Багатокритеріальна оптимізація кредитного портфеля банку Текст научной статьи по специальности «Экономика и бизнес»

вшьних тдмножин V (множини гiперребер), квантового неч^кого унарного

вiдношення на множиш V (iндикаторна функцiя I/, якого задае комплексно знач-ш мiтки на множинi вершин V ), д/Е квантового неч^кого бшарного вiдношення на множинi Е (шдикаторна функцiя I/, якого задае комплексно значш мiтки на множиш Е).

Означення 10. Квантовим неч^ким графом iз петлями називаеться квантовий неч^кий граф, який мютить ребра, що з'еднують вершину саму з собою.

Означення 11. Квантовим неч^ким мультографом називаеться квантовий не-чiткий граф, який мютить бiльш нiж одне ребро мiж двома вершинами.

Означення 12. Квантовим неч^ким псевдографом називаеться квантовий не-чiткий граф, який е одночасно квантовим неч^ким графом з петлями та квантовим неч^ким мультографом.

Кожне з уточнених означень роботи автора [5] 1, як наслщок, роботи [6] опираеться на означення 1 та означення 2 ще! роботи.

Висновки. Уточнено означення об'еклв: квантово! нечггко! множини, квантового нечеткого вщношення (квантового нечлкого бшарного вщношен-ня, квантового нечлкого тернарного вщношення, квантового нечлкого N -арного вщношення) та на його основ! ряду похщних вщ нього об'еклв: квантового нечлкого графу, ор1ентованого квантового нечлкого графу, квантового нечеткого гшерграфу, квантового нечлкого графу з петлями, квантового нечеткого мультиграфу, квантового нечлкого псевдо графу 1 встановлено ряд р1вностей 1 т.д.

Лггература

1. Пастух О.А. Квантовi нечiткi множини з комплексно значною характеристичною функцiею i !х використання для квантового комп'ютера / О. А. Пастух // Вюник Хмельницько-го нащонального уныверситету. - 2006. - Т.1. - № 2. - С. 158-161.

2. Пастух О.А. Квантова неч^ка випадкова подiя та й маргинальна амплiтуда ймовiрно-сп / О.А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального уныверситету. - 2006. - № 5. - С. 58-60.

3. Пастух О.А. Повний бiунарний уно!д квантових неч^ких булевих тдмножин на про-сторi [0; да) / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального уныверситету. - 2007. -№ 1. - С. 196-198.

4. Пастух О.А. Основи зв'язку шж математичними формалiзмами шформащйних систем, неч^ких шформащйних систем та квантових шформащйних систем / О. А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального уныверситету. - 2008. - № 3. - С. 87-98.

5. Пастух О.А. Квантовi неч^к вщношення квантових неч^ких множин. Квантовi не-ч^к графи / О.А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального уныверситету. - 2009. -№ 1. - С. 246-254.

6. Пастух О.А. Уточнення поняття квантово! неч^ко! множини та ряду понять, як е його частинними видами / О.А. Пастух // Вюник Хмельницького нащонального уныверситету. -2009. - № 3. - С. 96-106.

УДК 336.71:336.25 Доц. Б.Ю. Кишакевич, канд. екон. наук - Дрогобицький

державный педагогiчний утверситет м. 1вана Франка

БАГАТОКРИТЕР1АЛЬНА ОПТИМ1ЗАЦ1Я КРЕДИТНОГО

ПОРТФЕЛЯ БАНКУ

Розглянуто постановку задачi багатокритерiальноi оптимiзащi кредитного портфеля банку на основi портфельно! теорп Марковща. Проаналiзовано вщмшносп у формуванш оптимального кредитного портфеля та портфеля цшних паперiв. Показа-

но переваги та вади таких оптимiзацiйних моделей. Встановлена потреба припущен-ня про нормальний розподш дохiдностi. Розподiл дохщносп активiв мае бiльшу ймо-вiрнiсть екстремальних значень, нiж це характерно для нормального розподшу. Це означае, що для повного опису поведшки портфеля мають бути розглянутi моменти розподшу вищих порядкiв, нiж математичне сподiвання i дисперсiя.

