Управление спектром периодических систем возмущениями минимального ранга Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.984

© Д. А. Сивков

[email protected]

УПРАВЛЕНИЕ СПЕКТРОМ ПЕРИОДИЧЕСКИХ СИСТЕМ ВОЗМУЩЕНИЯМИ МИНИМАЛЬНОГО РАНГА

Ключевые слова: обратная связь, линейные управляемые системы, спектр, управление минимального ранга, периодические системы, спектр оператора монодромии

Abstract. Disturbances with a minimal rank that change a point spectrum of linear systems in Hilbert or Banach spaces are considered. The minimal value of disturbance’s rank and the disturbance are given. Results are given for autonomous and periodic systems.

С оде ржание

Введение......................................... 5

1. Задачи управления показателями Ляпунова.......... 10

2. Построение возмущений потенциала в уравнении

Шредингера....................................... 18

3. Конечномерная система ........................... 23

4. Связанные электрические колебательные контуры . 31

5. Система с постоянным оператором.................. 37

6. Вид возмущения в случае простого спектра......... 40

7. Оператор с кратным спектром...................... 46

8. Построение возмущений ......................... 53

9. Неавтономная система........................... 59

10. Конечномерная система с периодической матрицей 62

11. Ранг возмущения ............................... 67

12. Вид возмущения................................. 72

13. Управление спектром оператора монодромии уравнения в частных производных 79

14. Управление спектром оператора монодромии уравнения теплопроводности 82

А. Возмущение потенциала в уравнении Шредингера . 91

Введение

Рассмотрение целенаправленного воздействия на исследуемый объект является одной из практических задач математики. Такое воздействие, изменяющее свойства объекта, называют управлением.

При математическом рассмотрении управляемого объекта строят его математическую модель. Например, такой моделью может быть линейная система дифференциальных уравнений.

Пусть некоторая функция х(Ь) описывает состояние исследуемого объекта в произвольный момент времени Ь. Наиболее распространенным способом описания динамики объекта является задание уравнения

X = А(Ь)х + и(Ь), (0.1)

где А(Ь) — линейный оператор, и(Ь) — функция, задающая внешнее воздействие на систему.

Среди эволюционных уравнений вида (0.1), где значения неизвестной функции х(Ь) принадлежат некоторому банахову пространству В состояний динамической системы, и(Ь) — управление, наиболее изученными оказываются стационарный и периодический случаи. В приложениях оператор А(Ь) при каждом Ь может быть как ограниченным, так и не ограниченным. При этом спектральные характеристики стационарного оператора А(Ь) = А, либо оператора монодромии периодической системы (А(Ь + и) = А(Ь)) определяют асимптотические свойства решений системы (0.1).

Как правило, управление строится на основе информации о текущем состоянии объекта, его истории. Управляющее воздействие, являющееся функцией от текущего состояния объекта, называется обратной связью. Объекты, использующие обратную связь, встречаются как в природе, так и в технике. Например, в природе реакция живого существа на внешние раздражители является обратной связью. Управление работой реактора или системы кондиционирования воздуха в помещении также может строится по принципу обратной связи. Обратная связь используется в

политике, экономике и практически во всех областях жизни, где используется управление.

Введение в систему (0.1) обратной связи u(t) = — K(t)x(t) + f (t) может сильно изменить поведение возмущенной динамической системы, так как ее эволюция описывается уравнением вида:

x = [A(t) — K(t)]x + f (t), t ^ 0.

В однородном случае при добавлении линейного возмущающего оператора K(t), действующего на функцию состояния x(t), возмущенное уравнение имеет вид:

x = A(t)x + K (t)x. (0.2)

Классические результаты для такого рода систем были получены еще Ляпуновым.

Возможно различать большое число целей управления — необходимых характеристик системы (0.1) или решения x Е B. Например, явное задание вида решения или ограничения на него или его производные, обеспечивающие скорость сходимости к асимптотике и т.п.

Одними из самых важных характеристик линейных систем являются их спектральные характеристики. Изменяя или задавая их каким-либо образом, возможно изменять поведение системы, в частности, ее реакцию на внешнее воздействие.

Так, в случае постоянного A(t) = A = const, мы имеем дело с автономной системой, и спектр оператора A целиком определяет общее решение данного уравнения, а, следовательно, и поведение исследуемого объекта.

В случае же A(t), не являющегося постоянным оператором, а изменяющегося в зависимости от времени t, большой интерес представляют показатели Ляпунова решений системы (0.2), которые характеризуют асимптотическое поведение системы. Если система (0.2) некоторым преобразованием Ляпунова приводима к автономной системе, то показатели Ляпунова совпадают с вещественной частью спектра оператора автономной системы.

Частным случаем является периодический по времени оператор A(t) такой, что A(t + и) = A(t) для всех t, где и — вещественный период. Из теории Флоке известно приводящее преобразование Ляпунова, и система (0.2) может быть легко приведена к автономному виду.

Таким образом, для простоты изложения под спектром автономной системы понимается спектр оператора этой система, для периодической системы под ее спектром будем понимать спектр оператора монодромии X(и) этой системы.

Рассмотрение задачи управления системой вида (0.2) включает в себя поиск ответов на следующие вопросы:

1. Возможно ли с помощью обратной связи K(t)x(t) достичь требуемых свойств объекта?

2. При каких минимальных параметрах управления возможно достичь требуемых результатов?

Во многих случая величина ранга оператора обратной связи K(t) является существенной характеристикой. Например, в задачах управления физическим объектом величина ранга определяет число независимых параметров управления, в задачах ускорения сходимости итерационных процессов — величину минимального порядка алгебраической системы, к которой приводится решаемое уравнение, и т.д.

Так в стационарном случае естественно выбирать K(t) = K, где K : B ^ B — конечномерный оператор минимально возможного ранга, так как величина rank K = dim{y = Kx} есть минимальное число входов блока управления обратной связью.

В нестационарном случае в данной работе рассмотрены линейные управляемые системы вида (0.2) в банаховых пространствах, как конечномерных, так и бесконечномерных. В случае, когда оператор A(t) зависит от времени, рассматриваются периодические операторы, такие, что оператор Коши системы (0.1) допускает представление Флоке

X (t) = F (t)exp(tQ).

Рассматривается ранг оператор-функции B (t), связанной с K(t) следующим образом:

K (t) = —B (t)F (t)

—1

Под рангом оператора B(t), зависящего от времени, также будем понимать размерность образа этого оператора в следующем смысле:

rankB(•) = dim{y = B(t)x| для всех t из области определения B(•)}.

Здесь рассматривается размерность линейного многообразия, получающегося при объединении образов оператора B (t), полученных при t, пробегающем всю область определения. Следует заметить, что rank B(•), введенный таким образом, в общем случае не

совпадает с sup rank B(t) и может превосходить его. t

Например, рассмотрим оператор

.. . . . ~(z(x). sin х) sin X, t < О,

B(t)z(x) = {у/ {

^(z(x), COS x) COS X, t ^ 0,

где z (x) принадлежит пространству непрерывных функций на отрезке C[—п,п], а под скалярным произведением понимается

п

(zi ,Z2 z1 (s)z2(s) ds, для всех z1, z2.

—п

Для такого оператора выполнено sup rank B(t) = 1, в то время,

t

как rank B(•) = 2.

Конечномерное управление строится по принципу обратной связи и таким образом воздействует на спектр оператора A, что переводит дискретный спектр из некоторой заданной области О в заданное множество О. В случае уравнения с ^-периодическим оператором A(t) рассматривается аналогичное управление спектром оператора монодромии X(^).

Теория конечномерных возмущений минимального ранга развивалась в работах Г. Г. Исламова [Автореферат докт. дисс. "Экстремальные возмущения линейных операторов", ИММ Уро РАН, Екатеринбург, 1993] и его учеников. Для нестационарных систем понятие конечномерного возмущения минимального ранга не очевидно. Для конечномерных периодических систем Г. Г. Исламовым впервые было введено понятие нестационарного оптимального возмущения [1]. Оно очевидным образом переносится на бесконечномерный случай [2].

Цель настоящей работы состоит в систематическом изложении известных результатов Г. Г. Исламова и его учеников, относящихся к теории управления спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга.

1. Задачи управления показателями Ляпунова

Важным вопросом исследования является вопрос об управляемости системы. Иными словами, вопрос о существовании допустимого управления, при котором достигаются заданные параметры. Исследованиям вопросов управляемости (в смысле управления показателями Ляпунова) посвящены работы [3, 4, 5, 6, 7, 8].

В данных работах рассмотрены семейства линейных управляемых систем

на Е, непрерывная по (£,а) Е М х Е, и функцией ^ = (А, В, С). В частном случае, зафиксировав а = ао, можно рассматривать отдельную управляемую систему с наблюдением

Определение 1. Система ^(і) называется:

а) согласованной на [0,$], если существует 1 > 0 такое, что для всякой Р Е Мп,п найдется кусочно-непрерывное управление Цр : [0,$] ^ Мт,г, удовлетворяющее неравенству |Цр(і)| ^ 11Р|, 0 ^ і ^ $, такое, что краевая задача

х = А(і)х + В(і)и, (х, и) Е х Мт,

у = СТ(і)х, у Е Мг.

(1.1)

(1.2)

Пусть X(і, в) — матрица Коши однородной системы

х = А(і)х,

(1.3)

тогда

І = А(і)І + В (і)ЦСТ (і)Х (і, 0),

І(0) = 0, І($) = Р, при и = Цр(і) разрешима относительно і(•).

(1.4)

(1.5)

б) согласованной, если найдется $ > 0 такое, что ^(і) согласованна на [0, $].

в) равномерно согласованной, если существуют $ > 0, 1 > 0 такие, что для любого іо ^ 0 система ^(і — іо) согласованна на [0,$] (система ^(і) согласованна на [іо,$ + іо])•

Теорема 1 (см. [7, 8]). Система ^(і) согласованна (равномерно согласованна) в том и только в том случае, если система

У = Р (і)у + С(і)ш (1.6)

вполне управляема (равномерно вполне управляема), где Р(і) Е

Мп2 ,п2, Р(і) = (А(і) 0 — (^п 0 АТ (і)) , ^(і) Е Мп2 ,тг, ^(і) =

В (і) 0 С (і).

Символ 0 означает прямое (кронекерово) произведение матриц [9, с. 235].

Определение 2. Система (1.6) называется вполне управляемой [10, с. 138], если существует $ > 0 такое, что для любой точки уо Е Мп найдется управление ш(^,уо) : [0,$] ^ Мтг, переводящее у(0) = уо в нуль (у($) = 0) и равномерно вполне управляемой [11], если существуют $ > 0 и 1 > 0 такие, что для любого іо ^ 0 система (1.6) вполне управляема на [іо, $ + іо], и для соответствующего управления выполнено неравенство |ш(і,уо)| ^

1|уо|.

В системе (1.1,1.2) значение у является наблюдаемым параметром, на основе которого мы строим управление и(і) = иу(і) = иСТ(і)х(і), где и : [0,$] ^ Мт,г — ограниченная измеримая функция. Таким образом, с точки зрения изменения состояния х, систему (1.1, 1.2) можно представить в виде

х = (А(і) + В (і)иСТ (і))х. (1.7)

1.1. Управляемость показателями Ляпунова

Рассмотрим Аі(и) ^ А2(и) ^ ... ^ Ап(и) — полный спектр показателей Ляпунова системы (1.7), отвечающий управлению и;

полный спектр однородной системы (1.3), отвечающей U(t) = 0, обозначим Ai ^ A 2 ^ ... ^ An.

Определение 3. Система ^(t) обладает свойством

локальной управляемости показателями Ляпунова, если для всех

£ > 0 найдется 5 > 0 такое, что любому ^ = (^i, , • • • , 1^п) Е

Bn (0) отвечает измеримое управление U^, sup |U(t)| < £, и для

t

любого k G {1,... , n} найдется единственное j G {1,... , n} такое, что Ak (U^) = Aj + y,j.

Определение 4. Система (1.3) называется диаго-нализуемой, если существует преобразование Ляпунова

x = L(t)z

такое, что система

Z = P (t)Z,

где P(t) = L-1 (t)A(t)L(t) — L-1 (t)L(t), диагональная.

Теорема 2 (см. [4, 7, 8]). Если (1.3) диагонализуема, и ^ равномерно согласованна, то ^ обладает свойством локальной управляемости показателями Ляпунова.

Определение 5. Показатели Ляпунова Ai ^ A2 ^

... ^ An однородной системы (1.3) называются устойчивыми, если для любого £ > 0 существует такое 5 > 0, что показатели Ляпунова А1 ^ А2 ^ ... ^ Ап всякой системы X = (A(t) + Q(t))x,

sup |Q(t)| < 5, удовлетворяют неравенствам |Ai — A| < £, i = t

1, . . . , n.

Теорема 3 (см. [8]). Пусть система ^ равномерно согласованная и показатели Ляпунова системы (1.3) устойчивы. Тогда система ^ обладает свойством равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.

Для систем, где r = n и C(t) = In известно [3], что из равномерной согласованности ^ следует равномерная вполне управляемость ^. При некоторых дополнительных условиях на систему ^

возможно получить критерий равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова.

Определение 6. Система (1.3) называется системой с интегральной разделенностью, если она имеет фундаментальный базис решений Х1 (•),..., хп (•), обладающий свойством: существуют с > 0 и ^ > 0, такие, что для всех 0 ^ в ^ t и

3 е{1, 2,...,п - 1}

|х3 + 1 (*)|/|хЗ + 1(в)| ^ ^ • ехр(ф - в)) • Iх,-(t)|/|xJ(в)|.

Замечание. Известно [12], что (1.3) — система с интегральной разделенностью в том и только том случае, когда существует ляпуновское преобразование х = £^)у, приводящее (1.3) к диагональному виду у = Р^)у, Р(t) = diag(p1(t),... ,рп^)), причем функции Ръ (•), Рг+1 (•), г = 1, 2,... ,п — 1, интегрально отделены, т. е. существуют а > 0 и в такие, что при всех 0 ^ в ^ t :

/I (Рг+1 (т) — Рг(т)) ^Т ^ а(t — в) + в.

Справедлива следующая теорема.

Теорема 4 (см. [8]). Если (1.3) — система с интегральной разделенностью, то система ^ обладает свойством равномерной локальной управляемости показателей Ляпунова в том и только том случае, когда ^ равномерно вполне управляема.

Важными свойствами, характеризующими общее поведение системы, являются центральные показатели Ляпунова.

Определение 7.

з=1

верхний центральный показатель,

____ 1 к

ш{А) = вир Иш —^1п|Х(У - 1)Г,^Т)|-1 -

Т>0 к^ж кт нижний центральный показатель.

Определение 8. Система ^ обладает свойством локальной управляемости верхним центральным показателем, если для любого £ > 0 существует 5 > 0 такое, что для всех ^ G R,

|^| < 5 найдется U : sup |U(t)| < £, при котором Q(A + BUCT) =

t

Q(A) + ^.

Аналогично определяется свойство локальной управляемости нижним центральным показателем.

Теорема 5. Если система ^ равномерно согласованна, то она обладает свойством локальной управляемости центральными показателями.

Определение 9. Система ^ обладает свойством

достижимости центральных показателей, если для любого £ > 0

найдутся U1 и U2, sup |Uj(t)| < £, j = 1, 2 такие, что у

t

Z = (A(t) + B (t)U1 (t)C * (t))Z

существует решение с характеристическим показателем большим 0(A) — £ у

Z = (A(t) + B (t)U2 (t)C * (t))Z

существует нетривиальное решение с характеристическим показателем меньше <^(A) + £.

