgaruvchilar tekisligida bir jinsli ushbu
Lu(x,t) = utt — a2uXX = 0 (13)
tor tebranish tenglamasini qaraylik.
Umumiylikka ziyon qilmasdan (13) tenglamada a = 1 deb olish mumkin. Haqiqatdan ham, (x,t) tekisligida quyidagicha yangi x = x, u = at o'zgaruvchilar kiritamiz. U holda (1) tenglamada qatnashgan hosilalarni hisoblaymiz:
u^ — uyyy^- + uyy^ — a u-yy va u^^ a uxx — a uyy + a uxx — 0
Bundan esa (13) tenglamani Lu(x,t) = uXX — uyy = 0, (14)
ko'rinishda yozib olishimiz mumkin. Ma'lumki, (14) tenglama ikkita haqiqiy xarakteristikalar x — u = const va x + u = const oilasiga ega. (14) tenglamani xarakteristik to'rtburchakda qaraylik, ya'ni ACi, CiB, BC2 va C2A xarakteristikalari bilan chegaralangan sohani G deb, belgilaylik. Faraz qilaylik, A = (0,0), Ci = (x1, x1), C2=(x2, -x2) bo'lsin. Bu yerda xi>0, X2>0.
Gursa masalasi. (14) tenglamaning yopiq G sohada aniqlangan, uzluksiz va quyidagi u(x,y)IAC1 = u(x,y)ly=X = u(x,x) = (x), 0 <x <xi u(x,y)lAC2 = u(x,y)ly = -X = u(x, —x) = xi<x <x2
shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping.
Bu yerda ^1(x) va ^2(x) berilgan yetarlicha silliq funksiyalar bo'lib, ular uchun ty1(0) = $2(0) tenglik o'rinli. Ma'lumki, (14) tenglamaning umumiy yechimi
u(x,y) = f(x + y) + g(x — y) ko'rinishda bo'ladi. Bu yerda f,gE C2(R). (14) tenglama uchun Gursa masalasining yechimini umumiy yechim asosida quraylik. Bunda C2(R) sinfga tegishli bo'lgan f,g funksiyalarni topish uchun
u(x,y) = f(x + y) + g(x — y) formula bilan aniqlangan u(x,y) funksiyani yuqoridagi shartlarga qo'yamiz, natijada u(x,y)ly=X = f(2x) + g(0) = ^W, u(x,y)ly=-X = f(0) + g(2x) = ^to, f(2x) + g(0) = ^1(x), f(0) + g(2x) = ^(x),
tengliklarni olamiz. Demak, f va g — funksiyalarni topish uchun ushbu tenglamalar sistemasiga ega bo'ldik. Bu sistemaning birinchisida x ni x/2 ga almashtirib, f(x) funksiyani
f(x) = ^ (X) — g(0) ko'rinishda topamiz. Xuddi shunday qilib, yuqoridagi shartlardan g(x)
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
funksiyani g(x) = (j) — f(0) topamiz. Endi f(x) va g(x) funksiyalarni umumiy yechimga
qo'yamiz. Natijada Gursa masalasining yechimini quyidagi ¡X + v\ /X — V\
u(x,y) = XÏ1 + ^2 — ^i(0), (15)
ko'rinishda topamiz.
Agar ^1(x) va ^2(x) funksiyalar berilgan sohada ikki marta differensiallanuvchi bo'lsa, u holda (38) formula bilan aniqlangan u(x,y) funksiya qaralayotgan sohada (14) tenglama chegaraviy shartlarni qanoatlantiradi.
Demak, quyidagi teorema isbotlandi.
1-teorema. Agar ^1(x) va ^2(x) funksiyalar ^1(x) e C[0,x1] n C2(0,x1),
^2(x) e C[0,x2] nC2(0,x2) bo'lib, ushbu tenglikni ^1(0) = ^2(0) qanoatlantirsa, u holda (14) tenglama uchun Gursa masalasining yagona yechimi mavjud bo'ladi va bu yechim (15) formula bilan aniqlanadi.
Endi (14) tenglamaning AC: x + u = 0, KS: x — u = I xarakteristikalari va AB = {(x,u): u = 0,0 < x < 1} kesma bilan chegaralangan xarakteristik uchburchakni G deb belgilaylik.
