О лакунах в спектре лапласиана в полосе, возмущенного ограниченным периодическим оператором Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 10. № 2 (2018). С. 13-29.

УДК 517.958, 517.984, 519.21

О ЛАКУНАХ В СПЕКТРЕ ЛАПЛАСИАНА В ПОЛОСЕ, ВОЗМУЩЕННОГО ОГРАНИЧЕННЫМ ПЕРИОДИЧЕСКИМ ОПЕРАТОРОМ

Д.И. БОРИСОВ

Аннотация. В работе рассматривается Лапласиан с краевым условием Дирихле в бесконечной плоской полосе, возмущённый ограниченным периодическим оператором. Возмущение вводится как произвольный ограниченный симметрический оператор в ¿2 на ячейке периодичности, который затем периодически распространяется на всю полосу.

Изучается зонный спектр такого оператора. Основной полученный результат - отсутствие спектральных лакун в нижней части спектра при достаточно малом периоде потенциала. Верхняя оценка на период, гарантирующая данный результат, выписана явно в числовом виде. Она также включает в себя определенную характеристику возмущающего оператора, которую можно нестрого охарактеризовать как "максимальную осцилляцию возмущения". Также явно выписана длина части спектра, в которой гарантировано отсутствие лакун. Подобный результат можно трактовать как частичное доказательство усиленной гипотезы Бете-Зоммерфельда об полном отсутствии внутренних лакун в зонном спектре периодических операторов для достаточно малых периодов.

Mathematics Subject Classification: 35Р05; 35В10

1. Введение

Одна из классических гипотез в теории периодических дифференциальных операторов - это гипотеза Бете-Зоммерфельда. Она предполагает, что по крайней мере у широкого класса многомерных периодических операторов в спектре может быть лишь конечное число лакун. Эта гипотеза была доказана для серии операторов в многомерных пространствах. Для оператора Шрёдингера с периодическим потенциалом данная гипотеза в различных размерностях и различных предположениях на потенциал была доказана в работах [1] [6], Для магнитного оператора Шредингера эта гипотеза была установлена в статьях [7], [8]. В работах [9]-[11] рассматривался полигармонический оператор с различными возмущениями, самое общее из которых - это псевдодифференциальный оператор меньшего порядка. При определённых условиях на возмущение была доказана гипотеза Бете-Зоммерфельда. Отметим ещё, что цитированный список работ по гипотезе Бете-Зоммерфельда не претендует на полноту; дальнейшие работы можно найти в списках литературы процитированных статей.

Гипотезу Бете-Зоммерфельда можно интерпретировать как отсутствие лакун в верхней части спектра рассматриваемого оператора. Другими словами, правее (выше) некоторой точки спектр представляет собой полуось и потому не содержит спектральных лакун. Независимый интерес представляет вопрос об отсутствии лакун в нижней части спектра. Подобный результат содержится в главе 15 книги [6]. Здесь рассматривался оператор

D.I. BoRisov, On spectral gaps of a Laplacian in a strip with a bounded periodic

perturbation.

© Борисов Д.И. 2018.

Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 18-01-00046.

Поступила 25 января 2018 г.

Лапласа в многомерном пространстве размерности три и больше. Данный оператор возмущался ограниченным самосопряжённым оператором, периодическим относительно некоторой рациональной решетки. Было доказано (Теорема 15,2), что при достаточно малой норме возмущающего оператора в спектре рассматриваемого оператора вовсе нет спектральных лакун, В частности, это означает отсутствие лакун в нижней части спектра, то есть, левее (ниже) некоторой точки, В случае когда возмущение есть оператор умножения на периодический потенциал, в размерности три условие рациональности можно заменить на условие включения периодической решетки кубической подрешетки, см, [6, Гл. IV, §16, Теор, 16,2],

В настоящей работе мы рассматриваем Лапласиан в полосе, возмущённый ограниченным периодическим оператором. Подобный выбор области отличает нашу работу от цитированных выше. Мы рассматриваем случай, когда период возмущающего оператора достаточно мал. Основной полученный результат - отсутствие лакун в нижней части спектра для достаточно малого периода. Одним из достоинств полученного результата является то, что верхние оценки периода и длину числовой области значений возмущающего оператора, гарантирующие отсутствие лакун, выписаны явно в виде конкретных чисел. Также явно определена длина нижней части спектра, в которой гарантировано отсутствие лакун. Основным свойством этой части спектра является то, что её длина степенным образом возрастает с уменьшением периода.

Интерес к случаю малого периода отчасти мотивирован и серией работ по усреднению операторов с быстро осциллирующими коэффициентами и различными возмущениями из теории граничного усреднения в областях типа полос и бесконечных цилиндров [12] [18]. Во всех этих работах в случае чисто периодического возмущения возмущённые операторы оказываются периодическими с малым периодом, В этих работ была доказана равномерная резольвентная сходимость возмущённых операторов к определённым усреднённым, откуда вытекает, что их спектр сходится к спектрам усреднённых операторов. Вместе с тем из общих результатов о сходимости не вытекает отсутствие лакун, а лишь то, что каждая такая лакуна, если существует, убегает в бесконечность при уменьшении малого параметра. Под убеганием понимается ситуация, когда расстояние от нижнего края спектра до данной лакуны растёт при уменьшении малого параметра. Вопрос о скорости роста такого расстояния рассматривался в работах [16] [18]. Здесь были построены двупараметрические асимптотики для первых зонных функций, из которых вытекает, что расстояние от края спектра до первой лакуны по меньшей мере есть величина О (е-2), где е - малый параметр, В настоящей работе для рассматриваемой модели аналогичный результат значительно лучше - здесь расстояние не меньше О (е-6), нижняя оценка для этого расстояния выписана явно, без каких-либо неопределённых констант.