Теорема 6. Если ^ равномерно согласованна, то она обладает свойством достижимости центральных показателей.

Вопросам глобальной управляемости ляпуновских инвариантов вполне управляемых систем посвящена работа [13]. Рассматривается линейная управляемая система

X = A(t)x + B(t)u, x G Rn, u G Rm, t G R, (1.8)

с ограниченными и кусочно-непрерывными на R матричными коэффициентами A(-) и B(•). Управление u(-) строится по принципу

линейной обратной связи и = их, где т х п-матрица и(•) ограничена и кусочно-непрерывна

причем пространство ограниченных кусочно-непрерывных управлений и : I ^ Мтп, определенных на промежутке I С М, с равномерной нормой || и Ус (I) = 8ир(уи ^)|| : t Е I} будем обозначать

Определение 10. Система (1.8) обладает свойством глобальной скаляризуемости, если для любой произвольной наперед заданной кусочно-непрерывной и ограниченной на М скалярной функции р(-) найдется управление и(•), что система (1.9) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе

Замечание. Очевидно, что глобальная скаляризуемость системы (1.8) эквивалентна диагонализуемости системы (1.9) (см. определение 4, [14, с. 159], [15]) .

Теорема 7 (см. [13]). Если система (1.8) равномерно вполне управляема, В(•) кусочно равномерно непрерывна, то для любой ограниченной кусочно-непрерывной функции р : М ^ М существует управление и(•) Е КСтп(М) такое, что система (1.9) при и = и(•) асимптотически эквивалентна системе (1.10).

Таким образом, характеристические показатели равномерно вполне управляемой системы (1.8) выбором соответствующего управления и(•) могут быть собраны в одну точку.

Справедливо следующее следствие:

Следствие 1. Если система (1.8) равномерно вполне управляема, В(•) кусочно равномерно непрерывна, то центральные показатели и(А + Ви) и П(А + Ви) системы (1.9) одновременно глобально управляемы, то есть для любых чисел а ^ в найдется управление и (•) Е КСтп (М) такое, что и (А + Ви ) = а,

X = (А^) + В(^и)х, х Е Мп, t Е М,

(1.9)

г = р(ф, г Е Мп.

(1.10)

0(А + Ви) = в.

Теорема 8 (см. [13]). Если система (1.8) равномерно вполне управляема, то существуют в > 0 и 1 > 0, что для произвольной матрицы ф(-) Е КСпп(М), ||ф||с ^ в найдется управление и(•) Е КСтп(М) . уиУс «1М1 с, гарантирующее асимптоти-

ческую эквивалентность системы

у = (АЙ + ФИ) У

и системы (1.9) при и = и(•).

Теорема 9 (см. [13]). Если система (1.8) равномерно вполне управляема, В(•) кусочно равномерно непрерывна, то для любых чисел А1 ^ ... ^ Ап существует управление и(•) Е КСтп(М) такое, что система (1.9) при и = и(•) правильна и имеет своим полным спектром показателей Ляпунова набор А1,... , А п.

Случай периодических систем и управляемость ляпуновских инвариантов рассмотрен в работе [16].

В работе рассматриваются линейные управляемые системы вида (1.8), для которых, как и в [13], ограниченное кусочно непрерывное управление и(-) строится по принципу линейной обратной связи и = их, и(^ Е Мтп. Тогда для (1.9) определены инварианты преобразований Ляпунова. Для инвариантов системы определены свойства локальной управляемости (см. определение 3(стр. 12)) и глобальной управляемости.

Определение 11. Полная совокупность ляпунов-ских инвариантов системы (1.9) называется глобально управляемой, если для любой системы

£ = С^)г, г Е Мп, t Е М, (1.11)

с ограниченной кусочно непрерывной матрицей коэффициентов С(•) существует такое кусочно непрерывное ограниченное управление и(•), что система (1.9) с этим управлением асимптотически эквивалентна системе (1.11 ), то есть существует преобразование Ляпунова [17, с. 95], связывающее (1.11) и (1.9).

в [18] было доказано, что для полной управляемости и-периодической системы (1.8) с непрерывно дифференцируемыми коэффициентами необходима и достаточна глобальная управляемость мультипликаторов системы (1.9), то есть существование для произвольной наперед заданной вещественной п х п-матрицы Л с положительным определителем такого и-периодического управления и(•), что система (1.9) с этим управлением имеет своими мультипликаторами собственные значения матрицы Л.

В работе [16] для периодических систем доказана теорема, устанавливающая соответствие между управляемостью системы (1.8) и управляемостью ляпуновских инвариантов системы (1.9).

Теорема 10 ([16]). Пусть (1.8) — система с кусочно непрерывными и-периодическими коэффициентами. Для того чтобы (1.8) была вполне управляема, необходимо и достаточно, чтобы полная совокупность ляпуновских инвариантов соответствующей системы (1.9) была глобально управляема.

Замечание. Из этой теоремы вытекает, что если и-период-ическая система (1.8) вполне управляема, то мультипликаторы соответствующей замкнутой системы (1.9) глобально управляемы в следующем смысле: для любой матрицы Л Е Мп с положительным определителем найдутся управление и(•) Е КСтп(М) и ляпуновское преобразование г = Ь^)х такие, что система (1.9) с управлением и(•) приводится этим преобразованием к и-пери-одической системе (1.11), имеющей своими мультипликаторами собственные значения матрицы Л. При этом матрицы и(•) и £(•) могут быть не периодическими.

2. Построение возмущений потенциала в уравнении Шредингера

Важным примером линейного дифференциального оператора в бесконечномерном банаховом пространстве является оператор Гамильтона. Например, для одной частицы, находящейся во внешнем силовом поле, он имеет вид (см. [19])

К

Н =-------А + и(г),

2 т

где К — постоянная Планка, т — масса частицы, и (г) — потенциал силового поля в точке г.

Оператор Гамильтона в квантовой механике является оператором энергии. Он входит в волновое уравнение Шредингера, описывающее эволюцию физического состояния квантовомеханической системы

дФ К

=-----аф + с/(г)ф.

дЬ 2т У 1

С точки зрения физики, собственные значения оператора Гамильтона — это разрешенные уровни энергии квантовой системы, и они представляют очень большой интерес.

Как правило, в квантовой механике решаются задачи двух типов: прямая и обратная. Прямая задача заключается в том, чтобы по известному потенциалу, описывающему внутреннее строение системы, определить набор ее возможных состояний $ (в частном случае спектр энергий), которые могут быть доступны для внешнего наблюдателя. В обратной задаче требуется по известному набору возможных состояний системы $ определить ее внутреннее строение, например, по энергетическому спектру системы определить ее силовой потенциал и(г).

Задача управления спектром оператора Гамильтона является частным случаем обратной квантовомеханической задачи. Типичным случаем задачи управления спектром оператора Гамильтона является задача удаления из спектра отдельных энергетических уровней.

На физическом уровне управлять спектром системы возможно, изменяя ее внутреннее строение. Математически это означает изменение функции и (г) оператора Гамильтона Н. Первыми, кто привел формулы для возмущений потенциала, удаляющих из спектра отдельные энергетические уровни, были Абрагам и Мозес [20]. В дальнейшем были разработаны особые методы решения обратных задач, их обзор сделан в [21].

Рассмотрим конкретный пример удаления уровня из энергетического спектра системы, представляющей из себя одномерный гармонический осциллятор. Рассмотрим вариант осциллятора, потенциал которого и(х) конечен на полуоси [0, +гс>):

тт, \ Г х2, х ^ 0 и(х) = < .

| +го, х < 0

Оператор Гамильтона с потенциалом такого рода имеет чисто дискретный эквидистантный спектр, состоящий из собственных значений {Е}, а система собственных функций } полная и ортогональная. В квантовой механике принято нормировать собственные функции на единицу, то есть || = 1 для всех г, где

/ж

^2 (х) ^х.

-ж

Уничтожение одного уровня в спектре, согласно работе Захарьева и Чабанова [22] можно произвести, возмущая исходный по-

О

тенциал и, применив подход Гельфанда-Левитана. В результате возмущенный потенциал имеет вид:

/ N ° а и{х) = и + 2— аж

°

"Ж

-1 - /аЖ ^2 (у) аУ.

В последнем выражении ^ — собственная функция невозмущенного оператора Гамильтона, соответствующая удаляемому собственному значению •

°

°

При таком построении потенциала «удаление» собственного значения E^ означает следующее: физическое состояние, соответствовавшее этому значению, модифицируется таким образом, что его новая энергия оказывается равной энергии следующего по номеру состояния, соответствовавшего невозмущенному потенциалу. Вообще говоря, собственные значения Ek возмущенного оператора Гамильтона, при k ^ ^ переходят в собственные значе-

о

ния Ek+i невозмущенного оператора Гамильтона. Физические состояния идентифицируются и упорядочиваются в соответствии с числом нулей их волновых функций. Таким образом, собственное

о

значение невозмущенного оператора Гамильтона Ek, k > ^, соот-

о

ветствующее собственной функции ^k с числом нулей равным k, становится равным собственному значению Ek-i возмущенного оператора Гамильтона, соответствующему собственной функции ^k-i с числом нулей равным k — 1 .

2.1. Пример.

Рассмотрим «удаление» из спектра оператора Гамильтона с потенциалом

Л/ \ Г x2, x ^ О U (x) = <

| +го, x < О

заданного собственного значения. Структура спектра данного оператора хорошо просматривается на рис. 2.1. Собственным значениям соответствуют абсциссы скачков функции.

о

Будем возмущать потенциал U(x) таким образом, чтобы в спектре возмущенного оператора Гамильтона {Ei, E2,...} отсут-

о

ствовало собственное значение E2 = 7.О.

Для поиска собственных значений и собственных функций, соответствующих невозмущенному и возмущенному операторам Гамильтона, уравнение Шредингера интегрировалось численно с применением пакета Wolfram Research Mathematica 5.1. Программа приведена в приложении.

3

2

1

2.5 5 7.5 10 12.5 15

Рис. 2.1. Зависимость числа нулей решения невозмущенного уравнения Шредингера от энергии.

Вид собственной функции, соответствующей «удаляемому» собственному значению, показан на рис. 2.2.

о 4 г

О

Рис. 2.2. Вид собственной функции г^2•

Возмущение потенциала, «удаляющее» заданное собственное значение, показано на рис. 2.3.

Структура модифицированного спектра показана на рис. 2.4. Картина изменения спектра хорошо видна на рис. 2.5, где собственные значения наложены на вид потенциала.

5

4

3

2

10

15

Рис. 2.4. Зависимость числа нулей решений возмущенного уравнения

Шредингера от энергии.

невозмущенный потенциал возмущенный потенциал

Рис. 2.5. Вид потенциалов: возмущенного и невозмущенного;

энергетические уровни.

3. Конечномерная система

При рассмотрении изложенной во введении задачи об управлении спектром динамической системы наиболее простым является случай линейной системы дифференциальных уравнений с постоянной матрицей. В этом разделе мы пользуемся методами работы

[23].

Пусть Т — некоторое числовое поле. Рассмотрим линейную управляемую динамическую систему

х = Ах + и (£), (3.1)

где х(£) — элемент множества п-мерных векторов для каждого £ Є М, А — элемент множества п х п матриц хп, и(£) — управление.

Управление и (£) будем формировать в виде обратной связи

и (£) = —Кх(£),

где К — п х п-матрица обратной связи. Потребуем чтобы управление и (£) изменяло спектр однородной системы

х = Ах (3.2)

таким образом, чтобы

О с Р (А - К), © с а (А - К),

где О = {(^1,... , ^} — некоторое подмножество спектра а(А),

© = {01,... , 0/} — некоторое заданное множество такое, что О П © = 0,

Р(А — К) — резольвентное множество матрицы А — К, а(А — К) — спектр матрицы А — К.

Иными словами, требуется заданную матрицу А Є Тпхп, все собственные значения которой лежат в Т, представить в виде суммы двух матриц V, К Є Тпхп, первая из которых не имеет соб-

ственных значений в фиксированном подмножестве О комплексной плоскости С, и заданное подмножество © входит в ее спектр, а вторая имеет минимально возможный ранг.

Таким образом, данная задача носит экстремальный характер и может быть записана в виде

rank K ^ min,

О С P(A - K), в С a(A - K).

Матрицу K Є F™xn назовем допустимым возмущением, если

О С P(A — K), в С a(A — K). Допустимое возмущение минимального ранга назовем экстремальным возмущением матрицы A.

Через E обозначим единичную матрицу соответствующей размерности.

Лемма 1. Ранг допустимого возмущения не может быть меньше максимальной геометрической кратности чисел Є О

rank K ^ maxdimker( Л E — A).

Ле П

Справедлива теорема двойственности для описанной экстремальной задачи.

Теорема 11. Минимальный ранг допустимого возмущения равен максимальной геометрической кратности чисел Є

О

maxdimker(Л E — A) = min rank K, (З.З)

Ле П

где минимум ищется по всем допустимым матрицам K.

Доказательство. Обозначим через M ( Л; A) = dimker(Л E — A) геометрическую кратность числа Л. Равенство (З.З) не изменится, если A заменить подобной матрицей A Є Fnxn, так как в силу подобия найдется такая невырожденная матрица U Є F™xn, что A = U-1AU, причем M( Л; A) = M( Л; A) и P(A — K) = P(A — K), если в качестве K взять возмущение, подобное

K : K = U-1KU.

По условию все собственные значения матрицы A лежат в поле F. Из этого следует [24, с. З85] приводимость матрицы A к жордановой нормальной форме в поле F.

Тогда

A = diagJ(Ai),... ,Jfce(As)),

где блоки Jk( A) являются жордановыми клетками размера k. При этом геометрическая кратность M( A; A) числа A равна числу жор-дановых клеток, отвечающих A.

Будем полагать, что собственные значения матрицы A занумерованы так, что в ряду Ai,... A s первые p элементов принадлежат множеству О, а остальные s — p собственных значений этому множеству не принадлежат. В случае p = 0 равенство (3.3) очевидно. Поэтому предполагаем p ^ 1. При этом условии матрица А оказывается прямой суммой двух матриц Ai и А 2, так что

А = diag(Ai, А2),

где

Ai = diag(Jki (Ai),..., Jfcp(Ap)),

A2 = diag(Jfcp+i (Ap+i), , Jks (As))•

У этих матриц имеются следующие особенности. В множестве

О нет собственных значений матрицы A2, тогда как все собственные значения матрицы Ai лежат в О. Матрица Ai может быть разложена в сумму матрицы A3 Е Fmxm такой, что ее спектр совпадает с ©, и матрицы A4 Е Fmxm ранга mrnxM( A; Ai). Поэтому

жорданова форма А может быть представлена в виде А = V + К, где V = diag(A3, А2),К = diag(A4,0). Множество собственных значений матрицы V состоит из собственных значений матриц A3 и А2. Собственные значения матрицы Ai состоят из тех собственных значений исходной матрицы A, которые лежат в О. Поэтому

rank А4 = max M( A; Ai) = max M( A; A).

AgC Ag^

Равенство (3.3) следует теперь из того, что rank К = rank А4, то есть матрица К — экстремальное возмущение для жордановой формы А.

Покажем, что всякая матрица В Є Ттхт представима в виде суммы матрицы Ві Є Ттхт с характеристическим многочленом р

А) = ТТ(А — $г)к* и матрицы В2 Є Ттхт ранга тах М( А; В), АА Лес

І = 1

если не являются собственными значениями В.