Ключовi слова: кредитний ризик, кредитний портфель, портфельна теорiя Мар-ковiца, дохiднiсть кредитного портфеля, оптимiзацiя портфеля.

Assoc. prof. B.Yu. Kyshakevych - Drohobych state pedagogical

university named after Ivan Franko

Multiobjective bank portfolio optimization problem

The problem of multiobjective credit portfolio risk optimization on base of Marko-vitz portfolio theory. Differences of optimal credit and securities portfolio forming are analyzed. Advantages and problems of such models are shown. The set necessity of supposition is about normal distribution of дохщносп. Distributing of дохщносп assets has greater probability of extreme values, than it characteristically for normal distribution. It means that for complete description of conduct of brief-case there must be the considered moments of distributing of higher orders, than mathematical hope and dispersion.

Keywords. Credit risk, credit portfolio, Markovitz portfolio theory, credit portfolio return, portfolio optimization.

Актуальшсть проблеми. Кр1м вим1рювання та мониторингу ризику, важливим елементом ризик-менеджменту е вивчення джерел портфельного ризику та ефективних метод1в побудови портфеля 1з мшмальним ризиком та максимальною дохщшстю. Проте, незважаючи на те, що значш зусилля на-уковщв та практиюв були спрямоваш на удосконалення методологш вим1рю-вання кредитного ризику, розроблення шструментарда оптим1зацп портфельного кредитного ризику, зазвичай, залишалось недостатньо висвпленим. 1н-струментарш ризик менеджменту для ринкового ризику здебшьшого грун-туеться на сучаснш портфельнш теорп (Марковщ, 1952; Шарп, 1964) i побу-дований на припущенш про юнування нормального розподшу дохщносп портфеля. Проблема оптим1зацп кредитного портфелю банку е пор1вняно новою i недостатньо вивченою. У робот пропонуемо застосувати теорда Мар-ковща для оптим1зацп кредитного ризику банювського портфеля, що накла-дае певш труднощд у застосуванш традицшних тдходав ще! теорп, яка прис-вячена анал1зу портфеля цшних папер1в.

Аналiз останшх наукових дослiджень. Проблем1 оптим1зацИ кредитного портфеля присвячено багато наукових праць, здебшьшого шоземних ав-тор1в таких як Р. Дембо [1], Лгтерман, Х. Мозер [2], Д. Розен [2], С. Гршина [3], С. Франгулова [4]. У сво!х працях автори здебшьшого шдшмають питан-ня однокритер1ально! оптим1зацИ, коли максим1зуеться дохщшсть портфеля або м1н1м1зуеться li дисперЫя. Бшьшють таких моделей побудована на основ1 портфельно! теорп Марковща. На практищ ж часто виникае потреба побудови компромюного кредитного портфеля, коли одночасно мш1м1зуеться ризик та максим1зуеться очшувана прибутковють. Така двохкритер1альна оптим1за-щя потребуе застосування складних обчислювальних техшк та алгоршшв, що робить цю проблему щкавою як для економ1ст1в, так i для математиюв.

Мета дослiдження - побудова та оцшка моделей багатокритерiальноl ошгашзацп банкiвського кредитного портфеля на основi портфельно! теорп

Марковща, виявлення переваг та вад застосування таких моделей у практичны дiяльностi.

