CC BY
34
УДК 517.956.8:517.956.328:517.958:535.4 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 2
АСИМПТОТИКА СПЕКТРАЛЬНЫХ ЛАКУН В РЕГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОМ ПЕРИОДИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ*
С. А. Назаров
С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]
Периодические волноводы характерны раскрытием спектральных лакун, т. е. интервалов на вещественной положительной полуоси свободных от спектра а, но имеющих обе концевые точки в а. В соответствующих частотных диапазонах запрещено распространение волн, и этот эффект применяется для создания волновых фильтров и демпферов. В работе рассматривается спектральная задача Дирихле для оператора Лапласа
—ДиЕ = АЕ иЕ в ПЕ, иЕ = 0 на д ПЕ (1)
в области ПЕ С (квантовом волноводе), полученной малым 1-периодическим возмущением прямого цилиндра П0 = ш х К Э х = (у, г), сечением которого служит область ш в Кд ^ 2, с (д — 2)-мерной гладкой (класса Сдля простоты) границей ди> и компактным замыканием То = си и дш. Для точного описания поверхности дПЕ введем в окрестности V Э дш локальные координаты (п, в), где п — ориентированное расстояние до дси, п > 0 в V \ ш, а в —какой-нибудь подходящий атлас карт на дш. Пусть еще е > 0 — малый параметр, а Н — функция на 7 = дш х [0,1], гладкая и обращающаяся в нуль при г = 0,1 (для простоты). Поверхность волновода задана равенством
дПЕ = {(у, г) е V х К : г е К, п = еН(в, г)}. (2)
Масштабированием сведем период 1 к единице, сделав координаты х безразмерными, а Н — 1-периодической функцией продольной координаты г.
Основная цель работы — обнаружение лакун в спектре аЕ задачи (1) при помощи асимптотического анализа собственных чисел модельной задачи (см. далее (10), (11)) на ячейке периодичности шЕ = {(у, г) е ПЕ : г е (0,1)}.
Начнем с описания спектра а0 предельной (е = 0) задачи (1) в прямом цилиндре П0. У нее имеется набор решений-волн
^(С; у,г) = е*гWk(у), к еы = {1, 2, 3,... }, (3)
где Wk —собственная функция (п — 1)-мерной модельной задачи на сечении
—ДуW(у) = (у), у е ш, W(у) = 0, у е дш, (4)
отвечающая собственному числу Мк из последовательности
0 < М1 < М2 = ... = Мк+1 < Мк+2 < ... < Мк < ... ^ (5)
* Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №12-01-00348). © С.А.Назаров, 2013
(которая составлена при учете кратностей) и подчиненная условиям ортогональности и нормировки
)и = 5^, ¿к €Ы. (6)
Здесь 5j¡k — символ Кронекера, (, )ш — скалярное произведение в пространстве Лебега ¿2(ш). Первое собственное число, М1, простое, но второе, М2, имеет кратность к ^ 1, причем к > 1 в случае надлежащей симметрии области ш. Спектральный параметр м попадает в непрерывный спектр а° волновода П0, если при некоторых к € N и £ € К выполнено равенство
М = Мк + С2 (7)
(С — двойственная переменная преобразования Фурье). Таким образом, спектр а0 представляет собой луч [м, с точкой отсечки = М\ > 0.
Известно (см., например, обзор [1]), что в периодическом волноводе спектр ак имеет более сложное — чересполосное — строение:
ак = У Вк, В = (А = Лк(п): п € [0, 2п)}. (8)
кем
Здесь фигурируют собственные числа
0 < Л? (п) < Л2(п) < ... < Лк(п) < ... ^ (9)
модельной (теперь уже п-мерной) задачи на ячейке шЕ с боковой поверхностью 7е = ((у, г) € дПе : г € (0,1)}:
-Дие(п; х)=Ле(п)ие(п; х), х € ие(п; х) = 0, х € 7е, (10)
ие(п;у, 1) = е<пие(п;у, 0), джие(п;у, 1) = е<пджие(п;у, 0), у € ш. (11)
Условия квазипериодичности (11) включают параметр Флоке п € [0, 2п), двойственную переменную преобразования Гельфанда [2], причем по понятным причинам функции п ^ Л|(п) оказываются непрерывными и 2п-периодическими, т.е. множества Ве в формуле (8) — сегменты, связные, замкнутые и конечные. Если ик — собственная функция задачи (10), (11) с параметрами пк € [0, 2п) и Лк(пк), то по периодической функции
Ке(у,г)= е^ 2 и.е(у,г) (12)
строится волна Флоке
<(у,г) = е^-2 Ке(у,г), (13)
удовлетворяющая задаче (1) с параметром Ае = Лк (пк) в волноводе Пе. Подчеркнем, что г € (0,1) в равенстве (12), но г € К в равенстве (13).
