Оцінка рівня концентрації кредитного ризику за допомогою гомогенних мір ризику Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

13. Корбутяк Д.В. Телурид кадмiю: домiшково-дефектнi стани та детекторш властивос-Ti / Д.В. Корбутяк, С.В. Мельничук, С.В. Корбут, М.М. Борисик. - К. : Вид-во "1ван Федоров", 2000. - 198 с.

14. Jayaraman A. Temperature - induced Explosive First - Order Electronic Phase Transition in Cd-Doped SmS / A. Jayaraman, E. Bucher, P.D. Dernier, L.D. Longinotti // Phys. Review Letters. - 1973. - Vol. 31, № 11. - PP. 700-703.

15. Chris G. Band lineups and deformation potentials in the model-Solid theory / G. Chris, Van de Walle // Physical Review B. - 1989. - Vol. II, № 5. - PP. 1873-1883.

16. Судзуки Т. Динамика дислокаций и пластичность : пер. с англ. / Т. Судзуки, Х. Еси-нага, С. Такеути. - М. : Изд-во "Мир", 1989. - 294 с.

17. Комарь В.К. Монокристаллы группы А2В6. Выращивание, свойства, применение / В.К. Комарь, В.М. Пузиков. - Харьков : Ин-т монокристаллов, 2002. - 241 с.

Баран М.М., Васькович И.М. Энергия дна зоны проводимости в кристалле с краевой дислокацией с самосогласованным учетом электрон-деформационного взаимодействия

Исследовано влияние самосогласованного электрон-деформационного потенциала при различных значениях концентрации электронов проводимости на значения краев разрешенных зон (края зоны проводимости Ec ) в околе краевой дислокации.

Ключевые слова: электрон-деформационный потенциал, концентрация электронов проводимости, зона проводимости, краевая дислокация.

Baran M.M., Vaskovich I.M. Energy of bottom of conductivity area in crystal with edge dislocation with self-consistent recognition of electron-defor-mational interaction

The influence of self-consistent electron-deformational potential with different values of concentration of conduction electrons on values of edges of settled areas (edge of conduction area Ec (p,&)) within edge dislocation is investigate.

Keywords: electron-deformational potential, concentration of conduction electrons, conduction area, edge dislocation_

УДК 330.45 Доц. Б.Ю. Кишакевич, канд. екон. наук -

Дрогобицький ДПУ M. 1вана Франка

ОЦ1НКА Р1ВНЯ КОНЦЕНТРАЦП КРЕДИТНОГО РИЗИКУ ЗА ДОПОМОГОЮ ГОМОГЕННИХ М1Р РИЗИКУ

Проаналiзовано традицшш тдходи до обчислення рiвня концентрацп кредитного ризику портфеля та запропоновано методику оцшки диверсифшованосп портфеля, яка враховуе не лише обсяг кредитно'1 заборгованост позичальника, але й його кредитоспроможнють.

Ключовi слова: концентращя кредитного портфеля, VaR, асимптотичш апрок-симацп Ваачека, шдекс Херфшдаля^ршмана, мiри кредитного ризику, багатофак-торш модель

Актуальшсть проблеми. На сьогодш вщомо багато м1р концентрацп кредитного портфеля: коефщент концентрацп, крива Лоренца, коефщент Джш1, шдекс Херфшдаля-Х1ршмана (Herfindahl-Hirschman Index, HHI), бага-тофакторш модел1 вим1рювання ризику. Класичним методом визначення р1вня концентрацп кредитного портфеля е шдекс Херфшдаля-Х1ршмана. У випадку визначення концентрацп окремого позичальника шдекс Херфшдаля-Х1ршмана (НН1) матиме вигляд:

N

НН1 = £ V«2, (1)