Виклад основного матерiалу. Формування кредитно-швестицшного портфеля банку е непростим завданням, оскшьки потребуе узгодження супе-речливих критерив: максимiзащl норми прибутку та мimмiзаци ризику. Заз-начене актуашзуе проблему коректного вибору моделi оптимiзащl банювсь-кого портфеля. Основними постулатами, на пiдставi яких побудована класич-на портфельна теорiя, е таю:

• ринок складаеться 1з шнцево! юлькосп актив1в, прибутковшть яких вважають випадковими величинами;

• швестор може отримати ощнку очшуваних (середтх) значень дохщносп та 1х попарних ковар1ацш 1 ступетв можливост1 диверсифшаци ризику;

• швестор може формувати будь-як допустим1 (для певно! модел1) портфеле Прибутковшть портфел1в е також випадковими величинами;

• пор1вняння портфел1в грунтуеться тшьки на двох критериях: середнш прибут-ковосп 1 ризику;

• швестор не схильний до ризику в тому розумшт, що 1з двох портфел1в 1з од-наковою прибутковютю вш вщдасть перевагу портфелю 1з меншим ризиком.

У сучаснш портфельнш теори вiдомi моделi формування портфеля цшних паперiв, якi враховують певш особливосл портфеля. Бiльшiсть iз них заснована на методицi Марковща. Г. Марковщ у моделi портфелiв ввiв очжу-вану норму прибутку i очiкуваний ризик. Вiн показав, що змша норми прибутку е мiрою ризику портфеля. Вщповщно до моделi Г. Марковiца визнача-ють показники, що характеризують обсяг швестицш i ризик. Це дае змогу по-рiвнювати мiж собою рiзнi альтернативи вкладення капiталу.

Наступним важливим кроком розвитку портфельно! теори були робо-ти Дж. Тобша. Наприкiнцi 50-х рокiв ХХ ст. Дж. Тобш дослiджував питання про розподш сукупного кашталу в економщ мiж грошовою формою та формою цшних паперiв. Розглядаючи сукупний каштал у формi цiнних паперiв, Дж. Тобiн не обмежився ризиковими акщями, а долучив до аналiзу державнi борговi зобов'язання (обл^аци, казначейськ векселi тощо), якi вважав за без-ризиковий капiтал. Методика побудови ефективних портфелiв Г. Марковiца та Дж. Тобша з велико! кшькосп активiв вимагае досить громiздких обчис-лень. Для портфеля з двох активiв потрiбно виконати двадцять окремих об-числень коварiацil, для портфеля з п'ятдесяти активiв обчислюють 1225 кова-рiацiй, для ста - 4950 коварiацiй [5].

У 1963 р. В. Шарп запропонував одношдексну модель, яка порiвняно з моделями Г. Марковща та Дж. Тобiана, значно зменшуе розмiри задачi формування оптимального портфеля фiрми. Модель грунтуеться на припущенш, що доходшсть вЫх акцiй залежить вiд одного фактора, яким е певний ринко-вий шдекс. В. Шарп не розробив нового методу складання портфеля, а спрос-тив проблему таким чином, що наближений розв'язок може бути знайдено iз значно меншими зусиллями, ввiвши в-фактор.

в-фактор характеризуе стушнь ризику активу i показуе, у скшьки разiв змiна його щни перевищуе змiну цiн на ринку загалом. Якщо в бшьше одини-цi, то цей актив можна вщнести до iнструментiв iз пiдвищеним ступенем ри-

зику. Якщо в менше одинищ, то р1вень ризику цього активу вщносно низь-кий. Якщо в менше нуля, тод1 в середньому змша цши цього активу буде протилежною змш1 цши на ринку. Описан модел1 портфельно! теорн перед-бачають зб1р статистично! шформацн про стан кредитного та фондового рин-юв, що робить !х досить вартюними в практичнш реал1зацн в Укра!ш через недостатню розвинешсть цих ринюв.

