Асимптотика собственного числа задачи Дирихле в коленчатом волноводе Текст научной статьи по специальности «Математика»

АСИМПТОТИКА СОБСТВЕННОГО ЧИСЛА ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В КОЛЕНЧАТОМ ВОЛНОВОДЕ*

С. А. Назаров

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

Поиск собственных чисел краевых задач в неограниченных областях — волноводах — представляет интерес во многих прикладных дисциплинах, так как соответствующие собственные функции, затухающие на бесконечности, и потому называемые захваченными волнами, приводят к резонансным явлениям, которых стараются избежать или, наоборот, привлечь для инженерных целей. В статье строится асимптотика собственного числа задачи Дирихле для оператора Лапласа Д в двумерном коленчатом волноводе 2е (рис. 1,а), квантовом или акустическом с мягкими стенками. Саму спектральную задачу поставим в полосе П0 = М х (-1/2,1/2) с угловыми вырезами

©е = { (Х,У) € М2 : |у| < 1/2, |ж - ж,1 < £оу |у - ,/2| } , ] = 1,...,.1, (1)

где Х1 < Х2 < ... < хJ —зафиксированные точки на оси абсцисс, а, € (0,п/2) — острые углы, £ > 0 — малый параметр, а I, € {±1} — индикаторы направлений вырезов (на рис. 1, Ь, равнобедренным треугольникам, заостренным вверх, отвечают числа

I, = -1, а заостренным вниз — I, = 1). Уравнения Гельмгольца и краевое условие Дирихле

- Дие(ж, у) = Аеие(ж, у), (ж, у) € Пе = П0 \ (01 и ... и 0J), (2)

ие(ж, у) = 0, (ж, у) € Ге = дПе П дП0, (3)

дополним условиями сопряжения на ребрах 0е±, ] = 1,..., J, исключенных треугольников:

д^+ ие(ж, + £а, |у - I,/2|, у) + д^Е-ие(ж, - £а, |у - I,/2|,у) = 0, (4)

3 3

ие(ж, + £а, |у - ,/2|, у) - ие(ж, - £а, |у - ,/2|,у) = 0, |у| < 1/2. (5)

Здесь д е± —производная вдоль внешней нормали к ве±,

3

дуЕ± = (1 + £2а2)-1/2 (^дж - £а,,ду), дх = д/дж, ду = д/ду. (6)

Если сложить надрезанную полосу Пе в коленчатый волновод (ср. рис. 1, Ь и а), то из решения ие задачи (2)—(5) получается волновое поле в 2е, причем его гладкость внутри 2е обеспечена именно «правильными» условиями сопряжения.

Вариационная формулировка задачи (2)—(5) апеллирует к интегральному тождеству

(Уие, Vvе)Пе = Ае(ие^Ь е, Vе € Я/(Пе), (7)

* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №09-01-00759).

© С.А.Назаров, 2011

где V = grad, (, )qe —натуральное скалярное произведение в пространстве Лебега L2(Oe), а Н1(Пе) —пространство Соболева функций, удовлетворяющих условиям (3) и (5). Билинейная форма из левой части (7) может быть назначена скалярным произведением в гильбертовом пространстве Н1(Пе), а значит, задаче (7) ставится [1, гл. 10] в соответствие неограниченный положительно определенный самосопряженный оператор Ле в L2(Oe) с областью определения D(Ae) С Н||(Пе). Как известно (см., например, [2]) и нетрудно проверить, непрерывный спектр аЕс этого оператора представляет собой луч [Af, +то). Ниже точки отсечки Af = п2 может располагаться дискретный спектр. В работах [3-7] и др. проверена непустота дискретного спектра <г| для разнообразных, плоских и пространственных, коленчатых, разветвляющихся и изогнутых, квантовых и акустических волноводов, но только с мягкими стенками в последнем случае. Если стенки акустически жесткие, то условия Дирихле (3) заменяются условиями Неймана, а непрерывный спектр заполняет всю полуось R+ = [0, +го), и поэтому дискретный спектр заведомо отсутствует. Существование у коленчатых волноводов собственных чисел, вкрапленных в непрерывный спектр, и вывод их асимптотик является открытым вопросом для обеих задач, Дирихле и Неймана. Асимптотический анализ собственных чисел других сингулярно возмущенных краевых задач в цилиндрических волноводах проводился в статьях [8-11] и др.

