CC BY
49
С. А. Назаров
АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННЫХ ЧИСЕЛ ЗАДАЧИ НЕЙМАНА ПРИ КОНЦЕНТРАЦИИ МАСС НА ТОНКОМ ТОРОИДАЛЬНОМ МНОЖЕСТВЕ*
Пусть Г — простой гладкий замкнутый контур на плоскости М2, в окрестности V которого введем естественные координаты (п, в), где в — длина дуги, п — ориентированное расстояние до Г, п > 0 вне области, охватываемой Г. Далее, несколько вольно, пишем в Є Г, имея в виду точку контура Г с координатой в, и множество
{х Є М3 : (хі, Х2) Є Г,хз = 0}
в пространстве обозначаем также Г. Пусть еще ш —ограниченная область на плоскости, и С М3 — окрестность множества Г, где определены криволинейные координаты (п, в, хз), и
Гє = {х єи : в Є Г,п = (є-1п, є-1х3) Є ш}. (1)
При этом є > 0 — малый параметр, т. е. Гє — тонкое «тороидальное» множество. Наконец, П —область в М3, содержащая контур Г, а значит, и множество (1) при малом
є Є (0, єо], єо > 0. Для простоты границы дП и дш считаем гладкими, а начало коорди-
нат п = 0 — лежащим внутри области ш С М2.
Целью работы является исследование асимптотических свойств спектра задачи Неймана с «концентрацией масс» на тонком множестве
Дхи(є, х) + А(є) (і + ає-тхє(х))и(є, х) = 0, х Є П, (2)
д„и(є,х)=0, х Є дП. (3)
Здесь Дх — оператор Лапласа, ди — производная вдоль внешней нормали к поверхности дП, т > 2 и а > 0 — постоянные, хє —характеристическая функция множества (1), на котором с плотностью ає-т и распределена дополнительная масса.
Асимптотический анализ задач о концентрированных массах был инициирован работой [1] и к настоящему моменту имеется огромное количество публикаций на эту тему (см. обзор [2]). Тем не менее распределение масс вдоль подмногообразий размерностью в Є (0, п) в области П С Мп по существу не рассматривалось — получены разрозненные результаты относительно сходимости нормированных собственных чисел (см. [2]). Общее свойство упомянутого класса задач — при т > 2 в качестве предельной выступает спектральная задача во всем пространстве Мп — дополняется известной (см., например, [3, 4]) особенностью задач с возмущениями подмногообразий Г меньших размерностей: на Г возникает некоторое вспомогательное уравнение, интегральное или дифференциальное. Это уравнение связывает предельные задачи на «сечениях» и играет центральную роль во всем алгорифме построения асимптотики. В частности, асимптотика собственных чисел задачи (2), (3)
0 = Ао < Аі (є) ^ А2(є) ^ ••• ^ А^(є) ^ ••• —— (4)
определяется спектрами указанных далее операторов на плоскости М2 и контуре Г.
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-257).
© С. А. Назаров, 2006
Для краевых условий Неймана аналогичное взаимодействие концентрированных масс обнаружено [5, 6] и в случае ! = 0, когда Ге —объединение конечного числа множеств диаметрами О(е), однако дополнительное уравнение оказывается алгебраическим и не привносит трудностей, характерных при ! > 0 даже в рамках формального асимптотического анализа.
В статье подробно рассматриваем наиболее содержательный случай т > 2. Сделаем обычную [1] замену спектрального параметра
Л(е) = ет-2 а-1 л(е) (5)
и перейдем к «быстрым» переменным п, указанным в формуле (1). Левая часть уравнения (2) в координатах (п, в) принимает вид
Дх + Л(е)(1 + ае-тх£(ж)) = е-2{д^ + л(е)Хш(п)}+е-1С(е,п, в, , д/дв) + а-1етл(е),
(6)
где Хш —характеристическая функция области ш С К2, а коэффициенты дифференциального выражения С остаются ограниченными при е ^ 0. Фигурные скобки в формуле (6) заключают старшую асимптотическую часть оператора из уравнения (2). В результате формального перехода к е = 0 получаем семейство предельных двумерных уравнений на плоскостях, перпендикулярных контуру Г,
Дпт(п) + ЦХш(п)т(п) =0, п € К2. (7)
Подчеркнем, что из-за растяжения координат граница дП удаляется на большое расстояние и краевое условие исчезает из предельной задачи, но параметр в € Г неявно присутствует в ней, так как собственная функция определена с точностью до множителя, зависящего от переменной в. Именно определение этого множителя 7(в) и составляет основную трудность.
