Задача теплопроводности для тонкой пластины с контрастными стержневыми включениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

ЗАДАЧА ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ДЛЯ ТОНКОЙ ПЛАСТИНЫ С КОНТРАСТНЫМИ СТЕРЖНЕВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ*

С. А. Назаров1, Г. Х. Свирс2, А. С. Слуцкий3

1. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

2. Sweers Guido — Delft Institute of Applied Mathematics (Netherlands),

Mathematisches Institut der Universitat zu Koln (Germany), professor, [email protected]

3. Институт проблем машиноведения РАН,

д-р физ.-мат. наук, ведущий научный сотрудник, [email protected]

Построена и обоснована асимптотика решения стационарной задачи теплопроводности в композитной пластине малой относительной толщины h, имеющей несколько периодических семейств близко расположенных, но разъединенных стержней. Стержни каждого семейства сделаны из одного материала и коэффициенты теплопроводности материалов всех стержней имеют одинаковый порядка, а коэффициент теплопроводности наполнителя на один порядок по h меньше.

Зависимость дифференциальных операторов или области, на которой поставлена краевая задача, от малого параметра подразумевает использование асимптотических методов. Общие принципы асимптотического анализа изложены, например, в монографиях [1, 2, 3], однако, для конкретных сингулярно возмущенных задач, имеющих специфические особенности, возникают свои, упрощенные, приемы конструирования асимптотических разложений. К таковым относится и рассматриваемая задача теплопроводности в тонкой, с относительной толщиной h ^ 1, пластине, пронизанной периодическими семействами разъединенных стержней с коэффициентами теплопроводности в h-1 раз большими коэффициента пластины. С одной стороны, двойное вхождение малого параметра в задачу требует модификации стандартных методов изучения асимптотики решений эллиптических краевых задач в тонких областях (см., например, [4, 5], а также [1, гл. 14] и [6]), но, с другой стороны, позволило сформировать устойчивое мнемоническое правило построения осредненной задачи: обыкновенные дифференциальные уравнения, описывающие асимптотику решения задачи теплопроводности для одиночного представителя каждого из семейств стержней, суммируются при учете направлений осей стержней, а решение полученного двумерного уравнения в частных производных после проверки эллиптичности (оси стержней по крайней мере из двух семейств должны образовывать скрещивающиеся прямые) объявляется главным асимптотическим приближением решения исходной трехмерной задачи. Это правило относится к научному фольклору и точных ссылок на первоисточник нет. Авторы статьи, задавшись целью строгого обоснования упрощенного подхода, обнаружили, что для рассматриваемой задачи теплопроводности (скалярной) намеченный путь приводит к правильному ответу, и конце работы установлена теорема 1, предоставляющая

* Работа выполнена при финансовой поддержке Нидерландской организации по научным исследованиям (the Netherlands Organisation for Scientific Research, NWO) и РФФИ (код совместного проекта 047.017.020, 05-01-89000-НВО_а).

© С.А.Назаров, Г.Х.Свирс, А.С.Слуцкий, 2009

Рис. 1. Композитная пластина.

асимптотически точные оценки погрешностей моделирования пространственной задачи. Вместе с тем, в последующих публикациях будет показано, что для (векторной) задачи теории упругости о деформации тонкой упругой пластины, подкрепленной периодическими семействами жестких стержней, указанное правило дает ошибочный результат.

В данной работе изучается стационарная задача теплопроводности в композитной пластине малой относительной толщины Н в том случае, когда материалы самой пластины и стержневых включений имеют сильно различающиеся теплопроводности. В пластине расположены несколько периодических семейств стержней, причем диаметры стержней и расстояния между стержнями как из одного, так и из разных семейств имеют тот же порядок Н, что и толщина пластины (рис. 1). Стержни каждого семейства сделаны из одного материала, материалы всех семейств стержней имеют коэффициенты теплопроводности одинакового порядка, а коэффициент теплопроводности наполнителя на один порядок по Н меньше. Основная цель — осреднение задачи теплопроводности, т. е. вывод двумерного дифференциального уравнения для старшего асимптотического члена решения трехмерной задачи.

Опишем геометрию более подробно. Пусть ш — область на плоскости, ограниченная простым гладким замкнутым контуром дш, а тонкая цилиндрическая пластина имеет вид

Пк = {(у,г) : у =(У1,У2) € ш, г € (-Н/2, Н/2)}, (1)

где х = (у, г) = (у1,у2,г) —декартова система координат. Масштабированием сведем характерный размер области ш к единичному, сделав параметр Н и координаты безразмерными.