Для доказательства рассмотрим первую нормальную форму матрицы В. Обозначим через ^ ( А) наибольший общий делитель всех миноров А-матрицы АЕ — В порядка j = 1,т). Согласно [24, с. 138], коэффициенты многочленов ^( А) принадлежат полю Т. Любой минор порядка 3 ^ 2 может быть выражен в виде линейной комбинации миноров порядка 3 — 1, так что ^-і( А) является делителем ^( А). Если определить ( А) = 1, то в последовательности ( А),^і( А),... , ^то( А) многочлен ^( А) делится на = 1,ш. Соответствующие частные

, с?і(А) , с?2(А) . с?т(А)

гіи) = л /лч 7 ^2 С А) = , ..., гт{\)

do ( Л) у dl ( Л)’ 7 dm-l ( Л)

называются инвариантными многочленами -матрицы E — B. Эта -матрица эквивалентна диагональной матрице

C( Л) = diag (il( Л), І2( Л),..., im( Л)).

При фиксированном верно равенство

M( Л; B) = dimker(ЛE — B) = m — rank(ЛE — B).

Поэтому M( Л; B) = m — rankC( Л). Отсюда следует, что геометрическая кратность M( Л; B) собственного значения Л равна количеству нулей в числовой последовательности il( Л), І2( Л),... , im( Л). Известно [9, с. 147], что ij(А) делится на ij-i(A), j = 2, га, причем старшие коэффициенты инвариантных многочленов ij ( Л) равны единице, а нули этих многочленов суть собственные значения матрицы B. Поэтому

M( Л; B) = m — max{k : i&( Л) = 0}. (3.4)

Нас будут интересовать инвариантные многочлены ненулевой степени. Пусть они г^+1 ( Л),... , гт( Л). Тогда «1 ( Л) = ... = ^( Л) = 1. Из (3.4) следует, что число инвариантных многочленов ненулевой степени Л-матрицы Л Е — В равно максимальной геометрической кратности собственных значений матрицы В, то есть

т — £ = тах М( Л; В). (3.5)

Лес

Для всякого скалярного многочлена / ( Л) = Лк + «1 Лк-1 + ... + ак с коэффициентами из поля Т существует сопровождающая матрица, имеющая в качестве характеристического многочлена /(Л) и которая в случае /(^) ф 0, з = 1,р разлагается в сум-

р

му сопровождающей матрицы Ь1(/) для многочлена П( Л—^ )'',

^=1

р

^ = к и матрицы ранга единицы

^=1

^2(/) = ео1оп(вк — ак,..., в1 — а1) • (0, 0,... , 0,1),

р

где в коэффициенты разложения многочлена ^ ( Л — ^^ по сте-

^=1

пеням .

Согласно теореме 4.11.1 книги [9], матрица В подобна квази-диагональной матрице Ь = diag(Ь(г^+l),..., Ь(гт)). Матрица Ь носит название первой естественной нормальной формы матрицы В, причем в равенстве В = Т-1 ЬТ преобразующая матрица Т , так же как и сама Ь, состоит из элементов поля Т. По предположению 0?, 3 = 1,р не есть собственное значение матрицы В. Таким образом, г^(%) ^ 0, /с = £+1,га. В силу отмеченного выше свойства сопровождающих матриц Ь разлагается в сумму Ь = Ь1 + Ь2, где Ь1 = diag(Ll(г^+1),...,Ь1( гт )), Ь2 = diag(Ь2(гt+l),..., Ь2 (гт)). Причем, спектр матрицы Ь1 совпадает с 0, а матрица Ь2 — прямая сумма т — £ одноранговых матриц, и, следовательно, ее ранг равен т — £. В силу (3.5)

rankL2 = max M( A; B). Полагая Bi = T 1L1T, B2 = T 1L2T, получим требуемое разложение произвольной матрицы B с элементами из поля F : B = Bi + B2, где B1 — матрица с характе-

р

ристическим многочленом ( — 6i)ki, г = 1,р, a £>2 — матрица

i=1

ранга maxM( A; B), причем, B1 и B2 состоят из элементов поля F. Теорема доказана.

3.1. Пример

Рассмотрим систему, заданную уравнением

Х(£) = Ах(£), (3.6)

где А=(0 1) - х(£) Е М2. Матрица А имеет собственное число

О О

Л = 1 алгебраической кратности 2. Геометрическая кратность Л

О

также равна 2, так как кег(А — Л Е) = кег(0) совпадает с М2.

Попробуем построить одноранговое возмущение К, переводя-

О

щее собственное число = 1 в собственное число = 0 в спектре ст(А — К). Для этого представим К в следующем виде:

к = ( а ва

Такой вид возмущения К описывает все одноранговые матрицы размерности 2 х 2.

Матрица А — К примет вид:

1 — а —в ^а 1 —

спектр которой имеет вид ст(А — К) = {1,1 — а — ^в}•

Таким образом нам не удалось избавиться от собственного числа Л = 1 в спектре ст(А — К) одноранговым возмущением К.

/1 0"

Рассмотрим теперь уравнение (3.6) с матрицей А = ( о 2

О О

Данная матрица имеет собственные числа Лі = 1, Л2 = 2 алгебраической и геометрической кратности 1. Таким образом, согласно

О

теореме 11 одноранговым возмущением К возможно перевести Лі

О

и Л2 в любые точки Лі, Л2 Е С. Матрица А — К в данном случае имеет вид:

1 — а —в —^а 2 — ^в

а её собственные числа равны

(3 — а — ц0) ± л/а2 + 2а{1 + /л/З) + (/л/З — I)2

Л1-2 =--------------------------2-------------------------•

Потребуем, чтобы спектр а(А — К) состоял только из нулевого элемента, то есть Л1,2 = 0. Для этого достаточно выбрать а = — 1, в = 2 и /л = 2.

4. Связанные электрические колебательные контуры

Простой спектр

Для иллюстрации теоремы 11(стр. 24) в случае простого спектра рассмотрим три связанных электрических колебательных контура.

^2

Д2

Я1

Ьі

Ьз

Яз

Рис. 4.1. Принципиальная схема трех связанных колебательных

контуров

Подобная система связанных колебательных контуров является упрощенной моделью колебательной системы магнетрона — электронного устройства, которое широко применяется в технике сверхвысоких частот.

Математически поведение данной электрической схемы описывается системой дифференциальных уравнений, основой для вывода которых являются закон Ома, закон электромагнитной

индукции, 1-е и 2-е правила Кирхгофа,

Яі

/і =

І2 = /3 =

91 =

92 =

Я2

^2

Яз

I*

-Л;

/2 -

/з +

1

С ^2

9і;

1

■92 +

Сз Ьз Сз Ьз

92;

(4.1)

1

ВС2

/2 -

1

1

ВСі

/і - 1 -

1

ВС2

/2 -

ВСз

1

~ВСъ

/з;

/з

1 1 1

в =------1-----1---,

ГЧ ГЧ гч *

С1 с2 Сз

где 11, 12, 1з — сила тока в 1-ом, 2-ом и 3-ем колебательных контурах, С1, С2, Сз — емкости конденсаторов, £1, £2, Ьз — индуктивности контуров, ^1, ^2, Рз — активные сопротивления соответствующих резонаторов (колебательных контуров), д1, д2 — заряды на конденсаторах С1 и С2 соответственно.

Большой интерес представляет поведение этой системы при значениях ^1, ^2, Рз близких к критическим — значениях, при которых в системе становятся невозможными собственные колебания. Например, С1 = С2 = Сз = 50 пФ, £1 = £2 = £з = 0.5 мкГн, ^1 = ^2 = Рз = 110 Ом.

При таком выборе параметров матрица системы выглядит следующим образом:

А =

/-220 • 106 0

0

2

-

0

220 • 10

0 _ і

2^ з

6

0

0

0

0

-220 • 106 4 • 10і6 0

-I 0

0

-4 • 10і6 4 • 10і6 0 0

/

Спектр такой матрицы состоит из собственных чисел

а(А) = { - 220 • 106, 107 - 11 ± і

3

(-33 ± і

з

С физической точки зрения это означает, что в колебательной системе возможны затухающее собственные колебания с частотами 167 МГц и 351 МГц. Поставим задачу подавить колебания с частотой 167 МГц. Для этого, введением возмущения К, необходимо собственные значения ^-(—33 + гл/111) и ^-(—33 — гл/111) «перевести» на вещественную ось.

Выбрав одноранговое возмущение

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0

К = 0 0 0 0 0

8 4 4 0 0

21 V 21 Ї 21 21 21 0 и 0

преобразуем исходную матрицу к виду

V =

/-220 • 106 0 0

2

7.

-

0

220 • 10

0 _ і вт

7

6

0

0

I

0

0

-220 • 106 4 • 1016

0

0

0

-4 • 1016 4 • 1016 0 0

спектр которой имеет вид

а(V) = { - 220 • 106, 107(-11 ± і

7

(-77 ±

Таким образом, в спектре частот колебаний возмущенной системы отсутствует частота 167 МГц.

Физически возмущение, задаваемое оператором К, соответствует уменьшению емкости С1 в 5 раз.

7

Кратный спектр

Для случая кратного спектра рассмотрим два независимых электрических колебательных контура.

Яі

Я2

, /і

Сі

І2

"С2

Ьі

^2

Рис. 4.2. Два независимых колебательных контура

Как и в предыдущем случае запишем математическую модель в виде системы дифференциальных уравнений

І1 =

І2 =

Яі

Ьі

^2

^2

І1 +

І2 +

1

Ьі Сі

С2 Ь2

9і;

92;

(4.2)

9і — —Л;

, 92 — —^2,

где 1і, І2 — сила тока в первом и втором контурах, Сі, С2 — емкости конденсаторов в контурах, Ьі, £2 — индуктивности контуров, Я і, Я2 — сопротивления соответствующих резонаторов (колебательных контуров), 9і, 92 — заряды на емкостях Сі и С2 соответственно.

Выберем Сі — С2 — 50 Пф, Ьі — £2 — 0.5 мкГн, Яі — Я2 — 110 Ом.

При таком выборе параметров спектр матрицы

А —

/ 0 0 -1 0

0 0 0 -1

4 1 О О 0 - . 2 1 о 00 0

\ 0 4 1 О О 0 -2.2 •

\

1

состоит из двух собственных чисел А1, Л2 и имеет следующий вид:

а {А) = {107(—100 ± гЗл/ЗІ)},

где каждое собственное число Л Є а (А) имеет кратность 2.

Таким образом, собственная частота колебаний данных резонаторов равна 167 МГц. Однако, как было описано выше, резонаторы работают в пограничном режиме, когда при небольшом изменении параметров контура собственные колебания становятся невозможными. Пусть требуется введением обратной связи стабилизировать резонаторы и уменьшить вдвое одну из собственных колебательных частот. Пользуясь теоремой 11(стр. 24), получаем, что для соответствующего изменения спектра а (А) матрицы А необходимо возмущение с рангом не меньшим 2.

Рассмотрим матрицу возмущения К вида:

К —

0

0

0

0

0

0

\0 2.0 • 10

іб

-0.0194 0.0097 \

0.0194 -0.0097

0

0

0

0

/

При таком выборе обратной связи К возмущенная матрица V имеет вид:

V —

00

00

4 • 10іб 0

\ 0 2.0 • 10іб

-0.9806 -0.0097 \

-0.0194 -0.9903

2.2 • 108 0

0

2.2 • 108/

Спектр такой возмущенной матрицы имеет вид:

а(V) — { - 1.1 • 108 ± І1.6471 • 108, -1.1 • 108 ± І8.7738 • 107}

Возмущенная система с найденным возмущением К эквивалентна соединению контуров с помощью конденсатора Сс

1 пФ и удвоению емкости С2, как показано на рис. 4.3.

"связи

Я1

/1

^1

"С1

Й2

Рис. 4.3. Связанные колебательные контуры

2

5. Система с постоянным оператором

В предыдущих разделах рассматривались системы вида

ж — А(£)ж

для случая, когда ж(£) принадлежит конечномерному векторному пространству, а А(£) задается матрицей конечной размерности п х п. Этот подход применим для описания значительного класса задач. А именно, тех задач, в которых физический объект описывается конечным набором параметров, задающих его состояние. Но для описания состояния некоторых физических объектов недостаточно конечного набора параметров. В данном разделе рассматривается более общий, чем в предыдущих разделах, случай, когда ж(£) для каждого £ принадлежит некоторому банахову пространству. Излагаемые здесь результаты дополняют работу

[25]

О п р е д е л е н и е 12. Ограниченный оператор К, действующий в банаховом пространстве В, называется конечномерным, если он представим в виде

п

Кх = Ьі)аі, щ Є В, 6* Є В*, г = 1, п,

і=і

где

В* - сопряженное пространство,

(ж, Ь) - значение функционала Ь на элементе ж.

Пусть замкнутый оператор А : В ^ В с областью определения Р(А) имеет собственные значения в некоторой «запрещенной» области О комплексной плоскости С(О — С). Выберем множество © с мощностью, не превосходящей числа точек спектра а(А), лежащих в О. Требуется указать такой конечномерный оператор К : В ^ В, при котором оператор V — А - К не будет иметь точек спектра а^) в области О, и множество © лежит в

спектре a(V), то есть О С P(V), P(V) П в = 0, где P(V) —

резольвентное множество оператора V.

Переход от спектра a(A) к спектру a(A ~ K) образно можно представить как «удаление» собственных значений оператора A из области О, «перевод» их в заданное множество в и преобразование части спектра a(A), лежащей вне О. Конечномерными возмущениями можно «удалить» только изолированные точки спектра a(A). Более того, при определенных условиях такими точками могут быть лишь изолированные собственные значения конечной алгебраической кратности.

Среди всех конечномерных операторов K, «исправляющих» спектр оператора A описанным выше способом, выделим те, которые имеют минимальный ранг. Такие возмущения мы назовем экстремальными: они являются решениями экстремальной задачи

rankK ^ min, О С P(A ~ K), P(A ~ K) П в = 0. (5.1)

Величина минимального ранга в задаче (5.1) указывает на то, что оператором меньшего ранга уже нельзя исправить спектр требуемым образом.

Возмущение K : B ^ B назовем допустимым в задаче (5.1), если О С P(A і K), P(A і K) П в = 0 и rankK < то. Пусть K — произвольное допустимое возмущение, Є О. Тогда уравнения

Ax = x

и

x = !(V і Л/)-1 Kx

(V = A і K, / - тождественный оператор) эквивалентны. Отсюда rank ^ M( Л; A) для любого Л Є О и произвольного допустимого возмущения K. Здесь M( ; A) — геометрическая кратность числа . Это означает, что целевая функция экстремальной задачи

M( Л; A) ^ max, Л Є О, (5.2)

мажорируется сверху целевой функцией задачи (5.1). Здесь, максимум по пустому множеству полагается равным нулю. По аналогии с математическим программированием утверждение о совпадении экстремальных значений целевых функций задач (5.1) и (5.2) будем называть теоремой двойственности, а задачу (5.2) — двойственной к задаче (5.1).

По схеме работы [25] с учЄтом замечания к теореме 11 на с. 24 может быть доказана следующая теорема двойственности.

Теорема 12. Пусть множество ОПa(A) пусто или конечно и состоит лишь из изолированных собственных значений оператора A конечной алгебраической кратности. Тогда экстремальные значения целевых функций задач (5.1) и (5.2) совпадают.

