Лакуны в спектре задачи Дирихле для бигармонического оператора на плоскости, периодически перфорированной круговыми отверстиями Текст научной статьи по специальности «Математика»

2013 ВЕСТНИК САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОГО УНИВЕРСИТЕТА Сер. 1 Вып. 2

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956.8:517.956.328:517.958:535.4

ЛАКУНЫ В СПЕКТРЕ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ БИГАРМОНИЧЕСКОГО ОПЕРАТОРА НА ПЛОСКОСТИ, ПЕРИОДИЧЕСКИ ПЕРФОРИРОВАННОЙ КРУГОВЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ*

Ф. Л. Бахарев

С.-Петербургский государственный университет, канд. физ.-мат. наук, доцент, [email protected]

Введение. Распространение волн в периодических средах является предметом интенсивного изучения в последние годы. Это связано с огромным количеством применений соответствующих структур как в физике, так и при проектировании инженерных сооружений. Причиной востребованности служит чересполосная (band-gap в английской терминологии) структура спектра периодических сред. Она допускает появление так называемых спектральных лакун, запрещающих распространение волн в соответствующем частотном диапазоне. Спектральной лакуной называется интервал на вещественной положительной полуоси IR+, свободный от спектра <т, но имеющий обе концевые точки в а. Эффект наличия «сегментов проходимости» (bands) и «интервалов торможения» (gaps) в спектре является ключевым при проектировании волновых фильтров и демпферов (band-gap engineering).

В работе рассматривается спектральная задача Дирихле для бигармонического оператора на плоскости, перфорированной двоякопериодическим семейством круговых отверстий. Эта задача соответствует физической задаче о колебаниях тонкой пластины, припаянной к периодическому семейству абсолютно жестких круглых стержней. Устанавливается, что при определенных радиусах стержней спектр содержит любое наперед заданное число лакун. Аналогичная задача для оператора Лапласа с условиями Дирихле и Неймана была рассмотрена в работах [1, 2].

Для обоснования появления лакун производится локализация положения собственных чисел модельной задачи на ячейке периодичности. При этом используются максиминимальный принцип и некоторые весовые оценки для собственных функций.

* Работа выполнена при финансовой поддержке Санкт-Петербургского государственного университета (грант №6.38.64.2012), а также РФФИ (грант №12-01-00348).

© Ф. Л. Бахарев, 2013

Этот подход в случае волноводов был реализован, например, в работах [3, 4]. Схема обоснования в целом такая же, как в работах [1, 2].

Постановка задачи. Пусть Пд — плоскость, перфорированная круговыми отверстиями радиусом Д,

Пд = {ж = (жь ж2) € К2 : ^(ж, (Ж + 1/2)2) > Д}; (1)

здесь через ^Б^ж, М) обозначено расстояние от точки х до множества М, а через (Ж + 1/2) —множество точек ш = (ш1,ш2) таких, что ш^ + 1/2 € Ж (] = 1, 2). Предполагаем, что Д < 1/2, т.е. множество Пд связно.

В области (1) рассмотрим спектральную задачу Дирихле для бигармонического оператора:

Д2и(ж) = Аи(ж), ж € Пд, (2)

и(х) = дпи(ж) =0, ж € дПд, (3)

где Д — оператор Лапласа, дп —производная вдоль внешней к границе области Пд нормали, а А — спектральный параметр. Спектральная задача (2)—(3) допускает вариационную постановку

о 0

(Ди, ду)^ = А(и,у)Пн, Чу € Я2(ПД), (4)

где (, )пд —скалярное произведение в пространстве Лебега Ь2(Пд), а Н2(Пд) —замыкание множества С°(Пд) гладких финитных функций по норме пространства Соболева Н2(Пд). Билинейная форма а(и, у) в левой части (4) положительна и замкнута в пространстве Н2(Пд) и, следовательно (см. [5, гл. 10]), задача (4) может быть переписана в виде абстрактного уравнения

Аи = А и

с некоторым неограниченным самосопряженным положительным оператором А в пространстве Ь2(Ид), а его спектр а а — подмножество положительной полуоси = [0, С помощью интегрирования по частям легко установить, что на пространстве

Н2(Пд) квадратичная форма а(и,и) оценивает Ь2-нормы всех вторых производных:

I ^ / и " (х) аX. (5)

а(и,и) ^

Шя

д2

дж7- дж к

3,к=1'