После того, как данная статья была направлена в печать, автору стало известно об ещё одной работе - диссертации [19], в которой была доказана гипотеза Бете-Зоммерфельда для оператора с постоянными коэффициентами в полосе с ограниченным периодическим симметричным возмущением. Точнее, в полосе ширины жг, г > 0, рассматривался оператор

<92 д2

-'а - щ + в <1Л>

с краевыми условиями Дирихле, где В - периодический ограниченный симметричный оператор в пространстве ¿2- Основной результат [19] относительно спектральных лакун утверждает: при условии

аг > 16

в спектре рассматриваемого оператора имеется лишь конечное число лакун. Вопрос о полном отсутствии внутренних спектральных лакун в [19] не обсуждался. Подчеркнём ещё, что применяемая нами методика на уровне ключевых оценок качественно отличается от подхода работы [19], см, соответствующее обсуждение в § 6,

2. Постановка задачи и основные результаты

Пусть х = (х1, х2) - декартовы координаты в R2, П := {х : 0 < х2 < к} - горизонтальная полоса ширины -к, е - достаточно малое положительное число. Обозначим: □£ := {х : |xi| < en, 0 < х2 < 7г}, С£ - симметричный оператор в L2(D£), ограниченный для каждого рассматриваемого значения е. Этот оператор порождает оператор в Ь2(П) следующим образом. Так как сужение функций из £2(П) на □ есть элемент из L2(□:), то в смысле такого сужения оператор С£ применим к функциям из Ь2(П). Результат действия оператора С£ продолжим нулём вне После такого продолжения оператор С£ уже действует в Ь2(П). Пусть S(п) - оператор едвига в Ь2(П), действующий по правилу: (S(п)и)(х) = и(х1 — 2еттп, х2). Через V£ обозначим следующий оператор в Ь2(П):

V£ := ^ 5(—n)C£S(п). nez

Оператор V£ симметричен, ограничен и периодичен. Последнее свойство понимается в смысле равенства

Ve5(р) = S(p)Ve для всех р Е Z.

П

Н := — Д + V£ (2.1)

с условием Дирихле. Этот оператор рассматривается как неограниченный оператор в Ь2(П) па области определения РУ22(П), Здесь W2^ (П) := (П,дП), а W2^(Q,S) - пространство функций из W2(П), заданных па некоторой области П и обращающихся в нуль на кривой S.

Так как оператор V£ симметричен и ограничен, то теореме Като-Реллиха оператор Н£ самосопряжён.

Оператор Н£ имеет зонный спектр, который вводится как объединение образов зонных функций. Зонные функции Е1^ (г), k ^ 1 - это упорядоченные по возрастанию с учётом кратноетей собственные значений соответствующих операторов на ячейке периодичности □£, зависящие от (масштабированного) квазиимпульса т Е [— 1, 1), Для оператора Н£ соответствующий оператор на ячейке есть

д_ Л2_

1 £ J дх2

па □ с краевым условием Дирихле па верхней и нижней границах ячейки □£ и с условием периодичности на боков ых сторонах 1± стойки 1± := {% : х1 = ±£к, х2 Е (0,7г)}. Оператор Н£(т) рассматривается как оператор в L2(□) на области определения W%per д□ П 5П) - пространстве функций из д□ П дП),

удовлетворяющих периодическим краевым условиям па боковых границах 1±.

Для оператора С£ обозначим:

UCs := sup (C£u,u)L2m — inf (C£u,u)L2{□s),

.Cl./П.ч ueLoiU s)

Не(т) := ^^ + Çj — ^ + Се(т), С£(т)u := eïC£e-ï4

ueb2(Os) и «el2(°s)

\m\l2( ds)=i м^вд"1

иеь 2(и£)

Мь2(ВД=1

Через а(-) обозначим спектр оператора, через [■] - целую часть числа. Основная цель работы - доказать отсутствие лакун в определённой части зонного спектра оператора Н£. Основной результат сформулирован в следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть £ ^ £0, £2шсЕ ^ Ь0, где

кЬп . . Зл/2 5Л/7 , .

5£0 + — ^ 2А0, Л := —---—. (2.2)

0 4 0,0 128 896 1 ;

Обозначим:

Тогда часть спектра

Ас + л/АО - 4Ьое - е2 К := --. (2.3)

-ТО, -^--+ Ле

оператора, Не не содержит лакун.

(-

([К2] + 1)2

2

Па(Не) (2.4)

Обсудим основной результат. Сразу отметим, что подкоренное выражение в определении Ке

2 пЪс£ 2 ^ (Ьес , пЬс\2 пЬс£с 2 21 ¿0 3п Ьс£с п &2

Ас - £о = Т + + ^0,

Ке

Не

ет спектральных лакун в нижней части спектра. Кроме того, имеется гарантированная

Ке

как 0(е-1), Поэтому в силу (2.4) нижняя часть спектра, свободная от лакун, имеет длину по меньшей мере 0(е-6), Это существенно более сильный результат по сравнению с результатами работ [17], [18] для модели с частой сменой краевых условий, где утверждалось отсутствие лакун на части спектра длиной, не превосходящей Се-о с неопределенной константой С. Отметим ещё, что длина обсуждаемой части спектра возрастает с умень-

Явные числовые константы в утверждении теоремы 2.1 - неоптимальны и могут быть улучшены. Вместе с тем это требует использования дополнительных громоздких технических деталей, которые серьёзно усложнили бы приведённое далее доказательство теоремы 2.1. Именно поэтому выбор был сделан в пользу неоптимальных констант.