Рис. 1. Коленчатый волновод (a) и его изображение (b).

Как показано в [6], задача в коленчатом волноводе 2е имеет собственное число Ае € (0,п2). Согласно [12, гл. 5] образование вырезов (1) в полосе П0 следует интерпретировать как регулярное возмущение благодаря постановке специальных условий сопряжения (4) и (5). Поэтому логично считать, что собственное число Ае расположено близко к точке отсечки А|, а асимптотический анзац для соответствующей собственной функции взять таким:

ие(ж, у) ~ ад0 (ж, у) + £'Ш1(ж, у) + £2ад2(ж, у) + ... (8)

В качестве основного асимптотического члена выберем ограниченное решение

ад0 (ж, у) = соя(пу) (9)

задачи Дирихле для оператора Д + п2 в цельной полосе П0. Это решение удовлетворяет уравнению (2) при Ае = п2 и условиям (3), (5), но оставляет невязки в условиях сопряжения (4), главные части которых в силу формулы (6) принимают вид £д,1р(у), где

д1р(у) = - 2а, , п вт(пу). (10)

Таким образом, функция ад1, предназначенная для компенсации невязки, удовлетво-30

ряет задаче

—Дир(ж, у) = п2ир(ж, у), (ж, у) € О0 \ (0° и ... и © ° ) ,

ир(ж, ±1/2) = 0, ж € М,

1 (11)

—джир(ж- + 0, у) + джир(ж- — 0, у) = д/(у),

(ж- + 0, у) — (ж- — 0, у) = д0р(у), |у| < 1/2, ] = 1,..., 7,

где р =1 и д®1 = 0. Поскольку средние по у € ( — 1/2,1/2) функций (10) равны

нулю, задача (11) имеет решение и1, затухающее на бесконечности со скоростью

О . Сказанное станет понятным после подробного исследования члена и>2

анзаца (8).

Сумма и0 + еш1 по-прежнему удовлетворяет уравнению Гельмгольца (2) при Ае = п2 и краевому условию (3), но оставляет невязки е2д°2(у) + ... и е2д12(у) + ... в обоих условиях сопряжения (5) и (4). Учитывая соотношение (6) для нормальных производных и применяя формулу Тейлора при переносе данных с наклонных отрезков на берега отрезка ©0 = {(ж, у) : ж = ж-, |у| < 1/2}, параллельного оси ординат, приходим к равенствам

д02(у) = —а|у — -/2|(джш1(ж^ +0, у) + джш1(ж^ — 0, у)),

д]2(у) = а |у — -/2|(дХш1 (ж- + 0,у) + д2ш1 (ж- — 0,у))+ (12)

+а- -(душ1(ж- + 0,у) + дуи1 (ж- — 0, у)).

Задачу (11) с правыми частями (12) можно решить при помощи метода Фурье.

При этом в каждом из фрагментов, на которые рассекается полоса П° отрезками

©5,..., ©°, решение следует представить в виде ряда по е±7га\/й2-1 8щ(7Г&(у _|_ 1/2)), к = 2, 3,..., и жсов(пу) = жвт(п(у + 1/2)). Решение оказывается дважды непрерывно дифференцируемым вплоть до границы в упомянутых фрагментах и, вообще говоря, приобретает линейный рост на бесконечности. Поскольку общее решение определено с точностью до линейной комбинации (с1 ж + со)еов(пу), можно выбрать частное решение с таким поведением:

ъи2(х, у) = ±(&1Ж + Ьо) соз(7гу) + О , ж —^ гЬоо. (13)

Для вычисления коэффициента 61 применим формулу Грина в длинном прямоугольнике П(Д) = ( —Д, Д) х ( — 1/2,1/2). Подставив в нее функции и2 и и0, получим соотношение

