CC BY
22
Karashetskyy V.P. Features of calculation of two-dimensional eddy magnetic fields of the method finite element
Basic formulas of the finite element method for calculating of two-dimensional static eddy magnetic fields filled with nonlinear without hysteresis anisotropic environments with using Lagrangian triangles, cubature formulas of numerical integration and with considering of boundary conditions of Neumann and Dirichlet were obtained.
Keywords: eddy magnetic field, magnetic characteristic, Lagrangian triangle, finite element method, cubature formula, boundary conditions.
УДК330.4:336.71 Доц. Б.Ю. Кишакевич, д-р екон. наук -
Дрогобицький державний педагогiчний утверситет м. 1вана Франка
ЗАДАЧ1 БАГАТОКРИТЕР1АЛЬНО1 ОПТИМ1ЗАЦН ПОРТФЕЛЯ АКТИВ1В БАНКУ
Розглянуто сучасш постановки задач багашкритерiальноi оптимiзацii банювсь-кого портфеля активiв на осжга класичноi портфельжй теори Марковща та методи iх узагальнення на випадок кредитного портфеля. Проаналiзовано методи виршення проблеми нормальност розподшу дохщност портфеля через застосування рiзних мiр кредитного ризику.
Ключовг слова: багатокритерiальна оптимiзацiя, кредитний портфель, пор-тфельна теорiя, мiри ризику, кредитний ризик, ефективний портфель.
Актуальшсть проблеми. Формування кредитно-швестицшного портфеля банку е непростим завданням, оскшьки вимагае узгодження суперечли-вих критерiiв: максимiзацii норми прибутку та мiнiмiзацii ризику. Постановка задач оптимiзацii кредитного портфеля нерозривно пов'язана iз кредитною полiтикою банку - у разi бiльш агресивноi кредитноi полiтики прибутковiсть портфеля буде превалювати над питаннями безпеки, i навпаки, для консерва-тивноi полиики на перший план виходить завдання мiнiмiзацii ризику. Свщ-ченням того, наскшьки важливим е питання формування збалансованого кредитного портфеля банку можуть бути наслiдки фiнансовоi кризи 20082009 рр. Вiдомо, що однiею iз головних причин безпрецедентних фшансових потрясiнь останнiх рокiв було передушм фокусування практично усiх бан-кiвських установ на прибутковостi портфеля, тодi як автоматично вщбува-лась недооцшка його сукупного ризику. Рашше, до 2008 р., в умовах доступ-ностi до кредитних ресуршв на мiжнародних ринках, та iх дешевизни через iснування на цих же ринках величноi "мильноi бульбашки" фiктивних фшан-сових ресурсiв, банки не придшяли особливоi уваги якост своiх кредитних портфелiв. Сьогоднiшня ситуащя iстотно вiдрiзняеться i виклики, як поставила фiнансова криза, актуалiзують проблему коректного вибору моделi оп-тимiзацii банкiвського портфеля.
Аналiз останшх наукових дослiджень та публiкацiй. Крiм вимiрю-вання та монiторингу ризику, важливим елементом ризик-менеджменту е вивчення джерел портфельного ризику та ефективних методiв побудови портфеля iз мшмальним ризиком та максимальною дохщшстю. Проте незважа-ючи на те, що значш зусилля науковцiв та практиков були спрямованi на удосконалення методологiй вимiрювання кредитного ризику, розроблення
шструментарт onraMi3a^i портфельного кредитного ризику, як правило, за-лишалось недостатньо висвiтленим. Найпопуляршший на сьогоднi через свою простоту шструментарш ризик менеджменту для ринкового ризику в основному Грунтуеться на сучаснш портфельнiй теорп (Марковiц 1952, Шарп 1964) i побудований на припущенш про iснування нормального розподшу до-хiдностi портфеля, що не щлком вiдповiдае дiйсностi. Сучасна портфельна теорiя бере свiй початок з 1950-х р. Перший перюд представлений широко вь домою дисертацiею Л. Башелье "Теорiя спекуляцiй" (1950 р.) [1], а також ос-новоположними роботами I. Фшера з теорп процентно1 ставки. Другий перь од починаеться у 1951 рощ тсля появи статтей Г. Марковiца "Вибiр портфеля" [2, 3] та В. Шарпа [4], у яких вперше було запропоновано математичну модель вибору оптимального портфеля щнних паперiв та було наведено ме-тоди побудови таких портфелiв за певних умов. У 1990 р. Г. Марковщ разом iз В. Шарпом та М. Мертоном були нагородженш Нобелюькою премiею з економжи за розробку теорп прийняття ршень на основi оцiнки ризику в ш-вестицiйних i корпоративних фшансах.