«=1

де Vп - вiдносна вага експозицй п-го позичальника. Добре диверсифжоваш портфелi iз великою кiлькiстю малих шдприемств мають НН1 близьким до нуля, тодi як сильно концентроваш портфелi можуть мати значно бiльшi НН1. 1ндекс Херфiндаля-Хiршмана, як i всi iншi емпiричнi методи вимiрю-вання концентрацй, мае декiлька ютотних недолiкiв. По-перше, емпiричнi методи не враховують залежностей мiж секторами ^ по-друге, вони не дають жодно! шформацй щодо економiчного кашталу, необхiдного для покриття такого ризику. Стосовно другого зауваження, то вш е наслщком не врахуван-ня рейтингу (кредитних якостей) позичальника. Адже два однакових креди-ти, як надаш позичальникам iз рiзними можливостями 1х повернути, потрiб-но по^зному враховувати пiд час оцiнювання рiвня концентрацй кредитного ризику портфеля. Врахування цих аспеклв пiд час обчислення рiвня концентрацй кредитного портфеля е слабо дослщженою проблемою, що зумовлюе потребу в додаткових дослщжень ще1 задачi.

Аналiз останнiх наукових дослвджень та публiкацiй. Питання визна-чення рiвня концентрацй кредитного ризику портфеля висвгглено в публжащ-ях К. Гур'еро, Дж. Лоурента, О. Скейлета [1], Д. Тахе [2], у яких розглянуто рiзнi методи ощнювання диверсифiкованостi портфеля активiв. У роботах А. Курта [3], К. Акерб^ Д. Тахе [4], С. Еммер [5], К. Хуанга, К. Остерлi [6] та Б. Кишакевича [7] проаналiзовано сучасш пiдходи до обчислення часток кожного позичальника у сукупному розмiрi кредитного ризику портфеля. Проте задача врахування цих часток шд час ощнювання рiвня концентрацй кредитного портфеля практично не розглядалась, що робить цю проблему досить актуальною, особливо в умовах жорстко! фшансово! кризи, яка, на погляд ба-гатьох спещалю^в, стала можливою саме через неналежний контроль регуля-торiв за яюстю кредитних портфелiв банкiв.

Мета досл1дження - розроблення методик ощнювання рiвня концентрацй кредитного портфеля, яю б враховували кредитоспроможнiсть та iншi кредитнi якостi позичальника.

Виклад основного матерiалу. У класичному шдекс Херфшдаля^р-шмана уп - частка заборгованост за п-м кредитом у загальному кредитному портфелi. Очевидно, що у такш штерпретацй цей шдекс характеризуе лише рь вень концентрацй портфеля i робити висновки щодо концентрацй кредитного ризику можна лише поверхнево. Для того, щоб ощнити рiвень концентрацй кредитного ризику портфеля, бшьш коректним буде пiд уп замiсть заборгова-ностi за п-м кредитом взяти внесок кожного активу (кредиту) в загальну величину кредитного ризику портфеля.

Позначимо через Ь функщю втрат портфеля, яку може бути записано як сума втрат шдив^альних позицш (кредитiв)

N

Ь = 2 ™п!п , (2)

«=1

де: уп - експозищя п-го кредиту iз врахуванням ЬОБ, I« - випадкова змiнна, яка виконуе функцй iндикатора дефолту за п-м кредитом: !«=! за дефолту, та

1„=0 у протилежному випадку. Легко бачити, що E[In] = pn, де pn - ймовiр-шсть дефолту n-го позичальника.

Пiд час визначення рiвня концентраци кредитного ризику виршальну роль вiдiграють мiри ризику, адже вщ !хнього вибору залежить наявшсть ефекту диверсифшаци. Розглянемо гомогеннi мiри ризику р, тобто такi, як за-довольняють таку нерiвнiсть (додатна гомогеншсть)

рЛХ) = IpX) > (3)

До таких мiр ризику можна вщнести математичне сподiвання, стандар-тне вiдхилення cL, Value-at-Risk (VaR), економiчний капiтал (EC (L)), Conditional Value-at-Risk (CVaR (L)), спектральш мiри ризику та iншi мiри, якi задо-вольняють аксiоми когерентность Найбшьш бажаною для нас е властивiсть адитивностi таких мiр