В силу неограниченности области Пд вложение Н2(Пд) в Ь2(Пд) некомпактно, непрерывный спектр <теяя (А) не пуст. Используя преобразование Гельфанда [6] и теорию Флоке—Блоха [7], можно установить, что спектр имеет чересполосную структуру, а именно,

а =и ВД, ВД = {А = Лп(п),П =(П1,П2) € [-п,п) х [-п, п)}, (6)

п=1

где Л^- (п) — члены монотонной неограниченной последовательности

0 < Л1(п) < Л2(п) < ••• ^ (7)

41

Рис. 1. Плоскость, перфорированная круговыми отверстиями, с выделенной ячейкой периодичности и предельная ячейка периодичности.

собственных чисел спектральной задачи на ячейке периодичности, а п — параметр Флоке (двойственная переменная преобразования Гельфанда). Собственные числа включены в список (7) при учете кратностей.

В качестве ячейки периодичности шд (см. тонирование на рис. 1, а) возьмем область, полученную удалением из единичного квадрата Q = (-1/2,1/2) х (-1/2,1/2) четырех секторов радиусом Д, а именно,

шд = {х = (х\, х2) : | < 1/2, {Pj± }) > Д} ,

где точки Pj± = (±1/2, ( — 1р 1/2) (о = 1, 2) —вершины квадрата Q. Модельная задача на ячейке периодичности имеет вид

Д2и(х, п) = Л(п)и(х, п), Х е шд, (8)

и(х, п) = 5„и(х,п)=0, х е 7д = дшд \У тД±, (9)

j,±

VйиЦ.+ = е^' VйиЦ-, О = 1, 2, к = 0,1, (10)

УЙи| ,-,+ = е^' Vйи| , о = 1, 2, к = 2, 3. (11)

При этом «торцы» ячейки периодичности определяются равенствами

7^ = шр\{х1 = ±1/2}.

В вариационной постановке задача (8)-(10) записывается в виде интегрального тождества

(Ди(^,п), ДУ(•))шл = Л(п)(и(•, п), V(•))шд, УУ еНд(п), (12)

в котором пространство Нд (п) состоит из функций и е Н2(шд), удовлетворяющих условиям (9)-(10). Этой задаче также отвечает самосопряженный оператор А(п),

только теперь уже с дискретным спектром (из-за ограниченности области шд вложение Нд(п) в Ь2(шд) компактно). Функции п ^ Лп(п) непрерывны, 2п-периодичны по каждой из переменных пз, и поэтому множества Вд являются отрезками.

Основной целью работы является исследование асимптотического поведения спектра при Д ^ 1/2, поэтому введем новый малый положительный параметр £ = 1/2 — Д и все обозначения перепишем, поменяв в них нижний индекс Д на верхний индекс £. Собственные функции задачи (12) подчиним условиям ортогональности и нормировки:

(ип(-,п),ит(-,п))ш= = ¿п,ш, П,ш €Ы, (13)

где 6п.т — символ Кронекера.

Предельная задача на ячейке. Рассмотрим вариационную постановку предельной (£ = 0) задачи

(Ди0, ДУ)Ш0 =Л0(и0,У)Ш0, V €Н0 = Н2(ш0), (14)

которая является спектральной задачей Дирихле в области с пикообразными заострениями. Несмотря на то, что область ш0 (рис. 1, Ь) не липшицева, спектр задачи (14) дискретен. Это следует из неравенства Фридрихса. Действительно, обозначим через О одну из четырех вершин

(±1/2,0), (0, ±1/2) (15)

области ш0 и введем локальную прямоугольную декартову систему координат у = (уьу2) с началом в О так, чтобы область в окрестности О задавалась неравенствами

2/1 > 0, Ы <%1) = 1/2-^1/4-у22. (16)

Функция Н удовлетворяет оценкам

¿2 < Н(г) < ¿2 + t € к, (17)

с некоторой положительной константой с. Благодаря поставленным условиям Дирихле на краях пика справедливо неравенство

1 ГН(У1) 1 гНУг) гНУ 1) 2

Н(У1)4 ./-Н(У1) Н(У1)2 ./ — Н(у1) ./-Н(У1)