Проблемi подальшого удосконалення портфельно1 теорп Марковща присвячено науковi працi Дж. Тобша [5], Pavlo Krokhmal, Stanislav Uryasev, Jonas Palmquist [6], Х. Комо Х. Шлракава та Х. Ямазаю [7], Сперанза [8], М. Юнг [9], А. Клементе та К. Романо [10], Кишакевича Б. [11] та шших. Незважаючи на значну кiлькiсть дослiджень, присвячених формуванню ефек-тивних портфелiв активiв банку, невиршеними залишаються проблеми вибору коректних мiр ризику, побудови моделей ощнювання кореляцп активiв, узагальнення класично! задачi портфельно1 оптимiзацil на випадок кредитного портфеля тощо.
Мета роботи - аналiз сучасних пiдходiв до формування оптимальних портфелiв активiв банку на основi портфельно! теорп Марковiца та методiв Ii узагальнення на випадок кредитного портфеля.
Виклад основного матер1алу. Головною заслугою Г. Марковща вва-жаеться ймовiрнiсне тлумачення дохiдностi та ризику, що дало змогу зробити проблему формування оптимального портфеля суто математичною задачею. Як наслщок, було отримано задачу квадратично! оптимiзащi iз лiнiйними об-меженнями. Спочатку робота Г. Марковiца не знайшла належно! оцiнки у фь нансистiв, оскiльки у 1950-тi роки застосування теорп ймовiрностi у бан-кiвськiй дiяльностi було незвичним явищем, i крiм того, запропонованi Г. Марковщем складнi на цей час обчислювальш алгоритми потребували вщ-повщно! обчислювально! технiки.
Г. Марковiц у сво!й моделi ввiв очiкувану норму прибутку i оч^ва-ний ризик. Вш показав, що змiна норми прибутку е мiрою ризику портфеля. Вщповщно до моделi Г. Марковща визначають показники, що характеризу-ють обсяг iнвестицiй i ризик. Це дае змогу порiвнювати мiж собою рiзнi аль-тернативи вкладення катталу.
Класична модель Марковiца оптимального портфеля полягае в такому. Нехай coviJ - коефщент коварiацil дохщносп i-го та j-го активу. Необхщ-но знайти частки (ваги) (хь..., хп) капiталу, вкладеного в n можливих шстру-ментiв i таких, що мiнiмiзують дисперсiю дохiдностi портфеля:
N N
ЕЕcovijXiXj —min; (1)
i=1 j=1
N
Е yjXj — max, (2)
j=1
де yj - очжувана дохiднiсть j-го активу. Частки Bcix шструменив у портфелi повиннi в cyMi дорiвнювати одиницi:
N
Е xj = i. (3)
j=i
Основною iдеeю ще! моделi е вибiр оптимального портфеля, або, шак-ше кажучи, множини активiв i3 найбiльшим piBHeM дохiдностi при наймен-шому або заданому piBm ризику i3 врахуванням коpeляцiй мiж цими активами. Це дае змогу провести ефективну дивepсифiкацiю портфеля активiв, яка iстотно зменшуе сукупний ризик портфеля поpiвняно i3 ризиком активiв, що входять до нього.