N

p(L) = 2p(WnIn), (4)

n=l

якою iз усiх перелiчених мiр ризику володiе лише математичне сподiвання, яке здебшьшого набуло застосування у страхуванш. У випадку кредитного портфеля часткою кожно! позики у сукупному ризику E[L] буде E[wnIn]. На жаль, для бшьшосл мiр ризику, яю активно використовуються у банювсько-му ризик-менеджменл, безпосередньо отримати частки кожно! позики не так просто, оскшьки вони у загальному випадку не е адитивними. Проте, якщо припустити, що р е неперервно-диференцшованою, скористаемось добре вь домою теоремою Ейлера про додатно-гомогенш функцп:

P(L) = in=iCn, (5)

де Cn = WndpP(L + eIn)\e=0 = Wn dppL) (w). (6)

us dwn

Тут Cn можна штерпретувати як внесок втрат за n-м кредитом у загальний ризик кредитного портфеля p(L).

Розглянемо спочатку стандартне вiдхилення, або, як його деколи нази-вають, непередбачуват втрати UL (unpredictable losses),

<(L) = UL(L) = E[(L - E[L])2]. (7)

Для загальновiдомих мiр ризику у лiтературi можна знайти готовi фор-мули для маргшальних внескiв ризику. Для стандартного вдаилення у [3, с. 5] пропонуеться така формула, яка використовуеться також в CreditRisk+:

C< = wn co<L. (8)

<L

Очевидно, що тодi

<(L) = UL(L) = ZN=Wn , (9)

<L

(тут <j(L) - стандартне вiдхилення загальних втрат L портфеля).

Варто зазначити, що у загальному випадку Value-at-risk (VaR) не е ди-ференцшованою функцiею вiд wn Проте декшька авторiв (Гур'еро [1, с. 5] та Тахе [2, с. 19]) зауважили, що, якщо VaR диференцшована, то ïï похiдна дорiв-нюе

3VaRL

dwn

= E[In\L = VaRa (L)]

(10)

Звiдси можна отримати

CVaR = WnE[In |L = VaRa(L)]. (11)

AKep6i та Тахе у 2002 р. показали, що CVaR е лшшною комбшащею VaR та умовного математичного сподiвання L за умови L > VaRa(L) [4]. Вико-ристовуючи цей результат для CVaR, отримаемо таку формулу:

CCVaR = WnE[In \L > VaRa (L)]. (12)

Очевидно, що вщносною часткою n-го кредиту у загальному кредитному ри-зику портфеля буде

cn Cn /1

vn =-=-. (13)

PL Y„=C

Використання у ролi vn замють заборгованостi за n-м кредитом частки цього кредиту у загальному кредитному ризику портфеля, на наш погляд, е бшьш коректним, оскшьки тд час визначення рiвня концентрацiï ризику бшьш ш-формативним е внесок кожноï позики у сумарну величину кредитного ризику, шж величина самоï позики, навiть iз коригуванням на LGD.

Якщо у ролi мiри ризику взяти стандартне вдаилення о, тодi матимемо

Cn

= cov(/n, L) = cov(/n, Хм WiIi ) =

p(L)

= W,

= W;

Vl

IL Wi COv(In, Ii) Y^ WiOipb

wn-2-= WnVn-2-

VL VL

2

(14)

де: pij - корелящя i-го та j-го кредитiв; vl - волатильнiсть кредитного портфеля (дисперЫя збитковостi), яку можна отримати iз виразу

aL = IJ WiWiŒViPij . (15)

Тепер для визначення концентраци кредитного ризику найпростше ви-користати такi показники:

1. шдекс Херфiндаля-Хiршмана (HHI)

hhi=in= 1 v2=IN= 1

WJVJ

ZN

j=1 WVipiJ

ZN sr^N

j=1 Ii=1 WiViWJVJPiJ

2. ентропiï D = -Iivi log Vi =

WiVi IW jVjpij WiVi IW jV jpij

"log:

I WkWjVjVkPkj I WkWjVjVkPkj k,j k,J

Wi^i £ WjajPij

1 £ WkWja j&kPkj к, j

[7, c. 170];

WiOi £ WjOjpij

[7, c. 174].