Следует подчеркнуть, что выбор краевого условия Дирихле на границе полосы П сделан лишь для определённости. Если на границах полосы задается краевое условие Неймана, либо задаётся комбинация краевых условий Дирихле и Неймана на верхней и нижней границах, техника нашей работы применима и в таком случае и приводит к результату, аналогичному теореме 2.1.

Обратим ещё внимание на тот факт, что условие (2.2) накладывается фактически на максимально допустимые значения периода и размер области значений оператора Се. В частности, из определения величины Ьс следует, что для любого оператора Се, ограниченного равномерно по е, за счёт выбора достаточно малого £с всегда можно добиться выполнения условия (2.2) и как следствие - отсутствия лакун в нижней части спектра.

В заключение сравним наш основной результат с результатом диссертации [19]. Для простоты будем считать, что В в (2.1) - это оператор умножения на некоторый ограниченный измеримый вещественный потенциал V, который 2п-периодичен по х1. С помощью замены

х1 х2

х1 м- —, х2 м- —, аг г

оператор (1.1) приводится к оператору

—А + г^ (агх1,х2)

в полосе П. После обозначения е := ^ последний оператор превращается в оператор (2.1) с

¿е = ^ ,4 («)

Для такого оператора результат [19] утверждает наличие лишь конечного числа лакун в спектре, при этом ситуация полного отсутствия лакун либо положение первой возможной лакуны не изучались.

Чтобы применить теперь наш результат, вначале отметим, что для оператора (2,5) величина шс£ имеет вид

шс£ = , w* := sup V(x) — inf V(x)

и условие (2,2) переписывается в виде

fe0 + ^ i 2Д,

Из последнего неравенства в силу теоремы 2,1 следует, что при не слишком больших ос-

V

Для спектра исходного оператора (1.1) это означает, что часть его спектра до точки ([К2] + 1)2е-2 + Ае свободна от внутренних лакун. Отметим ещё, что последняя величина есть 0(е-6) при е ^ +0,

3. Примеры

В настоящем параграфе мы приводим два основных примера оператора С,

3.1. Потенциал. Первый пример - это оператор умножения на потенциал Ve(x) = V (^1 ,х2,е). Здесь V = V(£,x2,е) е L^(Di) - ограниченная измеримая вещественная функция для каждого значения е. Потенциал V принадлежит L^(De), Соответствующий оператор V£ - это умножение на периодический потенциал, полученный 2пе-продолжепием У£ по x1 на всю полосу П, Такой оператор удовлетворяет всем требуемым условиям, а величина шс£ превращается в осцилляцию потенциала:

шс£ = шу := ess sup V — ess inf V.

[0,2я-]х[0,я-] [0,2^]х[М

V

от параметра. Например, пусть

V (£ ,ж2, е) = £-a(e)W (С ,Ж2),

где W е L^(D1) - ограниченная измеримая функция, а(е) ^ q ^ 2. Тогда шу = £-aww и условие (2,2) превращается в следующее:

2-q

5е0 + ^ 2^0.

Если q < 2, то последнее неравенство выполнено для любого ww при достаточно малых £0. Если q = 2, то требуемое неравенство выполнено при не слишком больших ww-

3.2. Интегральный оператор. Наш второй пример - это интегральный оператор вида

(С£и)(х) = У Р ,Ж2,^1, V2,£Sju(y)dy,

ОехОе

где ядро Р(£,x2,(, у2, е) - функция из L2(П2) для каждого значения е, удовлетворяющая условию:

Р (С, У2,C,Ж2, £) = Р ,Х2,С У2, £). Такой оператор вновь удовлетворяет требуемым условиям. Точно вычислить величину wcs нам не удалось, однако её можно оценить сверху:

' ! \2

2

dx dy

ис£ ^ 2 J |к(х-,Х2,У2,е)

£ £ / К

Р(x,y, е) = £-a(e)Q(x, у)

2£ ||Р (-, e)||i2(n?). (3.1)

где а(е) ^ q ^ 3, В этом случае из оценки (3,1) следует, что

шс ^ 2£3-д\\QWb(П1)

и условие (2,2) принимает вид:

3-Я

ЖЕ

5е0 + -2^-\Мк(п2) ^ 2^0.

Отметим ещё, что в качестве оператора Се можно взять сумму потенциала и интегрального оператора из описанных выше примеров,

4. Считающие функции

В настоящем параграфе вводится ряд вспомогательных понятий и обсуждаются предварительные утверждения, которые будут использованы далее в доказательстве теоремы 2,1, Для произвольного Ь > 0 через N¿2е (Ь, т) обозначим считающую функцию оператора Н£(т) - число собственных значений этого оператора с учётом кратноетей, не превоеходя-

т 2

щих

к ' - - Ь

NCs (L, т) := ma^< к : Eks (г) ^ —

[к --Et(г) ^ L2} . (41)

Так как зонные функции (г) упорядочены по возрастанию:

ЕI (г) ^ЕI (г) ^ ... ^Ек е (г) ^ ..., то при фиксированном L величинa sup Nе (L, т) есть число зонных функций, чьи ми-

т е[-1,2)

L2

нимумы не превосходят а величинa inf N£ (L, т) - число зонных функций, чьи мак-

^ е[-Ü)

L2

симумы не превосходят — , Всюду далее для упрощения записи вместо sup и inf " £ " " ге[-1,1) 1 > D

sup inf

г т

Пусть две какие-то соседние зоны спектра перекрываются, то есть,

[min Е^е(г),maxЕ^£(г)] П [minE^+:(r),maxE^+:(r)] = 0

или

nfc

Jc£

max Ek (т) ^ minE^+1(r).