Нeдолiком тако1 модeлi е велика кiлькiсть коeфiцiентiв коваpiацil covj яку досить важко обчислити. Бажання отримати найбшьш прибутковий портфель завжди вступае у суперечшсть з бажанням забезпечити вкладення з найменшим ризиком. Очевидно, що ризик портфеля зростае зi збiльшeнням заплановано! доходностi або eфeктивностi. Банк повинен турбуватись про характеристики портфеля загалом, а не про деяк окpeмi його компоненти чи окpeмi активи. Через те, однокpитepiальна оптимiзацiя кредитного портфеля меншою мipою описуе реальний кредитний процес, нiж двокpитepiальна чи багатокpитepiальна.
Наступним важливим кроком розвитку портфельно! теорп були роботи Дж. Тобша. Напpикiнцi 50-х роюв ХХ ст. Дж. Тобiн дослщжував питання про pозподiл сукупного катталу в eкономiцi мiж грошовою формою та формою щнних папepiв. Розглядаючи сукупний капiтал у фоpмi щнних папepiв, Дж. Тобiн не обмежився ризиковими акщями, а включив до аналiзy дepжавнi бор-говi зобов'язання (обл^ацп, казначейськ вeксeлi тощо), як вважав за безризи-ковий каттал. Враховуючи той факт, що диспершя дохiдностi такого безризи-кового активу доpiвнюе нулю i припустивши, що його дохщшсть доpiвнюе y0, то внаслщок цього отримаемо задачу оптимiзацil Тобiна-Лiтнepа [5]:
N N
ЕЕ cov ijXiXj — min; (4)
i=1 j=1
N
yoXo + Е yjXj — max ; (5)
j=1
N
Е Xj = 1, (6)
j=o
яка також допускае простий розв'язок.
Методика побудови ефективних поpтфeлiв Г. Марковща та Дж. Тобь на з велико! кшькосп активiв вимагае досить гpомiздких обчислень. Для портфеля з двох активiв потpiбно провести двадцять окремих обчислень коварь
ацп, для портфеля з п'ятдесяти активiв обчислюють 1225 коварiащй, для ста -4950 коварiащй, що було у т роки однieю з причин непопулярносп такого стохастичного тдходу до оптимiзацп портфеля активiв [6].
У 1963 р. учень Г. Марковща В. Шарп у робот [4] запропонував одно-iндексну модель, яка, порiвняно з моделями Г. Марковща та Дж. Тобша, знач-но зменшуе розмiри задачi формування оптимального портфеля фiрми. Модель Грунтуеться на припущеннi, що доходнiсть вшх акцiй залежить вiд одного фактора, яким е певний ринковий щдекс. В. Шарп не розробив нового методу складання портфеля, а спростив проблему так, що наближений розв'язок може бути знайдено iз значно меншими зусиллями, увiвши Р-фактор.
Р-фактор характеризуе ступiнь ризику активу i показуе, у скшьки разiв змiна його цiни перевищуе змiну цiн на ринку загалом. Якщо р бiльше вiд одинищ, то цей актив можна вщнести до iнструментiв iз пiдвищеним ступе -нем ризику. Якщо р менше вiд одиницi, то рiвень ризику цього активу вщ-носно низький. Якщо р менше вiд нуля, тодi в середньому змiна щни цього активу буде протилежною змш цiни на ринку.