Стосовно ентропи, то варто зазначити, що в разi вщ'емного внеску де-якого i-го активу таку методику не може бути застосовано, що цим самим об-межуе коло задач, як можуть бути реалiзованi за допомогою ще! методики.

Таким чином, обчислення рiвня концентраци кредитного ризику портфеля звелось до визначення середньоквадратичного вщхилення збитковост

кожного кредиту та кореляцй рц. Враховуючи, що Уаг(Е) = Е ^ Ь^ Е [ь], можна отримати формулу для обчислення о.

оскшьки Wi = EADi • LGDi, де EAD— експозицiя i-го кредиту. Проте на портфельному piBHi, як видно i3 наведених формул, обчислення непередбачува-них витрат (середньоквадратичного вщхилення збитковосл) не е таким простим процесом. Оскшьки рiзнi види бiзнесу, а отже i позичальники, тiсно пов,язанi мiж собою, то внаслiдок ми отримуемо на портфельному рiвнi над-звичайно складну структуру кореляцш. Проблеми i3 обчисленням кореляцiй активiв е чи не найскладшшою задачею сучасного ризик-менеджменту, над розв'язанням яко! працюють уже багато десятил^ь науковцi. На жаль, на сьогодш не розроблено единого шдходу до вирiшення ще! проблеми i, що бiльше, багато спещалютсв чи не головну провину за безпрецедентну св^ову фiнансову кризу покладають саме на помилковi пiдходи до обчислення кореляцш активiв на портфельному рiвнi.

Альтернативним пiдходом щодо визначення часток кожного активу у сукупному ризику кредитного портфеля е застосування VaR та CVaR.

На сьогодш розроблено декшька методiв обчислення СЩаК. Розглянемо спочатку застосування моделi Васiчека для обчислення частки кожного кредиту у загальнш величиш VaR кредитного портфеля. Цю модель названо iменем Васiчека тсля цшо! низки його дослiджень (1987, 1991, 2002). Зпдно iз щею моделлю, дефолт n-го позичальника трапиться тодi, коли дохiднiсть n-го активу Хп впаде нижче деяко! наперед визначено! межi сп так, що In = 1{Xn <Сп}.

Моделювання структури взаемозв,язкiв мiж позичальниками в межах кредитного портфеля спрощуеться введенням спiльного для ушх активiв фактора Y. Xn можна тодi представити як лшшну комбiнацiю систематичного Y та щосинкратичного Zx факторiв:

де Y та Zn - незалежнi змшт, якi задовольняють стандартний нормальний розподш. Якщо pn=p, тодi параметр р називають спiльною кореляцiею акти-

C>i =

yj(EADi • LGDi)2pi - (EADi • LGDi • pi)2 = Jw}p - w} • p2 , (16)

(17)

вiв. Еммер та Тахе у робот [5, с. 4] показали, що для нескшченно великого портфеля

VaRa (!) = ^Ф(Ф ^^

/1

(18)

Р

i, вiдповiдно,

с[аяа = и.Ф(Ф "1(рР)+УрФ-'И).

(19)

Р

Асимптотичнi апроксимаци Вашчека (18) та (19) розрахованi на пор-тфелi, якi складаються iз нескшчено! кiлькостi малих позичальникiв. Для пор-тфелiв iз декiлькома позичальниками або iз значним домiнуванням декшькох позик цi формули мають тенденцш до недооцiнки у повному обсязi кредитного ризику портфеля.