T s T E

Это эквивалентно тому, что при

L2

min Er (г) ^ —г ^ max Екс (г)

т s £2 т s

выполнено неравенство

sup Ncе (L, т) - inf Nе (L, т) > 1. (4.2)

г т

Таким образом, некоторая часть зонного спектра между точками А- и А+ не содержит спектральных лакун, если для всех ^ ^ [А-, А+] выполнено неравенство (4,2),

Проверять непосредственно неравенство (4,2) - весьма сложная задача. Поэтому наш следующий шаг - оценка левой части неравенства (4,2) через схожую разность, но для считающих функций более простых операторов,

С учётом возможности сдвига спектрального параметра без ограничения общности можно считать, что

if (Ceu,u)b2{as) = 0.

Тогда

шс £ = sup (Ceu,u)L2(a£) (4.3)

«SL2(D£) INI L2(D£)=1

Квадратичная форма, соответствующая оператору 'Не(т), имеет вид:

Ы. М :=

О дХ+т)"

+

)

ди

дх2

¿2(П£ )

+ (С

£е £ Х1и,е Х1и,

Ь2(Ое )

на \V2per(Пе,дП£ П дП), Учитывая теперь оценку

О ^ (С£и,и)Ыа£) ^ шСе\\и\\2L2(as), в силу принципа мпнпмакса легко видеть, что для зонных функций Е^ верны оценки:

Ек0(т) (г) (г). (4.4)

Следовательно,

Тогда

щ(л/Ь2 - е2исЕ, т) = мШСе (Ь, т) ^ мСе (Ь, т) ^ щ(Ь, т).

вир (Ь, т) - 1п£ (Ь, Т) ^ вир - е2^, т) - 1п£ Ы0(Ь, т),

и для проверки неравенства (4.2) достаточно доказать, что

вир - е2шс£, г) - 1п£ Жо(Ь, г) ^ 1.

т т

И так как функция М0 целочисленная, то для проверки последнего неравенства достаточно убедиться, что

вир

т

Ио^Ь2 - £2 шс£, г) - т£ Ио(Ь, т) > 0.

(4.5)

Именно последнее неравенство мы и будем проверять в доказательстве теоремы 2.1.

Выпишем теперь явную формулу для функции М0. Собственные значения оператора %0(т) и соответствующие собственные функции легко находятся разделением переменных:

п ( п _+ 7")2 о и 1пхХ

Лп т(^~) =--¡г- + т2, фпт(х) = е^в1птх2, п е т е N.

(4.6)

Поэтому зонные функции (т) есть числа Л°т(т), упорядоченные по возрастанию с учётом кратностей. Возвращаясь к определению (4.1) для считающих функций, видим, что И0(Ь, т) есть число целых точек (п,т) на плоскости, удовлетворяющих неравенству (п + г)2 + е2т2 ^ Ь2, то есть,

И(Ь, т) = #{(п,т) : (п + г)2 + е2т2 ^ Ь2, п е Z, т е К}

£

га:|га+т

л/Ь2 - (п + Г)

£ л/Ь2 - (п + Г)2

п=-[Ь+т ]

(4.7)

2

2

2

5. Доказательство основного результата

В настоящем параграфе мы доказываем теорему 2,1, Доказательство удобно разбить на несколько этапов,

5.1. Пересечение первых двух зон. Вначале отметим, что из (2,2) немедленно вытекают априорные оценки для ео и Ьо:

2 Ао ^ 8 Ао пешс£ , 2Ао

£о ^ -=-, Ьо ^ -, —-— ^ -. 5.1)

5 л 4 £

Основная идея состоит в том, чтобы определить интервал значений L, для которых выполнено неравенство (4,5), Отсутствие лакун следует проверить для положительных L, удовлетворяющих оценке

L2 ^ £2 inf а(Не).

Вместе с тем в силу неотрицательности оператора £ и равенства (4.3) для величины шсе нижняя граница существенного спектра оператора Н£ удовлетворяет оценке

1 ^ inf а{Не) ^ 1 +шсе

и при

£ 2 inf а (Не) <L2 < £2ШС е

неравенство (4,5) теряет смысл, так как в первом слагаемом в левой части корень оказывается чисто мнимым. Поэтому в начале спектра отсутствие лакун мы докажем на основе оценки положения первых зон спектра.

Из формул (4,6) и оценки для £0 в (5.1) следует, что первые две зонные функции E¿(r) и Eq(t) - чётные по т функции, имеющие вид:

Е1(т) = ^ + 1, Eo2(r) = mi^(^=^ + 1,£ + 4} , re [0,1].

Отсюда вытекает, что

1 (i _ з£2)2

max El (т) = — 2 + 1, min E02 (г) = 4, max E02 (г) = -—

т 4£2 т т 4£2

где в последнем равенстве правая часть возникает как значение функций т м- (1 ^—+ 1,

2

т м 12 + 4 в точке пересечения графиков. В силу оценок (4.4) и (5.1) отсюда следует, что

i 1 2 2 (1 - 3е2)2

maxE1 + 1, minE2 ^ 4 + , maxE2 —, , ' +4.