Замечание. Данная теорема представляет собой важное дополнение к теореме 1 [25]. Здесь осуществляется целенаправленный «перевод» точек спектра a(A) из области О в заданное множество в, в то время как в [25] точки спектра а^)ПО переводятся в одну произвольную точку £ Є О.

Т е о р е м а 13. Пусть О — замкнутое подмножество комплексной плоскости и A — ограниченный оператор, определенный на всем пространстве B, либо О —компактное подмножество и

А и I и и

A — замкнутый оператор. Тогда всякий конечномерный опера-

тор K, удовлетворяющий условиям rankK = rankK, ||K ~ K|| < min^e^ ||R( Л; A ~ K)||-1, также будет решением задачи (5.1).

Эта теорема работы [25] использовалась в работе [26] при приближенном построении возмущений минимального ранга.

6. Вид возмущения в случае простого спектра

Большой интерес представляет случай, когда некоторый произвольный оператор, действующий в гильбертовом пространстве Н, имеет чисто точечный спектр, причем множество О содержит только простые удаляемые собственные значения. Такая ситуация имеет место в случае, например, если возмущаемый самосопряженный оператор Т действует в сепарабельном гильбертовом пространстве Н по закону

п

Ти = Е Лк(и,^)^, и Є Н, (6.1)

к=1

где }п=1 — ортонормированная система элементов из Н и {Л&}П=і — однократные собственные значения, образующие точечный спектр ар(Т) оператора Т, п — ранг оператора Т, п ^ то.

Согласно теореме 12(стр. 39) минимальный ранг возмущения, переводящего все изолированные собственные значения оператора Т из заданной области О в точку 0, оставляющего без изменения остальные точки дискретного спектра а^(Т), лежащие вне области О, равен единице.

В работе [27] дано описание класса всех одноранговых возмущений, которые переводят собственные значения нормального компактного оператора Т из О в точку существенного спектра — 0, что естественно для рассматриваемого класса операторов. По

схеме работы [27] М. А. Клочков распространил эти результаты

на случай неограниченных самосопряженных операторов с простым чисто точечным спектром, причем показано, что «нежелательные» собственные значения можно перевести в заданные точки.

Рассмотрим одноранговое возмущение К : Н ^ Н в виде

Ки = (и, Ь)а, и Є Н, (6.2)

где

пп

а = ^2^, Ь = (6.3)

і=і і=і

{^}і^і, {ві^1 — квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел. Возмущения (6.2) должны переводить собственные значения оператора Т из области О в некоторое заданное множество © так, чтобы выполнялось равенство

<тр(Т - К) = © и (Стр(Т) \ О). (6.4)

Для возмущений вида (6.2) справедлива теорема.

Теорема 14. Для того чтобы можно было перевести заданное подмножество О = {Л^ ,•••, Л^т} изолированных собственных значений оператора (6.1) в произвольно заданное подмножество © = {кі,... , кт} (©ПО = 0) с помощью однорангового возмущения вида (6.2) необходимо и достаточно выполнение следующих условий:

а) ^ві = 0 для индексов j, не принадлежащих множеству Л = {кі, . . . , кто};

б) І^кіРкі = -т Р^кі^-, і = 1,га, где Р(А) — многочлен степени

П (^ -^к; )

І = 1,І = *

т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество множества © и (ар(Т) \ О), причем множество © \ (Т) целиком лежит в множестве корней Р( Л).

Замечание. Данная теорема обобщает теорему 1.1. [26, стр. 22] на конечномерный случай и случай, когда оператор Т не имеет полной системы собственных функций.

Доказательство. Рассмотрим полную ортонор-мированную систему функций {фі } в Н такую, что фі = фі для всех і = 1, 2,...,п, которая представляет собой пополнение системы {фі }і в пространстве Н. Далее рассуждения практически повторяют доказательство теоремы из работы [25].

Необходимость. Предположим, что выполняется (6.4), и покажем справедливость условий а) и б).

Пусть ^ — нетривиальное решение спектральной задачи

^ = (Т — К)^, ^ Є ^Р(Т — К). (6.5)

Разложим функцию V по системе функций {фг }г в ряд

V = X]7г фг

I

и подействуем на нее операторами Т и К:

/и \ и /и \/п \

^ (^^’Л^кФк) = ;

\з=1 / г к=1 \з=1 / и-=1 )

и и

ТV = X]Аз(Е фг ,фз) фз = Е ^ Азфз • з=1 г }=1

Подставляя полученные выражения в (6.5), получим уравнение

ии

^2 ЛИ фг = ^ 7- в- ф3 ,

г 3=1 -=1

из которого, в силу ортогональности систем {фг }г и {фг}г, получаем систему

7г = 0, для всех I ^ п,

Л7з = А^7^ — V] А, 3 = 1, 2,... , п, (6.6)

где

и

А = $^7- вк • (6.7)

к=1

Рассмотрим л = Аг, г 0 {к1, •.. , кт}. По условию (6.4) /л принадлежит спектру <7р(Т—К), следовательно, система (6.6) должна иметь нетривиальное решение, и VА = 0.

В том случае, когда А = 0, выполнено V = 0, что влечет справедливость условия а).

В противном случае, когда А = 0, в силу того, что А не зависит от г, для всех з = г имеем 73 = 0, следовательно, из (6.7)

получаем А = вг!г = 0. Так как V = 0, то 7г = 0, и вг = 0, что

опять влечет выполнение условия а). Таким образом, необходимость условия а) показана.

Покажем теперь справедливость условия б). Для этого выберем л такое, что л 0 {} = ар(Т). Из (6.6) выразим неизвестные

7':

V' А / \

73 =--------—, 3 = 1, 2,..., п. (6.8)

л - А3

Подставляя полученное выражение для 73 в (6.7), получим

п в

д —Ду^_. (6.9)

^ Л - А3 у 7

3=1 ^ 3

Применяя требование условия а), получим

т

1 + X] 1 А = °- (6Л0)

г=1 Л - к* /

Домножив полученное равенство на отличный от нуля множитель

т

П(л - Акз)?

3=1

и, обозначив

т т т

Р(м) — - Акз ) + X/ ^П (л - Ак3 ), (6-11)

І=1 І=1 3 = 1,3=г

придем к уравнению

Р (м)А — 0. (6.12)

Таким образом, при А — 0 м должно быть корнем многочлена Р(м) . В случае же А — 0, из (6.6) следует совпадение м и А3, 3 — 1, 2, . . . , П, что противоречит условию м 0 (Аг} — ар(Т).

Пусть £ — корень многочлена Р(м), не принадлежащий ар(Т). В этом случае справедливо уравнение (6.12), и из системы (6.6)

возможно найти коэффициенты 73 отличного от нуля решения ^ спектральной задачи (6.5), являющегося собственной функцией оператора Т — К. Следовательно, из предположения (6.4) получаем, что £ Е В.

Заметим, что Ак- не может быть корнем Р(л), так как в этом

случае, Vк-вк- = 0, что влечет, в силу равенств Vк- = (а,фк-) и

вк- = (фк- ,Ь), для ф = фк-, Л = Ак- справедливость

лф = Тф — (ф, б)а, (6.13)

либо

Лф = Г*ф — (ф, а)б, (6.14)

что противоречит предположению (6.4).

Таким образом, корень £ многочлена Р(л) может принадлежать только множеству В и (ар(Т) \ О).

Допустим теперь, что существует к такое, что Р(к) = 0, к Е а(Т). Тогда из уравнения (6.12) получаем равенство /А = 0, что эквивалентно (^, 6) = 0. Следовательно, К^ = = 0, и

(Т — K)^ = Т^, что противоречит равенству (6.4).

Достаточность. Заметим, что при выборе л = Аг, ф = фг, где г Е Л, выполняется хотя бы одно из уравнений (6.13), (6.14). Отсюда следует включение (ар (Т) \ О С <7р (Т — К).

По условию теоремы Р(к) = 0, к Е (Т) для г = 1, 2,... , т. Рассмотрим тогда однородную систему (6.8), (6.9) относительно неизвестных А, 71,72,... , 7п. Покажем существование отличного от тождественного решения этой системы. Предположим что А = 1. Тогда, после проделанных выше преобразований, получаем, что система (6.8), (6.9) при выбранном А разрешима тогда, когда разрешимо уравнение (6.10). Домножая последнее на

т

(л — Ак-), получаем уравнение 6.12), которое разрешимо для

3=1

л = кг по условию теоремы. Получая 7г из (6.8) находим ^ = 0. Таким образом, кг принадлежит ар(Т — К).

Из условия б) следует, что ^ и вк, отличны от нуля, г =

1, 2,... ,т. Полагая л = Ак, в системе (6.6), получаем равенство А = 0, следовательно, 73 = 0 для всех j = к. Отсюда имеем А = вк,7к = 0, следовательно, 'Ук, = 0.

При л = Ак, система (6.6) имеет только тривиальное решение. Следовательно, О П ар(Т — КС) = 0.

В том случае, когда л Е (© и ар(Т) и О), из уравнения (6.12) следует равенство А = 0, которое, как показано выше, влечет равенство нулю всех V/ и вг, 1 = 1, 2,... , п.

Объединяя все рассмотренные выше условия, получаем справедливость (6.4). Теорема доказана.

В работе [27] дана оценка нормы возмущений такого вида:

1|кУ = ИМ|Ь|| = (£К|2)1/2(£|вз|2)1/2 ^

3>1 3>1

т т т

^ £ К вз I = £ К, вк, | = £ |Р (А*, )|/ П |Ак, — Ак. |.

3 >1 г=1 г=1 .=1

Эта оценка достигается, например, при = /3^, г = 1,п. Обозначим

mm

Km =

in^ IP(ЛкЖП IЛк - Ч Ь (б.15)

І= 1 І = !

j=i

где inf берется по всем многочленам m со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество множества в U (ар(T) \ О), причем множество в \ ap(T) целиком лежит в множестве корней P(Л) и выберем P(Л) = Лт. Получим оценку сверху

m

m

!>fci I’

mmm

j=1

j=i

7. Оператор с кратным спектром

С точки зрения классической физики случаи появления систем с кратным спектром чрезвычайно редки, являясь не правилом, а скорее исключением. Это объясняется тем, что кратный спектр возникает тогда, когда системы или их части идеально идентичны. Малейшие различия в свойствах «расщепляют» кратные собственные значения, делая их простыми.

Совершенно иная ситуация в случае квантовой механики атомов и молекул. Частицы, например электроны, тождественны друг другу, отличаясь только спином, принимающим всего два значения. Поэтому в данной области случаи кратного спектра — обычное явление, и их рассмотрение довольно важно.

В качестве примера можно привести спектр трехмерного оператора Гамильтона для атома водорода [19].

Уравнение для радиальных волновых функций в сферических координатах имеет вид:

Я 2 ^Я Ш + 1) 2т ( а \

Энергия атома Е является спектральным параметром. Выражение для дискретного спектра имеет вид:

В = ~2^' ” = 1>2’"'

Целое число п называется главным квантовым числом. Однако, при одном значении п возможны различные значения азимутального квантового числа 1. При заданном главном квантовом числе п азимутальное квантовое число 1 может принимать значения 0,1,...,п — 1. Это означает, что при фиксированном п трехмерное уравнение Шредингера имеет п разных волновых функций в качестве решения с одним значением энергии Е.

Таким образом, даже для простейших квантовомеханических объектов имеет место кратный спектр.

Рассмотрим самосопряженный оператор T, действующий в сепарабельном гильбертовом пространстве H, имеющий ортонорми-рованную систему собственных функций {<£i,j}.

Пусть Лі — собственные значения оператора T геометрической кратности mi, причем перенумеруем собственные значения Лі в порядке возрастания кратностей, то есть потребуем выполнения

І ^ m1 ^ m2 .... В данном случае для оператора T имеет место спектральное разложение

ж mi

T = лі ь Pij )^і,, . (7.1)

i=1 j=1

Пусть задано некоторое О = {Лі1,... , Літ} — непустое подмножество спектра o(T). Необходимо, возмущая оператор T конечномерным возмущением минимального ранга K , перевести все собственные значения Лік оператора T из области О в произвольную область в = {$1,... , 9т}, являющуюся подмножеством спектра o(T - K), комплексной плоскости C. Другими словами, необходимо построить оператор K минимального ранга такой, что выполнено равенство

Op(T - K) = в U (о-p(T) \ О), (7.2)

где Op(•) — точечный спектр оператора, О — непустое подмножество собственных значений T, в — подмножество точек спектра возмущенного оператора T - K, не пересекающееся с О, в которое переводятся точки из О.

Согласно теореме 12(стр. 3Q) минимальный ранг конечномерного возмущения K, переводящего О в в, совпадает с максимальной геометрической кратностью собственных чисел из О

minrank K = maxdimker(T - ЛІ),

ар (T-K)=0U(ap (T)\fi) ЛеП

где І — тождественный оператор в H. Таким образом, ранг оператора K должен равняться rank K = mm, mm — наибольшая кратность удаляемых собственных чисел из О.

Возмущение К будем формировать в виде

т

К = ^2ь&в}а>8, а* Є Н, Ьз є Н, (7.3)

5 = 1

где

шіп(тг5 ,ті)

а5 = ^ XI ’ (7'4)

г=1+15-і і=1+тгв-1 то шіп(тг5 ,т*)

65 = X X (7-5)

г=1+15-і і=1+тгв-1

{^/3/}, {^/3/}, = 1,оо, У = 1,тг/ — квадратично суммируемые

последовательности комплексных чисел, причем будем полагать І0 = 0, то = 0.

Приводимая теорема дает описание всех операторов такого вида, обеспечивающих выполнение соотношения (7.2).

Теорема 15. Для того, чтобы можно было перевести заданное подмножество О = {Л/1,... , Літ } изолированных собственных значений оператора (7.1) в произвольно заданное под-

множество © = {$1,..., $т}, ОП © = 0 комплексной плоскости С с помощью возмущения вида (7.3), необходимо и достаточно существования двух квадратично суммируемых последовательностей {А?}; і = 1, схэ, = 1,т^ таких, что выполнены следующие

условия:

а) Мувіі = 0 для всех индексов і, не принадлежащих множеству индексов удаляемых собственных чисел Л = {І1,... , 1т};

Р(Л/.) т

б) "кіРкІ = ----то----'----’ гДе Р(и) = П (л - 0к) — многочлен

П (Лі. - Лік) к=1

к=1,к=і

степени т со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из ©.

Доказательство. Рассмотрим систему собственных функций {^і,і} оператора Т в следующем виде:

в = 1

А1 ^1,1 • • • ^1,т1

А^1 ^1,1 • • ^1 ,т1 • • • (Рі\,ті1 в = 2

АІ2 ^І2 ,1 • • ^І2 ,т1 • • • ^2 ,тгі • • • (РІ2,ті2 в = т

А1т <^т ,1 • • • ,т1 • • • (РітуГПІ! • • • ^Іт,тІ2 • • • <Ріт,тіт

Рис. 7.1. Система собственных функций Т

и введем функцию

ко(і) = а^шіп(шк - і).