для любой функции и € Н2(ш0). Проинтегрировав (18) по переменной у1, обозначив через р гладкую положительную функцию, совпадающую в окрестности точек (15) с расстоянием до сторон квадрата и приняв во внимание оценки (17) на функцию Н, получаем, что

||р-4и; Ь2(ш°)|| + ||р-2Уи; Ь2(ш°)|| < сгоо ||У2и; Ь2(ш°)||. (19)

Неравенство (19) гарантирует компактность вложения

Н 2( ш0) в Ь2(ш0), поскольку

оператор вложения представим в виде суммы компактного оператора на липшицевой области { }

ш0(Я) = {ж € ш0 : |жз| < 1/2 — Я. = 1, 2} и малого по норме оператора на объединении кончиков пиков

(20) 43

имеющего норму О(З) благодаря большим множителям р 4 и р 2 в левой части неравенства (19). Теперь теоремы 10.1.5 и 10.2.2 [5] приводят к нужному утверждению.

Теорема 1. Спектры задачи Дирихле (14) и задачи (12) с параметром п являются дискретными.

Обсудим теперь гладкость решений задачи (14). Пусть {ЛП}ием —последовательность собственных чисел, записанных в порядке неубывания при учете кратностей, {иП}пеы —ортонормированная в Ь2(ш°) последовательность соответствующих собственных функций. Общие результаты (см., например, [8]) гарантируют гладкость функций иП во всех точках, кроме, быть может, вершин пиков области ш0. Сверхстепенное убывание функций и^ при подходе к вершинам следует из общих результатов [9, 10]. Докажем более простую оценку, не опираясь на общие результаты, с помощью модификации трюка из работы [11].

Лемма 1. Если и —решение задачи (14) с собственным числом Л, то конечны весовые нормы

||р—2V2и; Ь2(ш°)||, ||р-^и; Ь2(ш°)||, ||р-6и; Ь2(ш°)||. (21)

Доказательство. Для краткости всюду в доказательстве этой леммы через || • || обозначаем норму в Ь2(ш°). Рассмотрим весовую функцию

ЖЙ (х) = 3-2Ж (3-1р(х)), (22)

где

( г-2, г> 1,

Ж(г) = I -2(4 - 1/2)2 +3/2, г е [1/2,1), I 3/2, г е [о, 1/2),

а 3 — некий положительный параметр, который позднее будет устремлен к нулю. Функция Ж имеет кусочно-непрерывную вторую производную. При этом сама функция и ее производные ограничены. Также имеют место оценки

|Ж(г)| < г-2, |дЖ(г)| < 2г-3, |д2ж(г)| < бг-4. (23)

Подставим в интегральное тождество (14) пробную функцию

V = жЙ2и.

Это возможно, поскольку благодаря неравенству (19) все возникающие интегралы сходятся абсолютно. Введя обозначение Ц; = Ж;и, получим

Л||Ц;||2 = Л(Жй2и, и) = (Д(Ж-1МЙ), Д(Ж;и)).

Раскроем скобки в последнем скалярном произведении и, пользуясь вещественностью всех входящих в выражение функций, получим, что оно представляется в виде суммы следующих слагаемых:

/1 = (ДЦ, ДЦ), /2 = 2 / ДЦVUЙ(Жй-1^ЖЙ + Ж;V(WЙ-1)),

./го0

/з = / ДЩУЩ(^<5-+ WsД^й-1)),

./го0

/4 =4/ |УЩ |2 V(Wй-1)VWй,

Jш0

/5 = 2 [ ЩУЩ^йД^й-1) + V(W—1 ),

./ го0

/6 = / |Щ |2ДWЙ д^й-1 )•

■)ш0

В силу неравенств (23) и свойств функции р для функции Wй и ее производных выполнены соотношения

+ WйД^й-1) + V(W—1)VWй| < Срр-2, (24)

|VWйД^й-1) + V(W—1 ^й| < Срр-3, (25)

|Д^й Д^й-1)| < Срр-4 • (26)

Первое слагаемое /1 по неравенству (5) оценивает величину ; Ь2(ш0)||2 свер-

ху с некоторой константой, зависящей только от ш0. Слагаемое /2 равно нулю. Для оставшихся слагаемых /3-/3 воспользуемся неравенством Гёльдера, оценкой (19) для функции Щ и соотношениями (24)-(26). В результате получаем формулы

|/з | < а- -1|р2ДЩй|2 + са||р-4Щ||2 < а-1|р2ДЩй|2 + с(ш0)а||V2Wй||2

|/4 | < а- ^ЦУЩЦ2 + са|р-2УЩйУ2 < а-1|УЩйУ2 + с(ш0)а|^2Щ||2,

|/5 | < а- "ПИЩИ2 + | УЩйУ2) + са(||р-4Щ||2 + |р-2УЩйУ2)