£ 4е 2 т £ т £ 4£2

Так как в силу (5.1) и положительности шсе

1 1 А Л 1

ü2^ ^ ^ 4 - Ч > 3 ^ 4 + Шс£ ^ ü2 +1,

то первые две зоны спектра пересекаются и интервал

(1 _ 2)2 Ыа(Не), (1 ^ ) +4

не содержит спектральных лакун. Таким образом, неравенство (4.5) достаточно проверить для

. (1 - 3е2)2 . 1 + 10е2 + 9е4 1

Ь2 ^--—+ 4£2 =---

4 4 4

Ь

5.2. Случай 1 С Ь < 1. Здесь мы считаем, что

1 VI + 10е2 + 9е4 ^ г 1

- <- С Ь < 1.

22

Ь

^ < л/Ь2 - £2шс- < 1.

Следовательно,

^(л/Ь2 - е2шС£, 0)

л/Ь2 - £2Шс-

No(Ь, 1 -Ь)

/2Ь - 1

(5.2)

и при дополнительном условии

Ь2 ^ ^ + е V-

верно

N0

(уЬ2 - , 2)

^Ь2 - £2ш£- -

Пусть Ь* е (2, 1)

такое число, что

\/Ь2 - £2^- - 4 1 _ \/Ь* - е2ш£. - — 1 — -

Ь

/

Тогда при

-9-+е -.

- С Ь < Ь

(5.3)

(5.4)

в силу (5.1) имеем:

вир

т

N0^Ь2 - е2шс-, г) - ЫЩ(Ь, т) > N0^Ь2 - £2шс-, 0) -Щ(Ь, 1 - Ь)

^ л/Ь2 - £2шс- -У2Г-Г 1

При

(Ь - 1)2 - еV

£^Ь2 - £2шСе ^^/2L—1) (Ь* - 1)2 - е V-

1

е0^Ь2 - £2ш£- + \/2Ь* - 1)

1 > 0.

2 8Л0

ь с ь < 1

2

2

-

0

условие (5,3) выполнено и с учётом (5,2), (5,4) получаем: sup Nq(^JL2 - £2шсе, г) - inf No(L, г)

г т

^ No ^л/L2 - £2шсе, 0 - No(L, 1 - L) ^L2 - еVе - 4 -V2L-1

(5.5)

-2 > 0.

5.3. Общий случай: вспомогательные оценки. Далее считаем, что Ь / 1. Обозначим К :— [Ь], а :— {Ь}, где {■} дробная часть числа. Начнём с очевидных соотношений:

п ^ т /Т2-2--е - ^ £2шс- . 8А0 , ,

0 С ь -л/Ь2 - £2шС- — --, 0 0 С —:— С -, (5.6)

L + л/L2 - £2UCs L

ж

справедливых в силу оценок (5.1) и Ь / 1. Обозначим:

Ь/Ь, X, В) :— /Ь2 -В - X2, ^2(Ь, X, А) :— л/Ь2 - (X + А)2, Fo(Ь, X, А, В) :— 2^1 (Ь, X, В) - Ь2(Ь, X, А) - ^2(Ь, X, -А).

Прямыми вычислениями несложно проверить, что

Ь0(Ь, X, А, В) — (А2 - В) ( —------ + —--—--- )

0( , , , ) ( )\Fl(Ь,X,В) + F2(Ь,X,А) +Fl(Ь,X,В) + F2(Ь,X,-А)]

8А2 X2 1 1

+ ) + Ь2(Ь^,А) ) + Ь2(Ь, X,-А) FйL/xА+FjAX,-А'

Из этого представления следует, что при положительных подкоренных выражениях функция F0(Ь^, А, В) положительна для В С А2, А > 0 и монотонно возрастает при X / А / 0. Кроме того, для таких X верна оценка:

„ N 1 X2 \ л2 Ь2 + 2А^ -А)

0 К^ЬЖ-А) + FШXГ-А^ > А2■ М

Отметим ещё одно очевидное неравенство для F0(Ь,X,А,В): /Ц-в

0 ^ У Ь^,А,В) -Fo(Ь,X,А, 0)) (х 0

/и-в /и-в

В (Их Г В (х (5.8)

—

J F1(L,X,B) + F1(L,X, 0) J 2F/L,X,B)

oo

B X

—— arcsin

2 VL2 -B

жВ

t =2Aq

q

2

ь -n

o

5.4. Общий случай: а ^ 4. С учётом (4,7) имеем:

вир

Ма(^Ь2 - е2^, т) - т£ Ма(Ь, т) > N0^л/Ь2 - е2шсе, 0 - ^(Ь, а)

У^2-е2 - 2]

Е

^-У2-^+§ ]

У^-е2^ - 2]

Е 2

V

га=0

Ь2 - е2^е - (п + 2)

Ь2 - е2^е - (п + 4)

у/Ь2 - (п + а)

К-1

Е

п=-К

^Ь2 - (п + а)2

(5.9)

Отсюда в силу (5.6) выводим:

к-1

вир ^(л/Ь2 - е2шсе, г) - Ш ^(Ь, т) ^ ^ 2

к-1

Е

га=0

^Ь2 - (п + а)2'

+

п=0 2

\!Ь2 - е2исе - (п + 1 )2'

у/Ь2 - (п +1 - а)

(5.10)

где для краткости обозначено:

к-1 ,

5*1 (Ь) := X] Л(п,Ь), Л(х,Ь) := Р0 ( Ь,х +

га=0 ^

11

о | Ь,х +2, ^ - а,£ шсе

Из описанных выше свойств функции Р0 вытекает монотонное возрастание по х ^ 0 функции f1 (х, Ь) и положительность f1 (0,Ь):

к-1

51 (Ь) ^ ¡1(0, Ь)+ Ь(х, Ь) ¿х, Л(0, Ь) > 0.