Марковщ при формулюванш задач1 портфельно! оптим1зацп припустив, що дохщшсть цшних папер1в шдпорядковуеться нормальному закону розподшу. Для задано! сукупност актив1в наб1р портфел1в, як забезпечують мш1мальний ризик за задано! дохщност1, формуе границю ефективность Так портфел1 можуть бути знайдеш з допомогою квадратичного програмування. При цьому припускають, що з ростом дохщност зростае { ризик, що не зав-жди вщповщае дшсность Проте, е цша низка невиршених проблем, як зни-жують яюсть результат1в портфельно! оптим1зацн, зокрема:

1. Неточна або неправильна штерпретащя показника "терпимост (неприязни швестора до ризику". Наприклад, у робот [5] для цього використо-вуеться абстрактний коефщент 2.46, який характеризуе "середнього ш-вестора США", що ставить тд сумтв адекваттсть результат, отрима-них за даними фондових риншв шших кра!н.

2. Недостатня точтсть найпростших моделей внаслщок того, що в них не враховуються фундаментальт фактори { обмеження макро- I мшросере-довища, яш прямо I опосередковано впливають на ризик { дохщтсть, а також не враховуеться л1квщтстъ цшних папер1в.

3. Значна трудомютюсть розв'язування складтших оптим1зацшних задач через !х велику розм1ртсть, яка зумовлюеться як додатковими обмежен-нями, так { розглядом велико! юлькосп цшних папер1в. Розв'язання таких задач потребуе розроблення спещальних алгоритм1в з елементами штучного штелекту { значних часових витрат, незважаючи на викорис-тання сучасних шформащйних технологш, а в деяких випадках знайти розв'язок неможливо. Наприклад, методи Монте-Карло не дасть змогу отримати розв'язок у режим1 реального часу через потребу оброблення великих об'ем1в випадкових даних [3].

4. Вщсуттсть методик "вщстовання" актив1в, однозначно непривабливих для банку. В певних досл1дженнях використовували пакети з 6 або 9 цшних папер1в [6], проте на практищ швестор мае справу з декшькома сотнями. Модел^ як забезпечують розподш I диверсифшащю ризику, вияв-ляються непридатними для анал1зу великих портфел1в, оскшьки отрима-т внаслщок частки конкретних актив1в { е дуже малими. Сформувати та-ку структуру портфеля на практищ практично неможливо через установлен! регулятором нормативи та обмеження щодо кредитно! д1яльност1.

У бшьшост вщомих моделей портфельно! оптим1зацн вихщними даними виступають дохщносп актив1в. Ризик, зазвичай, вважають функщею до-хщност1, причому види ще! функцн можуть бути р1зними. 1ншим факторам в цих моделях не знаходиться мюця, через високу складшсть та велику розм1р-шсть таких задач. Бажання отримати найбшьш прибутковий портфель завжди вступае в суперечнють з бажанням забезпечити вкладення з найменшим ризи-ком. Очевидно, що ризик портфеля зростае !з збшьшенням заплановано! до-

ходносл або ефективносп. Банк повинен турбуватись про характеристики портфеля загалом, а не про деяк окремi його компоненти чи окремi активи.

Вперше модель двохкритерiального портфеля з критерiями дохщносп i ризику запропонував Г. Марковщ у 1951 р. Основна щея ще! моделi поляга-ла в тому, оптимальна швестицшна стратегiя повинна передбачати диверси-фiкацiю портфеля, диверсифжащю активiв, тобто такий портфель повинен мютити невелику кiлькiсть рiзних фшансових активiв iз широкого набору. Модель Марковща оптимального портфеля полягае в такому. Нехай covij -коефщент коварiацil дохiдностi /-го та j-го активу. Потрiбно знайти частки (ваги) (х],..., хп) капiталу, вкладеного в n можливих iнструментiв i таких, що мiнiмiзують варiацiю Var портфеля:

N N

Var = XX cov j XjXj ^ min (1)

i=1 j=1

за умови, що забезпечуеться задане значення М очжувано! дохiдностi - зва-жено! середньо! величини можливих доходiв, де роль ваг вщ^рають частки активiв в загальнiй вартостi портфеля

N

X yjXj = M, (2)

j=1

де yj - очiкувана дохщшсть j-го активу. Частки всiх шструменив в портфелi повиннi в сумi дорiвнювати одиницi:

N

X Xj = 1. (3)

j=1

З використанням множниюв Лагранжа отримана задача допускае ана-лгтичний розв'язок. Вадою тако! моделi е велика кiлькiсть коефiцiентiв кова-рiацil Vij, якi досить важко обчислити.