Альтернативою моделi Васiчека для обчислення с[а^ може слугувати нормальна апроксимацiя, яка отримана на основi центрально! гранично! теоре-ми [6, с. 78]. Якщо портфель не е достатньо великим для виконання закону великих чисел, тодi несистематичний ризик мае тенденцш до зростання. У цьому випадку нам потрiбно врахувати умовну мшливють втрат портфеля за наявност фактора У. Цього можна досягти за допомогою центрально! гранично! теореми. Нехай

МУ) = ^гРг(У), (20)

с2(У) = 1^1 ^2р1(У)(1 - р(У), (21)

де рг(У) = Р(1г = 1 У). Звiдси можна отримати умовну ймовiрнiсть

Р(Ь > х | У) = Ф(М(У) Х). К ; с(У)

(22)

Тодi безумовна ймовiрнiсть може бути отримана штегруванням по У:

М(У) - х

Р(Ь > х) = ЕУ

Ф(М(У) - Х)

С

=1Ф^

с(У)

-)Ф(У ¥У

(23)

Для отримання с[а^ нам потрiбно спочатку знайти часткову похщну Р(Ь > х) вщносно Wi [6, с. 79]:

д

Р(Ь > х) = ЕУ

( 1 (дм(У) -дх_) - М(У) -х дс(У).п(У) -х.

с(У)( д^г ды^ С(У) ды^ с(У) )

(24)

дМУ) • дс(У) - р ¡(У)

де = Р(У) i = п'Р'(У) СХ .

^ с(У)

Пiдставивши замiсть х УаЯа, ми перетворимо лiву частину рiвностi (24) на 0. Звщси можемо знайти с[а^ :

Еу

пУаЯа дУаЯа дм,

( 1 дМ(¥) //(У)-УаЯа да(У)//(У)-УаП(/) а(У) дм а2(У) дм Ф <г(у)

Еу

( 1 ф(М(У) - УаЯа)

.V)* о(У) )

. (25)

Для обчислення С,Уа та ССУа можна також скористатись методом симуляцш Монте-Карло. Розглянемо бiльш загальний випадок багатофактор-но! моделi.

Хп = ап1у1 + ап2У2 + ... + аиуз + Ьп2п , (26)

де: У1, У2,..., У8 - незалежш систематичнi фактори, кожен iз яких задовольняе стандартний нормальний розподiл N(0,1); 2п - iдiосинкратичний фактор, який вщповщае п-му позичальнику, також N(0,1) розподiлений; ап1, а^,..., ап8 - ва-

говi коефiцiенти п-го позичальника; Ьп = 1 - (а^ + а%2 +... + а^) так, що Хп -

також N(0,1) розподшений.

Для спрощення позначимо через Си = Е[Ь^Ь е А] шуканi частки к-то!

позики у загальному УаЯ або СУаЯ портфеля. Тут А = {х} або А = {х, да}. Кожна симуляцiя складаеться iз таких крокiв:

1) генеруемо незалежш У1, У2,..., У8 - систематичш фактори, кожен ¿з яких мае стандартний нормальний розподш N (0,1);

2) для кожного позичальника п=1,..., N генеруемо незалежну N(0,1) змшну Zn I покладаемо Хп = апУ + ап2У2 +... + ашУз + ;

3) для кожного позичальника п=1,..., N знаходимо шдикатор дефолту 1п = 1{Хп > Ф_1(1 - рп)} та ЬОБп, яке ми будемо вважати бета-розподше-

ним. Вщповщно до рекомендаций Базельського ком1тету, для незабезпе-чених кредипв ЬОБ треба вважати таким, що дор1внюе 75 %, для забез-печених ЬОБ=45 %. З щею метою в нашш модел1 використаемо бета-розподш з а=2 та в=6 для незабезпечених кредипв та а=4 та в=3,3 для забезпечених;

4) покладаемо Ьп = ЬОВ212.

Нехай (Ь1, Ь2,..., Ь^) 1=1,., т - шдивщуальш втрати, отриманi внасль док повторення i разiв крокiв (1-4). Позначимо через

Ь = Ь + Ь2 +... + Ь^ (27)

загальнi втрати портфеля за ¿-то! симуляцй. Для отримання частки п-го кредиту скористаемось такою формулою

) XN ьМЬ е А}

С =!=йЬг ■ (28)

Застосувавши закон великих чисел для чисельника та знаменника у (28), отримаемо iз ймовiрнiстю 1:

Си ^ Ск . (29)