(5.11)

Хотя интеграл в левой части этого неравенства можно вычислить явно, нам удобнее оценить его перед непосредственным интегрированием.

При К =1 интеграл в (5.11) обращается в нуль и в силу (5.1)

/1(0,1 + а) ^ | 2а/(1 + а)2 - 1 - Ъ0 - - У1 + 2а

)

>2 0

а= 4

Далее рассматриваем случай К ^ 2. Из (5.8) немедленно вытекает:

(5.12)

К-1

I (Л(х,Ь) -Ро(

Л(х,Ь) - Р0 ( Ь,х + -, - - а, 0 ) ) ¿х

22

У2-

£2ШС£

(^о^Ь, х, 2 - а, £2- Ро ^Ь, х, 2 - а, 0^

¿х > —

2

П£ 2Шс Е

4~

(5.13)

2

2

В силу (5,7) имеем

([L,x, 1 - a, ^

К-1 К-1

2

F0 ( L,x,1 - a, 0 ) dx ^ [ -—-a)(x + a) ^ ^x

16((К + a)2 - (x + a)2)2

К-1+а

( К + a)2 + (1 - 2a)x

dx

16((К + a)2 -x2)2

x + (1 - 2a) К-1+a Fs(a)

16

(К + a)2 + (1 - 2a)x (5,14)

Fs(a)

16^/(К + a)2 -x2 К a 1 a

л/2(К + a) - 1 VK2 + 2aK'

Функция /*(a) монотонно убывает no a G [0, 4] так как

, 1 К -a 1 (1 - a)K

F3 (a) = - ---г - --+ , 0 r^1/2 + V '

(2(K + a) - 1)2 (2(K + a) - 1)2 (K2 + 2aK)1/2 (K2 + 2aK)I

1 _ К - 1 1 1

1 - 3 ' К ' К2

2) \2К 2,

3 113 3

^--=-г--^ +

(2К - 2)1 (2 К - 2)1

тг + ^г ^--+ т < 0.

21 (К - 1)1 К К2 л/14 4 Поэтому в силу (5,14)

JFo (L,x, 1 ^ dx ^ Tj^rF (4) = Л/К 1

1^v/2 6^К2 + 2К

(5.15)

К -4

6^К2 + ±К

13

л/К ^-V^.

500

К=2

Отсюда и из (5.10), (5.12), (5.13), (5.14) окончательно получаем:

sup No(\/L2 - е2^t, г) - inf No(L, г) ^ — - 2 > 0

т T £

L = 1 + a

sup No(VL2 - e2^t, r) - inf No(L, r) ^ i3^ - ^^ - 2К (5.16)

т T 500 £ 4

при L = К + a К ^ 2.

Остальные случаи 1 <a< 1,1 ^ a < ^ a < 1 рассматриваются в целом аналогично. Поэтому далее эти случаи мы описываем достаточно кратко, останавливаясь лишь на основных формулах.

3

3

5.5.

Общий случай: 4 < а < 2. Аналогично (5,9), (5,10) имеем:

вир ^(^Ь2 - £2шсе , г) - 1п£ N0(Ь, т) ^ N0 (^Ь2 - е2шСе, 0) - Nо(Ь, а)

к

п=1

2

1

К

Т.

л/Ь2 - £2шсе - п2

у/Ь2 - (п + а)2

п=1

+

л/Ь2 - (п - а)2

(5.17)

+ л/Ь2 - £2ШСе УЬ2 -а2"

52 (Ь)

2 К 1,

где

к- 1

52(Ь) := /2(п,Ь) + Р1(Ь, 0, е2шСе) - Р2(Ь, 0,а)

га=0

¡2(х,Ь) := Ро(Ь,х + 1,а,е2^£).

Аналогично (5,11) получаем:

к-1

52(Ь) ^ /2(0,Ь) + Р1(Ь, 0, £2шСе) -Р2(Ь, 0,а) + J Л(х,Ь) ¿х,

о

/2(0, Ь) + Р1(Ь, 0, ) - Р2(Ь, 0, а) > 0.

К = 1

1

(5.18)

52(1 + а) ^2^(1 + а)2 - 4 - &о + ^(1 + а)2 - Ьо - У1 + 2а -

> 3 о

При К ^ 2 в силу (5.8) и совершенно аналогично (5.13)

к-1

(У2(х,Ь) - Ро(Ь,х + 1,а, 0)) ¿х ^ -

2

Г"

(5.19)

(5.20)

Аналогично (5.14), (5.15) получаем:

К-1 К-а

( К + а)2 + 2 а х

Ро(Ь,х + 1,а, 0) ¿х ^ 0 ^ 1^(К + а)2 -х2)^

х =

х + 2 а

16^/(К + а)2 -х2

К—а

1—а

1 {К + а 1 + а

16 \2л/аК ^К2 + 2аК + 2а - 1

)

1 /К + 2

3

16 V У2К 2 УК2 + К

Отсюда и из (5.17), (5.18), (5.19), (5.20) выводим:

)

9УК 320 ■

3 о

вир

т

Ь2 - £2шсе, г) - ЫЩ(Ь, т) ^ — - 3 > 0

т £

К = 1

вир N0(VЬ2 - , г) - 1п£ Щ(Ь, т) > ^ - 2К - П£Шс° т т 320£

1

(5.21)