В пластине Пк ведем слои

^ = {(у,г) : у =(У1,У2) € Ш г € 3 € I :=0,

причем я- = -Н/2 и = Н/2. С каждым слоем свяжем свою систему координат хХ = (у3, г3). При этом оси у* и г3 расположены в срединной плоскости {х : 2 = (я- + я+)/2} слоя Б3к, а ось у3 перпендикулярна этой плоскости. Предположим, что ось г0 параллельна оси у1, а оси г3 при 3 > 0 составляют с ней углы а*. Переход от

системы х к системе х3 осуществляется при помощи ортогонального преобразования

/ 0 0 1 \

= dj (x -

в3 =

sin aj

cos aj

(2)

j

0

x

x

У cos a.j — sin a.j 0 у

(j)

причем x = x — точка на оси стержня G^’ .

В каждом слое определим периодические семейства } тонких стержней Gh’k, j G J, k G Z := {0, ±1, ±2,...}. Для этого введем расположенные на равном расстоянии hsj друг от друга оси Ajk, j G J, k G Z, стержней Qj’k,

Ajk = {(yj, zj) : yj =0, yj = hksj, z G R},

и множества

= |(у3', г3) : (Н-1у], Н-1{у3' — Н&в3-}) € ш3, г3 € м| , & € Z.

Здесь ш3 —область на плоскости, ё1аш ш3 < шт {|я+ — я-)|/2, в3-} и дш3 —простой

гладкий замкнутый контур. Положим ^к’* = ^к’к П Пк и

№ = и^,к> ад = ^\иад

кЕ% 3=1

Коэффициент теплопроводности стержней 3 обозначим К3. У наполнителя, занимающего объем 0(Н), коэффициент равен Нко, причем величины К3 и ко сравнимы по порядку.

Стационарное распределение температуры Т определяется из уравнений

— К3ДЖТ3(х) = /(у), х € 3, —НкоДжТ0(х)= /(у), х € 0(Н), (3)

где Т3’к и Т0 — сужения функции Т на множества ^к’к и 0(Н) соответственно. На боковой поверхности Гк пластины Пк выполнено краевое условие Дирихле (поддерживается постоянная температура)

Т(х) =0, х € Гк = дш х (—Н/2, Н/2), (4)

а на основаниях = {(у, г) : у € ш, г = ±Н/2} —условия Неймана

дТ

±Ья0 — {х) = 1гд±(у), х € £±. (5)

дг

Здесь / — производительность источников тепла, распределенных по объему композитной пластины, а д± —величина внешнего теплового потока. На поверхностях д^3 (Н) П П(Н) с внешней нормалью V3 назначим условия идеального теплового контакта

дТ 3’к дТ 0

Т3’к(х)=Т°(х), х.——{х)=кх Од-(х), х(=дд*(к)ппн. (6)

Рис. 2.

Пусть по крайней мере у двух семейств {Ск} оси стержней образуют скрещивающиеся прямые, т. е. а3^ = 0 при каком-то 3* > 0. Предположим также, что пластина имеет периодическую структуру, а значит, возможно выбрать общую ячейку периодичности с размерами О(Н). Сформулируем соответствующие геометрические ограничения. Введем множество 11 таких чисел 3 € 1 и 3 = 3*, что а3- = 0, а3- = п, а также множество 12 таких чисел 3 =0,1, . .., J — 1, что а3- = ±п/2. Пусть £1 = |(я1п а3< )-1в3* |, £2 = в3' и £3 = |(в1па3-)-1в3'| при 3 € 11, £3 = |(сояа3-)-1в3'| при 3 € 12. Потребуем, чтобы

все числа £3/£*, где * = 1, 2, 3 € 1*, оказались простыми дробями т3г)/п3г). Опре-

(3)