Естественным функциональным пространством Н для вариационной постановки задачи (7) является пополнение линеала гладких функций с компактными носителями по норме
11т; Щ = (11уп т; Ь2(к2)||2 + 1К Ь2(ш)||2)1/2. (8)
Постоянные можно приблизить по норме (8) функциями с компактными носителями, т. е. 1 € Н. Вложение Н С ¿2(ш) компактно. При учете этих фактов доказательство следующего утверждения проводится по стандартной схеме (см., например, [7]).
Лемма. Спектр задачи (7) лежит на вещественной оси и состоит из нормальных собственных значений Цк, составляющих последовательность
0 = ло < Л1 ^ Л2 < ••• < Лк < • •• ^ +го. (9)
Каждое из чисел Лк алгебраически простое, а соответствующие собственные функции и)к можно подчинить условиям ортогональности и нормировки
(тк ,тн )ш = 5к,н, к,Н = 0, 1,..., (10)
где (т, у)ш — скалярное произведение в пространстве Ь2(ш). Для собственных функций верны формулы
тМ = Ък + \У3г,т(г])\ < ц е К2 \ УУ, з = о, 1,..., (и)
причем Ьь — постоянные, а УУ — окрестность множества из. В частности,
то(п) = Ьо = (шв82 ш)-1/2. (12)
Каждый элемент последовательности (9) порождает бесконечную серию асимптотических приближений к собственным числам в последовательности (4) — как уже упоминалось, предельная задача на плоскости не может полностью отразить структуру сингулярного возмущения в пространственной задаче (2), (3). Приведем построения, учитывающие протяженность тонкого множества (1).
Пусть О — обобщенная функция Грина задачи Неймана (см. учебник [8]) с особенностью в точке £ € П, т. е. решение задачи
АхО(х, £) = —6(х — £) + (шв8з П)-1, х € П; д„0(х,£)=0, х € дП, (13)
где 6 — функция Дирака. Для плотности 7 € Сж (Г) введем интеграл
V(7; х) = г
Нетрудно убедиться в том, что V — решение (в классе обобщенных функций) задачи
(2), в которой правой частью уравнения Пуассона служит разность
(шв8з П)-1 г
Если среднее 7 функции 7 по дуге Г равно нулю, то выражение (15) —распределенная вдоль контура Г с плотностью 7 функция Дирака. Справедливы представления
О(х,£) = (4п|х — £|) 1 + О0(х, £), (16)
V(7; х) = —(2п)-17(в) 1пг + I(7; в) + 0(г| 1п г|), (17)
причем С?0 € С°°(П х П) —регулярная часть функции Грина, г = (п2 + Ж3)1/2 —расстояние до Г, а ядром интегрального оператора
1 (7; в) = J (у(т) — 7(в)) О(т,в) ¿в + 2(вУ{(в) (18)
г
является след обобщенной функции Грина на прямом произведении Г х Г. Вывод асимптотической формулы (17) из разложения (1) представлен, например, в статье [4] или
брошюре [9]. Там же произведена регуляризация (18) возникающего гиперсингулярного интеграла и установлено, что множитель ] (в) имеет вид
](в) = (2п)-11п2 — Я+ (в + 0, в) — О-(в — 0, в),
где О — какая-нибудь первообразная функции Г э в ^ О(в,т), допускающая в силу соотношения (1) представление
О(в,т) = ±(4п)-11п |в — т I ±О±(в,т). (19)
7(в) ¿в — ч(в)6(п, хз).
(15)
7(в)О(х, в) ¿в.
(14)
В правой части (19) знаки плюс или минус ставятся, если точка в находится правее или левее точки т относительно выбранного направления обхода контура Г. Поскольку
1
х(в)7(7;в)с^=^ J ! ^(в) - 7(т)) С(т, а)д,тн{а) д,а+
Г ГГ
+ \ J J (7(т) -1{в)^С{а,т)<1аж{т)<1т - ! ¿в =
ГГ Г
= \1 ! {^{в)- }^{т))G{s,т)dsdт - ! j{s)}^{s)^{s)ds,
ГГ
видим, что оператор (18) симметрический, причем в случае ^ (в) < 0, в € Г, он поло-
17 2
жительно определен на пространстве Н;п(Г) с нормой (Ц7; ¿2(Г)||2 — (Л(7), 7)г) , где
Л = .1 — ], а под (, )г подразумевается скалярное произведение в пространстве Лебега ¿2 (Г) или его расширение до двойственности между подходящей парой функциональных пространств. Согласно представлению (15) особенность ядра оператора (18) составляет 0(|в — т|-1), и поэтому в силу результатов статьи [10] Н;п(Г) —простран-
I I 112
ство Хермандера [11], порожденное весовой функцией Т(£) = (1 + 1п |£| + I 1п |£||) .