к

тк ^7

Смысл данной функции заключается в нахождении наименьшего индекса к собственных чисел Ак, для которого существует собственная функция ^к,7 •

Представим теперь, изменив порядок суммирования в (7.1), оператор Т:

т т13 ж

Т = ^ X X А*(-,^7 • (7.6)

5=1 з=1+тг5-1 і=ко (7)

Здесь суммирование идет по блокам в, как представлено на рис. 7.1. И, для всех в = 1,... , т, і = 1 + ті5-1,... , т^ операторы

ж

Т1 (і ) = АІ )^ї,І

і=ко(7)

имеют только простой спектр. Таким образом, получим представление оператора Т в виде суммы операторов с простым спектром

ар (Г1 О’)) с ар (Г):

Г = £ £ ВД). (7.7)

5=1 з=1+тг5_1

Отсюда следует, что для того, чтобы перевести собственные значения оператора Г из множества О в множество 0, необходимо и достаточно, в силу ортогональности системы собственных функций {^г,з'}, чтобы возмущение К для всех ^ = 1, 2,... , тт переводило спектр операторов Т(з) в множество 0 и (ар(Г1 (з)) \О), являющееся подмножеством 0 и (ар(Г) \ О).

Рассмотрим оператор

т тг5

К = £ £ К! (з) (7.8)

5=1 з=1+тг5_1

такой, что возмущение К1 (3) переводит спектр ар(Т(з)) в 0 и (ар (Г1 (з)) \ О и имеет вид

К1 С?) = (^Л )а?,

ОО „ сю —

где = ^ ^г_7 , ^ вг7 ^г,,7.

г=ко(,7) г=ко(7)

Отсюда по теореме 14(стр. 41) для того, чтобы выполнялось включение ар(Г1 (з) — К1 (з)) С 0 и (а(Г1 (з)) \ О необходимо и достаточно, чтобы для всех в = 1, 2,... , т, з = 1 + т^^,... , т,в

существовали две квадратично суммируемые последовательности

{^ Шко(7) и {в7 }ёко(7) такие> что

а’) ^вг7 = 0 для всех индексов г, не принадлежащих множеству индексов удаляемых собственных чисел Л = {^1,... , 1т};

р (Д, ) т

б’) = —п эп г-------Г—где Р3(/1) = П (л - Ок) мно-

П (Дг* — Д1к) к=к1 (7)

к

,к ^ко(7)

гочлен степени т — &1 (з) + 1 со старшим коэффициентом, равным

единице, корни которого совпадают со значениями из ©, к1 (а) — наименьший индекс к такой, что ^ ко(а).

Однако, для всех индексов г таких, что Л^ принадлежит множеству (Т1 (а)), то есть для всех г ^ к1 (а), значения

РЛЧ) п Р(Ю

П (\-AiJ Д (А(1_Лг(!)

^ ^&о (?) к—\,к—г

совпадают. При выборе ^ = ^г?, в? = в? из эквивалентности операторов К и К следует справедливость условий а) и б) и справедливость теоремы.

Покажем равенство операторов К и К.

Для этого подставим выражения для К1 (а), а? и Ь? в (7.8)

т тг5

к = £ £ К1 а) =

5-1 ?-1+тг5-1

т т18 оо _ оо

— ^ ^ ('5 ^ А'^г'л) ^

5—1 ?—1+тг5_1 г'-ко (?) г—ко (?)

Поменяв переменные суммирования, получим

т т18 оо оо

5—1 ?—1+тг5_1 г'—ко (?) г—ко (?)

т ж шт(тгв ,т*) шт(тг5 ,т*)

= УЗ УЗ (’’ 53 вг?' ^г?' ) 53 ^г? ^г? =

5—1 г—1+г5_1 ? '—1+тг5_1 ?—1+тг5_1

т

= 53 ('’Ь* )а* = К.

5 — 1

Последнее равенство доказывает теорему.

Как и в параграфе 6 оценим норму возмущения. Представим оператор К в виде суммы операторов с простым спектром Кі (у), как это сделано в (7.8). Тогда

£ Е Кі у)

3=1 І=1+т/ .

ж

ж

где а^

г—ко(?) г—ко С/)

В силу оценки (6.15) и взаимной ортогональности образов операторов К1 (а) справедливо

11КII ^ тах ||К1(а)у ^

1^/ ^тгт

т

т

^ ,<іі^ах Е |р(Аг«)|/ П |Аг«- А(к1

1СІ <т‘т ^) До)

к=і

т

т

Еір(Аіі)І/П |Аіі - А*І

І=1

к = 1

к=і

Эта нижняя оценка достигается, например, при = 1, га, ,7 = 1,га^. Таким образом, равенство

т

т

кт

|Р(Аг,)|/Ц |Аг, - Аік |

(7.9)

(7.10)

І=1

к = 1

к=і

где кт — точная нижняя грань норм К, справедливо и для операторов с кратным спектром.

Отсюда получаем справедливость оценки

т

£|а* г

кт ^ Тт =

т

і=1

т

П |А I - |А1к I

к=1

к=і

8. Построение возмущений

Построим для примера, рассмотренного в 2.1, конечномерное возмущение единичного ранга.

В этом примере рассматривался спектр оператора Гамильтона

Н = ——А + и(г),

2т у '

где К — постоянная Планка, т — масса частицы, и (г) — потенциал силового поля в точке г, с потенциалом следующего вида:

ттґ \ Г х2, х ^ 0 и(х) = < .

| +то, х < 0

Вообще говоря, изменение функции потенциала и (г), как это было сделано в 2.1, представляет собой бесконечномерное возмущение оператора Гамильтона. Теперь требуется изменить спектр

Н, используя конечномерное возмущение К.

Таким образом, задача управления спектром оператора Н заключается в поиске конечномерного оператора К единичного ранга, и решению задачи

(Н - К)ф = £ф.

Исходный спектр невозмущенного оператора Н, как было по-

О

казано в 2.1, содержит собственное значение £2 = 7.0. Будем исО

кать такое возмущение К, которое «переводит» точку £2 в ноль. Для этого возмущение К можно представить в виде:

о Г ж

Кф = Е2Ф2(х) / ф(в)ф2(^) (8.1)

Л — Ж

Действительно, возмущение такого вида сохраняет все соб-

О

ственные значения р, у = 2 в спектре а(Н — К)

о о Гж

(Н — К)ф_7 (х) = р(х) — £2ф2 (х) / ф_7 (в)ф2 («) ^ =

^ —ж

о

= Е ф (х).

Более того, сохраняется вид собственных функций ф^- (х), з = 2. В силу нормировки собственных функций ф (х) такой, что

ж

2

—ж

О / \

ф^- (х) ^х = 1

, в спектре появляется собственное значение Е = 0, соответствующее собственной функции ф2 (х)

ж

(Н — К)ф2(х) = £2ф2(х) — £2ф2(хм ф2(в)ф2(в) ^

—ж

= 0 • ф2(х).

Докажем, что возмущение вида (8.1) «удаляет» собственное

о

значение £2 из спектра возмущенного оператора Н — К.

Пусть найдется такая функция ф(х) ф 0, ф(х) = фк (х) для всех к, что выполнено равенство

ж

(Н — К)ф(х) = Нф(х) — £2ф2(х) / ф(в)ф2(в) ^ = £2ф(х). (8.2)

—ж

Представим функцию ф(х) в виде разложения в ряд по полной ортогональной системе функций {фк}

ж

ф(х) = 53 «к фк (х) к=1

и подставим в равенство (8.2)

ж

оо

2^Ек«кфк (х) - Е2а2ф2 (х) = 23 Е2«кфк (х)

к=1 к=1

Умножая последнее равенство на ф^(х) и интегрируя, приходим к системе равенств:

оо Е7а7 Е2а^ 5 3 = 2;

жж

о о о

о

о

о

о

£2 «2 — Е2 0-2 — £2^2, І — 2.

о

Так как все Еу отличны от 0, то все ау — 0. Пришли к противоре-

о

чию с условием ф(х) ф 0, что доказывает отсутствие Е2 в спектре а(И — К).

Иная ситуация возникает тогда, когда необходимо «удалить» два или более собственных значения применением возмущения с рангом, равным единице.

Рассмотрим задачу «удаления» из спектра а (И) собственных

оо

значений Е2, Е4. Возмущение К следует искать в виде

*ж

Кф(х) = а(х) ф(з)Ь(в) 18,

1 — ж

а(х) = ^2ф2 (х) + У^фк(х), Ь(х) = в2ф2(х) + в4Ф4(х).

/ж

ф(8)(в2ф2 (8) + в4Фк(8)) 18 При

-ж

О

ф = ф^, 3 0 {2, 4} равно 0. Следовательно, Е^ = Е^ для всех 3 отличных от 2 и 4. Более того, соответствующие этим собственным значениям собственные функции останутся прежними.

Коэффициенты ^2, ^4, в2, в4 выберем таким образом, чтобы в спектре возмущенного оператора а(И — К) появилось нулевое собственное значение

/ж

ф(в)Ь(в) (із — 0. (8.3)

-ж

Собственную функцию ф(х) представим в виде

ф(х) — аф2 (х) + вф4(х). (8.4)

Подставляя (8.4), а(х) и Ь(х) в уравнение (8.3), получим:

о о Гж

аЕ2ф2(х) + вЕ4ф4(х) + а(х) (аф2(в) + вФ4(в))Ь(в) із —

— ж

= (а(Е2 + У2в2) + в(V2в4))ф2 (х) + (а(»4в2) + в(Е4 + V4в4))ф4(х) = 0.

Отсюда, в силу ортогональности ф2 и Ф4, имеем систему уравнений относительно а и в

О

а(Е2 + V2в2 )+ в (V2 в4 ) =0,

О

а^4 в2 ) + в (Е4 + V4 в4 ) = 0.

Необходимо найти нетривиальное решение данной системы, которое существует в случае равенства нулю определителя её матрицы

ОО

(Е2 + V2 в2 )(Е4 + V4 в4) — V4 в2V2 в4 = 0.

Для выполнения последнего равенства выберем V2 = V4 = 1,

ОО

в2 = —2Е2, в4 = Е4.

Таким образом, возмущение К имеет вид:

ж

Кф(х) — (ф2 + ф4 )(х) ф(в)( — 2Е2 ф2 + Е4 ф4) (в) ів.

—ж

Проверим, что Е2 не является собственным значениями оператора И — К. Будем искать функцию

ж

ф(х) — 53 Фк к=1

такую, что выполнено равенство

(И — К )ф(х) —

жж

о о о о

2_^Ъ;Екфк(х) — (ф2 + ф4)(х)( — 2Е2^2 + Е474) — 2_^ Е27кфк(х). к=1 к=1

В силу ортогональности системы функций {фк} приходим к системе уравнений относительно 'Ук

оо

7кЕк — 7ке2, к Е {2, 4},

оо

2Е2 72 — Е4 74 — 0, к — 2, (8.5)

оо

к 2Е272 — Е274 — 0, к — 4.

о

о

о

Так как Еі = Е^ для всех і = ^, система (8.5) имеет единствен-

о

ное решение 'Ук = 0 для всех к. Таким образом, Е2 не является

о

собственным значением Н — К. Аналогично показывается, что Е4 также не является собственным значением Н — К.

Как и ранее, будем рассматривать задачу «удаления» из спек-

оо

тра а(Н) собственных значений Е2, Е4. Выберем

ж

а(х) = ^2 укФк(х),

к=0

ж

ь(х) = 53 вк Фк (х), к=0

где {^к}, {вк} — квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел, удовлетворяющие условиям теоремы.

Выберем {^к} таким образом, чтобы у2 = V4 = 1, а в2 и в4 из условия б) теоремы, все остальные Ук и вк примем равными нулю. Выберем Р(л) = л2 и получим выражения

о 2 о 2

о = Е2 о =

Р2 о о 5 $4 о о •

Е2 — Е4 Е4 — Е2

Аналогично предыдущему случаю доказывается отсутствие в

оо

спектре а(Н — К) собственных значений Е2 и Е4. Согласно теореме, в спектре а(Н — К) должен присутствовать ноль.

Выберем ф = 72Ф2 + 14Ф4 и подставим вместе с а(х) и Ь(х) в уравнение

(Н — К )ф = 0.

В результате получим

о о

(^2Е2Ф2 (х) + 74Е4ф4(х)) — (ф2(х) + ф4(х))

о 2 о 2

(72Ф2(5) + 74ф4(й)) I 0Е2 0 ф2(в) + 0^4 0 ^4(5) )^ = 0,

—то ' е2 — еа Еа — е2

где (•) означает комплексное сопряжение .

После преобразований и взятия интеграла имеем:

о о

(Н — К )ф = (72 Е2 Ф2 (х) + 7аЕа Фа (х)) —

(

о 2 о 2

е2 еа

12-0---------^+74

V

оо

Е2 — Еа

оо

Еа — Е2

/

{Ф2 (х) + Фа (х)) = 0.

оо

Используя то, что Е2 и Еа вещественные, и в силу ортогональности {фк}, приходим к системе уравнений относительно 72 и 7а:

Е2

Е2

О о

Е2 — Е4

12

Е4

ОО

Е4—Е2

74

Е2

ОО

Е2 — Е4

72 + ( еа

Еа

ОО

Е4 — Е2

7а

= 0, = 0.

Решениями этой системы являются комплексные числа 72 =

СЕ4 __

Е2

7а = с для любых комплексных с.

Таким образом, точка Е = 0 принадлежит спектру а(Н — К).

Замечание. Вообще говоря, все рассуждения относительно оператора К и собственных значений а(Н — К) проводились безотносительно вида Н и а (Н). Единственным условием на оператор Н является простота и дискретность спектра а (Н).

2

2

О

О

о

О

О

о

О

9. Неавтономная система.

В предыдущей главе изучалось управление спектром постоянного оператора А в банаховом пространстве В, который имеет дискретный спектр в заданной области О. Управление спектром такого оператора эквивалентно, как отмечалось во Введении, управлению асимптотическими показателями решений (см. также [14, 28]) системы

гг* - /\ гг*

где оператор А не зависит от времени £, х(ї) для каждого £ Є М — элемент пространства В.

Большой интерес представляют также задачи управления асимптотическими характеристиками решений систем вида

X = А(Ь)х, (9.1)

где оператор А(ї) не является постоянным.

Пусть задана управляемая система

х = А(€)х + и(ї), (9.2)

где управление и(ї) для каждого £ принадлежит В и строится по принципу обратной связи

и(Ь) = —К (Ь)х(1). (9.3)

Пусть система (9.2) приводима, то есть существуют преобразование Ляпунова

у = Ь(€)х, у Є В, Ь(Ь) : В ^ В, (9.4)

и не зависящий от времени оператор В Є [В] такие, что (9.2) асимптотически эквивалентна системе

у = Ву + у(Ь), у(Ь) Є В. (9.5)

Потребуем, чтобы оператор В имел компактную резольвенту Я в (X) = (В — XI)—1, и управление у(Ь) формировалось в виде у(і) = —Бу.

Лемма 2. Для произвольных оператора В Є [В] и преобразования Ляпунова Ь(і) Є [В] система (9.1) с оператором

А(і) = Ь-1 (і)ВЬ(і) — Ь—1 (і)Ь(і)

(9.6)

приводима к системе

уу = Ву.

(9.7)

Доказательство. Подставим выражение (9.4) в систему (9.1) и, проведя преобразования, получим

Отсюда следует справедливость леммы.

Тогда из теоремы 12(стр. 39) следует утверждение:

Теорема 16. Для системы (9.2) такой, что существуют В и £(£), для которых выполнено (9.6), и произвольного О такого, что пересечение множества характеристических показателей х(А(Ь)) решений (9.1) с О пусто или состоит лишь из конечного числа точек , с управлением

где Б — возмущение, переводящее точки спектра ар (В) П О в произвольное заданное множество © (© П О = 0, пересечение О П х(А — К) пусто.