Gursa masalasi. To'rtburchakli G sohada (14) tenglamaning quyidagi
^(x,y)lAD = u\y=yD = (Pi(x), XA<X< XD, U(X,y)lDB = Ulx=xD = ^2(7), ÏD <
x < yc,
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda ty^x) va V2(y) berilgan yetarlicha silliq funksiyalar va bu funksiyalar uchun ty1(xD) = ty2(yD) tenglik o'rinli.
Gursa masalasi uchun ushbu teoremani isbotlaylik.
2-teorema. Agar (12) tenglamaning koiffisientlari va o'ng tomoni
a(x,y),b(x,y),c(x,y),f(x,y) e C(G) hamda berilgan funksiyalar
(Pi(x) e C1[xA,xD], (P2(y) e C1[yD,yB]
bo'lsa u holda (13)
^ v(x, y; Xo, yo) — a(x, y)v(x, y; Xo, yo)) =0
^ ' x=x0
va (12) Gursa masalasining u(x,y) yechimi C2(G) sinfda mavjud va yagona bo'ladi.
Bu teorema ham yuqoridagi kabi isbotlanadi. Riman usuli. Nemis matematigi Riman R. chiziqli giperbolik tipdagi tenglamalar uchun Koshi va Gursa masalalarining yechimini qurish usulini tavsiya qilgan. Gursa masalasi. To'rtburchakli G sohada
L[u] = uxy + a(x,y)ux + b(x,y)uy + c(x,y)u = f(x,y), (16)
tenglamaning quyidagi
u(x,y)lAD = Uly=yD = tyi(X), XA<X< XD, U(X,y)lDB = U^d = ty2(V), Vd <
x < yB
chegaraviy shartlarni qanoatlantiruvchi u(x,y) yechimini toping. Bu yerda ty1(x) va <p2(y) berilgan yetarlicha silliq funksiyalar va bu funksiyalar uchun ty1(xD) = ty2(yD) tenglik o'rinli.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
Shuni ta'kidlash mumkinki, xuddi Koshi masalasidagi kabi chiziqli giperbolik tenglama uchun Gursa masalasi yechimining integral ifodasini Riman funksiyasi orqali topish mumkin. Buning uchun G sohada fiksirlangan M0 = (x0,y0) nuqtadan (16) tenglamaning x = x0 va y = y0 xarakteristikalami o'tkazamiz. AD va BD xarakteristikalar bilan kesishgan nuqtasi P va Q bo'lsin.
Endi yuqoridagi formulada u(x,y) funksiyani Gursa masalasining yechimi, v(x,y) ni esa (16) tenglamaning R(x,y;x0,y0) Riman funksiyasi deb, hosil bo'lgan ayniyatni MPDQ to'rtburchakli sohada integrallaymiz. Natijada quyidagi
r*D
u(x0,y0) = u(P)v(P) + u(Q)v(Q) - u(D)v(D) + I <Pi(x)(Rx - bR)\y=yodx +
Jxq
Xo
ryo r r'yo
+ I P2(y)(Ry - aR)\x=x dy - I I f(x,y)R(x,y; x0,y0)dxdy
yD 0 y™
Xd
yo yD
Gursa masalasi yechimining integral ifodasini olamiz.
1-misol. To'lqin tenglamasi uchun Koshi masalasini yechishni ko'rib chiqamiz:
d2u
= a2
d2u du(x, 0)
m <x < +m,t > 0; u(x,0) = f(x),—--= p(x),
— i
dt2 " dx2' "" " " 'V'" dt
f(x) = 3X, p(x) = sin2x. Yechish. Xarakteristikalar tenglamasi quyidagi ko'rinishga ega: dx2 - a2dt2 = 0. Oxirgi tenglama ikkita tenglamaga bo'linadi, ularning yechimlari to'g'ri chiziqlardan iborat: x - at = C1, x + at = C2. % = x + at,y = x - at almashtirish kiritib, quyidagi tenglamani olamiz:
u^ = 0.
Oxirgi tenglamaning umumiy integralini takroriy integrallash orqali hisoblash oson:
u(f,V)=fl(0+f2(V)
oldingi o'zgaruvchilarni quyidagicha olamiz: u(x, t) = f1(x + at) + f2(x - at) (*)
Yechimni dastlabki shartlarga almashtirib, quyidagilarni hosil qilamiz: u\t=o= fi(x) + f2(x) = 3X, ut\t=o = afi(x) - af2(x) = sin2x Ikkinchi tenglikni birlashtirib olamiz:
1 fX 1
f-i(x) - f2(x) = — I sin2sds + C = — (sin2x - sin2x0) + C, a Jx0 2a
bu yerda x0, C - const.