^ I' 1/2

61 = Пт ± / ео8(пу)джи2 (±Д, у) йу =

7_1/2

^ , 1/2

= ^ / cos(пy) (—джш2(ж- + 0, у) + джш2(ж- — 0,у)) йу =

-=1 •/_1/2

С1/2 /

= -2^^' J ^ соз(тгу)( у - ^ (д^^у)+тг2«;1(ж,,-,у))-

\ [1/2

— /^ ду ад1(ж^ ,ум йу = —2^2,а^1 81п(пу}ад1(ж^ ,у) йу =

У ,=1 •/—V2

^ , 1/2

= — 2пУ'а.?- / ад1(ж^-,у)(—д^ад1 (ж^- + 0, у) + 5жад1(ж^ — 0, у)) йу = з=1 -7-1/2

= — / (1^ад1(ж,у)|2 — п2|ад1(ж,у)|2) йж.

Jn0

В выкладках использованы выражения (10), (12) для д|р и дифференциальное уравнение для ад1, а также непрерывность этой функции и двух ее производных по у на отрезках 00. Возможность интегрирования по частям на 00 обеспечена краевым условием ад1 (ж, ±1/2) =0 и элементарным равенством сов(±п/2) = 0.

Аналогичные манипуляции с решениями ж сов(пу) и ад2 позволяют вычислить коэффициент 6о, значение которого, впрочем, далее не понадобится. Важно то, что в обоих случаях появляются интегралы от правых частей условий сопряжения, умноженных на сов(пу), а значит, благодаря формуле (10) для д10 составляющие ±(а1ж + ао)сов(пу) отсутствуют в разложении решения ад1, т. е., как уже упоминалось, «;1(ж, у) = О (е~7Г1ж1 .

Теперь убедимся в том, что 61 < 0. Представим функцию ад1 в виде

, 1/2

ад1(ж,у)= и’о(ж) сов(пу) + (ж, у), / со8(пу)и!° (ж, у) йу = 0.

•У —1/2

В силу последнего условия ортогональности верно неравенство Пуанкаре

,1/2 ,1/2

п2 / |^1 (ж,у)|2йу < / |Уад° (ж,у)|2 йу.

—1/2 —1/2

Следовательно, выполнив дифференцирование и частично интегрирование по у, находим

1/2 ( )

— 61 = / (|Уад1(ж,у)|2 — п2|ад1(ж,у)|^ йжйу =

•У —1/2

= х / |9ж«;о(ж)|2^ж + / (1^1 (ж, у)|2 - тг2|«;^(ж, у)|2) йжйу >

2 ./ к ./п0

> х / |9ж«;о(ж)|2^ж + / |9жг«1(ж, у)|2 йжйу. (14)

2 ./ к ./п0

Итак, —61 ^ 0, а равенство 61 =0 требует, чтобы дхи>° =0 и джи>° = 0, но оба соотношения одновременно невозможны ввиду нетривиальности и затухания на бесконечности функции ад1; последнее свойство передается и ее составляющим и>° и и>°.

Первый (9) и третий (13) члены анзаца (8) соответственно стабилизируется и растет на бесконечности, в то время как сама захваченная волна ме должна исчезать

при ж ^ ±то с экспоненциальной скоростью. Поэтому анзац нуждается в исправлении при больших значениях | ж| . Предположим, что

Ае = п2 — £4в + ..., в> 0. (14)

Тогда решение задачи Дирихле для уравнения Гельмгольца с параметром (14) приобретает такое поведение на бесконечности:

Vе (х, у) = 4 СОз(7Гу)еТ'Х(£ ^+"'

= (4 + £<4 + е2С± + • • • ) СОз(7Гу)(1 £2^+ (16)

Согласуя формальные разложения (16) и (8), (9), (13), положим

4 = 1, 4 = 0, и Ъ\ = — с±л/в =>• в = Ъ\. (15)

Подчеркнем, что формула (15) для в имеет смысл только из-за проверенного выкладкой (14) соотношения 61 < 0.