Таким чином, для достатньо великих значень N ми можемо вважати Си наближеним значенням СуаКа або С СУаКа (залежно вщ множини А). 5. 1нформацшш технологi■i галузi 327

Висновки. Запропонований шдхщ до вимiрювання рiвня концентраци кредитного ризику портфеля грунтуеться на застосуванш гомогенних Mip ри-зику, таких як середньоквадратичне вiдхилення, VaR, CVaR, економiчного ка-пiталу, що дае змогу скористатись вiдомою теоремою Ейлера про додатно-го-могеннi функци та отримати для таких мiр частки кожного позичальника у су-купному ризику портфеля. На вщмшу вiд традицшно! методики визначення концентраци кредитного ризику, яка побудована на визначенш часток кредит-но! заборгованост кожного позичальника, за запропонованого шдходу розгля-даються внески кожного позичальника у сукупний ризик кредитного портфеля. Така методика, на наш погляд, бшьш коректно визначае концентрацш кредитного ризику, тодi як традицiйна швидше аналiзуе звичайну концентрацш кредитного портфеля стосовно фiзичних обсяпв кредитних зобов'язань у роз-рiзi окремого позичальника або галузг

Л1тература

1. Gourieroux, С. 2000. Sensitivity analysis of values at risk / C. Gourieroux, J. Laurent, O. Scaillet // Journal of Empirical Finance 7. - PP. 225-245. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.sites-test.uclouvain.be/econ/DP/IRES/2000-2.pdf.

2. Tasche, D. Risk contributions and performance measurement / D. Tasche // Working paper, Technische University MinchenG. - 1999. - PP. 26. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.m4.ma.tum.de/pers/tasche/riskcon.pdf.

3. Kurth A. Credit Risk Contributions to Value-at-Risk and Expected Shortfall / Alexandre Kurth, Dirk Tasche // RISK. - Vol. 16, No. 3. (March 2003). - PP. 84-88. [Електронний ресурс]. -Доступний з http://www.m4.ma.tum.de/pers/tasche/RC_ES.pdf.

4. Acerbi, C. On the coherence of Expected Shortfall. / C. Acerbi, D. Tasche // Journal of Banking & Finance. 2002. - 26(7). - PP 1487-1503. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.m4.ma.tum.de/pers/tasche/shortfall.pdf.

5. Emmer Susanne. Calculating Credit Risk Capital Charges with the One-factor Model // Emmer Susanne, Tasche, Dirk // Journal of Risk. - Vol. 7, No. 2, Winter 2004/05 pP. 85-103. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.ssrn.com/abstract=707461

6. Huang X. Computation of VaR and VaR Contribution in the Vasicek portfolio credit loss model: a comparative study / X. Huang, C.W. Oosterlee, and M.A.M Mesters // Journal of Credit Risk. Volume 3. - Number 3, Fall 2007. - PP. 75-96. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.oai.cwi.nl/oai/asset/12149/12149A.pdf

7. Кишакевич Б.Ю. Вимiрювання рiвня диверсифшацп кредитного портфеля / Б.Ю. Кишакевич // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Ук-раши. - 2010. - Вип. 20.10. - С. 169-177.

Кишакевич Б.Ю. Оценка уровня концентрации кредитного риска с помощью гомогенных мер риска

Проанализированы традиционные подходы к вычислению уровня концентрации кредитного риска портфеля и предложена методика оценки диверсификации портфеля, которая учитывает не только размер кредитной задолженности заемщика, но и его кредитоспособность.

Ключевые слова: концентрация кредитного портфеля, VaR, асимптотические аппроксимации Васичека, индекс Херфиндаля-Хиршмана, меры кредитного риска, многофакторные модели.

Kyshakevych B. Yu. Estimation of credit risk concentration by means of homogeneous risk measures

Traditional methods of calculation of credit risk concentration rate were analyzed and the new approaches that take into account both the sum of the credit and the credit-worthiness were offered.

Keywords: Credit risk concentration, VaR, Vasicek asymptotic approximation, Her-findahl-Hirschman Index, credit risk measures, multifactor models.