Shunday qilib biz, quyidagini olamiz;
fl(x)+f2(x) = 3X, 1
' f1(x) - f2(x) =— (sin2x - sin2x0) + C. Endi oxirgi ikkita tenglikni ifodalaylik f1 va f2 lar quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
3X 1 C 3X 1 c
f1(x) = — + — (sin2x - sin2x0) +-, f2(x) = — - — (sin2x - sin2x0) --.
4a
4a
Olingan ifodalarni umumiy yechimga almashtirib (*) topamiz:
2x+at
u(x, t) = f1(x + at) + f2(x - at) =
C 3X-at
---+ — (sin2(x + at) - sin2x0) + — +---—
¿i I Lt ¿i ¿i
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
1 С (3at + 3-at\ 1
--(sin2(x — at) — sin2x0)--= 3X (-) +--(sin(2x + 2at) — sin(2x — 2at))
4a 2 \ 2 4a
ßat + 3-at\ i
= 3X (-) +--(sin(2at) cos(2x)).
\ 2 ) 2a
Shunday qilib, Koshi masalasining yechimi quyidagi ko'rinishga ega bo'ladi:
(3at + 3-at\ 1
u(x, t) = 3X (-) +--(sin(2at) cos(2x)).
\ 2 ) 2a
To'lqin tenglamasi uchun aralash masala masalani ko'rib chiqamiz.
MUHOKAMA
1-misol. To'lqin tenglamasi uchun aralash masalani yeching (N — variantlar soni):
d2u
= a2
d2u
dt2
u(x, 0) = x(x — l),
öx2 '
du(x, 0)
0 <X <1, 0 <t < +œ;
= 0, u(0, t) = 0, u(l,t) = 0,
bu erda N = 3,a = 3,1 = 0,5 bo'lsin.
Yechish. Yechimni X = X(x) va T = T(t) argumentga bog'liq bo'lgan ikkita funksiya
ko'paytmasi ko'rinishida izlaymiz, ya'ni,
u(x, t) = X (x)T (t).
Buni tenglamaga qo'yib, quyidagilarga ega bo'lamiz:
1 T" X" X(x)T"(t) = 9X"(x)T(t) - 9W)=Wy
Tenglamalarning ikkala qismi ham x yoki t ga bog'liq emas, demak:
1 T" X"
= —X = const.
9 T(t) X(x)
Bu yerdan ikkinchi tartibli ikkita oddiy bir jinsli chiziqli tenglamani olamiz: T"(t) + 9ÄT(t) = 0 va X''(x) + 9AX(x) = 0.
Nolga teng bo'lmagan yechimlarni olish uchun chegara shartlari, ahamiyatsiz bo'lmagan yechimlarni topish kerak. Chegara shartlar: X(0) = 0, X(0,5) = 0. Bu masalani yechib, Л > 0 ekanligini aniqlaymiz. Uning umumiy yechimini quyidagicha yozish mumkin:
y(t) = Acos(VÄt) + Bsin(VXt), x E [0,05]. Chegara shartlaridan A va В koeffitsientlari topiladi: y(0) =A = 0 va y(1) = Acos(4X) + Bsin(VI) = Bsin(Ä) = 0.
Shunday qilib sin(VT) = 0, bunda = nk, к E N bo'ladi. Shuning uchun Shturm-Liouville masalasidagi xos qiymatlari quyidagicha bo'ladi: Л = п2к2,к E N va xos funktsiyalar quyidagicha ko'rinishga ega:
Xk(x) = sin(nkx).
Endi hamma к E N uchun tenglama yechimining umumiy ko'rinishini yozamiz: T'(t) + 9n2K2T(t) = 0. Bu tenglamaning umumiy yechimi:
Tk(t) = Ak sin(3nkt) + Bk cos(3nkt). O'z navbatida
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
U(x, t) = ^Uk (x, 0 = ^ Xk(x) Tk(t).
n=1 n=1
Chegara shartlaridan topamiz:
œ œ
^ Xk(x)Tk(0) = ^ Xk(x)(Bk) = x(x — 0.5)
n=1
n=1
va
^Xk(x)T'(0) = 3n^kXk(x)(Ak) = 0.
k
n=1 n=1
Noma'lum Ak va Bk koeffitsientlarini topish uchun biz x(x — 0.5) funktsiyani Xk(x)
bo'yicha Fur'e qatoriga yoyamiz: x(x — 0.5) = Xœ=1 akXk(x), bu erda
1
Г (—1)k(n2k2 — 4)+ 4
ak = 2 I x(x — 0.5) sin(nkx) dx = —■
0
n3k3
Bu tenglamadan bk = 0 va Ak = 0 ekanligi kelib chiqadi.