Поскольку Т(£) —бесконечно большая при |£| ^ ж, вложение Н;п(Г) С ^(Г) компактно. Наконец, несложно убедиться в том, что J — псевдодифференциальный оператор с главным символом —(2п)-11п |£|.
Пусть п± —операция вычитания среднего функции по Г, т. е. проекция на подпространство ¿2(Г)^ = {76 Ьг(Г) : 7 = 0}. Оператор
J^ = : Нп(Г)± = п±И1П(Г) ^ ¿2(Г)± (20)
наследует все свойства от оператора (18). В частности, перечисленные выше факты приводят к следующему утверждению.
Предложение. Оператор J^ имеет счетное множество {вп : п = 1,2,...} собственных значений, причем все они вещественные и изолированные. Будучи расположены с учетом кратностей в порядке невозрастания, они образуют бесконечно большую последовательность
во > в1 > ■ ■ ■ > вп > ... ^ —ж. (21)
Соответствующее собственные функции 70, 71, ■ ■ ■ € СТО(Г)П¿2(Г)± можно выбрать
ортонормированными в ¿2(Г), т. е. выполнить равенства (7п,7ъ,)г = дп,н при п,Н =
0,1,...
Пример. Пусть И — все пространство, а контур Г —окружность длиной I,
П = М3, Г = {х € М3 : х2 + х2 = (2п/1)-2, х3 = 0}. (22)
В этом случае оператор J вычисляется явно (см. §4.2 [9]). В частности, его главная
(интегральная) часть Л и свободный член ] выглядят так:
л(7;«) = ^ j (^(Т) — 7(в))
о
Собственные числа и функции оператора Л определены формулами
1 V—1 1
^2Л-1=^2Л = -^:Х)тТ97’ (24)
72Ь-1(в) = вш(пЫ 1в), 72ь(в) = сов(пМ 1в),
где Н = 0,1,..., но величины (3_ 1 и 1 не принимаются во внимание. Н
Ясно, что оператор Л, указанный в (23), коммутирует с проекцией п±. Поскольку ряд (24) имеет асимптотикой величину (4п)-11п Н и при подходящем выборе длины I разность J^ — Л — вполне непрерывный оператор из Н;п(Г)^ в ¿2(Г)^, справедливо
Следствие. Для собственных чисел (21) верна асимптотическая формула
вп = —(4п)-1 1п(п/2) + 0(1), п ^ж. (25)
Построим асимптотический анзац для собственных чисел Хкп (е), п € М, являющихся малыми возмущениями простого собственного числа Цк из последовательности (9). Дополнительно предположим, что отлична от нуля постоянная Ьк в формуле (11) для соответствующей собственной функции и)к — это условие, значительно усложняющее анализ, выполнено, например, при к = 0.