Доказательство. В силу леммы 2 характеристические показатели систем (9.1) и (9.7) совпадают. Проведя преобразования, аналогичные доказательству леммы 2, для систем

Ь(і)х + Ь(і)х = ВЬ(і)х,

X = Ь—1 (Ь)ВЬ(Ь)х — Ь—1(і)Ь(і)х, X = (Ь—1 (і)ВЬ(і) — Ь—1 (і)Ь(і))х.

и(і) = —Ь 1(і)БЬ(і)х,

(9.2) и (9.5),

Ь(і)х + Ь(і)х = ВЬ(і)х + у(і),

X = (Ь—1(і)ВЬ(і) — Ь—1(і)Ь(і))х + Ь—1(і)у(і),

получаем равенство и(Ь) = —Ь 1 (Ь)БЬ(1)х

По лемме 5 [29, стр. 201] каждому характеристическому показателю х(В) П О соответствует собственное значение из ар(В). Выберем возмущение $, согласно теореме 12(стр. 39), такое, что оно «переводит» <7р(В) П О в 0.

Отсюда система (9.2) с таким управлением и(1) не имеет характеристических показателей решений в области О и х(А — К) П 0 = 0, что доказывает теорему.

10. Конечномерная система с периодической матрицей

Ранее была рассмотрена задача минимизации ранга возмущения системы с постоянной матрицей. Для этого случая была доказана теорема двойственности. Более общим является случай системы с матрицей, зависящей от времени. При этом, в частности, если матрица является периодической по времени, то задача поиска возмущения минимального ранга может быть сведена к аналогичной задаче для случая системы с постоянной матрицей. Ниже приводится изложение результатов обобщения теоремы двойственности на случай периодических систем, полученное в работе [1].

Пусть в линейной системе

X = A(t)x + u(t), (10.1)

где A(t) есть (^-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами, управление u(t) формируется по методу обратной связи

u(t) = —B (t)F (t)-1 x(t), (10.2)

где F(t) = X(t) exp(—tK) ,K = ^ In X(u>), X(t) — матрицант невозмущенной системы

X = A(t)x, (10.3)

а B (t) есть (^-периодическая матрица с комплекснозначными локально суммируемыми элементами.

При подстановке (10.2) в (10.1) получим однородную систему

X = [A(t) — B (t)F (t)-1 ]x (10.4)

с (^-периодической матрицей. Свойства решений системы (10.4) будут определять свойства системы (10.1) с обратной связью.

Пусть E — единичная матрица порядка n, Cn - пространство n-мерных векторов с комплексными компонентами. Ранг

функциональной матрицы B (t) определим как размерность образа отображения (Гг)(t) = B(t)z, z Е Cn, t E [0,и]. Обозначим ker(X(и) — pE) = {z E Cn : X(и)z = px}. Матрица X(и) называется матрицей монодромии, а ее собственные значения — мультипликаторами системы (10.3). Совокупность мультипликаторов называется спектром уравнения (10.3).

Лемма 3. Если возмущенная система (10.4) не имеет мультипликаторов из заданного множества О комплексной плоскости C, то

rank B ^ maxdimker(X(и) — pE). (10.5)

реп

Доказательство. Пусть p Е О и zi, zm — базис подпространства ker(X(и) — pE). Допустим, что для некоторых скаляров ci,..., cm при почти всех t Е [0, и] линейная ком-

mm

бинация £ ckB(t)zk = B(t)z = 0, где z = E Ck zk. Отсюда для k=l k=l

x(t) = X(t)z = F(t) exjp(tK)z = p^F(t)z имеем B(t)F(t)~1x(t) = 0 и, значит, x(t) = [A(t) — B(t)F(t)-1 ]x(t). Кроме того, x(u) = X(u)z = pz = px(0). По условию леммы 3 в множестве О нет мультипликаторов системы (10.4). Следовательно, x(0) = z = 0 и в силу линейной независимости zi,, zm все Ск = 0, к = 1, т. Это означает, что матричный оператор B (t) переводит линейно независимую систему векторов zi,...,zm,m = dimker(X(и) — pE), в линейно независимую на [0,и] систему вектор-функций B (t)zi, . . . , B (t)zm. Отсюда следует (10.5). Лемма доказана.

Лемма 4. Для любого комплексного А

ker(K — AE) = ker(X (и) — exp(A^E). (10.6)

Доказательство. Пусть f(А) = exp^A). Так как производная f(A) не равна нулю на спектре матрицы K, то в силу теоремы 9 [30, с. 158] при переходе от матрицы K к матрице

/(К) = ехр(иК) = X(и) элементарные делители не «расщепляются», то есть, если матрица К имеет элементарный делитель (Л — )тз, то матрица монодромии X(и) имеет элементарный де-

литель (Л — exp(Лjи))тз и все элементарные делители этой матрицы могут быть получены подобным образом. Отсюда видно, что число а жордановых клеток в каноническом представлении матрицы К, отвечающих Лj, равно числу в жордановых клеток в каноническом представлении матрицы X(и), отвечающих exp(Лjи) (при определении матрицы К = ^ 1п X(со) мы берем главное значение логарифма и, значит, \k~\j при А& 7^ А^-, где I целое).

Так как а = ^шкег(К — ЛjЕ) и в = ^шкег(Х(и) — ехр(Ли)Е), то подпространства в (10.6) имеют одинаковую размерность.

Пусть Кх = Лх. Тогда X(и)х = ехр(иК)х = ехр(Ли)х. Следовательно, кег(К — ЛЕ) С кег^(и) — ехр(Ли)Е). Так как размерности подпространств совпадают, то имеет место (10.6). Лемма доказана.

Лемма 5. Пусть

в (г) = р(г)Б, (10.7)

где Б — произвольная постоянная п х п-матрица. Тогда У (г) = Р(г) ехр(г(К — Б)) является матрицантом возмущенной системы

(10.4) и У (и) = ехр(и (К — Б)), — матрицей монодромии этой системы.

Доказательство. Для Р(г) = X(г)ехр(—гК) имеем

Р (г) = X (г)ехр(—гК) — X (г)К ехр(—гК) =

= (г) ехр(—гК) — X (г) ехр(—гК )к =

= л(г)р (г) — р (г) к =

= [л(г) — в (г)Р (г)-1 ]Р (г) — р (г)(к — б ).

Так как У (г) = Р (г) ехр(г(К — Б)), то с учетом найденного пред-

ставления для производной Р (і) получим

У (і) = Р (і) ехр(і(К — в)) + Р (і)(К — в) ехр(і(К — в)) =

= {[А(і) — В (і)Р (і)-1 ]Р (і) — Р (і)(К — в)} ехр(і(К — в)) +

+Р(і)(К — в) ехр(і(К — в)) = = [А(і) — В (і)Р (і)-1 ]Р (і)ехр(і(К — в)) =

= [А(і) — В (і)Р (і)-1 ]У (і).

Лемма доказана.

Лемма 6. Пусть Л — произвольное собственное подмножество комплексной плоскости С. Тогда

где минимум берется по всем матрицам Б порядка п, для которых в множестве Л нет собственных значений матрицы К — Б.

Эта лемма составляет утверждение теоремы двойственности работы [23].

Теорема 17. Пусть О — произвольное собственное подмножество С. Тогда

где минимум берется по всем и-периодическим п х п-матрицам В (і) с комплекснозначными локально суммируемыми компонентами, для которых возмущенная система (10.4) не имеет мультипликаторов из О.

Доказательство. В силу леммы 3 достаточно показать, что в (10.5) оценка снизу достигается. Выберем максимально широкое множество Л так, что О = {р : р = ехр(иХ), X Є

тах^ткег(К — ХЕ) = тіпгапк в,

ЛеЛ

(10.8)

тах и) — рЕ) = тіпгапк В,

реП

Л} . В силу (10.6) и (10.8)

тах^ткег(Х (и) — рЕ) =

реП

где минимум берется по всем матрицам S порядка n, для которых в множестве Л нет собственных значений матрицы K - S. Для матрицы минимального ранга S = So в (10.9) по формуле (10.7) построим и-периодическую матрицу B(t), такую, что для матрицы монодромии возмущенной системы (10.4) будем иметь Y(и) = exp(u(K — So)). Так как в множестве Л нет собственных значений матрицы K - So, то в множестве О не может быть собственных значений матрицы Y(и) . В силу (10.7) B(t) = F(t)So. Ранг функциональной матрицы B (t) равен величине

rank So = maxdimker(X (и) — pE).

pe n

Это доказывает, что равенство (10.5) достигается. Теорема доказана.

11. Ранг возмущения

Для математического представления физических или технических объектов очень часто используются системы дифференциальных уравнений. Во многих случаях уравнения с самого начала являются линейными или могут быть линеаризованы.

Важной характеристикой динамической системы, механической или какой-либо иной, являются частоты ее собственных колебаний. В математических моделях этих систем частотам собственных колебаний соответствуют собственные значения дифференциального оператора системы. Знание спектра системы позволяет предсказать ее реакцию на произвольное внешнее воздействие.

Очень часто требуется не просто наблюдать за системой, а некоторым образом управлять ею, то есть, например, внося возмущение в исходную систему, придавать ее спектру нужные свойства.

Пусть В — банахово пространство. Рассмотрим управляемую систему

х = А(і)х + и(і), і Є М, (11.1)

где при каждом і линейный оператор А(і), действующий из В в

В, компактен, а х(і) и и(і) являются элементами В. Кроме того, пусть А(і) — и-периодический по времени і, сильно измеримый и интегрируемый по Бохнеру на отрезке [0, и] оператор.

Однородную систему

х = А(і)х, (11.2)

которая может быть получена из (12.1) при и(і) = 0, будем называть невозмущенной.

Из компактности оператора А(і) при каждом і по теореме

1.2 [28, с. 285] для оператора Коши X(і) невозмущенной системы (11.2) следует существование представления Флоке

X(і) = Р(і) exp(іQ) (11.3)

в виде произведения периодической дифференцируемой оператор-функции F(t), имеющей ограниченный обратный оператор F—1 (t), на операторную экспоненту exp(tQ) с постоянным оператором Q, и для оператора монодромии X(и) системы (11.2) следует существование In X (и).

Исходя из представления Флоке (11.3) оператора Коши системы (11.2), возмущение u(t) будем формировать в виде

u(t) = —K (t)x(t) = —B (t)F—1 (t)x(t).

Пусть спектр оператора монодромии X(и) системы (11.2) пересекается с некоторым «запрещенным» множеством О. Требуется добавлением возмущения u(t) преобразовать исходную систему

(11.2) таким образом, чтобы «запрещенное» множество О не пересекалась со спектром оператора монодромии возмущенной системы. Потребуем также, чтобы возмущение, привносимое в систему, имело минимально возможный ранг, понимаемый в следующем смысле:

О п р е д е л е н и е 13. Если оператор B из множества [B], то его рангом назовем число rank B = dim{Bzjz Є B}.

Данная задача носит экстремальный характер и может быть записана в виде

rank B ^ min, , >

a(X(и)) П О = ЇЇ. ( . )

Обозначим ker(X(u) — pi) = {x Є B : X(u)x = px}, где I —

тождественный оператор в пространстве B.

Справедливы следующие леммы.

Лемма 7. Для любого комплексного А из спектра a(Q) существует число exp(uA) из спектра a(X(и)), ker(Q — AI) С ker(X (и) — exp(uA)I).

Доказательство. Данная лемма является прямым следствием теоремы об отображении спектра для полугруппы (см. лемму 5 [29, стр. 201]).

Лемма 8. Если спектр оператора монодромии возмущенной системы (11.1) не пересекается с заданной областью О

и /fl и

комплексной плоскости C, не содержащей единицы, то

rankB ^ maxdimker(X(и) — pI). (11.5)

pen

Доказательство. Пусть комплексное p принадлежит «запрещенному» множеству О. По теореме С. М. Никольского [31, с. 233] оператор

\ k

Х(ш) - pi = exp(cjQ) - pi = (1 - p)I + ^2 ^к1 ?

k=1 '

состоящий при p = 1 из суммы непрерывно обратимого и вполне непрерывного операторов, является фредгольмовым. Следовательно, ker(X(и) — pI) имеет конечную размерность.

Пусть zi ,... ,zm — базис подпространства ker(X(и) — pI). Допустим, что для некоторых скаляров c1 , . . . , cm при почти

m

всех t Є [0, и] линейная комбинация Е CkB(t)zk = B(t)z = 0, где

k=1

m

z = 'S^2/CkZk- Отсюда для x(t) = X(t)z = F(t) exp(tK)z = p^F(t)z

k=1

имеем B(t)F—1 (t)x(t) = 0, и, значит, x — решение возмущенной системы (11.1), x(t) = [A(t) — B(t)F 1 (t)]x(t). По условию леммы область О не пересекается со спектром оператора монодромии системы (11.2). Следовательно, x(u) = z = 0 ив силу линейной независимости z\,... , zm все Ск = 0, к = 1,ш. Это означает, что оператор B (t) переводит линейно независимую систему zi ,... , zm, m = dimker(X(и) — pI), в линейно независимую на [0,и] систему B(t)z1,..., B(t)zm. Отсюда следует (11.5).

Л е м м а 9. Пусть

B (t) = F (t)S,

где S — произвольный, не зависящий от времени оператор из [В]. Тогда Y(t) = F(t) exp(t(Q — S)) будет «матрицантом» возмущенной системы (11.1) и Y(и) = exp(u(Q — S)) — оператором моно-дромии этой системы.

Доказательство. Для F (t) = X (t) exp(-tQ) имеем

F(t) = X(t) exp(-tQ) — X(t)Q exp(-tQ) =

= A(t)X(t) exp(-tQ) — X(t) exp(—tQ)Q =

= A(t)F(t) - F(t)Q =

= [A(t) - B(t)F(t)—1 ]F(t) - F(t)(Q - S).

Для Y(t) = F(t) exp(t(Q — S)) получим

Y(t) = F(t) exp(t(Q - S)) + F(t)(Q - S) exp(t(A - S)) =

= {[A(t) - B(t)F—1 (t)]F(t) - F(t)(Q - S)} exp(t(Q - S)) +

+F(t)(Q - S)exp(t(Q - S)) =

= [A(t) - B(t)F—1 (t)]F(t)exp(t(Q - S)) =

— [A(t) - B(t)F—1 (t)]Y(t).

Л е м м а 10. Пусть Л — произвольное собственное подмножество комплексной плоскости C, не содержащее нуля. Тогда

maxdimker(Q — XI) = minrank S, (11.6)

где минимум берется по S Є [В] таким, что спектр оператора Q — S не пересекается с областью Л.

Эта лемма составляет утверждение теоремы двойственности для банаховых пространств [25].

Т е о р е м а 18. Пусть О — произвольное подмножество С такое, что его замыкание О не содержит единицу. Тогда

maxdimker(X (и) — pI) = minrank B,

pe n

где минимум берется по всем u-периодическим операторам B (t), для которых спектр оператора монодромии возмущенной системы (11.1 ) не пересекается с множеством О.