Bundan, Bk = ak
k
_ _ (-1)k(n2k2-4)+4
n3k3
. Demak, yechim quyidagi ko'rinishda bo'ladi:
U(x, t) =^ Xk(x)Tk(t) = ^ sin(nkt)-
(—1)k(4 — n2k2) —4
n3k3
cos(3nkt).
n=1
n=1
2-misol. Quyidagi Gursa masalasini yeching:
д^и + 12дхдуи + 35д^и + дхи + 5dxu = 0, y > 0,x > 0, u(x, 5x) = xcosx, u(x, 7x) = xsinx. Yechish. D=b2 — a*c = 16x4 > 0, tenglama giperbolik tipga tegishli. Xarakteristik tenglamani tuzamiz: (dy)2 — 4x2dxdy = 0, △= 16x4.
Chunki A = 0 tenglamada и dy ga nisbatan yechiladi va ikkita tenglamaga parchalanadi: dy — (—2x2 + 4x2)dx = 0, dy — (—2x2 — 4x2)dx = 0.
Tenglamani yechamiz: dy = 2x2dx ^
Jäy=J
2x3 2x3
2x2 dx, y = —— + C1 = y — '
3 1 1 3
dy = —6x2dx ^ J dy = — J 6x2 dx ^ y = —2x3 + C2 ^ C2 = y + 2x3.
Yechim xarakteristikalar oilasidir: <1(x,y) = 3y — 2x3 = C1, <2(x,y) = y + 2x3 = C2. Shunday qilib, bu holda o'zgaruvchilarning o'zgarishi quyidagicha ko'rinadi:
Ç = 3y — 2x3,r = y + 2x3 ^ дх( = —6x2,ду( = 3,дхц = 6x2,дуr = 1. Endi yangi koeffitsientlarni hisoblaymiz:
a11 = a22 = 0 ^ a12 = —I2x4 ^b1 = 0^b2 = 0^c = 0^f = 0.
Yangi tenglamani yozamiz:
— 12x4u?v = 0 =0 ^ и = g(ï]) + J f(Ç)d ц = g(r]) + h(Ç) дхи ni ifodalaymiz: дхи = —6x2fX + 6x2g'x.
Qo'shimcha shartlardan foydalanib, g = ¡-dx = -x,f = y2 — -x ekanligini topamiz.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
XULOSA
Yuqorida keltirilganlardan ko'rinib turibdiki, xususiy hosilali differensial tenglamalar, shu jumladan giperbolik tipga tegishli tenglamalarning amaliy ahamiyati juda keng. Masalan, lokal bo'lmagan muammolar neft qatlamlarini matematik modellashtirishda, yer osti suvlarini filtrlashda, murakkab tuzilishga ega bo'lgan ob'yektda issiqlik va massa almashinuvini o'rganish giperbolik tipdagi tenglamalarga olib kelinadi. Shu munosabat bilan o'zbek va xorijlik olimlar tomonidan mazkur yo'nalish bo'yicha chuqur izlanishlar olib borilmoqda. Giperbolik tipdagi tenglamalar uchun nolokal masalalar [1-14] ilmiy maqolalarda o'rganilgan. Trikomi va boshqa aralash chegaraviy masalalar [15-38] ilmiy izlanishlarda o'rganilgan bo'lib, masalalar yechimining yagonaligi va mavjudligi isbotlangan. [39-52] maqolalarda matematik fizika tenglamalari va boshqa fanlardagi mavzularni ilg'or pedagogik pedagogik texnologiyalar yordamida o'tish yo'llari hamda matematik fizika fanining biologik jarayonlarni modellashtirishda qo'llanishi ko'rsatilgan.
Ushbu yo'nalishdagi mavzular bo'yicha ilmiy izlanishlar olib borish talabadan fundamental fanlardan chuqur bilimga ega bo'lishni talab qiladi. Jumladan, masalalarni o'rganishda keng qo'llaniladigan turli differensial va integral operatorlar tahlil qilishni, ketma-ket yaqinlashish usuli, Shauder prinsipi, ekstremum prinsiplari va energiya integrali nazariyasi, gipergeometrik va boshqa maxsus funksiyalarni bilishlari lozim.