Основними постулатами, на пiдставi яких побудовано класичну пор-тфельну теорiю, е:
• ринок складаеться 1з кшцево! кшькосп актив1в, прибутковють яких вва-жаеться випадковими величинами;
• швестор може отримати оцшку очжуваних (середшх) значень дох1дност1 та 1х попарних ковар1ацш [ ступешв можливоста диверсифжаци ризику;
• швестор може формувати будь-яю допустим1 (для ще! модел1) портфеле Прибутковють портфел1в е також випадковою величиною;
• поргвняння портфелгв Грунтуеться тшьки на двох критер1ях: середнш прибут-ковост [ ризику;
• швестор не схильний до ризику в тому розумшш, що 1з двох портфелгв 1з од-наковою прибутковгстю в1н вщдасть перевагу портфелю 1з меншим ризиком. Згодом появились чисельш модифжацп оптимiзацiйноl задачi Г. Марковща. Наприклад, Х. Комо Х. Шгракава та Х. Ямазаю у роботi [7] запропо-нували задачу лiнiйного програмування замiсть квадратичного через вико-ристання метрики Мшковського 1} замiсть Евкшдово1, як це було зроблено Г. Марковщем. Абсолютне вщхилення дохiдностi портфеля активiв вони виз-начали як:
Перевагою такого тдходу, на думку 1х авторiв, було те, що на вщм^ вiд тдходу Г. Марковща, тут не виникае потреби обчислювати коварiацiйну матрицю ^ крiм цього, розв'язування задач лiнiйного програмування е значно простiшим за квадратичне програмування.
На практищ часто замють середньоквадратичного вiдхилення вико-ристовують iншi мiри ризику. Так, Сперанза, у робот [8] пропонуе викорис-тати напiвабсолютне вiдхилення:
п
п
А(х) = Е X Узхз - Е Ё УХ
(7)
.} =1
(8)
де: yj = E (Yj) = Е psyj - очжувана дохiднiстьj-го активу; S- кшьюсть сцена-
s=1
рпв; ps - ймовipнiсть s-го сцeнаpiю; yjs - дохiднiсть j-го активу при s-му сце-нарп.
Юнг М. запропонував мiнiмаксний кpитepiй знаходження оптимального портфеля, який визначаеться як такий, що максимiзyе мiнiмальнy при-бyтковiсть протягом певного горизонту часу [9]:
n
y(X) = min Е y isX i — max . (9)
s=U.,sj~J
Спещалюти iз портфельно! оптимiзацi! загалом виокремлюють такi нeдолiки модeлi Г. Марковща:
1) нeобrpyнтованiсть припущення про нормальний розподш дохiдностi портфеля. На думку багатьох науковщв, припущення про нормальний розподш втрат портфеля не е коректним, оскшьки розподш втрат F мае додатну асиметрж> - довгий правий хвют вiдповiдае малим ймовipнос-тям величезних втрат. Деяю наyковцi вважають, що у зв'язку iз цим, для аналiзy поведшки pозподiлy дохiдностi портфеля потpiбно розглядати моменти розподшу вищих поpядкiв, тж математичне сподiвання та дис-першя;
2) проблема практично! peалiзацil задачi Маpковiца при додаваннi до не! щ-лочисельних обмежень - кшькост угод, питомо! ваги кожного активу то-що. Такi обмеження дають змогу бiльш peалiстично змоделювати кредит-ний процес у банку, проте !х врахування призводить до ютотного усклад-нення обчислювального процесу. Треба зазначити, що нам удалось зро-бити багатокpитepiальнy постановку бшарно! задачi оптишзацп кредитного портфеля та розв'язати !! з допомогою генетичного алгоритму, роз-робивши для цього спещальш бiнаpнi оператори мутацп та кросинговеру;
3) оскiльки кредитш поди трапляються piдко, то це призводить до браку ю-торичних даних для коректного обчислення кредитних коpeляцiй, на вщ-мiнy вщ ринкового ризику, для якого таю дат е у достатнш кшькоста, що дае змогу без проблем визначити коваpiацil та сepeднi значення до-хiдностi активiв.
Щодо проблеми врахування асиметричносп pозподiлy втрат портфеля, то сам Г. Марковщ у 1991 р. у сво!й пращ [3] зазначае, що аналiз портфе-лiв на основi натвдисперсп мае тeндeнцiю давати краще оптимiзованi пор-тфeлi, нiж на основi звичайно! диспepсi!. Сьогоднi появилось дуже багато дослiджeнь, присвячених урахуванню важкого хвоста розподшу (fat tail distribution) втрат кредитного портфеля. Так, А. Клементе та К. Романо у робот [10] пропонують методику оптимiзацi! кредитного портфеля, яка враховуе не нормальний характер розподшу втрат. Для цього автори застосовують метод симуляцш Монте-Карло та тдхщ на основi копул.