Поскольку прямой цилиндр = ш х К можно интерпретировать как
1-периодическое множество в направлении оси г, волны (3) также записываются в форме Флоке:
^(С; у,г) = е<п*(у, г), (14)
п = С - 2пд € [0, 2п], д €Т = (0, ±1, ±2,... }, ^ (у, г) = е2п^ ^ (у).
Соотношения (14) предоставляют все решения задачи (10), (11) с вычисленным согласно (7) параметром Л°(п) = Мк + С2 в прямом конечном цилиндре ш° = ш х (0,1),
предельной области для шЕ. Кроме того, описанное в (14) преобразование £ ^ п разбивает дисперсионные кривые (7) (параболы на рис. 1, а, отвечают к = 0 и к = 1) на дуги и собирают их в «ферму», изображенную на рис. 1, Ь. При искривлении боковой поверхности цилиндра дуги, составляющие «ферму», претерпевают возмущения, а их перекресты, вообще говоря, распадаются —ср. рис. 1,Ь и с. В работе [3] был исследован нижний узел
Р0 = (п,М1 + п2) (15)
и показано, при каких требованиях к профильной функции Н из (2) спектр аЕ задачи (1) имеет в окрестности точки А0 = М1 +п2 лакуну, а также найдены асимптотические формулы для ее концов. Далее, в случае
М2 < М1 + 4п2 (16)
изучается возможность образования лакуны из-за расцепления узлов
Р± = (£±,Ь) := (тг± ¿(М2 - Мг), тг2 + + МХ) + ¿(М2 - М1)2), (17)
расположенных выше точки (15) (см. рис. 2, а, где точки Р0 и Р± помечены значком о). Подчеркнем, что аналогичные (15) и (17) узлы и порожденные ими лакуны возникают и при иных ограничениях на величины М1 и М2 — см. рис. 2, Ь, при М2 е (М1 + 3п2,М1 + 8п2) и рис. 1,Ь, при М2 е (М1 + 8п2,М1 + 15п2). Имеются и другие узлы (например, помеченные значком □ на рис. 2,Ь, и рис. 1,Ь), обеспечивающие раскрытие лакун, которые легко обнаруживаются на рис. 1, с. Процедуры построения и обоснования асимптотики собственных чисел (9), а значит, и асимптотический анализ лакун во всех ситуациях, кроме рис. 2, с, повторяют в значительной степени выкладки и рассуждения из работы [3]. Поэтому основное внимание уделяем формализму построения асимптотики и примеру для д =2. Интерес к изучению второй пары точек пересечения дуг на рис. 2, а, вызван публикациями [4-6] и др., где как раз обсуждается эффект «расцепления концов» спектральных сегментов, имеющий физическую подоплеку и относящийся, в частности, к парным перекрестам, симметричным относительно линии п = п.
В случае кратного собственного числа М2 раскрытие изучаемой лакуны не происходит (см. замечание 2). Поэтому считаем, что к =1 в последовательности (5). Рассмотрим сначала точку Р причем не будем писать индекс плюс и, более того, сменим обозначения. При п = С число Л = Ь имеет кратность два и ему отвечают две собственные функции:
^(у,г) = е*«г (у), ^(у,г) = е<(«-2п)г ^(у), (18)
где {М1, ^1} и {М2, WГ2} —первые две собственные пары задачи (4).