REFERENCES
1. Мирсабуров М. Нелокальная краевая задача для вырождающегося эллип-тического уравнения // Дифференциальные уравнения, 38:1 (2002), 129-131.
2. Мирсабуров М. Краевая задача для одного класса уравнений смешанного типа с условием Бицадзе-Самарского на параллельных характеристиках // Дифференциальные уравнения, 37:9, (2001), 1281-1284.
3. Xaydar R. Rasulov. On the solvability of a boundary value problem for a quasilinear equation of mixed type with two degeneration lines // Journal of Physics: Conference Series 2070 012002 (2021), pp.1-11.
4. Салохитдинов М.С., Расулов Х.Р. (1996). Задача Коши для одного квазилинейного вырож-дающегося уравнения гиперболического типа // ДАН Республики Узбекистан, №4, с.3-7.
5. Rasulov H. KD problem for a quasilinear equation of an elliptic type with two lines of degeneration // Journal of Global Research in Mathematical Archives. 6:10 (2019), р.35-38.
6. Расулов Х.Р. (1996). Задача Дирихле для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №12, с.12-16.
7. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяция ва унинг математик модели хдкида // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.81-96.
8. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Икки жинсли популяциянинг динамикаси хдкида // Scientific progress, 2:1 (2021), р.665-672.
9. Расулов Х.Р., Камариддинова Ш.Р. Об анализе некоторых невольтерровских динамических систем с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:22 (2021) с.27-30.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
10. Rasulov Kh.R. (2018). On a continuous time F - quadratic dynamical system // Uzbek Mathematical Journal, №4, pp.126-131.
11. Исломов Б., Расулов Х.Р. (1997). Существование обобщенных решений краевой задачи для квазилинейного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // ДАН Республики Узбекистан, №7, с.5-9.
12. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Задача типа задач Геллерстедта для одного уравнения смешанного типа с двумя линиями вырождения // Scientific progress, 2:1 (2021), р.42-48.
13. Расулов Х.Р. Об одной нелокальной задаче для уравнения гиперболического типа // XXX Крымская Осенняя Математическая Школа-симпозиум по спектральным и эволюционным задачам. Сборник материалов международной конференции КРОМШ-2019, c. 197-199.
14. Расулов ТД., Расулов Х.Р. (2021). Узгариши чегараланган функциялар булимини укитишга доир методик тавсиялар. Scientific progress. 2:1, 559-567 бетлар.
15. Расулов Х.Р., Джуракулова Ф.М. Об одной динамической системе с не-прерывным временем // Наука, техника и образование, 77:2-2 (2021) с. 19-22.
16. Расулов Х.Р., Ф.М. Джуракулова (2021). Баъзи динамик системаларнинг сонли ечимлари хдкида // Scientific progress. 2:1, 455-462 бетлар.
17. Расулов Х.Р. и др. О существовании обобщенного решения краевой задачи для нелинейного уравнения смешанного типа // Вестник науки и образования, 97:19-1 (2020), С. 6-9.
18. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega elliptik tenglama uchun chegaraviy masalaning yechimi haqida // Models and methods for increasing the efficiency of innovative research, Germany, 10 (2022), p. 184-186.
19. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. (2022) Ikkita buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptic tenglama uchun chegaraviy masala haqida // Central Asian Academic Journal Of Scientific Research, 2(5), 544-557 b.
20. Rasulov, R. X. R. (2022). Бузилиш чизигига эга булган квазичизикли аралаш типдаги тенглама учун Трикоми масаласига ухшаш чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
21. Расулов Х.Р. и др. О разрешимости задачи Коши для вырождающегося квазилинейного уравнения гиперболического типа // Ученый XXI века. 53:6-1, 2019. С.16-18.
22. Rasulov Kh.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy // Irish Interdisciplinary Journal of Science & Research (IIJSR), 6:2 (2022), p. 8-14. DOI: http://doi.org/10.46759/IIJSR.2022.6202
23. Rasulov X.R., Sayfullayeva Sh.Sh. Ikkita buzilish chizig'iga ega giperbolik tipdagi tenglama uchun Koshi masalasi haqida // «Zamonaviy ta'lim tizimini rivojlantirish va unga qaratilgan kreativ g'oyalar, takliflar va yechimlar», 35-sonli Respublika ilmiy-amaliy on-line konferensiyasi, 2022, 192-195 b.