Деколи в отриману модель добавляють безризиковий актив х0 з дохщ-шстю к0. Отримана модель Тобша-Лгтнера

NN N N

XX covijXiXj ^ min, X yjXj = M , X Xj = 1 (4)

i=1 j=1 j=o j=0

також допускае простий аналгтичний розв'язок.

Деколи обмеження та цшьову функцil задачi (4) мшяють мiсцями:

NN N N

XX covij XiXj = м X yjXj ^ max X Xj = 1. (5)

i=1 j=1 j=1 j=1

Проте на практищ часто використовують двокритерiальну модель:

NN N N

XX covij XiXj ^ min X yjXj ^ max X Xj = 1 (6)

i=1 j=1 j=1 j=1

Розглянемо випадок суто кредитного портфеля, коли в ролi активiв виступають лише надаш позичальникам кредити. Нехай потрiбно сформува-ти кредитний портфель на основi поданих позичальником кредитних заявок i=1,..., N об'емом V1,...,VN грошових одиниць. Припустимо, що загальна сума

кредитних ресурЫв банку становить V, тодi ваговий коефщент кожно! пози-ки (wi) визначають за формулою: xi = Vi /V. Позначимо ni - бiнарну змшну, що вщображае рiшення банку про надання позики, тобто. щ = 1, якщо пози-чальнику i надано позику i щ = 0 якщо вщмовлено. Оскiльки сума наданих банком позик не повинна перевищувати загальний об'ем кредитних ресуршв

N N

банку, тодi ми можемо записати: £ Vini < V ^ £ xini < 1.

i=i i=i

Позначимо yi - дохiднiсть по позицi i i a2i - дисперсiя дохщност по позицi i. Припустимо також, що коефщент кореляцп мiж двома довшьними дохiдностями i та j однаковий для усiх позик i позначимо його р. Тодi задача двохкритерiальноl оптимiзацil кредитного портфеля з врахуванням обмежен-ня на цшочисельшсть змшно!, що характеризуе прийняття ршення про вида-чу позики, може бути сформульована таким чином:

N N

L = £j}n}x} + 2 £ ((jiajp)(nixl)(njxj) ^ min (7)

i =1 i >j, j=1

N

£ ynxi ^ max (8)

i=1

N

£ xn < 1 (9)

i=1

ni e {0, 1}, i = 1,...,N (10)

Внаслiдок ми одержали задачу (7-10) мiнiмiзацil дисперси дохiдностi L за наявност обмеження на мшмальну дохiднiсть кредитного портфеля. Дохiднiсть портфеля розраховують як суму дохiдностей окремих позик yi, зважених зi врахуванням вагових коефщенлв xi та бшарних iндикаторiв надання позики ni. Бiнарнi змiннi ni е шуканими змiнними моделi.

Треба мати на уваз^ що тд час формування обмежень задачi (7-10) потрiбно враховувати чиннi нормативи НБУ [7] щодо максимального розмiру кредитного ризику на одного позичальника, який не повинен перевищувати 25 % та нормативу "великих" кредиив, який не повинен перевищувати 8-кратного розмiру капiталу банку.