Для построения асимптотики собственных чисел задачи (10), (11) введем, как предложено в статье [3], параметр в € К, характеризующий отклонение параметра Флоке п от его критического значения С:
П = С + ев. (19)
Рассмотрим на рис. 2, а ломаные в ферме — графики функций п ^ Л к (п), к = 2, 3 — и положим ц =1. Для того чтобы приспособить дальнейшие выкладки к ситуациям на рис.2, Ь и на рис. 1,Ь нужно взять ц = 3 и понятным образом изменить формулы (18). Примем стандартные для регулярно возмущенных областей асимптотические анзацы
Лд+р(С + ев) = Ь + еЬр(в) + ..., (20)
и|+р(С + ев; у, г) = Ур(в; у, г) + еУДв; у, г) + ..., (21)
где р = 1, 2, и многоточием обозначены младшие члены, не существенные для предпринимаемого асимптотического анализа. Поправки Ь'(в) и 1р(в; •), а также столбец ар(в) = (а!(в),ар(в)) коэффициентов линейной комбинации
Ур(в; у,г) = аР (в)Я1(у,г) + ^(в^у^) (22)
собственных функций (18) подлежат определению. Подставим анзацы (20) и (21) в задачу (10), (11) и соберем коэффициенты при е, приравняв их суммы нулю. Сразу же приходим к дифференциальному уравнению
-ДУр'(в; у, г) - ЬрУДв; у, г) = Ьр(в)Ур(в; у, г), (у, г) € ш0. (23)
Применив формулу Тейлора, находим, что
ур(в; У, |„=е^(я) = ур(в; У, |„=0 + г)дпУР(в; У, |„=0 + ...,
а значит, краевое условие Дирихле, снесенное на цилиндрическую поверхность 70 = ди х (0,1), приводит к равенству
Ур'(в; у,г) = -Ь(8.г)дпУр(в; у, г), (у, г) € 7°. (24)
Наконец, учитывая обозначение (19), видим, что согласно формуле Тейлора относительно переменной в условия квазипериодичности (11) порождают такие соотношения:
Ур'(в; у, 1) = е*(Ур'(в; у, 0) + гвУр(в; у, 0)),
(25)
д2УДв; у, 1) = е*(дгУДв; у, 0) + гвд2Ур(в; у, 0)), у € и.
Задача (23)—(25) формально самосопряжена, т. е. по альтернативе Фредгольма ее решение существует при выполнении для правых частей двух условий ортогональности, которые порождены собственными функциями (18). Их можно вывести, предположив, что решение Ур имеется, и подставив его вместе с ^ в формулу Грина на ш0. При ц = 1 имеем
ь'р(в)а1(в) = -1 (д¥;(в-,х) + ьру;(в-,х))гПх)ёх =
I у;{в-,х)дпг1{х)<18Ус1г-1 (г1(х)дгг;(в-,х)-¥;(в-,х)дгг1(х))
ш
1
¿у.
г=0
Первый интеграл в правой части (24) равен /р1 = -ар(в)Н11 — арЯ12, где
Ядд = J Жд (у)|2 (26)
7 0
Н12=Ж~1 = I е2™Н(8^)дпШ1(у)дп}¥2(у) азаг.
7 0
Второй интеграл (со знаком минус) преобразуем при помощи условий квазипериодичности (25), а также соотношений (6) и (18), (22). Имеем
^ = —е"8^ Ж(у)(дгУ;(в;у, 1) — е^УДв;у,0)+ г£(Ур'(в;у, 1) — е8<%'(в;у,0))) ¿у =
ш
= 2вСар (в).
Итак, первое условие разрешимости равносильно уравнению
Ьр (в) ар (в) = —Яи ар (в) — Н12 аР (в) + 2в$ар (в). (27)
0
Рис. 2. Различные варианты расположения узлов.
Похожая выкладка показывает, что второе (с функцией ) условие разрешимости задачи (23)—(25) дает еще одно алгебраическое уравнение:
Ьр (в) ар (в) = —Я21 а! (в) — Я22 а? (в) + 2в(С — 2п)ар (в).
(28)
Для того чтобы существовали число Ь'р и столбец ар(0), матрица ф(0) системы (27), (28) должна быть вырожденной, т.е.
0 = ёе1 д(0) = (Ян + Ьр(0) - 2^е)(Я22 + ^,(0) - 20(£ - 2п)) - |Н1212.
Решая квадратное уравнение, после несложных преобразований находим
ь'1г2(в) = -¿(#11 + #22 " 40(е - 7Г)) ± ¿л/4|Я12|2 + (47г0 + Я22 -Яи)2; (29)
при этом р = 1 отвечает знак минус при корне, а р = 2 — знак плюс.
Итак, поправочный член анзаца (20) построен. Нормированные собственные векторы ар(0) € С2 эрмитовой (2 х 2)-матрицы ф(0) конкретизируют главный член (22) анзаца (21), а в силу соблюдения условий разрешимости задачи (23)—(25) ее решение существует и дает поправочное слагаемое 1р'(0; •) в анзаце (21). Впрочем, оно также определено с точностью до линейной комбинации собственных функций (18), коэффициенты которой могут быть вычислены только на следующем шаге асимптотической процедуры.