< а- "ЧЦЩЦ2 + || VUйИ2) + с(ш0)а|^2Щ||2,

|/б | < а- ^ЦЩЦ2 + са|р-4Щй||2 < а-1 ||Щ||2 + с(ш0)а|^2Щ||2,

верные при любом положительном а. Выбрав а достаточно малым, заключаем, что

|^2Щ|| < С(Л,ш0)(||Щ|| + ||УЩ|| + ||р2ДUй|)•

Нормы в правой части оцениваются величинами, не зависящими от Я. Перейдя к пределу при Я ^ 0, получим, что конечна и норма |^2(р-2и)||, а вместе с ней и три нормы, приведенные в (21). □

Неравенства для собственных чисел. Теперь докажем ключевую теорему, связывающую собственные числа исходной и предельной задач.

Теорема 2. Для любого натурального п найдутся такие положительные числа £п и ап, что при £ € [0, £п) и любом п € [—п, п) х [—п, п) собственные числа задачи (8) —(10) в ше и предельной задачи в ш0 находятся в отношении

Л° - а„л/ё < Л°. (27)

Доказательство. Проверим сначала более простое второе неравенство. Для собственных чисел задачи (8)-(10) справедлив максиминимальный принцип (см. [5, теорема 10.2.2]):

Л^)=8и Р^",^^"2, (28)

Е ъеЕ ||у; Ь2(ше)||2

где супремум вычисляется по всем подпространствам Е С Не (п) с коразмерностью п — 1. Продолженные нулем с ет0 в более широкую область ш£ функции попадают в пространство Не (п), более того, они в нем остаются линейно независимы в силу наложенных условий ортогональности. Следовательно, всякое пространство Е в силу максиминимального принципа содержит нетривиальную линейную комбинацию функций и0, и20, ..., Ц1:

n

U = £ bj U0 e e, E |bj I2 = 1. j=i j=i

Подставляя ее в качестве пробной функции в выражение (28), получаем

. ||Аг>; Ь2(шЕ)\\2 || Щ-, ¿2(^)||2 = Е "=i N4° 0 «ев ||г>; L2(u7e)||2 ^ ||W;L2(^)||2 £J=1 N2 "

Переходя к супремуму по всем подпространствам E, получаем требуемое неравенство.

Доказательство первого неравенства основано в целом на той же идее. Для собственных чисел ЛП справедлива формула

до _ siro inf IIA^V°)II2 (29)

где теперь уже E — подпространство в H2(ет°) с коразмерностью n — 1. Однако повторить конструкцию пробной функции U без изменений нельзя, так как собственные функции Uj не лежат в пространстве

H 2( ■ет°). Поэтому для начала произведем сжатие координат с коэффициентом 1 — 2л/е, чтобы было выполнено включение

ше = (1 - 2л/ё)та7е С .

Продолжить функцию х I—> Uj(( 1 — 2л/е)~1ж, г/), определенную на ше, нулем на ги° по-прежнему нельзя, теперь по причине отсутствия условий Дирихле на торцах области -П7е, где унаследованы условия квазипериодичности (10). Поэтому введем дополнительно умножение на срезающую функцию xt (см. рис.2), гладкую на плоскости и такую, что

xt(x) =0, x e R2 \ ( — 1/2 + 3t, 1/2 — 3t) x ( — 1/2 + 3t, 1/2 — 3t),

Xt(x) = 1, x e ( —1/2+ 4t, 1/2 — 4t) x ( —1/2+ 4t, 1/2 — 4t),

xt e [0,1], |Vxt| < ct-1, |V2xt| < ct-2 . (30)

Э х^Щ = х^(х)Щ((1 - 2^I)-1x, n) (31)

можно продолжить нулем в классе H2 (ет°).

Для обработки отношения Релея в максиминимальном принципе (29) нам потребуется оценка весовых норм типа (22) для функций U?(-,n).