Доказательство. В силу леммы 8 достаточно показать, что в (11.5) оценка снизу достигается. Выберем максимально широкое множество Л так, что О = {p : p = exp(uX), X Є Л} . В силу леммы 7 и (11.6)

maxdimker(X(и) — pI) ^

pen (11.7)

^ maxdimker(Q — XI) = minrank S,

XeA

где минимум берется по всем S таким, что спектр Q - S не пересекается с областью Л. Для возмущения минимального ранга, независящего от времени, S = So по лемме 9 построим и-периодический B(t) такой, что для оператора монодромии возмущенной системы (11.1) будем иметь Y(и) = exp(u(Q — So)). Так как область Л не пересекается со спектром A — So, то область О не пересекается со спектром Y(и). Так как B(t) = F(t)So, то ранг оператора B (t) равен величине rank So, для которой выполняется неравенство

rank So ^ maxdimker(X(и) — pI).

pen

При условии леммы 8, это неравенство обращается в равенство

rank B (t) = maxdimker(X (u) — pI).

pen

Применив теорему 13(стр. 39), получим следующие утверждение

Т е о р е м а 19. Если О — замкнутое подмножество комплексной плоскости и Q — ограниченный оператор, определенный на всем пространстве В, либо О — компактное подмножество и Q — замкнутый оператор. Тогда всякий конечномерный оператор K(t) = F(t)SF—1 (t) такой, что rank S = rank S, ||S — S\\ < min^n ||R(X; Q — S)|| — 1, также будет решением задачи

(11.4).

12. Вид возмущения

Пусть Н — сепарабельное гильбертово пространство. Рассмотрим управляемую систему

х = Л(£)х + и(£), £ Є М, (12.1)

где при каждом £ линейный оператор Л(£), действующий из Н в

H, компактен, а х(£) и и(£) являются элементами Н. Кроме того, пусть Л(£) — и-периодический по времени £, сильно измеримый и интегрируемый по Бохнеру на отрезке [0, и] оператор.

Однородную систему

х = Л(£)х, (12.2)

которая может быть получена из (12.1) при и(£) = 0, будем называть невозмущенной.

Из компактности оператора Л(£) при каждом £ по теореме

I.2 [28, с. 285] для оператора Коши X(£) невозмущенной системы (12.2) следует существование представления Флоке

X (£) = £ (£)ехр(£Ц) (12.3)

в виде произведения периодической дифференцируемой оператор-функции £(£), имеющей ограниченный обратный оператор £-1 (£), на операторную экспоненту ехр(£Ц) с постоянным оператором и для оператора монодромии X(и) системы (12.2) следует существование 1п X(и). Будем полагать, что Ц — нормальный оператор.

Следуя [1, 2], возмущение и(£) будем формировать в виде линейной обратной связи:

и(£) = —К (£)х(£) = —В (£)£-1 (£)х(£), (12.4)

где В(£) — некоторый и-периодический по времени £ оператор.

Такой вид возмущения u(t) приводит (12.1) к однородной системе [ ]

x = [A(t) — B(t)F—1 (t)] x (12.5)

c u-периодическим оператором A(t) — B(t)F—1 (t).

12.1. Одноранговое возмущение

Пусть в спектре a(X(и)) оператора монодромии X(и) системы

(12.2) задано О = {phi, • • • , pkl} — подмножество собственных значений, не содержащее единицы, такое, что любое собственное значение p из О имеет единичную геометрическую кратность. И пусть, кроме того, задано множество в = {9i,...,9i} такое, что в П О = її.

Будем искать такое возмущение u(t), чтобы спектр оператора монодромии Y(и) возмущенной системы (12.5) не содержал элементов заданного множества О и содержал все элементы в.

Как следует из теоремы 18(стр. 70), этого возможно достичь при минимальном ранге B(t) равном единице, однако эта теорема не описывает вида такого возмущений.

Определение 14. Под рангом оператор-функции B (t) будем понимать размерность єЄ образа

rankB(-)=dim{B(t)z\z Є H,t Є [0,u]}.

Обозначим также

ker(X(и) — pI)={x Є H : X(u)x = px}, где I — тождественный оператор в пространстве H-

Для дальнейших рассуждений сформулируем несколько простых лемм, доказательства которых могут быть найдены в параграфе 11.

Лемма 11. Операторы X(и) — I и ln X(и) компактны.

Лемма 12. Для любого комплексного X из спектра а(Ц)

Данная лемма раскрывает одно из свойств оператора Ц в представлении Флоке (12.3).

Л е м м а 13. Пусть

где $ — произвольный, не зависящий от времени оператор из [Н]. Тогда У (£) = £(£) ехр(£(Ц — $)) является оператором Коши возмущенной системы (12.1) и У (и) = ехр(и (Ц — $)) — оператором монодромии этой системы.

Эта лемма указывает конструкцию оператор-функции В (£).

Так как в силу леммы 11 оператор = ^1пХ(о;) компактен, то найдется полная систему ортонормированных собственных функций р1, р2, ... таких, что

где (х, рк) — скалярное произведение х и рк в Н.

Пусть Л = {рк\, №кі} — подмножество спектра а(Ц). Будем возмущать оператор Ц добавкой $ = а(х,Ь) (а,Ь Є Н) таким образом, чтобы а(Ц — $) = Т и а(Ц) \ Л, где Т = {к1,... , к} — заданное множество такое, что Т П Л = ЇЇ. Возмущение $ переводит собственные значения Ц из множества Л в Т. Таким образом, возмущенный оператор Ц — $ не имеет собственных значений из Л, и элементы Т являются его собственными значениями.

Следующая лемма указывает конструкцию возмущений $ такого типа.

найдется ехр(иХ) из спектра а^(и)) такое, что кег(Ц — XI) С кег^ (и) — ехр(иХ)1).

В (£) = £ (£)в,

(12.6)

к^1

Лемма 14. Возмущение $ = а(х,Ь), где а =

^ру, переводит множество А в Т, если и только если

найдутся две квадратично суммируемые последовательности комплексных чисел {а} и } такие, что:

а) а]в] = 0 для индексов не принадлежащих {к\,... ,к};

б) акг(3кг = ТП-= 1?7г? гДе некоторый мно-

гочлен степени I со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого образуют подмножество Т и (<у(0) \ Л), причем множество Т \ а(^) целиком лежит в множестве корней Р(X).

Эта лемма является переформулировкой теоремы 14(стр. 41) применительно к данной задаче.

Теорема 20. Пусть О = {рк1, • • • , Ркг} — заданное подмножество спектра а(Х (ш)), © = {01 ,...,01} — заданное множество такое, что О П © = Тогда возмущение вида и(1) =

—Е(Ь)БЕ-1 (Ь)х(Ь) для уравнения (12.2) переводит О в ©, где вид $ определен леммой 14.

Доказательство. Рассмотрим постоянный оператор Q из представления Флоке (12.3) и выберем максимально широкое множество Л так, что О = {р : р = ехр(шХ), X Е Л}. По лемме 12 множество Л является подмножеством спектра <7^). Оператор Q по предположению имеет полную систему ортонор-мированных собственных функций. Тогда лемма 14 определяет вид возмущения переводящего Л в Т.

Для и(Ь) = Е(Ь)БЕ-1 (Ь)х(Ь) по лемме 13 оператор У(ш) = ехр(ш^ — $)) является оператором монодромии возмущенной системы. Причем, если р Е а (У (ш)) ПО, то найдется X Е а^ — $)ПЛ, что противоречит выбору возмущения В том случае, если р Е а (У (ш)) \ О, р = 1, то соответствующее X будет принадлежать а^ — $) \ Л, X = 0 в силу теоремы об отображении спектра (см., например, [29, с. 201]. Подмножеству Т спектра ^ — $) соответствует подмножество © в а {У (ш)).

Для нахождения возмущения и(1) необходимо рассмотреть представление Флоке (12.3) и для оператора Q построить возмущение переводящее Л в Т. Работа [27] указывает конструк-

тивный способ построения такого возмущения. Далее, используя £(1), для 5 сформируем возмущение и(Ь) = £{Ь)БЕ-1 (Ь)х(1).

12.2. Возмущение для случая кратного спектра

Рассмотрим случай, когда собственные числа р Е О имеют геометрическую кратность, большую единицы.

Пусть множество О состоит из \г — собственные значения оператора Q геометрической кратности т%, причем 1 ^ т,1 ^ т,2 ... . В данном случае для оператора Q имеет место спектральное разложение

Ж тг

Q УЗ Х (•, )^г,3' (12.7)

г=1 3 = 1

Лемма 15. Для того чтобы можно было перевести заданное подмножество О = {Х(1,... , Х(т } изолированных собственных значений оператора (12.7) в произвольно заданное подмножество © = {91,..., 9т}, О П © = 0 комплексной плоскости С с помощью возмущения

т

К = ^2)ав, Е Н, Ьв Е Н,

в=1

где

ж тт(т13 ,тг)

ав = 53 53 ^з ^г,3,

1=1+1 а-1 3=1+т1з-1

ж тт(т13 ,тг)

^5 = ^ ^ ^ ^

1=1+13-1 3=1+т1з-1

причем будем полагать 1о = 0, то = 0, необходимо и достаточно существования двух квадратично суммируемых последовательностей = 1, оо, = 1,7711 таких, что выполнены следую-

щие условия:

а) Vij Pij = 0 для всех индексов i, не принадлежащих множеству индексов удаляемых собственных чисел Л = {І1,,lm};

Р(Л1.) m

б) "kjPlij = --то-----'------’ гДе Р(^) = П (Л - 0к) — МНОГОЧЛЄН

П (Лі. — Лік) k=1

k=1,k=i

степени m со старшим коэффициентом, равным единице, корни которого совпадают со значениями из 0.

В этом случае справедлива аналогичная теореме 20

Теорема 21. Пусть О = {pk1, • • •, Pkl} — заданное подмножество спектра а(Х(и)). Тогда возмущение вида u(t) = —F(t)SF-1 (t)x(t) для уравнения (12.2) переводит О в заданное множество 0, где вид S определен леммой 15.

Доказательство этой теоремы полностью повторяет доказательство теоремы 20.

Как и в случае простого спектра необходимо для оператора Q построить возмущение S такое, что в спектре a(Q — S) отсутствуют элементы множества Л и Y С a(Q — S). Для этого можно воспользоваться теоремой 15(стр. 48). При этом возмущение u(t) будет иметь вид:

u(t) = F (t)SF-1 (t)x(t).

12.3. Оценка нормы возмущения

Для изучения асимптотического поведения решения может оказаться полезной оценка нормы возмущения К(Ь) при £ = и. Используя представление возмущения К (и) в виде

К (и) = £ (и)8£-1 (и),

возможно оценить норму этого возмущения. Для нормы оператора $ справедлива оценка (см. (7.9, стр. 52))

\\SI

IP (Ль )I

,= 11 |л'— Л%1

j=1

3=.

Отсюда следует, что

I

\\К(и)||

= П 1 ехР(иХкг) - ехР(иХкз )|

] = 1

]=г

Для нормы К(Ь) справедлива также следующая оценка:

тах \\К(Ь)|| = тж ||£1 ^ ||£(и)Я£ 1 (и

ге[о,ш] ге[о,ш]

Е

1Р (ехР(иХкг ))|

= П 1 ехР(иХкг) - ехр(иХк^)|

]=1 з=г

13. Управление спектром оператора монодромии уравнения в частных производных

Результаты предыдущих параграфов 11, 12 применимы в случае, когда (^-периодический оператор Л(Ь) компактен для всех £ Є М.

Однако, часто приходится иметь дело со случаем, когда оператор Л(Ь) не компактен. Ярким примером является оператор Лапласа А, используемый в уравнениях математический физики, описывающих процессы в сплошных средах, такие как процессы переноса, волновые процессы.

Пусть Н — некоторое сепарабельное гильбертово пространство. Рассмотрим уравнение

Р и(Ь) + а(Ь)Ви(Ь) = 0, (13.1)

где и(Ь) — для каждого £ Є М является элементом Н,

Р = а,/ЗеС, а/0,

а(Ь) — (^-периодическая непрерывная функция,

В — линейный оператор из Н в Н, имеющий компактную резольвенту Я(Х) = (В — XI )-1.

Из компактности Я(Х) по следствию 4.4.2 [32, стр. 227] следует дискретность спектра а (В) = {Хп}. Пусть оператор В имеет в Н полную ортонормированную систему собственных функций {фп} таких, что они являются решениями спектральной задачи

ВФп = Хп Фп •

Представим уравнение (13.1) в виде нормальной системы уравнений первого порядка:

4 = Щ в 1 (13.2)

ии = --и) — -аШВи.

а а V '

Решение (и(Ь),,ш(Ь)) системы (13.2) может быть получено из

начальных условий (и(0), и(0)) с помощью эволюционного оператора X (і):

и(і)\ _ х(і) ы°у

Ш) _ х (і) • 1й(0),

Согласно теореме 1.2 [28, с. 285] существует представление Флоке эволюционного оператора X(і):

X (і) — £ (і) exp(іQ),

(13.3)

в виде произведения периодической дифференцируемой оператор-функции £ (і), имеющей ограниченный обратный оператор £-1 (і), на операторную экспоненту exp(іQ) с постоянным оператором Q. Для системы (13.2) оператор X(і) имеет следующий вид:

ж

X(і) — ^2 XV,(і)(',Фп)Фп,

п=1

Xn (і) _ ехр

0

0

/О (а (я) — р) ёв 0у

а ■) О

ехр

0

а

и

а

где (£,ф) — скалярное произведение элементов £, ф из Н. Отсюда получаем вид операторов £(Ь), exp(tQ) и £-1 (Ь):

ж /

і?(і) = £єхр(_Л!1 г

п=1 а -'О

1(а(з) — р) ёз 0> ^Фп)Фг

ж

0

(•,фп )Фп,

ж0 ехр(£д) = ^ехр ( _ ^

п=1 ' а

ж /

= £ехР ( с

п=1 V а ЛС

0

(а(в) — р) ёз 0у

(•,Фп )Фп

і

где р = /0^ а(в) ^.

Из вида оператора exp(tQ) получаем представление для операторов Q и X (и):

д = ^ехр (\ ) (-,Фп)Фп,

п= 1 '

р

аа

X (и) = exp(иQ).

Тогда возмущение, переводящее заданное подмножество О = {рк1,... , Ркг} спектра а(Х(и)) в заданное множество 0, имеет вид:

и(Ь) = —Е (Ь)БЕ-1(Ь)х(Ь), где вид £ определен теоремой 15(стр. 48).

14. Управление спектром оператора монодромии уравнения теплопроводности

Рассмотрим простейшую однородную задачу распространения тепла в тонком стержне. Система уравнений, описывающая данный процесс, имеет следующий вид (см., например, [33], [34]):

dv 2. , д2v . t .

dt=a{t)&v (14Л)

v(t, 0) = v(t,l) = 0, (14.2)

v(0,x) = p(x), (14.3)

где ф(x) — начальное распределение температуры, a(t) — коэф-

фициент температуропроводности, v(t, x) — классическое решение данной задачи.

Решение v(t,x) задачи (14.1)—(14.3) представимо в виде

то г t

v(t,x) = 2_\ An exp(—bn a2(T) dT )sin bn x,

n=1 Jo

где An — коэффициенты разложения функции ф(x) в ряд Фурье по системе синусов

то

v(0,x) = An sin bnx,

n=1

a bn = ™ — решения А задачи о собственных значениях (см., например, [33, с. 198])

X" (x) + ЛX (x) = 0,

X (0) = X (l) =0.

Рассмотрим задачу (14.1)—(14.3) как однородную начальную задачу в гильбертовом пространстве H квадратично суммируемых на [0, l] функций h(^) таких, что h(0) = h(l) = 0, со скаляр-

I

ны м произведением = f (f(s)'ip(s) ds:

о

v(t) = a2(t)Bv(t), (14.4)

v(0) = ф,

где v(t) для всех t Є [0, +ж) — элемент пространства H, B — опе-

d2

ратор Лапласа в пространстве Н, ср Є Н — начальная функция.