Строить асимптотику собственных чисел Л1+р(£_ + £0) = Ь + О(е) (вместо Р + обрабатывается точка Р-) не нужно, так как графики функций П ^ ЛП(п) симметричны относительно прямой {п = п}: собственная пара {ЛП(п),иП(п; •)} задачи (9), (10) порождает собственную пару |л^(2п - п),
11Е(2и — гу; •) | той же задачи, но с измененным параметром Флоке.
Обоснование асимптотики проводится, например, по одному из вариантов схемы [3]. Сначала заметим, что почти тождественное преобразование координат («локальный сдвиг» границы 7е) трансформирует ячейку ше в цилиндр ет0 = ш х (0,1), а значит, согласно [7, § 7.6] в с£-окрестностях дуг Мр + п2 и Мр + (2п - п)2 при каждом П € [0, 2п) найдется по одному собственному числу возмущенной задачи (10), (11), а в С£-окрестностях точек (15) и (17) располагается либо пара простых, либо одно кратностью два. Следующая элементарная лемма далее покажет, что при условии
J e2niz J h(S,z)d„W1(y)d„W2 (y) dsdn = 0 eC (30)
0 дш
возникает именно пара простых собственных чисел + ев).
Лемма 1. Пусть а, ß e IR+, т e R и т2 < ß2. Тогда для функций /±($) = т$ ± \/а2 + ß2$2 выполнено соотношение max f_ ($) < 0 < min /+($).
Доказательство. Нужно лишь заметить, что /+($) = — /-(—$) и /+($) > 0 при всех $ e R в силу требования |т| < ß. Н
Подходящая замена в ^ $ = в — во позволяет применить лемму 1 к величинам (29). При этом т = 2(£ — п), ß = 2п и |т| < ß, так как £ e (п, 2п). Вместе с тем, а > 0 в предположении |Hi2| = 0 (см. соотношение (30)), так как выражение под корнем строго положительно. В итоге обнаруживаем, что
inaxL1(e) < mmL2(e). (31)
1
Замечание 2. Узлы, указанные на рис. 1,b и рис.2, b значками L и \, расцепляются по другому закону и не образуют зазора между графиками функций П ^ (при j = 5, 6 ср. рис. 1,c). Дело в том, что аналогичный представленно-
му асимптотический анализ также приводит к анзацу (20) и системе вида (27), (28). Однако в этом случае функции f± из леммы 1 приобретают параметры т2 > в2 и оказываются монотонными, а значит, неравенство (31) нарушено, и лакуна не может раскрыться. Аналогичный эффект обнаруживается при кратном собственном числе M2 (к > 1 в последовательности (5)) для всех узлов, попадающих на соответствующие дуги фермы. Укажем еще одну причину отсутствия лакуны — перекрытие спектральными сегментами зазоров между графиками возмущенных собственных чисел около некоторых узлов. Это происходит, например, с узлом (15) при M2 < Mi + п (см. подробное обсуждение эффекта в статье [3]), но другие варианты можно обнаружить на рис. 1, c или при возмущении ферм на рис. 2. Н
Второй этап процедуры обоснования стандартен: применяется лемма о «почти собственных числах» (см. обзор [8] или следствие спектрального разложения резольвенты [9, §6.3]) и благодаря малости невязки глобального асимптотического приближения в задаче (10), (11) выводятся оценки
|Л|+р(е± + £0) - L± - eLP±(0)| < Ce3/2 при |0| < c£-1/2, (32)
где p = 1, 2, а c и C — некоторые положительные постоянные. Обращаем внимание на два обстоятельства. Во-первых, в конструкции глобального приближения используются гладкие продолжения функций Yp и Yp с множества ет0 на его окрестность, содержащую возмущенную ячейку ете, — они востребованы в случае ете ет0, например, при положительной профильной функции. Подчеркнем особо, что введенные ранее ограничения на гладкость данных h и dw, а также равенства h(s, 0) = h(s, 1) = 0 нужны лишь для упрощения как финальных формул, так и изложения материала, в частности, описания процедуры оправдания асимптотики. Вместе с тем, сами выводы о собственных числах и спектральных лакунах остаются в силе при произвольных кусочно-гладких профилях, порождающих, в частности, ребра и уступы (см. книгу [10, гл.5, 9], статью [11] и др.), и даже при «совсем негладких» вариациях границы (ср. работу [12]). Во-вторых, возникновение в рассматриваемом «гладком» случае мажоранты Ce3/2 вызвано чисто техническими моментами доказательства и при учете установленной простоты собственных чисел Af+p(£± + £0) нетрудно улучшить оценку, заменив мажоранту величиной C'е2, путем привлечения младших асимптотических членов.