Далее будет проверено (см. неравенство (39)), что в асимптотической формуле
Хкп(е) = ет-2а-1 + Мkn(| 1пе|) + ...) (26)
асимптотическая поправка Мк,п зависит от большого параметра 11пе|, но остается бесконечно малой при е ^ +0. Таким образом, пренебрегаем вторым слагаемым в левой части уравнения (2) и ищем главное приближение к собственной функции икп вне окрестности множества Ге как гармоническую функцию
икп(е,х) = V (7кп; х) + скп + ... (27)
Здесь V — сингулярное решение (14), а скп и 7кп —постоянная и гладкая плотность с нулевым средним по контуру Г, подлежащие определению. В формуле (27) и далее зависимость от параметра 11пе| не указывается явно. В узкой тороидальной окрестности множества Ге положим
икп(е,х) = —7кп(в) [(2п)-1Хи(п)1п |п| + 1к(п)] —
— Ь-1тк(п) [(2п)-17кп(в) 1пе — J(7кп; в) — скп] + Шкп(п, в) +..., (28)
где Ьк — исчезающее на бесконечности решение задачи сопряжения
(г], в) + цк\¥(г]) = /(??), г]еш, Д^ТУ (г]) = 0, г] £ М2 \ ТО,
[Ш](п) = gо(п), [ди{п)Ш](п) = gl(п), п € д^,
с правыми частями
/(п) = ЬкШк(п), 90(п) = —(2п)-11п [п1 91(п) = —(2п)-1д„(п)1п М. (30)
47
(29)
При этом [W](n) — скачок функции W на контуре дш, причем [хш] = -1, а dv(n) — производная вдоль внутренней нормали к границе области ш. Отметим, что при f = 0 и go = gi =0 задача сопряжения (12) равносильна уравнению (7). Существование ограниченного решения задачи (12), (30) обеспечено условием
J f (n) Wk (n) dn - J gi(n) wk (n) dsv +J go(n) ди(п)wk (n) dsv =
w дш дш
1 ff д д \
= bk\\wk] L2(uj)\\2lim^ j \wk{'q)-^\n[q\-\n\q\-^wk{'q)\ dsv = bk-bk=0,
{\n\=R}
а его затухание при |n| —^ ж— вычитанием подходящего решения const Wk однородной задачи (12). Подчеркнем, что здесь были использованы оба предположения о собственных числе ¡Ik и функции Wk.
Слагаемое Wkn также должно убывать на бесконечности — в силу формулы (17) это требование гарантирует выполнение условия сращивания разложений (27) и (28) (см., например, [12]), а именно, благодаря формуле (17) совпадают главные члены асимптотик при r — +0 и Ini = e-1r — +ж правых частей представлений (27) и (28) соответственно. Прямые вычисления показывают, что для Wkn выполнены соотношения (12), в которых
f (n, s) = Mknb-1wk(n) [(2^)-17kn(s) lne - J(Ykn; s) - ckn] +
+ Mkn [Ykn(s)tk(n) - Wkn(n, s)] + bkWk(n)Ykn(s), go = gi = 0. (31)
Считая функцию Wkn известной, при учете условий нормировки и ортогональности (10) преобразуем условие (f, Wk)w = 0 разрешимости задачи (12) в уравнение на контуре Г
Mknb-1 [(2n)-1Ykn(s) lne - J(ykn; s) - ckn] +
+ Mkn [ykn(s)(tk,Wk)w - (Wkn,Wk)w] + bkYkn(s) = 0, s e Г. (32)
Теперь в качестве Ykn возьмем собственную функцию Yn оператора J±, отвечающую собственному числу f3n. Положим
Zn = (2п)-1| lneI + ¡3n, (33)
mkn(zn)= ZnMkn - bk, Wkn(n, s) = Yn(s) wkn(n; Zn). (34)
Выберем постоянную ckn так, чтобы аннулировать среднее левой части равенства (32) по Г, т. е. проецируем это равенство на ¿2(Г)^. В результате приходим к уравнению, связывающему неизвестные в формулах (26) и (28), (34),
mkn(zn) = z-1(mkn(zn) + b|)bk [(tk,Wk)w - (wkn, Wk)w] . (35)
Обработаем задачу (12), (31). Введем операцию w — Пw по формуле (nkW)(n) = Хш(n) [W(n) - Wk(n)(W,Wk)ш]. Ввиду соотношений (32) и (34) уравнение (29), (31) принимает вид
Дпwkn + щХшwkn = z— 1 (mkn + b2k) nk (tk - wkn) на R2. (36)
Пусть —подпространство функций ] € ^(ш), ортогональных собственной функции и)к и продолженных нулем с множества ш на плоскость. Поскольку собственное число простое, уравнение (36) имеет решение №кп, которое является гармонической функцией вне ш и поэтому допускает аналогичное (11) представление с постоянной Ькп. При этом разность ткп — ЬкпЬ-1'Шк оказывается затухающим на бесконечности решением того же уравнения. Наконец, №кп € Н2(ш). Подпространство функций в Н, обладающих перечисленными свойствами, обозначим Нк —его можно сделать банаховым пространством (см., например, [13]). Тогда отображение Дп + ЦкХш ■ Нк ^ &к становится изоморфизмом.