Пщ час моделювання банкiвського портфеля здебшьшого в ролi акти-вiв виступають кредити, а не цiннi папери. Це можна пояснити тим, що ана-лiз кредитного портфеля дещо вiдрiзняеться вiд аналiзу портфеля щнних па-перiв. Аналiз властивостей кредитного портфеля та !х порiвняння з портфелем цiнних паперiв дае змогу видшити два найбiльш важливих фактори, якi визначають вiдмiнностi в управлшш ними. Насамперед, банкiвськi позики не мають визначено! ринково! щни, на вiдмiну вiд цiнних паперiв, а, по-друге, iнвестор, тобто банк, не може придбати позики в наперед визначеному розмь рь Розмiр позики визначаеться позичальником у кредитнш заявцi, виходячи iз потреби в кредитних ресурсах, i через це ршення керiвництва банку спро-щуеться до визначення ставки дохiдностi по позищ i мае бiнарний характер: видати позику даного розмiру чи ш.

На практищ виникае проблема знаходження таких методiв оптимiза-цй, якi б дали змогу розв'язати задачу формування портфеля в рiзних постановках. Одним з таких методiв е метод еволюцшного програмування, а саме генетичний алгоритм, який використовують для пошуку глобального екстре-муму функцй багатьох змшних. У 1996 р. Л. Дж.Фогель, А. Дж. Оуенс, М. Дж. Волш запропонували та дослщили еволющю простих автоматв, якi передбачають символи в цифрових послщовностях. У 1975 р. Д.Х. Холланд запропонував схему генетичного алгоритму. Щ роботи лягли в основу таких еволюцшних алгорштв. Простий генетичний алгоритм вперше описав Голь-берг на основi робiт Холланда.

Генетичний алгоритм - це метод оптимiзацil, який заснований на кон-цепщях природного вiдбору та генетики. У цьому тдхода змiннi, що характеризуют розв'язок, представленi у виглядi генiв у хромосомi. Генетичний алгоритм, оперуючи скшченною кiлькiстю розв'язюв (популяцiею), генеруе но-вi розв'язки у виглядi рiзних комбiнацiй частин розв'язюв ще! популяцй. З щ-ею метою використовують такi оператори, як вiдбiр, рекомбiнацiю (кросин-говер) та мутащю. Новi розв'язки розмщуються у популяцй вiдповiдно до !х-нiх положень на поверхнi дослщжувано! функцй.

Очевидно, що незважаючи на складшсть реалiзацil багатокритерiаль-них моделей оптимiзацil кредитного портфеля, такi задачi е практичнiшими.

Висновки. Використовуючи основш постулати портфельно! теорй Марковiца, основним iз яких е припущення про юнування нормального роз-подiлу дохщносп портфеля, можна побудувати двохкритерiальнi моделi (5) та (7-10) оптимiзацil кредитного портфеля, яка здебшьшого реалiзовуеться з допомогою методiв еволюцiйного програмування, а саме генетичного алгоритму, який використовують для пошуку глобального екстремуму функцй багатьох змшних. Особливютю оптимiзацil кредитного портфеля е насампе-ред той факт, що банювсью позики не мають визначено! ринково! цши, на вiдмiну вiд цiнних паперiв, а, по-друге, iнвестор, тобто банк, не може придба-ти позики в наперед визначеному розмiрi. Можна видшити такi вади пор-тфельно! оптимiзацil згiдно з теорiею Марковща:

1. Необгрунтовашсть припущення про нормальний розподiл дохiднос-тi. Розподiл дохщносп активiв мае бiльшу ймовiрнiсть екстремальних зна-чень, нiж це характерно для нормального розподшу. Це означае, що для пов-ного опису поведшки портфеля мають бути розглянут моменти розподшу вищих порядюв, шж математичне сподiвання i дисперсiя.

2. Складшсть розв'язування задачi Марковiца у разi долучення до не! цшочисельних обмежень кiлькостi активiв в портфел^ кiлькостi угод, обме-жень часток конкретних активiв та iнших. Щ обмеження дають змогу точнi-ше змоделювати процес формування оптимального портфеля, але !х облiк веде до зростання розмiрностi оптимiзацiйноl задачг

Л1тература

1. Dembo, R., 1999, "Optimal portfolio replication," Research Paper Series 95-01, Algorith-mics Inc. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.springerlink.com/content/v7325q 22781153h1.