делим ячейку ^к, обозначив через Р* наименьшее общее кратное чисел т* , 3 € 1*. Именно, срединную плоскость пластины Пк покроем сеткой прямоугольников размером Н61 х 62Н, где 6* = Р*£*, и построим параллелепипеды ^к размером Н61 х Н62 х Н, семейство которых покрывает всю пластину Пк. Каждый из параллелепипедов содержит равные и одинаково расположенные части стержней Ск*. При этом некоторые семейства могут быть представлены в ячейке периодичности ^к лишь разрозненными и несоразмерными фрагментами различных стержней, другие, напротив, несколькими экземплярами конгруэнтных отрезков стержней (ячейка периодичности на рис. 2 содержит два неравных фрагмента стержней из системы Ск и четыре конгруэнтных фрагмента разных стержней системы Ск). Во многих случаях, при небольшом числе J направлений стержней в пластине, проверка условий периодичности элементарна. Наряду с ^к определим «растянутую» в Н-1 ^раз ячейку Р с размерами 61 х 62 х 1, а через О3к обозначим растянутые множества .

Следуя известному алгоритму построения асимптотики решения эллиптических задач в тонких областях (см., например, [6, гл. 1] и [4]), введем «быстрые» переменные, соответствующие тем направлениям, в которых пластина и стержни имеют малые протяженности. В тонкой пластине П(Н) используется «быстрая» переменная С, а в стержнях— «быстрые» переменные п3 = (п3, п3) = (Н-1у3,Н-1у3). Дополнительно введем растянутые координаты, отвечающие периодической структуре:

С =(п, 0, П =(П1,П2) = Н-1(у1,у2); С3 = (п3, С3), С3 = Н-1г3.

При замене х ^ С пересечение С3 (Н) П £к(а) переводится во множество О3, состоящее из нескольких областей, части границ которых расположены попарно-симметрично на боковых сторонах параллелепипеда р.

Пусть = (г3 : (у3, г3) Є 0д’к}. В качестве главных частей асимптотики решения задачи (3)—(6) примем функции

й х Ц э {у, О ^ Е%, О, Нк х&Э (г3, £3) ^ ?),

удовлетворяющие условиям ^-периодичности: параллельные боковые грани параллелепипеда <3 отождествляются, и на отождествленных участках границ множеств Є3 и в = Р\и/=1^ выставляются условия непрерывности функций и их первых производных-

Запишем исходную задачу в быстрых переменных. Действуя на функции, зависящие от переменных двух типов, оператор из левой части первого уравнения (3) допускает расщепление

-щАх-------+ 2/гГ1 — — + — -Ь Ъ° 9 Л. (7)

3 5 д$ду>2 д^дгз д(у3)2 д(гз)2)

При Н ^ +0 условия сопряжения (6) распадается на краевые условия Дирихле и Неймана, причем первое остается на внутренней границе ячейки 8, а второе — на боковых поверхностях стержней О3 - Поэтому на стержне примем стандартный асимптотический анзац для решения задачи Неймана. Учитывая формулу (7), компенсируем величину /(ж) на стержнях при помощи ^-периодического члена Н2^д(г3, £••), а условие разрешимости задачи для ЭДД обеспечим выбором старшего члена Н°РД, зависящего лишь от «медленной» переменной -

На области 0(Н) асимптотический анзац состоит из ^-периодических функций, зависящих от переменных у и £. Оператор в левой части второго уравнения (3) допускает аналогичное (7) расщепление. Таким образом, при учете условий сопряжения (6) ищем старший асимптотический член в виде Н°У(у). В результате анзац выглядит так:

V(у) + иі(у,£)+ ^Аи3(у,о)+ Н2^2(у,Є) + ..., ж Є 0(Н). (8)

V 3=1 /

Здесь Ад —постоянные, подлежащие определению, Ц и Ц — ^-периодические функции, а и3 — ^-периодические решения вспомогательных смешанных краевых задач

дЦ 3

-я0^иЦу,О= 0, £є8; ±х0 —(у,Є) = 0, £ Є £± П <3;

(у,Є) = 1, Є Є дО•.

Для определения асимптотики на стержнях произведем замену ^ £• и представим оператор во втором условии сопряжения (6) в виде

д , -1 ( і д • д \

Хі т;—г ~ /г х,- гл —---Ь щ —— +

3 сМ 3\1дщ 2 дт )

+ 1г° := + /г°п3 ■ У уз, (10)

где п3 = ^3 —первые две компоненты вектора V3 = (V3, ^, 0) внешней нормали на 5С3’к П Пк.