Разработано несколько способов обоснования асимптотик собственных чисел в присутствии непрерывного спектра, основанных на принципе Бирмана—Швингера [8], на понятии расширенной матрицы рассеяния [9], на исследовании полюсов функции Грина [10] и на применении теории спектральной меры. Последний, предложенный в [7, 11] оказался наиболее простым в исполнении, однако в отличие от [9] он при-

меним только для точек дискретного спектра. Поскольку соответствующие выкладки в значительной степени стандартные и рутинные, ограничимся наброском схемы доказательства. Сначала посредством умножения членов построенных разложений (8) и (16) на подходящие срезающие функции сооружается глобальное асимптотическое приближение Ые (соответствующие построения подробно описаны в [12, гл. 2 и 5], а также в [6, 7, 11]). Затем выписывается формула

||Аеые — (п2 — £4в)и<г; Ь2(Пе)||2 = j — -4 + £4в)2^« е,ие(4 (16)

к

где ^ие ,ие —скалярная спектральная мера оператора Ае, отвечающая элементу Ые € Н1(Пе) (см. [1, §5.1, §6.1]). Далее, в предположении что при некотором Со > 0 и £ € (0, £о], £0 > 0 сегмент

[п2 — £4в — Со £5,п2 — £4в + С0£5] (17)

свободен от спектра оператора Ае (интервал (17) лежит ниже точки отсечки А| = п2), получаем, что правая часть (16) больше С0£1О|Ые; Ь2(Пе)||2. Наконец, оценивая норму ||АеЫе — (п2 — £4в)Ые; Ь2(Пе)||, при большом Со и малом £о обнаруживаем противоречие, обусловленное малостью невязок, которые оставлены в задаче (2)— (5) глобальным асимптотическим приближением Ые, и означающим, что на сегменте (17) все-таки имеется собственное число Ае. Подчеркнем, попутно установлено, что многоточие в формуле (14) следует понимать как 0(£5).

Обратим внимание на то, что асимптотическая формула (14) в случае бесконечного волновода даже по порядку1 основной поправки отличается от асимптотической

1На физическом уровне строгости правильный порядок поправки указан в [4].

формулы для собственных чисел в конечной области. Усечем множество Пе, изображающее волновод 2е, и в области Пе(Д) = {(ж, у) Є 0е : |ж| < Д} с фиксированной длиной Д ^ 1 +тах{|жі|, |ж/1} рассмотрим смешанную краевую задачу в вариационной формулировке:

(уие, Е(д) = Ле(ие, Vе)ПЕ(Д), Vе Є Я/(Пе(Д)), (18)

причем Н”1(Пе(Д)) —пространство Соболева функций, обращающихся в нуль на Ге(Д) = {(ж, у) Є Ге : |ж| < Д} и удовлетворяющих устойчивым условиям сопряжения (5). Задача (18) имеет дискретный спектр

0 < Л1 < Л2 < Л3 < ... < лр < ... ^ +го, (19)

причем зависимость собственных чисел от параметра Д в обозначениях явно не указывается. Согласно [12, гл. 9 и 10] числа (19) оказываются возмущениями собственных чисел Л0 предельной задачи в прямоугольнике П(Д) с условиями Дирихле на горизонтальных сторонах и Неймана на вертикальных. Ясно, что

Л? = 7Г2, Л2 = 7г2 (і + тіп І а/З, 4Д 2.

При учете уже проделанных вычислений асимптотические процедуры из [12, гл. 9 и 10] доставляют такие разложения:

Л1 = п2 - 0є2 + 0(є3), 0 > 0; Л2 =Л0 + 0(є2). (20)

Не будем воспроизводить соответствующие выкладки, но укажем, что выражение для коэффициента 0 находится при соблюдении условия разрешимости краевой задачи для уравнения

ДШ2(ж, у) + п2Ш2(ж, у) = 0 еов(пу), (ж, у) Є П(Д), (21)

включающего первый и третий члены асимптотического анзаца

ие(ж, у) = еов(пу) + £Ш/(ж, у) + є2Ш2(ж, у) + ... (22)

для собственной функции задачи (18). Теперь видно, что, во-первых, порядок є2 асимптотической поправки в (20) отличается от аналогичного порядка є4 в анзаце (14), и, во-вторых, совершенно разнятся способы определения поправок: исправление поведения асимптотических слагаемых при ж ^ ±то в случае бесконечного волновода и соблюдение условий разрешимости промежуточной краевой задачи для уравнения (20), позволяющей найти слагаемое Ш2 анзаца (22).