2. Helmut Mausser, Dan Rosen "Applying Scenario Optimization to Portfolio Credit Risk" The journal of risk finance. 2001. - № 2. - PP. 36-48. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.algorithmics.com/EN/media/pdfs/arq-scenopt.pdf

3. Grishina E.N. On One Method of Portfolio Optimization With Fuzzy Random Data // International Conference on Fuzzy Sets and Soft Computing in Economics and Finance (FSSCEF 2004): Proceedings. - Saint-Petersburg, 2004. - Vol. 2. - PP. 493-498.

4. Франгулова Е.В. Оптимизация портфеля ценных бумаг "Математика. Компьютер. Образование". C6. трудов XV международной конференции / под общ. ред. Г.Ю. Ризниченко Ижевск: Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика", 2008. Том 1, 302 стр. Стр. 261-266. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.mce. awse.ru/archive /doc21911 /doc.pdf

5. Pavlo Krokhmal, Stanislav Uryasev / Portfolio optimization with conditional value-at-risk objective and constraints / Volume 4 / Number 2, Winter 2001 /02. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.paper.ijcsns.org /07_book /200601 /200601A28.pdf

6. Wei-Guo Zhang1, Wei CHEN1, Ying-Luo Wang / The Adaptive Genetic Algorithms for Portfolio Selection International Journal of Computer Science and Network Security. - Vol. 6 No.1, January 2006. - PP. 198-200. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.paper.ijcsns.org /07_book/200601/200601A28.pdf

7. Методичш рекомендацп щодо оргашзацп та функцюнування систем ризик-менед-жменту в банках Украши. Постанова Правлшня Нацюнального банку Украши 02.08.2004 № 361. [Електронний ресурс]. - Доступний з http://www.bank.gov.ua/Bank_supervision/Risks/ 361.pdf _

УДК 004.451(86) Магктрант С.В. Цубера;

доц. Ю.1. Грицюк, д-р техн. наук - НЛТУ Украши, м. nbsis

ЧИСЛА Ф1БОНАЧЧ1 В АЛГОРИТМАХ ШИФРУВАННЯ ЧИСЛОВО1 1НФОРМАЩ1

Розглянуто алгоритм матричного шифрування/дешифрування числово! шфор-мацп з використанням Qjy-матриць, значеннями елемештв яко'1 е числа Фiбоначчi, виявлено основш його переваги i недолши. Проаналiзовано алгоритм шифрування RSA, на конкретному прикладi наведено основш його можливосп. Показано склад-шсть алгоритму, яка полягае у робот! з великими числами, а також в трудомюткосп процесу знаходження ключiв шифрування/дешифрування.

Undergraduate S.V. Tsubera; assoc. prof. Yu.I. Gryciuk -

NUFWTof Ukraine, L'viv

Fibonacci numbered in the algorithm encryption numeric information

The algorithm of the matrix enciphering /decoding of numerical information is considered with the use of Qp-matrices, the values of elements of which are numbers Fibonacci, found out his basic advantages and failings. The algorithm of enciphering of RSA is analysed, on a concrete example his basic possibilities are resulted. Complication of algorithm, which consists in work with large numbers, is rotined, and also in labour intensive-ness of process of finding of the keys of enciphering /decoding.

Вступ. Проблема шформацшно! безпеки завжди хвилювала суспшь-ство. Саме тому перш1 алгоритми шифрування шформацн були розроблеш ще у давш часи. Прикладом тому е алгоритм кодування /декодування Цезаря [3], що використовувався у Давньому Рим1, а його модифжацн ще дос засто-совуються для захисту шформацшних систем.

Рашше питанню шформащйно! безпеки придшяло увагу пор1вняно не-велике коло споживач1в. Це було важливо для державних д1яч1в, вшськових, розвщниюв, але мало стосувалося окремо взято! людини.