48

Выведем задачи для нахождения ^-периодических функций ЭДД и Ці в анзаце (8) на 0(Н) ив следующем асимптотическом анзаце на стержнях 0Д,к:

ду

У(у$, 2Р) - /^Д — (уД, гі) + Н1АІ + Ь2^-(уД, ^ ?) + ■■■ (И)

ду23

Зафиксируем медленную переменную уд = Рд на оси стержня . Пользуясь формулами (2) и (7), (10), запишем функцию V, первое уравнение (3) и условие сопряжения (6) в координатах жд, применим к функции формулу Тейлора относительно переменной уД в окрестности точки Рд и учтем растяжение координат жд ^ . Приравнивая члены

при одинаковых степенях Н, получаем задачу

где

- к Д5, ЮД (уД, гд ,£д) = Д (уД, гд ,£д), £Д Є ОД,

кдпдУ,, ЮД (уД, гд, £д) = Ед (уД, , £д) + Ьд (0Д (у, 0)), £д Є дОД,

д2V д2V

%№,*,?):=/(Р (у,0))+ъ-^(Р(у,0))-(0Д(у,О)),

• . . •• д^ • ...

,-(уД,гД,£Д) = ЪгАг&—— (0Д(у,О)) + хопД • У„^1(0*(у,О),0*О +

д(у2)2

:дV

(12)

+ (??Д —(^(у,0))), (13)

Ьд (0Д (у, 0)) = к° ^ А* У пд • У,, Ц' (^Д (у, 0),Є)

®~1 дО3

Последние члены в правых частях формул (13) для Г3 и Ед появились как раз из-за применения формулы Тейлора. Задача для функции и выглядит так:

-ксД5и1(у,е)= /(у), С € 8;

ди 3 дУ • (14)

±^о^г(у,£) = <7±Ы, ?е5]±пд; ЕМу,£) = -??Д —ы, £е<9Сд. д(, ду2

Смешанная краевая задача (14) однозначно разрешима в классе ^-периодических функций, однако задача Неймана вида (12)

- к Д,- и = Г3, С € С3, к п3 У^ и = £3, С € дС3, имеет решение в классе ^-периодических функций лишь тогда, когда

I(Г, £3):=! Г(СМС + | £3 (С)^ = 0.

03' дО3

Для выполнения условий разрешимости I^3, Е3) = 0 задачи (12) используем решения и3 задач (9). При помощи формулы Грина находим

к0 У п3 • и^ = к0 ! и3п3 • Уп, и^ =

дО3 д(03

= ко ^ уи4 • уи3^С =: М<3.

Б

Матрица М = (М 43) размером J х J — матрица Г рама, найденная при помощи скалярного произведения Дирихле по функциям и1,..., и/. Она симметрична и имеет ранг J — 1, так как и1 +... + и/ = 1, но решения и1,..., и/-1 линейно независимы. Условие разрешимости задачи (14) равносильно системе алгебраических уравнений

коМА = I,

где А = (А1,..., А/) и I = (I (11, Е1),...,1 (1/, Е/)). Согласно упомянутым свойствам матрицы Грама возникает условие разрешимости системы

Е • I = 0, (15)

причем Е = (1,1,..., 1), а точкой обозначено скалярное произведение в М/. В силу формулы Остроградского—Гаусса имеем

Г д2У Г 3 3 д2У Г / д дУ

У ад5(!,),1£“ У = • / ”•

О3 дО3 дО3

Кроме того,

^ У коп3Уп3и1(У,С)^ = у ЯуЖ + 6162(<?+ (у) + ?-(У)). (16)

3=1дС3' Б

Следовательно,

/ / д2у

Е ■ I = 53/(£,., ез) = Ь1Ь2/(у) + 53 |С3|хз—^(у) + 6162(</+(у) + <7_Ы), (17)

3=1 3=1 ( )

где |Н| —объем множества Н. Подчеркнем, что член 6162/(у) сформирован из слагаемых в (16) и (13). Применив (17), равенство (15) превращаем в (осредненное) дифференциальное уравнение

^ д2 у

~531СДкзЭ(гз)2^) = ь1&2(/(у) + 9+Ы + 9-Ы)- (18)

В соответствии с краевыми условиями Дирихле (4) будем считать, что

у (у) = 0, у € дш. (19)