а= 4

а=

2

при К / 2,

5.6. Общий случай: 1 С а < Здесь

вир ^(^Ь2 - е2шс-, г) - 1п£ Щ(Ь, т) / N0 ^Ь2 - е2шс-, 0) - No(Ь, 1 - а)

к

п=1

2

1

к £

л/Ь2 - £2шс- - п2

л/Ь2 - (и +1 - а)2

п=1

+

у/Ь2 - (п - 1 + а)2

+

л/Ь2 - £2ш£-

Л/Ь2 - (1 - а)

2 К 1,

где

к-1

¿з(Ь) :— ]>] /э(п, Ь) + Fl(Ь, 0, е2шс-) - F2(L, 0,1 - а)

п=0

/э(х, Ь) :— Fo(Ь,х + 1,1 - а, £2ш£-)

К — 1

5з(1 + а) /( 2^(1 +а)2 - 1 - Ъ0 + ^(1 + а)2 - 60

- /1 + 2а - - /6а - 3^ При К / 2 аналогично (5,13), (5,14) получаем:

> 3е 0

к-1

(/а(х,Ь) - Fo(Ь,х + 1,1 - а, 0)) (х / -

2

-£ 2 -

(5.22)

и

к-1

1 К + 1 а Fo(Ь,х + 1,1 -а, 0) (х +

2 а

16 у^/2(К + а) - 1 /К2 + 2аК

+ ^ 5

)

Следовательно,

16л/2 32/4К2 + 6 К

3 0

/ v/2А^v/К.

вир N0(\JЬ2 - £2ш£-, г) - 1п£ N0(Ь, г) / ^ - 3 > 0

г Т £

К — 1

вир ^(л/Ь2 - £2шс-, г) - 1п£ N0(Ь, т) / - 2К - - 1

-

(5.23)

при К / 2.

2

3

а=

4

4

5.7. Общий случай: | < а < 1. В этом случае первая оценка аналогична (5,9), (5,10): sup Na(^L2 - е2шсе, г) - inf No(L, г) ^ No ^L2 - е2^е, 0 - No(L, 1 - а)

к

>

Е*

п=0

К

- Е

п=0

Si(L)

L2 - е2шсе - (п + 1)

^L2 - (и + а)2

+

^L2 - (п +1 - а)2

-2 К - 2,

(5.24)

где

S4(L) := ^ h(п,L), h(x,L) := Fo(L,x + 1 ,а - 1, j .

п=0 ^ '

Аналог неравенства (5,11) здесь выглядит следующим образом:

к

S4(L) ^ U(0,L)+ U(x,L)dx

(5.25)

К = 1

оцениваем:

к

j (A(x,L) -Fc^

1

1

f4(x,L) - Fc L, x + -, а - -, 0 dx ^ -

2

и аналогично (5.14) интегрируем:

К . ÄT+l-a

Fc ( L,x + -, - — а, 0 ) dx ^

1

> —

(

22

К + а

)

L2 + (2а - 1)x x + (2а - 1)

l—а

1б((К + а)2 -x)2 1^(К + а)2 -x2

11VK

K+l-а

l—a

а

16 \^/2а - 1V2K + 1 VK2 + 2аК + 2а - 1 Поэтому в силу (5.24), (5.25)

>

а=1

250

sup Nc(y/L2 - е2шсе, г) - inf Nc(L, т) ^ ^ - 2К - ^^ - 2

(5.26)

25 4

для К ^ 1. При К =1 последнее неравенство очевидно выполнено в силу условия (2.2).

5.8. Завершение доказательства. Сравним правые части неравенств (5.16), (5.21), (5.23), (5.26) при К ^ 2. Так как в силу (5.1)

/К

[ — - 2Ac ) > 1, V250 )

то минимальная из сравниваемых правых частей - это правая часть неравенства (5.23). Поэтому правые части неравенств (5.16), (5.21), (5.23), (5.26) будут положительны при К ^ 2, если

2АоУК - 2К - ^ - 1 ^ 0.

4

К = 2

относительно К, получаем, что оно выполнено при л/К ^ К£. Тем самым для таких

2

значений Ке выполнено неравенство (4,5), что с учётом замкнутости спектра завершает доказательство теоремы.

6. Некоторые особенности доказательства

В настоящем параграфе мы обсуждаем определенные особенности доказательства основного результата, приведённого выше,

В оценках (5,9), (5,17), (5,22), (5,24) на первом шаге требуемая разность

вир N0(\JЬ2 - е2шс-, т) - 1п£ ^(Ь, т)

т т

оценивается разностью значений функций

Щ(^Ь2 - е2шс-, п) -N0(Ь, Т2)

1 2

наилучшего результата, точку т^ для функции ^(^Ь2 - е2шс-, т) следует выбирать так, чтобы её значение в этой точке было как можно ближе к максимальному. Для функции ^(Ь, т) выбор точки т2 нужно осуществлять так, чтобы минимизировать это значение. Вопрос о точном нахождении точек глобальных минимума и максимума для функции N0 является весьма сложным. Вместе с тем предварительно проведённые многочисленные численные эксперименты показали, что значение функции Щ(Ь, т) весьма близко к максимальному при т — 0 либо при т — 2, причём конкретный выбор зависит от дробной части а числа Ь. Если дробная часть а < а0 ~ 110 либо а > а0 + 2, то следует выбирать т — 2, а при а0 < а < а0 + 2 следует выбирать т — 0, Полученные таким образом значения функции Щ(Ь, т) мало отличаются от максимальных, В работе мы несколько ухудшаем данное наблюдение, фактически заменяя а0 на 2. Аналогичные приближения для минимума функции т) вновь получаются при подходящем выборе числа т2 в зависимости от