Сформулируем полученное утверждение.
Теорема 3. Пусть выполнено требование (30), а собственное число M2 задачи (4) простое (т. е. к =1 в последовательности (5)). Тогда найдутся такие положительные £о, ро и c, C, что при е £ (0, £0) и п = £± + £0, |0| < се-1/2 в ро-окрестности точки L± задача (10), (11) имеет в точности два собственных числа Л|(£± + £0) и Л|(£± + £0), и для них верны соотношения (32), причем величины L± и L'p± вычисляются по формулам (17) и (29).
Поскольку было проверено, что |Af+p(n) — Л°+р(п)| ^ C£ и
|А°+р(п) — L±| > со|п — £| > coci£1/2 при |п — £±| > ci£1/2,
из теоремы 3 и формул (29), (31), (32) нетрудно вывести очередное утверждение, к которому присовокупим результат [3] о раскрытии лакуны вблизи точки Л = М1 + п2 (см. формулу (15) и рис. 1,с).
Следствие 4. 1) Если
1
М1 + п2 <М2 и У е2™2 У ^(в,г)|д„^1(у)|2 ^¿г = 0 е С, (33)
0 дш
то между сегментами В и раскрыта лакуна СЦ шириной О(е).
2) Если выполнены требования (16), (30) и к = 1, то между сегментами и раскрыта лакуна шириной О(е).
Отметим, что в условиях (16), (30) и (33) следствие 4 дает две раскрытых лакуны, но при М2 е (М1, М1 + п2) —лишь одну (ср. замечание 2).
В данной статье не приводятся асимптотические представления для длин и концов лакун: простые формулы для СЦ указаны в работе [3], а формулы для найденные по экстремумам функций (29), оказываются слишком громоздкими и и потому бесполезными.
Рассмотрим двумерный волновод, положив й =2, = (0, В) х К и
= {х = (у, 2) е К2 : у е К, -£й-(ж) < г < В + £й+(ж)},
где В > 0 — ширина полосы а Н± — 1-периодические функции, по-прежнему гладкие для простоты. Собственные числа модельной задачи на отрезке (0, В) и соответствующие собственные функции, фигурирующие в формулах (3) и (6), принимают вид
Мк=тт2В-2к2, \¥к(у) = у/Щшт^В^ку). (34)
Если И > а/3, то М-2 < М\ + 7г2, и, как пояснялось выше, лакуна закрыта при малом е. Пусть выполнено соотношение а/3 > И > ^3/4, означающее, что М\ +7г2 < М2 < М1 + 4п2 (ср. требования (16) и (33)). Тогда результаты [3] показывают, что при малом £ в предположении Н =0 е С открыта лакуна СЦ с концами
5?± = п2(1 + В-2) + £ (-Н° ± |Н1|) + 0(£2);
здесь
оо
п2 Г
= У + М*)) <1*. (35)
0
При значении И = а/3 возможны все ситуации: длина лакуны составляет 2£|Н°| + 0(£2), а также обнаруженный зазор частично или полностью перекрыт сегментом — в работе [3] вычислена асимптотика концов лакуны
= 4п2 - £(Н° + |Н1|) + 0(£2), = 4п2 - £ шт{Я° - 4Н°} + 0(£2).
Полное перекрытие зазора происходит в случае 3Н° > -|-Н.| и заведомо имеет место при увеличении объема волновода вследствие возмущения его стенок.