Оператор из левой части уравнения (18) является эллиптическим в силу введенного ранее предположения о том, что угол между осями по крайней мере двух семейств стержней отличен от нуля. Следовательно, задача (18), (19) имеет решение У из пространства Соболева Н2(ш), и выполнена оценка

||У; Н2(ш)Ц < С(II/; Ь2М|| + |к+; ^НН + II?-; .Ыш)||) =: СЕ. (20)

Наконец, функция и2, добавленная к асимптотическому анзацу (8) для выполнения

первого условия сопряжения (6), является ^-периодическим решением задачи

— коД5 и2(у, С) = 2коУп • У„ ( и1(у, С) + 53 А и3 (у, С)) + коДу У (у), С € 8,

3=1 (21)

ди

^о^(у,£) = о, £е£±пд; и2(у,£) = -№з(у,£), £едс3.

Итак, асимптотика решения задачи (3)—(6) определяется анзацем Т, заданным на стержнях 3 формулой (11), а на множестве ©(Н) —формулой (8). Старший член У (у) анзаца Т находится из осредненной задачи (18), (19).

Приступим к обоснованию асимптотики. Глобальное асимптотическое приближение к решению трехмерной задачи ищем в виде

Тх (Н,х) = Хк(у)Т (Н,у,С), (22)

где Хк — срезающая функция; Хк € С“(ш); Хк(у) = 1 при &Б^у, дш) > 2Н/3, Хк(у) = 0 при &Б^у, дш) < Н/3 и |У^Хк(у) | < екН-к, к = 0,1, 2.

Из соотношения (20) и вариантов неравенства Харди

11^; ^2(Тк)Н2 < еН||^; Н 1(ш)Н2, W € Н 1(ш),

(23)

IV;Ь2(Тк)Н2 < еН2|^;Н 1(ш)Н2, V € Н 1(ш),

вытекает оценка

НТ — Тх; Н 1(П(^))Н < СЕН1/2. (24)

Здесь Тк := вирр(1 —Хк) и Н 1(ш) — подпространство функций из Н 1(ш), обращающихся в нуль на границе дш.

Теорема 1. Решение Т задачи (3)-(6) и его асимптотическое приближение Т связаны формулой

НТ — Т; Н 1(П(^))Н < СЕН1/2,

в которой множитель С не зависит от параметра Н € (0,1] и правых частей соотношений (3) и (5), а Е —сумма норм из (20).

Доказательство. Подставим функцию (22) в исходную задачу (3)-(6). Согласно (14) и (21) невязки в правых частях (3) и (5) на множестве 0(Н) равны, соответственно,

— Нко[Дж,Хк]Т + коН2(2Уу • Упи2 + Ду(и1 + и1) + НДуи2)

^Н1ко ([д/дг, Хк]Т — Н2ди2/д^) ,

где [А, В] = АВ — ВА —коммутатор операторов А и В. В силу (13) при подстановке анзаца (22) на стержне в первом уравнении (3) остается невязка вида

д2 д2

— хЛДж,Хк1Т + Ж^Ъ1 --------:---г Н----:---г ]¥.] —

\д{у№32 д{уЖ1)

и ( д2 д2 \ 3 дУ 2 ( д2 д2 \

— щЪ, I -----:- -7——тт I 7]п-----~ Ж^ I ----:- -|- —-—^-;г ) .

\дШ д(г3)2) ду>2 3 \д(у32)2 д(гз)2) 0

Невязки в левой части второго условия сопряжения (6) (на границах стержней)

и в правой части этого условия (на границе области 0(Н)) согласно (13) равны к3 [д/дv3, Хк]Т + к3Ноп • Уу^3 и

Нко[д/дv3,Хк]Т + коН2(п • Упи2 + п • У у(и1 + ^))+

+ коН3п • Ууи + коН1п • Упи1, (25)

где и1(у, С) = А3и3(у, С). Разность ' = Т — Тх удовлетворяет уравнениям

3=1

НкоД'(х) = /(у) — Ди_х(х), х € 0(Н),

К3Д'(х) = /(у) — Дих(х), х € (Н).