Формулы (20) и (21) оказываются полезными при доказательстве единственности собственного числа задачи (7) на интервале (0,п2), а значит, и на интервале (17). В самом деле, предположим, что на этом интервале имеются два собственных числа Л1 и Л|. Согласно максиминимальному принципу (см., например, [1, теорема 10.2.2]) имеем

Здесь Н 1 — произвольное подпространство в Яд1 (0е) с коразмерностью один. Выберем конкретное подпространство

€ Н°(Пе): [ ме(ж, у)ие(ж, у) йжйу = 01. (24)

./пе(д) -1

Для функций u5 Є Hi верны неравенство Пуанкаре

и при |x| > R одномерное неравенство Фридрихса

/ |u5(x,y)|2dy ^ |dyu5(x, y)|2dy

/*1/2 /* 1/2

2

(26)

./ — 1/2 J-l/2

(причина: условие ортогональности в (24) и условия Дирихле (3)). Заметим, что согласно второй формуле (20) найдется такое єд > 0, что при є Є (0, єд] справедливо соотношение Л| ^ п2. Таким образом, проинтегрировав неравенство (26) по ж Є (—го, — Д) и (Д, +го) и прибавив к результату неравенство (25), приходим к оценке

Теперь формула (23) показывает, что Л| ^ п2, а обнаруженное противоречие означает невозможность появления на (0, п2) второго собственного числа.

Литература

1. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.

2. Wilcox C. Scattering theory for diffraction gratings. Berlin: Springer-Verlag, 1980.

3. Маслов В. П. Асимптотика собственных функций уравнения Ди+k2u = 0 к краевыми условиями на эквидистантных кривых и расеяние электромагнитных волн в волноводе // Докл. АН СССР. 1958. Т. 123, №4. С. 631-633.

4. Avishai Y., Bessis D., Giraud B. G., Mantica G. Quamtum bound states in open geometries // Physical Review B. 1991. Vol. 44, N 15. P. 8028-8034.

5. Duclos P., Exner P. Curvature-induced bound sttes in quantum waveguides in two and three dimensions // Review Math. Phys. 1995. Vol. 7, N 1. P. 73-102.

6. Назаров С. А. Дискретный спектр коленчатых, разветвляющихся и периодических волноводов // Алгебра и анализ. 2011. Т. 23, №2. С. 206-247.

7. Назаров С. А. Локализованные волны в Т-образном волноводе // Акустический журнал. 2010. Т. 56, №6. С. 747-758.

8. Bulla W., Gesetesy F., Renrer W., Simon B. Weakly coupled bound states in quantum waveguides // Proc. Amer. Math. Soc. 1997. Vol. 125, N8. P. 1487-1495.

9. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Аномалии Вуда и поверхностные волны в задачах рассеяния на периодической границе. 1 // Матем. сборник. 1999. Т. 190, №1. С. 109-138; II // ibid. 1999. Т. 190, №2. С. 43-70.

10. Гадыльшин Р. Р. О локальных возмущениях квантовых волноводов // Теоретическая и математическая физика. 2005. Т. 145, №3. C. 358-371.

11. Назаров С. А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сибирск. матем. журнал. 2010. Т. 51, № 5. С. 1086-1101.

12. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1981. 208 с. (Немецкий перевод: Mazja W. G., Nazarov S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische The-orie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. S. 432; английский перевод: Maz’ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhauser Verlag, 2000. P. 435.)

Статья поступила в редакцию 22 апреля 2011 г.

п2||«5; L2(^5)||2 < ||Vu5; Ь2(П5)||2, u5 Є Hi, є Є MR)].