Уравнения (36) и (35) сведем в единое абстрактное нелинейное уравнение
йкХкп(^п) = $к(г-1,Хкп (гп)) (37)
с параметром гп для неизвестной
Хкп(гп) = (ткп(-; гп), ткп(гп)) € Нк х М. (38)
Поскольку отображение Ак = {Дп + ЦкХш, 1} ■ Нк х М ^ £к х М — изоморфизм и $ — линейная функция первого аргумента, согласно общему результату [14] справедливо следующее утверждение.
Теорема. При любых к,п = 0, 1,... найдутся такие %кп > 0 и скп > 0, что уравнение (37) (а значит, и система (36), (35)^ имеет решение (38), аналитически зависящее от параметра г-1 € (0, %кп) и удовлетворяющее неравенству
||Хкп(гп);Нк х М|| < скп г-1. (39)
Итак, члены Мкп,у(7кп) и Шкп асимптотических анзацев (26)-(28) суть вещественные аналитические функции переменной г-1, исчезающие при г-1 ^ +0.
Замечание. Исходя из уравнений (35) и (36), нетрудно вычислить начальные члены разложений собственных чисел в ряды по обратным степеням \ 1п е |. Так, согласно формуле (12) первое собственное число =0 из последовательности (9) порождает бесконечный набор собственных чисел А0п(е) задачи (2), (3), удовлетворяющих соотношениям
= ет-2
Ап (е)= А0п(е) =
\1 — 1
1
Шв82 Ш [рп — (шв82 Ш) 1/2 (¿0, 1)ш + (2п) 1\ 1п е^ + О (ет 2\ 1п е\ 3) .
(40)
В частном случае (22) формулы (24), где Н = 1, 2,..., доставляют собственные числа Vп = Vп + (2п)-11п8 и собственные функции 7п = 1-1/2^п оператора ,1±. Более того, если ш —круг радиусом К, то согласно формуле (30) имеем
шв82 ш = пЕ2, (¿о, 1)ш = Я2(3 + 41пЯ)/8.
Обоснование разложений (40) и подобных им проводится по обычной в теории сингулярных возмущений схеме, но в данной работе опускается для краткости. Подчеркнем, что оперируя с решениями уравнений (37) или (35), (36), можно получить оценки асимптотических остатков с мажорантами Ок^п^е™-1-6 при 3 > 0. Н
Решение (38) уравнения (37) и его компоненты №кп и ткп не зависят от номера п собственного числа [Зп, однако условие гп > 0 и формулы (25), (33) требуют, чтобы е < сп-1/2. Иными словами, при фиксированном е > 0 лишь конечный набор собственных чисел оператора формирует асимптотические приближения к собственным числам задачи (2), (3).
При любом зафиксированном номере Н = 1,2,... величины Аь (е) и цн(е) = е2-таА^(е) являются бесконечно малыми при е ^ +0, т. е. наблюдается сгущение спектра (4) к точке А = 0. Более того, соотношение (40) показывает, что у всех Аь(е) одинаковая скорость затухания, а расщепление асимптотик собственных чисел происходит только во втором члене порядка ет-2\ 1пе\-2 благодаря возникновению зависимости от спектра (21) интегрального оператора (20).
Элементы Лк >0 последовательности (9) выделяют серии собственных чисел Акп(е) = О (ет-2аЛк) с устойчивыми асимптотическими представлениями. При этом номер N(к,п,е) собственного числа А^(к,п,е) (е) = Акп (е) в последовательности (4) неограниченно возрастает при е ^ +0. С помощью известного приема (см. [2]) можно убедиться в том, что в с^ \ 1пе\- 1-окрестности каждого собственного числа А^ > 0 задачи Неймана
Дхю(х) + Ау(х) =0, х € О, дпю(х) =0, х € дО, (41)
имеется элемент Х>(е) (е) последовательности (4), причем j(е) ^ ж при е ^ +0. Последнее обстоятельство еще более усложняет асимптотическое строение спектра (2),
(3), которое можно охарактеризовать как «стратифицированный хаос». Подчеркнем, что в соответствии с разработанным в книге [17] методом вывода оценок асимптотических остатков с мажорантами, не зависящими от номера собственного значения, только несколько первых приближений (40) следует признать «индивидуальными», но остальные, в том числе порожденные величинами лк и А^ > 0,—только «коллективными» (терминология взята из [17]; см. также [18]).