Ь 2 а

ближайшего целого: т2 — т1п{а, 1 - а}. Значения функции ^(Ь, т) в таких точках мало отличаются от минимальных. Во всех известных нам предыдущих работах, поевящённых доказательству гипотезы Бете-Зоммерфельда аналогичная разность

вир N0(\JЬ2 - е2шс-, т) - 1п£ Щ(Ь, т)

т т

оценивалась различными иными методами, позволявшими обойти вопрос о положении точек экстремума считающих функций. Поэтому представленное в настоящей работе доказательство предлагает способ примерного нахождения точек экстремума для считающих

1 2

зательно даёт точные значения экстремумов функции N0 В частности, при Ь — 39.623, £ — 0.0035 выполнено

N0(Ь, 0) — 704646, ^(Ь, 0.499088) — 704816, Щ(Ь, 0.5) — 704808,

а при Ь — 39.635, £ — 0.0035 имеем:

Щ(Ь, 0.365) — 704704, Щ(Ь, 0.3636) — 704701.

Отметим ещё, что в оценках (5,9), (5,17), (5,22), (5,24) мы оцениваем целые части различных величин следующим образом: [ г] / г - 1, Разумеется, это весьма грубо и величина -2 К

Попытки применить известные нам подходящие методы теории чисел из [20] не привели к более тонким оценкам, которые существенно изменили бы величину К£.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Скриганов М.М., Соболев А.В. Асимптотические оценки для, спектральных зон периодических операторов Шрёдингера j j Алг. ан. 17:1, 276-288 (2005).

2. L. Parnovski. Bethe-Sommerfeld conjecture // Ann. H. Poincare. 9:3, 457-508 (2008).

3. B.E.J. Dahlberg, E. Trubowitz. A remark on two dimensional periodic potentials j j Comment. Math. Helvetici. 57:1, 130-134 (1982).

4. B. Helffer, A. Mohamed. Asymptotics of the density of states for the Schrddinger operator with periodic electric potential // Duke Math. J. 92:1, 1-60 (1998).

5. M.M. Skriganov, A.V. Sobolev A. V. Variation of the number of lattice points in large balls // Acta Arithm. 120:3, 245-267 (2005).

6. Скриганов M.M. Геометрические и арифметические м em оды в спектральной теории многомерных периодических операторов j j Тр. МИЛИ СССР. 171, 3-122 (1985).

7. Y. Karpeshina. Spectral properties of the periodic magnetic Schrddinger operator in the high-energy region. Two-dimensional case j j Comm. Math. Phvs. 251:3, 473-514 (2004).

8. A. Mohamed. Asymptotic of the density of states for the Schrddinger operator with periodic electromagnetic potential 11 J. Math. Phvs. 38:8, 4023-4051 (1997).

9. L. Parnovski, A. Sobolev. On the Bethe-Sommerfeld conjecture for the polyharmonic operator // Duke Math. J. 107:2, 209-238 (2001).

10. G. Barbatis, L. Parnovski. Bethe-Sommerfeld conjecture for pseudo-differential perturbation // Comm. Part. Diff. Equat. 34:4, 383-418 (2009).

11. L. Parnovski, A.V. Sobolev. Bethe-Sommerfeld conjecture for periodic operators with strong perturbations 11 Invent. Math. 181:3, 467-540 (2010).

12. Суслина T.A. Об усреднении периодического эллиптического оператора в полосе // Алг. ан. 16:1, 269-292 (2004).

13. Сеник Н.Н. Усреднение периодического эллиптического оператора в полосе при различных граничных условиях j j Алг. ан. 25:4, 182-259 (2013).

14. D. Borisov, G. Cardone, Т. Durante. Homogenization and uniform resolvent convergence for elliptic operators in a strip perforated along a curve // Proc. Royal Soc. Edin. Sec. A Math. 146:6, 1115-1158 (2016).

15. D. Borisov, G. Cardone, L. Faella, C. Perugia. Uniform resolvent convergence for a strip with fast oscillating boundary // J. Diff. Equat. 255:12, 4378-4402 (2013).

16. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone. Waveguide with non-periodically alternating Dirichlet and Robin conditions: homogenization and asymptotics // Zeit. Angew. Math. Phys. 64:3, 439-472 (2013).

17. D. Borisov, R. Bunoiu, G. Cardone. On a waveguide with frequently alternating boundary conditions: homogenized Neumann condition j j Ann. H. Poincare. 11:8, 1591-1627 (2010).

18. D. Borisov, and G. Cardone. Homogenization of the planar waveguide with frequently alternating boundary conditions // J. Phys. A. Math. Gen. 42:36, id 365205 (2009).

19. C.B.E. Beeken. Periodic Schrddinger operators in dimension two: constant magnetic fields and boundary value problems. PhD thesis, University of Sussex, Brighton (2002).

20. E. Kratzel. Lattice Points. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht (1988).

Денис Иванович Борисов, Институт математики с ВЦ УФ! III РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия

Башкирский государственный педагогический университет им. М, Акмуллы, ул. Октябрьской революции, За, 450000, г. Уфа, Россия

University of Hradec Kralove, Rokitanskeho, 62

50003, Hradec Kralove, Czech Republic E-mail: BorisovDI@yandex.ru