24. Rasulov, X. (2022). Краевые задачи для квазилинейных уравнений смешанного типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
25. Rasulov, X. (2022). Об одной краевой задаче для нелинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
26. Rasulov, X. (2022). О динамике одной квадратичной динамической системы с непреривным временем. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
27. Rasulov, X. (2022). Об одном краевом задаче для квазилинейного уравнения эллиптического типа с двумя линиями вырождения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
28. Rasulov, X. (2022). Об одной задаче для вырождающеюся квазилинейного уравнения гиперболического тип. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
29. Rasulov, R. X. R. (2021). Boundary value problem in a domain with deviation from the characteristics for one nonlinear equation of a mixed type. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
30. Rasulov X.R. Sayfullayeva Sh.Sh. Buzilish chizig'iga ega bo'lgan elliptik tipdagi tenglamalar uchun qo'yiladigan chegaraviy masalalar haqida // Science and Education, scientific journal, 3:3 (2022), р.46-54.
31. Rasulov, R. X. R. (2022). Квази чизикли гиперболик турдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
32. Rasulov, X. (2021). Краевая задача для одного нелинейного уравнения смешанного типа. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
33. Rasulov, R. X. R. (2022). Analysis of Some Boundary Value Problems for Mixed-Type Equations with Two Lines of Degeneracy. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
34. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги квазичизикли тенглама учун Нейман масаласига ухшаш чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
35. Rasulov, R. X. R. (2021). Гиперболик типдаги тенглама учун Коши масаласи. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 7(7).
36. Rasulov, R. X. R. (2022). О краевых задачах для уравнений эллиптического типа с линией искажения. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 8(8).
37. Rasulov, R. X. R. (2022). Buzilish chizig'iga ega kvazichiziqli elliptik tenglama uchun Dirixle-Neyman masalasi. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 18(18).
38. Rasulov, R. X. R. (2022). Иккита перпендикуляр бузилиш чизигига эга булган аралаш типдаги тенглама учун чегаравий масала хакида. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 22(22).
39. Расулов Х.Р., Собиров С. Модуль катнашган баъзи тенглама, тенгсизлик ва тенгламалар системаларини ечиш йуллари // Science and Education, scientific journal, 2:9 (2021), р.7-20.
40. Расулов Х.Р., Собиров С. Айрим рационал тенгламаларни ечишда интерфаол усулларни кулланилиши хакида // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р. 586-595.
41. Расулов Х.Р., Собиров С.Ж. Айрим иррационал тенгламаларни ечишда интерфаол усулларни кулланилиши // Science and Education, scientific journal, 2:10 (2021), р.596-607.
INTERNATIONAL SCIENTIFIC JOURNAL VOLUME 1 ISSUE 7 UIF-2022: 8.2 | ISSN: 2181-3337
42. Расулов Х.Р., Рашидов А.Ш. Организация практического занятия на основе инновационных технологий на уроках математики // Наука, техника и образование, 72:8 (2020) с.29-32.
43. Rasulov, H. (2021). Funksional tenglamalarni yechish bo'yicha ba'zi uslubiy ko'rsatmalar. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
44. Rasulov, H. (2021). «Kompleks analiz» fanida mustaqil ta'limni tashkil qilish. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
45. Rasulov, H. (2021). Boundary value problem for a quasilinear elliptic equation with two perpendicular line of degeneration. Центр научных публикаций (buxdu.Uz), 5(5).
46. Rasulov X.R., Qamariddinova Sh.R. Ayrim dinamik sistemalarning tahlili haqida // Scientific progress, 2:1 (2021), р.448-454.
47. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Роль математики в биологических науках // Проблемы педагогики, № 53:2 (2021), с. 7-10.
48. Расулов Х.Р., Раупова М.Х. Математические модели и законы в биологии // Scientific progress, 2:2 (2021), р.870-879.
49. Расулов Х.Р. О некоторых символах математического анализа // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), p.66-77.
50. Расулов Х.Р. О понятие асимптотического разложения и ее некоторые применения // Science and Education, scientific journal, 2:11 (2021), pp.77-88.
51. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. О некоторых вольтерровских квадратичных стохастических операторах двуполой популяции с непрерывным временем // Наука, техника и образование, 77:2-2 (2021) с.23-26.
52. Расулов Х.Р., Яшиева Ф.Ю. Об одном квадратично стохастическом операторе с непрерывным временем // «The XXI Century Skills for Professional Activity» International Scientific-Practical Conference, Tashkent, mart 2021 y., p.145-146.