В случае лк > 0 и Ьк =0 можно определить аналогичные (40) упрощенные представления для Акп(е). Если лк —простое собственное число, но Ьк = 0, то благодаря затуханию собственных функций и)к на бесконечности асимптотическая процедура модифицируется, в частности, исчезает аналитическая зависимость от параметра ((2п)-1\ 1пе\ + вк)-1. Разложение собственного числа Акп(е) приобретает вид
Ап(е) = ет 2а [Лп + е2 (Лп0 + Лп1\ 1п е\) + ...], (42)
т. е. оно становится степенным. Поправочные члены определяются при помощи некоторого интегро-дифференциального оператора, старшей частью которого служит так называемый оператор поляризации на ребре (см. [15]), псевдодифференциальный, с главным символом п-1\^\2. В случае собственного числа Лк > 0 кратностью к ^ 1 и соответствующих собственных функций и)к,...,и>к+К-1, подчиненных условиям (10), возникают оба типа асимптотических разложений — логарифмическое (40) и степенное (42). При этом не более одного экземпляра нормированного собственного числа ет-2 а-1 Лк приобретает возмущение О(ет-2\ 1пе\-1), так как собственные функции 'Шк+1,...,'Шк+К-1 можно подчинить условиям Ьк+1 = • • • = Ьк+К-1 = 0 затухания на бесконечности.
Сформулированные результаты без особого труда приспосабливаются к исследова-
нию спектральной задачи Стеклова
Ахп(є, х) = 0, х Є О \ Г(є),
дип(є,х) = А(є)п(є,х), х Є дО, дип(є,х) = аА(є)п(є,х), х Є дГ(є).
После замены (5) спектрального параметра с т = 1 возникает предельная внешняя задача Стеклова
Аг,ю(г)) =0, г] Є М2 \ Ш, = /му(гу), Г] Є ди;, (44)
собственные числа и функции которой удовлетворяют лемме, обслуживающей уравнение (7), за тем исключением, что условия ортогональности и нормировки (10) заменяются соотношениями
(^к, '№Н)д<л ^^, к,Н ° 1^..
Все последующие выводы и асимптотические конструкции сохраняются для задачи (43) буквально, но спектральная задача Неймана (41) в области О, разумеется, трансформируется в спектральную задачу Стеклова
Аху(х) =0, х Є О, дпу(х) = Ау(х), х Є дО. (45)
Родственными для рассмотренных задач являются следующие спектральные задачи Дирихле и Неймана в области с тонкой тороидальной полостью О(є) = О \ Г(є):
Ахп(є, х) + А(є)п(є, х) = 0, х Є О(є), п(є, х) = 0, х Є дО(є), (46)
Ахп(є, х)+ А(є)п(є, х) = 0, х Є О(є), д„п(є,х)=0, х Є дО(є). (47)
Собственные числа задачи (46)
Аі(є) < А2(є) ^ ^ Ак(є) ^ • • • —— +ж
сходятся при є — +0 к соответствующим собственным числам Ак задачи Дирихле в области О, а скорость сходимости имеет порядок 11пє|-1. Соответственно числа Ак приобретают «логарифмические» возмущения, которые строятся по изложенной выше схеме, но с упрощениями, так как в ней не принимает участия спектр аналогичного (18) интегрального оператора ,1к, найденного по обобщенной функции Грина Ок(х, £), т. е. решению задачи
к + Кк — 1
АхОк(х,£) + АкОк (х,£) = -£(х-£)+ £ ^(0^ (х), х Є О, Ок (х,£)=0, х Є дО;
р=к
! Ок(х,£)Юр(х)йх = 0, р = к, ...,к + Кк - 1. п
(48)
Здесь Ак — собственное число задачи Дирихле в О с кратностью Кк, а Ук,..., Ук+Кк-1 — соответствующие собственные функции, удовлетворяющие условиям ортогональности и нормировки
(Ур,уя)п = 5рЛ, р, д = к, ...,к + Кк - 1.
Собственные числа Xk (е) > 0 задачи Неймана (47) из последовательности (4) оказываются «степенными» возмущениями собственных чисел Xk предельной задачи (41). Построение поправок в представлениях
Xk(е) = Xk + е2 (Xnk0 + Xki| Inе|) + ...
(ср. с формулой (42)) совсем не отличается от разработанной в [16] асимптотической процедуры для задачи Неймана в плоской (или многомерной) области с малым отверстием диаметром О(е) и не нуждается в пояснениях двадцать лет спустя.