Важливим етапом в еволюцп моделей ощнки кредитного ризику були роботи чеського математика О. Вашчека, який показав, що за певних припу-щень, модель Мертона може бути застосована для ощнки кредитного ризику портфеля. Базельський комиет використав модeлi Мертона та Ваичека iз
нормально розподшеними систематичними та даосинкратичними факторами ризику як базиснi при обчисленнi вимог до катталу. Багато спещалюпв, вка-зуючи на недолiки середньоквадратичного вдаилення для оптимiзацiйних задача, пропонують використовувати когерентнi мiри ризику, так! як CVaR (Conditional Value-at-Risk).
Варто зазначити, що задача мiнiмiзацп дисперсп дохiдностi портфеля iдентична мiнiмiзацп VaR та CVaR лише для нормального розподшу. VaR рiдше застосовують для цих цшей, оскiльки як мiра ризику вона не е опук-лою та мае багато локальних мiнiмумiв. Мiри, подiбнi до сьогодш популярного CVaR, згадуються ще у 1996 р. у дослщженнях А. Прекопа. С. Урясев та ш. у роботi [6] показали, що CVaR може бути мiнiмiзованим з допомогою ль нiйного програмування та технiки негладко1 оптимiзацil. Хоча CVaR володiе значно привабливiшими з точки зору математики властивостями, проте ця мiра ризику стала бшьше популярною у страховш справi, а не у банювськш, оскiльки вимагае значно! кшькосп даних.
У лiтературi деколи можна зустрiти також задачi оптимiзацп кредитного портфеля, при якш враховуеться показник концентрацп кредитного ризику. Так, у робот Б. Кишакевича [11] запропоновано метод узагальнення портфельно! теорп Марковiца на випадок кредитного портфеля та шдхщ до розв'язування таких задач з допомогою генетичного алгоритму.
У сво!х працях автори здебiльшого порушують питання однокритерь ально! оптимiзацil, коли максимiзуеться дохiднiсть портфеля або мшмь зуеться !! диспершя. Бiльшiсть таких моделей побудована на основi портфельно! теорп Марковща. На практицi ж, зазвичай, виникае потреба побудо-ви компромiсного кредитного портфеля, коли одночасно мiнiмiзуеться ризик та максимiзуеться очiкувана прибутковiсть. Така двохкритерiальна оптимiза-цiя вимагае застосування складних обчислювальних технiк та алгоршадв, що робить цю проблему щкавою як для економiстiв, так i для математикiв.
У бiльшостi вщомих моделей портфельно! оптимiзацil вихiдними да-ними е дохiдностi активiв. Ризик, зазвичай, вважаеться функщею дохiдностi, причому види ще! функцп можуть бути рiзними. 1ншим факторам у цих моделях не знаходиться мюця, через високу складнiсть та велику розмiрнiсть таких задач. Описанi моделi портфельно! теорп передбачають збiр статистич-но! шформацп про стан кредитного та фондового ринюв, що робить !х досить вартiсними в практичнш реалiзацil в Украш через недостатню розвиненють цих ринкiв.