В данном случае решение v(t) представимо в виде

v(t) = V(t, 0)v(0),

где V(t,s) — оператор Коши уравнения (14.4).

В силу полноты системы функций {sin bnx} оператор V(t, 0) представим в виде разложения в ряд:

V(t)=V(t, 0) = f>p(-62 lo a2(r)dr)^g^g^sin6nx.

(14.5)

С учетом выражения для скалярного произведения, V(Ь, 0) представим в интегральной форме:

V (t, 0)ф = - ( exp (—fr2 a2(r)dr) ijj(s) sin bns ds\sin bn x,

l n=1 о о

n=

где

Ґ l

(sin b^x, sin bkx) = sin2 bfrsds = -

Jo 2

для всех целых k.

Таким образом, оператор монодромии V(и) = V(и, 0) уравнения (14.4) имеет вид:

лг( \ ( и2 \ (*7 sin bnx) .

У\ш) = ї^еМ-Ьпир)т^-г---------г-г—г sin bnx,

n=1 (sin bnx, sin bnx)

где fi = ^ f a2{r)dr — среднее значение периодической функции о

a2(t) на отрезке [0,и].

Для V(и) справедливо также соответствующее интегральное представление:

Отсюда очевидно, что спектр оператора монодромии V(и) дискретен, состоит из изолированных собственных значений и имеет вид

Справедливо представление Флоке оператора Коши уравнения

(14.4) (см, например, [28]):

где Q — постоянный по I оператор, £(I) — периодическая дифференцируемая оператор-функция, имеющая ограниченный обрат-

Из вида (14.5) оператора V(Ь) может быть получен вид оператора Е(Ь) и exp(ЬQ). Для этого необходимо выделить периодическую оператор-функцию Е(Ь) такую, что Е(0) = Е(и) = I, где I — тождественный оператор в пространстве Н. Для этого достаточно множитель

В этом произведении первый сомножитель представляет собой и-периодическую по Ь функцию и соответствует Е(Ь) в представлении Флоке, а второй соответствует оператору exp(ЬQ). Отсюда

V(Ь) = Е(Ь) ехр^),

ный оператор Е 1 (Ь).

представить как произведение

получаем, что

F(t) = jTeM-blJ (a2(r) ~ ^dT){/b2sfbnX)SillbnX'

n-1 0

f (t)^ =

= - ( exp(—(а2(т) — /л) dr) 'ф(в) sin bns ds\ sin bnx\

l n-A Jo Jo '

ж

f / 72 \ (•, sin bnx) . .

exp (tQ) = > exp {-bnpt)—---------—-—-sin bnx,

(sin hnx, sin bnx)

и=1

ех.р(1;(^)'ф = - ( ехр(—Ь2рЬ) 'ф(в) 8тЬпв ds ] ^,тЬпх.

и=А '

Обратный к £(I) оператор может быть представлен следующим образом:

^(1) = Х>хр(Ъ2п { (а2(г) - ц)йт) ■т|;8‘П^Ж.) ч Ьпх,

(sin bnx, sin bnx)

n--1

2

n I V ' r* t • 1 • 7 \ OU1Un‘

о (sin bnx, sin bnx)

n-1

’“V

= — 2_ \ ( exp(62 (a2 (r) — p) dr) 'ip(s) sin bns ds ) sin bnx.

l n-A Jo Jo /

Тогда возмущение, переводящее О = {pkt,... , Pkt} — заданное подмножество спектра a(V(и)) в единицу имеет вид:

F-1 (t)ф

ж / rt ГI

u(t) = —F (t)SF 1 (t)x(t).

Пример.

Пусть для задачи (14.1)—(14.2)

l = п, a(t) = 2 + sin(2nt).

В этом случае период и = 1, числа Ьп = п, и оператор Коши уравнения (14.4) имеет вид:

Ж Pt / • \

V(t) = V(t,0) = '£eM-n2 I ^)^)(sinnSZZX)

n=1

'Ж / rt rl

'«ТЛ Jo jo

причем

2 ж t V(t, 0)ф = у |^exp(—n2 j a2{r)dr) j ^(s) sin ns c/s ) sin пж,

г 1

a2(t) dr = — (Зб7г£ + 32 sin2(7rt) — sin(47r£)).

Jo 8п

Отсюда операторы F(t) и exp(tQ) имеют вид:

N , 2 f 2/ N 9 \ N (•, sin nx)

Fit) = > exp (—n [a (t)-----------dr) ------------------ sm nx,

“ J0 V 2) (sin nx, sin nx)

F (t)Ф =

= у (^exp n2 J ^a2(r) — J ^(s) sin ns ds^ sin nx;

ж

9 2 \ (•, sin nx)

t t 9 2 \ V , sin nx)

ехр(Ш) = > exp( n t) -------------------------------smra,

2 (sin nx, sin nx)

n=1

29

exp(tQ)^> = - У^ ( exp(—-n2

y^ fexp(—^n2t) J 'ljj(s) sin ns dsj sin nx.

n=1 о

I £ (exp(4 'o

Тогда спектр оператора монодромии имеет вид:

2 M ж J ( 9 2

а(У(тг)) = {ехр(-п2р)}^°=1 = |ехр(-?п2)| .

Возьмем в качестве множества «удаляемых» собственных значений оператора V (и) следующее множество

О = |ехр(-?),ехр(-18)

Множество Л из теоремы 20(стр. 75) в этом случае принимает вид:

Л =

Оператор S будем искать в виде:

S = (ai sin x + а2 sin 2x) • (в\ sin x + в2 sin 2x)),

где {an} и {вп} — квадратично суммируемые последовательности такие, что

3

Oil = «2 = 1, (3\ = р2 = —24,

все остальные ап = вп = 0 для всех n = 1, 2.

В результате получаем

K(t) = — - (•, sin х) + 16 ехр(3 J ^а2(т) — dr)(-, sin 2х)

sina; + exp(—3 J ^а2(т) — dr) sin 2х^ . Возмущение u(t) для задачи (14.1)—(14.2) имеет вид:

u(t) = —K (t)x(t) =

„п

-------- -------- і ------------------

/ x(s)sin sds+

t п + 16 exp ^3 J ^а2(т) — dr^j J x(s) sin 2s ds

sin a; + exp ^—3 J ^'a2 (t) — dr^j sin2a:^ .

Таким образом, возмущение такого вида преобразует спектр оператора V(и) так, что в спектре оператора монодромии возмущенного уравнения теплопроводности отсутствуют элементы из множества О.

Список литературы

1. Исламов Г. Г. Об одном свойстве мультипликаторов линейных периодических систем У У Изв. вузов. — 1999. — Т. Математика, № 2. —

С. 57-59.

2. Сивков Д. А. Управление спектром оператора монодромии периодической системы с компактной оператор-функцией возмущениями минимального ранга ^ Вестник УдГУ.— 2002.— Т. Математика, № 1. — С. 92-95.

3. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями ляпунова согласованных систем. I УУ Дифференц. уравнения. — 1994. — Т. 30, № 1. — С. 1687-1696.

4. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями ляпунова согласованных систем. II УУ Дифференц. уравнения.— 1994.— Т. 30, № 1. — С. 1949-1957.

5. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Управление показателями ляпунова согласованных систем. III У У Дифференц. уравнения. — 1995. — Т. 31, № 2. — С. 228-238.

6. Попова С. Н., Тонков Е. Л. К вопросу о равномерной согласованности линейных систем УУ Дифференц. уравнения.— 1995.— Т. 31, № 4. — С. 723-724.

7. Тонков Е. Л. Задачи управления показателями ляпунова У У Дифференц. уравнения. — 1995.— Т. 31, № 10. — С. 1682-1686.

8. Попова С. Н., Тонков Е. Л. Согласованные системы и управление показателями ляпунова У У Дифференц. уравнения. — 1997. — Т. 33, № 2. — С. 226-235.

9. Ланкастер П. Теория матриц. — М.:Наука, 1978. — 280 с.

10. Красовский Н. Н. Теория управления движением.— М.:Наука, 1968. — 475 с.

11. Тонков Е. Л. Динамическая система сдвигов и вопросы равномерной управляемости линейной системы У У Докл. АН СССР. — 1981. — Т. 256, № 2. — С. 290-294.

12. Bylov B., Izobov N. Necessary and sufficient conditions for stability of characteristic exponents of a linear system У У Differentsial’nye Urav-neniya.— 1969. — Vol. 5, no. 10.— Pp. 1794-1803.

13. Попова С. Н. Глобальная приводимость линейных управляемых систем к системам скалярного типа У У Дифференц. уравнения. — 2004. — Т. 40, № 1. — С. 41-46.

14. Демидович Б. П. Лекции по математической теории устойчиво-

сти. — М.:Наука, 1967. — 472 с.

15. Богданов Ю. С. // Тр. IV Всесоюзного математического съезда. — 1961.— Т. 2.

16. Попова С. Н. Глобальная управляемость полной совокупности ля-пуновских инвариантов периодических систем // Дифференц. уравнения. — 2003. — Т. 39, № 12. — С. 1627-1636.

17. Изобов Н. А. Линейные системы обыкновенных дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Мат. анализ. М. — 1974. — Т. 12. — С. 71-146.

18. Brunovsky P. Controllability and linear closed-loop controls in linear periodic systems // Journal of Differential Equations. — 1969. — Vol. 6. — Pp. 296-313.

19. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика. Нерелятивистская теория. — М.:Физматгиз, 1963. — 704 с.

20. Abraham P. B., Moses H. F. Changes in potentials due to changes in the point spectrum: Anharmonic oscillators with exact solutions // Phys. Rev. — 1980. — Vol. A 22(4). — Pp. 1333-1340.

21. Захарьев Б. Н., Сузько А. А. Потенциалы и квантовое рассеяние. Прямая и обратная задачи. — М.:Энергоатомиздат, 1990.

22. Захарьев Б. Н., Чабанов В. М. Качественная теория управления спектрами, рассеянием, распадами // Физика элементарных частиц и атомного ядра.— 1994.— Т. 25, № 6.— С. 1561-1597.

23. Исламов Г. Г. Об управлении спектром динамической системы // Дифференц. уравнения.— 1987.— Т. 23, № 8.— С. 1299-1302.

24. Курош А. Г. Курс высшей алгебры.— М., 1971.— 431 с.

25. Исламов Г. Г. Экстремальные возмущения замкнутых операторов // Изв. вузов.— 1989. — Т. Математика, № 1. — С. 35-41.

26. Клочков М. А. Управление дискретным спектром дифференциальных операторов возмущениями минимального ранга: Кандидатская диссертация / УдГУ. — 2004.

27. Исламов Г. Г. Свойства одноранговых возмущений // Изв. вузов. — 1989.— Т. Математика, № 4.— С. 29-35.

28. Далецкий Ю. Л., Крейн М. Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.— М.:Наука, 1970.

29. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики: Т.4. Анализ операторов.— М.:Мир, 1978.— 428 с.

30. Гантмахер Ф. Р. Теория матриц.— М.:Наука, 1967.— 576 с.

31. Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.:Наука, 1980. — 496 с.

32. Балакришнан А. В. Прикладной функциональный анализ.—

М.:Наука, 1980. — 384 с.

33. Тихонов А. Н., Самарский А. А. Уравнения математической физики. — М.:Наука, 1966. — 724 с.

34. Владимиров В. С. Уравнения математической физики. — М.:Наука, 1976.— 528 с.

A. Возмущение потенциала в уравнении Шрединге-ра

«Graphics‘Graphics‘

«Graphics‘Legend‘

Определение потенциала

U[x_]: =Which[x < 0, 0,x > 0, x2]; ф0 = 0; ф1 = 1; £ = 10-3; x1 = 6;

grid = Table[N[i£], {i, 1, Round[xl/£]}];

Нахождение решений и энергетических уровней Ф[х_, e_]: =

CompoundExpression[

solution = NDSolve[{^t1/[т] == ^t2[r],^t2' [т]

== — (e — U[т]^1[т], ^t1[0] == ф0, ^t2[0] == ф1}, {^t1,^t2}, {т, 0x1}];

First [^t1[x]/. solution]]

d^[x_, e_]: =CompoundExpression[lf [ValueQ[solution],

Null, ф[0, e]], First [^t2[x]/ . solution]]; mapped[e_] :=Chop[^[grid, e], 10-10];

ZerosNum[e_] :=CompoundExpression[mapped1 = mapped[e]; Length[Select[Table[lf [mapped1[[i + 1]] * mapped1[[i + 2]] < 0,1, 0], {i, 0, Length[grid] — 3}], # == 1Щ; p1 = Plot[ZerosNum[e], {e, 2,16}];

2.5

7.5

10

12.5 15

Plot [^[x, 7.000], {x, 0, 6}];

0.4

0.2

-0.2

-0.4

il = N[Jq(^Ij[x, 7.000])2c/a:]; фпогш[х_, e_] :=ф[х, e]/\/iT;

Поиск возмущения потенциала

sewpoint = £; x11 = 4.000;

grid = Table[N[i£], {i, 1, Round[x11/£]}]; v[x_] :=^norm[x, 7.000];

V[x_, e_]:=2N[

u\xY

2v\x\i't\x\ (!“ Jo v[p]2dp)2 1 1 -f0x i/[(o]2dp

+

];

3

2

1

5

5

6

v[x]A , 2v[x\v'[x]

0X "Wdp)2 Wo* ^P\2d Plot[V[x, 7.000], {x, s, 4}, PlotDivision ^ 2.];

VseM[x_,e_]=-2 N1

Udist[h_]: =Which[h < 0, 0,h > 0,h2 + V[h, 7.000]]; Udistappsew = FunctionInterpolation[Udist [h],

{h, sewpoint — s, xll}, InterpolationPrecision ^ 0.00001]; Udistapp[x_] :=Udistappsew[x];

Udistappsew[0.1]

Udist[0.1]

Udistapp[0.1]

1.84624

1.30541

1.84624

U1 = ShowLegend[Plot[{U[x], Udist [x], 3, 7,11,15}, {x,s, xll}, PlotStyle ^ {AbsoluteDashing[{10, 5}], RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0], AbsoluteDashing[{10, 5}],

RGBColor[0, 0, 0], RGBColor[0, 0, 0]}, PlotDivision ^ 3., DisplayFunction ^ Identity],

{{{Plot[0, {y, 0, xll}, PlotStyle->AbsoluteDashing[{10, 5}], Axes ^ None, DisplayFunction->Identity], Legl},

{Plot[0, {y, 0, xll}, PlotStyle ^ RGBColor[0, 0, 0],

Axes ^ None, DisplayFunction->Identity], Leg2}}, LegendPosition ^ {1, —0.3}, LegendShadow ^ None}];

----- невозмущенныи потенциал

----- возмущенныИ потенциал

Поиск возмущенных решений и энергетических уровней

^dist[x_, e_]: =

CompoundExpression[

solution = NDSolve[{^t1/[т] == ^t2[r],^t2/[t] ==

— (e — Udistapp[r])^>t1 [t], ^t1[e] == 0,^>t2[s] ==1},

{^t1, ^t2}, {t, £, x11}]; First [^t1[x]/ . solution]] mappeddist[e_] :=Chop[^dist[grid, e], 10-10];

ZerosNumdist[e_] :=CompoundExpression[mapped1 = mappeddist[e]; Length[Select[Table[lf [mapped1[[i + 1]] * mapped1[[i + 2]] < 0,1, 0], {i, 0, Length[grid] — 3}], # == 1Щ;

Plot[ZerosNumdist[e], {e, 2, 20}];

5 I- I—

4 -

3 -

2 -

5

10

15