Теперь при условии (16), т.е. для полосы шириной Б < у/Щ, обследуем спектральные сегменты В и лакуну между ними. В силу явных выражений (34) формулы (17) и (26) принимают вид
е± = - (1 ± V2), ь = +(V2 + , (36)
Ни = \н-21= Но, Щ := #12 = Я21 = ^ / е2™(М*) " М*))
2
1
Пусть, как и ранее, £ = > п. Функции
¿р (0) = -¿(5Я0 - 40(£ - тг)) ± ^4|Я#|2 + (Ш + ЗЯ0)2 (37)
из формулы (29) достигают максимума (р =1) и минимума (р = 2) в точках
Подстановка выражений (36) и (38) в соотношения (37) и (20) дает асимптотические представления для концов лакуны которая всегда раскрыта в случае Я# = 0 € С при малом е. Подчеркнем, что симметричное (Л.+ = возмущение полосы нарушает последнее условие и для исследования раскрытия лакуны нужно строить младшие асимптотические члены.
Дальнейшее уменьшение ширины О полосы П0 приводит к большему количеству раскрытых лакун, что вполне согласуется с результатами [13, 14] об исчезающе тонких периодических квантовых волноводах. Это продемонстрировано на рис. 1,с, отвечающем случаю Я2 € (М1 + 9п2, М1 + 16п2), т. е. О € (5-1/2, 3-1/2). При помощи простых вычислений можно убедиться в том, что при О ^ +0 количество раскрытых лакун, порожденных расцеплением одиночных узлов типа (15) и парных узлов типа (17), неограниченно возрастает. Напомним, что с самого начала было произведено масштабирование и период I возмущения был сделан единичным, а значит, утончение полосы равносильно удлинению периода. Подчеркнем, что это обстоятельство и проделанные вычисления приводят к следующему простому наблюдению: путем подбора периода I возмущения единичной (О =1) полосы можно образовать лакуну с центром в любой точке интервала (7г2,47г2) непрерывного спектра задачи (1).
Наконец, обратимся к особому случаю И = 3/8, когда в узле Р4 = (тг, 357г2/3) перекрещиваются две пары дуг фермы (см. рис. 2, с). В принципе он исследуется по прежней схеме, однако приводит к весьма громоздким выкладкам при решении аналогичной (27), (28) системы четырех линейных алгебраических уравнений. Впрочем, при дополнительных ограничениях
1
/("+(г) -Мг))'ь = 0 €С- 9 = 1-2
0
система распадается, а неравенства Я1,Яз = 0 € С для величин (35) обеспечивают следующий вывод: лакуна раскрыта при требовании
(-Яо -|Яз|, -Яо + |Яз|) П (-4Яо - 4||Я1|, -4Яо + 4|Я1|) = 0.
Оба условия нетрудно соблюсти, например, подбором профиля симметричного (h+ = h—) периодического возмущения полосы (0, л^/3/8) х IR. Тем не менее, общая ситуация по-прежнему нуждается в анализе.
Литература
1. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, №4. C.3-52.
2. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1950. Т. 73. С. 1117-1120.
3. Назаров С. А. Открытие лакуны в непрерывном спектре периодически возмущенного волновода // Матем. заметки. 2010. Т. 87, №5. С. 764-786.
4. Harrison J., Kuchment P., Sobolev A., Winn B. On occurrence of spectral edges for periodic operators inside the Brillouin zone // J. Phys. A. 2007. Vol.40, N27. P. 7597-7618.
5. Exner P., Kuchment P., Winn B. On the location of spectral edges in Z-periodic media //J. Phys. A. 2010. Vol.43, N47. id 474022.
6. Борисов Д. И., Панкрашкин К. В. Открытие лакун и расщепление краев зон для волноводов, соединенных периодической системой малых окон // Матем. заметки. (в печати) arXiv: 1203.0201.
7. Като Т. Теория возмущений линейных операторов. М.: Мир, 1972.
8. Вишик М. И., Люстерник Д. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи матем. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.
9. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
10. Mazja W. G., Nazarov S.A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestörten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag, 1991. (Англ. перевод: Maz'ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhäuser Verlag, 2000.)
11. Назаров С. А., Олюшин М. В. О возмущениях собственных значений задачи Неймана вследствие вариации границы области // Алгебра и анализ. 1993. Т. 5, №2. С. 169-188.
12. Kozlov V. On the Hadamard formula for nonsmooth domains //J. Differential Equations. 2006. Vol. 230, N 2. P. 532-555.
13. Yoshitomi K. Band gap of the spectrum in periodically curved quantum waveguides //J. Differential Equations. 1998. Vol. 142, N 1. P. 123—166.
14. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of narrow periodic waveguides // Russ. J. Math. Phys. 2008. Vol.15, N2. P. 238-242.
Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.