Висновки. Таким чином, сьогодш при постановщ задач багатокрите-рiальноl оптимiзацil портфеля активiв банку дедалi частiше можна зустрии спроби вирiшення проблеми нормальностi розподшу дохiдностi портфеля через застосування принципово нових мiр кредитного ризику. Постановка задач багатокритерiальноl оптимiзацil кредитного портфеля та !х розв'язання е значно складшшою проблемою, шж у загальному випадку портфеля активiв. Рiч не лише у браку необхщних iсторичних даних про кредитш поди, але й у тому, що банювсью позики не мають визначено! ринково! цши, на вщм^ вiд цiнних паперiв. Важливою вщмшною рисою цих задач е неможливють придбати позику банком (iнвестором) у наперед визначеному обсязi. Розмiр
позики визначае позичальник у кредитнiй заявщ, виходячи i3 потреби в кре-дитних ресурсах, i через це ршення керiвництва банку спрощуеться до виз-начення ставки дохiдностi за позикою i мае бiнарний характер: видати позику такого розмiру чи ш. Усе це ускладнюе узагальнення портфельно! теорп Марковiца на випадок кредитного портфеля та побудову ефективних число-вих методiв розв'язання такого класу задач.
Л1тература
1. Bachelier, L. Theorie de la speculation / L. Bachelier // Annales de L'Ecole Normale Superieure. - 1900. - Vol. 17. - Pp. 21-86.
2. Markowitz H. Portfolio selection / H. Markowitz // Journal of Finance. - 1952. - Vol. 7, № 1. - Pp. 77-91.
3. Markowitz H. Portfolio selection: efficient diversification of investments / H. Markowitz // New York : Wiley, 2nd ed. Cambridge, MA: Basil Blackwell. - 1991.
4. Sharpe W. Simplified model for portfolio analysis. Management / W. Sharpe // Science. -1963. - Vol. 9, № 2. - Pp. 277-293.
5. Tobin J. Liquidity preference as behavior towards risk / J. Tobin // The Review of Economic Studies. - 1958. - Vol. 25. - Pp. 65-86.
6. Uryasev Stanislav. Portfolio optimization with conditional value-at-risk objective and constraints / Pavlo Krokhmal, Stanislav Uryasev, Jonas Palmquist // The journal of risk. - Winter 2001. - Vol. 4, No. 2. [Electronic resource]. - Mode of access http://www.engineering.uiowa.edu/ -krokhmal/pdfcvar.pdf.
7. Konno H. A mean-absolute deviationskewness portfolio optimization model / H. Konno, H. Shirakawa, H. Yamazaki // Annals of Operations Research. - 1993. - № 45. - Pp. 205-220.
8. Speranza M. Linear programming model for portfolio optimization / M. Speranza // Finance. - 1993. - Vol. 14. - Pp. 107-123.
9. Young M. A Minimax, portfolio selection rule with linear programming solution / M. Young // Management Science. - 1998. - Vol. 44, № 5. - Pp. 673-683.
10. Clemente Annalisa. Measuring and optimizing portfolio credit risk: a copula-based approach / Annalisa Di Clemente, Claudio Romano // Economic Notes. - 2004. - Vol. 33, No. 3. - Pp. 325-357.
11. Кишакевич Б.Ю. Формування оптимальних за Парето кредитних портфелiв з допо-могою генетичного алгоритму / Б.Ю. Кишакевич // Вiсник Хмельницького нацюнального уш-верситету : наук. журнал. - Сер.: Економiчнi науки. - Хмельницький : Вид-во ХНУ. - 2010. -Т. 4. - С. 126-132.
Кишакевич Б.Ю. Задачи многокритериальной оптимизации портфеля активов банка
Рассмотрены современные постановки задач многокритериальной оптимизации банковского портфеля активов на основе классической портфельной теории Марковица и методы их обобщения на случай кредитного портфеля. Проанализированы методы решения проблемы нормальности распределения доходности портфеля через использование различных мер кредитного риска.
Ключевые слова: многокритериальная оптимизация, кредитный портфель, портфельная теория, меры риска, кредитный риск, эффективный портфель.
Kyskakevyck B.Yu. The problems of the multiobjective optimization of the bank asset portfolio
The modern multiobjective optimization framework of bank asset portfolio on the base of classical portfolio theory and the methods of its generalization for the case of credit portfolio were discussed. The solutions of the problem of portfolio profitability normality were analyzed.
Keywords: multiobjective optimization, credit portfolio, portfolio theory, credit measures, credit risk, effective portfolio._