Умножим уравнения (3) на ' и проинтегрируем по частям. Принимая во внимание формулы для невязок и преобразуя при помощи интегрирования по частям член, содержащий последние слагаемые из (25), приходим к равенствам

Нко(Уж'^ Уж')0(к) = ^х + £х + Мх + -1© + + КС^ (26)

К3 (Уж', Уж^)е3 (к) = /х + /д + Кх + Лд, (27)

где (•, •)н —скалярное произведение в пространстве Лебега £2(2). Поясним остальные обозначения. В интегралах /х собраны члены, содержащие коммутаторы дифференциальных операторов и срезающей функции Х3

/х = — (к3 [Дж,Хк]Т, 'Щд, (к) , ^х = Н(ко[Дж,Хк]Т, '^(к) ,

Кх = К3([д/д^- ,Хк]Т, ')дд3 (к) ,

£х = ко ([д/дv3,Хз]Т, ')дд3(к), Мх = Тко ([д/дг,Хз]Т, ')Е± . Слагаемые /д и Jg содержат интегралы по стержням ^к* и их границам д^к*:

^11 д2 д2 \ / д2 д2 \ 3 дУ

* - -*>н ([ЩЩ + ЩЩ - (Щ? + ) ,,3^+

I /.■ ( ) 1Г. /? )

«м*; ’• )0Цк)

и

Зд = Н к3 (п • Уу^3, ')дд3 (к) .

Слагаемые /©, 7±, —интегралы по области 0(Н) и частям Xх, д^к* ее границы:

/© = Н2ко ^ (2Уу • Упи2 + Ду (и 1 + и1) + НДуи2, ')©(к) +

+ (Ужи1 + НУжU2, Уж')©(к^ ,

= ±Н3ко (ди2/дг,')Е± , Кс = Н2ко (п • Ууиь ')дд3(к) .

Введем весовую норму

||| и;Н(Н) ||| := (Нр-1и; Ь2(2(Н))||2 + ||Уи; Ь2(~(Н))||2)1/2,

Рк(у) = шт{1, Н + dist(y, ш)}, и воспользуемся вытекающей из неравенств Фридрихса и Харди оценкой

Нр-1и; Ь2(Пз)Н < С|Уи; М^Ц, и € Н 1(^з). (28)

Поскольку на тонкой пограничной полоске Тз величина рз имеет порядок Н-1, в силу соотношения (23) имеем

|/х| < СН1/2Е ||| '; а3(Н)||| , |7х| < СН3/2Е ||| '; £3(Н) |||.

Аналогичные преобразования вместе со следовыми неравенствами (см. [6, предложение 1.2.8])

Н1/2Нрзи; ^2(гк п дз)Н < е||| и; П(Н) П дз|||,

Н1/2Нрзи;-Мг3 п дз)Н < е||| и;3 п дз|||,

где Гк С дП(Н) и Г3 С дС3’к, приводят к оценкам

|Кх| < СН1Е ||| ';ВД||| , |£х| < СН2Е ||| '; £3(Н)||| ,

|Мх| < СН2Е ||| '; П(Н)|||.

Ясно, что |/д| < СН1Е ||| '; д3(Н)||| и |/©| < СН2Е ||| ';П(Н)|||. При учете следовых неравенств имеем

|7±| < СН5/2Е ||| ';ВД|||, |7д| < СН3/2Е ||| '; £3(Н)|||,

|КС| < СН3/2Е ||| ';ВД|||.

Собирая приведенные соотношения, складывая формулы (26) и (27), а также обращаясь к весовому неравенству (28), приходим к оценке ||'; Н 1(П(Н))|| < СЕН1/2, из которой при учете соотношения (24) вытекает утверждение теоремы.

1. Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randw-ertaufgaben in singular gestOrten Gebieten. Berlin: Akademie-Verlag. Bd 1. 1991. Bd 2. 1991. — Eng. transl.: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Basel: Birkhauser Verlag. Vol. 1. 2000. Vol. 2. 2000.

2. Олейник О. А., Иосифьян Г. А., Шамаев А. С. Математические задачи теории сильно неоднородных упругих сред. М.: Изд-во МГУ, 1990.

3. Sanchez-Hubert J., Sanchez-Palencia E. Coques elastiques mines. Proprietes asymptotiques. Paris: Masson. 1997.

4. Назаров С. А. Структура решений эллиптических краевых задач в тонких областях // Вестник ЛГУ. Серия1. 1982. Вып. 2 (№7). С. 65-68.

5. Назаров С. А. Общая схема осреднения самосопряженных эллиптических систем в многомерных областях, в том числе тонких // Алгебра и анализ. 1995. Т. 7, №5. С. 1-92.

6. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2001.

Статья поступила в редакцию 14 апреля 2009 г.