Различия в асимптотических анзацах собственных чисел и функций краевых задач (2), (3) при m > 2, (43) и (46), (47) вызвано прежде всего тем, что для первой пары в качестве основной предельной задачи выступает спектральная задача (7) или (44) в неограниченной двумерной области, а для второй — в трехмерной области Q. Значительные упрощения при построении асимптотики спектра задачи Неймана (47) в отличие от задачи Дирихле (46) вызваны разными свойствами пограничного слоя: решение внешней задачи Дирихле
Avw(rj) =0, г] G М2 \ Ш, w(r]) = 1, г/ G дш, (49)
не затухает на бесконечности, но внешняя задача Неймана
Avw(ri) =0, г] G R2 \ Tú, dv^)w(ri) = + с2'г/2), г] G дш, (50)
имеет затухающее решение благодаря тому, что среднее правой части по границе дш равно нулю. При помощи решения задачи (50) удается компенсировать главную часть невязки в краевом условии на границе полости Ге, порожденной собственной функцией vp задачи в области Q, но ограниченное решение w(n) = 1 задачи (49) для этой цели не годится и приходится существенно изменить асимптотическую процедуру — как и в задаче (2), (3) при m > 2 о концентрации масс или задачи Стеклова (43), требуется включить в асимптотический анзац аналогичное (14) сингулярное решение, найденное по обобщенной функции Грина Gk(x,£) (см. формулы (48)). Если m < 2 в спектральной задаче (2), (3), то алгорифм построения асимптотики в существенном столь же прост, как и в случае задачи Неймана (47), однако при m = 2 происходит значительное усложнение асимптотических конструкций: предельный спектр формируется из спектров двух задач — плоской (7) и пространственной (41).
Summary
S. A. Nazarov. The asymptotics of eigenvalues of the Neumann problem under concentration of masses on a thin torus-like set.
Asymptotics of a spectrum of the three-dimensional Neumann problem is constructed under concentration of masses in the vicinity of a smooth contour. Apart from a spectrum of the limit problem on the plane, a spectrum of a certain integral operator on the contour appears in asymptotic formulae.
Литература
1. Sanchez-Palencia E. Perturbation of eigenvalues in termoelasticity and vibration systems with concentrated masses // Lect. Notes Phys. 1984. Vol. 195. P. 346-368.
2. Lobo M., Pérez E. Local problems for vibrating systems with concentrated masses: a review // C. R. Mecanique. 2003. T. 331. P. 303-317.
3. Федорюк М. В. Асимптлотика решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа и Гельмгольца во внешности тонкого цилиндра // Известия АН СССР. Сер. матем. 1981. Т. 45, №1. С. 167-186.
4. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений задачи Дирихле в области с вырезанной тонкой трубкой // Матем. сборник. 1981. Т. 116, №2. С. 187-217.
5. Назаров С. А. Об одной задаче Санчес-Паленсия с краевыми условиями Неймана // Известия ВУЗ’ов. Матем. 1989. №11. С. 60-66.
6. Nazarov S. A. Interaction of concentrated masses in a harmonically oscillating spatial body with Neumann boundary conditions // RAIRO Model. Math. Anal. Numer. 1993. Vol. 27, N 6. P. 777-799.
7. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973. 408 с.
8. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Том 2. М.: Наука, 1967. 656 с.
9. Назаров С. А., Паукшто М. В. Дискретные модели и осреднения в задачах теории упругости. Л.: Изд-во ЛГУ. 1984. 93 с.
10. Нагель Ю. Об эквивалентных нормировках в пространствах Hм // Вестник ЛГУ. 1974. № 7. С. 41-47.
11. Хермандер Л. Линейные дифференциальные операторы с частными производными. М.: Мир, 1965. 336 с.
12. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989. 336 с.
13. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей. М.: Наука. 1991. 336 с.
14. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б. Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука. 1969. 456 с.
15. Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Самосопряженные эллиптические задачи: операторы рассеяния и поляризации на ребрах границы // Алгебра и анализ. 1994. Т. 6, №4. С. 157-186.
16. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Известия АН СССР. Серия матем. 1984. Т. 48, №2. С. 347-371.
17. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга, 2002. 408 с.
18. Lobo M., Nazarov S. A., Perez E. Eigen-oscillations of contrasting non-homogeneous bodies: asymptotic and uniform estimates for eigenvalues // IMA J. of Applied Mathematics. 2005. Vol. 70. P. 419-458.
Статья поступила в редакцию 10 апреля 2006 г.