Лемма 2. Для собственных функций задачи (8)—(11), подчиненных условию нормировки (13), выполнены неравенства

¿IKp+v^)-2(3-j)V^:;L2(^)|KC7„, (32)

j=°

Функцию

Рис. 2. Взаимное расположение множества и уровней функции Х£*

в которых р — весовой множитель из оценки (19), а величину Сп можно взять общей для всех е € (0, еп] при некоторых еп > 0.

Доказательство. В этом доказательстве символом у • у будем обозначать норму в пространстве Ь2(ете). Как и в соотношении (16), область -ете в локальных координатах в окрестности точки О можно записать с помощью неравенств

причем = е + у2 + 0(еу2 + у4). Поэтому так же, как и при обосновании леммы 1,

можно воспользоваться одномерным неравенством Фридрихса и получить неравенство, аналогичное (18), для функции и € Не(п) только с заменой Л.(у 1) на Л.е(у 1). После интегрирования по у 1 получим весовую оценку

Функцию )2Ц; по-прежнему можно подставить в интегральное тождество (12), поскольку, как нетрудно видеть, условия квазипериодичности выполняются, а все возникающие интегралы сходятся абсолютно. Повторяя с незначительными изменениями рассуждения из доказательства леммы 1, получаем необходимую оценку с константой Сп = е„АП(п)- Осталось воспользоваться уже доказанным в теореме неравенством лп(п) ^ лП. □ Продолжим доказательство теоремы. Начнем с проверки линейной независимости функций Щ,..., МП (см. определение (31)). Это гарантирует, что любое подпространство Н 2( ■ет0) с коразмерностью п — 1 содержит линейную комбинацию указанных функций. Линейная независимость следует из «почти ортонормированности»,

\\(р + ^Г2^и\\ + \\(р+^Г4и\\ < С||У2£/||,

в которой С не зависит от е € (0, ео] и и € Не(п).

Аналогично определению (22) введем весовую функцию

а именно, справедливо соотношение

./го0

= (1 - 2л/?)24т + (1 " 2л/ё)2 [ (1 - Хе(у)2)Щ(у)Щ(у)<1у,

где

Последний интеграл оценивается следующим образом

< се61|(р + Ь2{ш1)\\||(р + || <

к ; ^ (^*)ПП(Р + V ик ;

< Се6||У2ик; Ь2(шк)||||У2ик; Ь2(шк)|| < Се6ЛП < С„е6.

Здесь введено обозначение ет^ = {х (Е та7е : р(х) ^ 4л/е}, аналогичное (20).

Теперь в произвольном подпространстве Е С Н2(ет0) с коразмерностью п — 1 лежит некоторая линейная комбинация

п п

и = Еи; е Е, ]Г ^12 = 1.

¿=1 ;=1

Подставим М в качестве пробной функции в дробь Релея из (29). В силу доказанной «почти ортогональности» функций для знаменателя дроби Релея верно соотношение

||и- Ь2(ш°)||2 = (1 - 2^)2(]Г |б/ - Спе6) > 1 - сД.

¿=1

Для оценки числителя надо изучить скалярные произведения

= (1 -2^)2 1Ау(хЕ(у)Щ(у))ьу(хМиМ)с1у.

Последний интеграл переписывается в виде суммы следующих слагаемых:

71 = (дие, дит = 4тлк,

к, д т = иктлк ,

72 = ((1 — Хе2)дик£, дит)ш* = ((1 — Х2)дик, дит)ш*, = (ХеУХе д^к, У^т + (ХеУХе УЦ*, дит )ш*,

74 = (хедхедик, ит)ш* + (Хедхеик, дит)ш*,

75 =4(|УХк|2Уик, Уит)ш*,

76 = (ЛХкУВД, Уит )ш* + (дхе УХкУик ,ит , 7Г = ((дХк )2ик,ит )ш*.

Слагаемые 72,..., 77 можно оценить, применяя неравенство Гёльдера и принимая во внимание оценки (30) для производных функции х^/7 на множестве ш^. Воспользуемся неравенством (32) и получим, что для любых 1 = 0,1, 2

0

(VjXeVlXeV2-j Ufce, V2-lUf)

c \j / c \l

Таким образом, числитель дроби Релея допускает оценку

n

||ДИ; Ь2(ш°)||2 < (1 - 2Vi)2 \Ък\2КШ + Спе2) < Л* („) + Спе2.

Й=1

Первое неравенство (27) доказано. □

Теперь сформулируем искомый результат о раскрытии лакун. Следствие. Если Л^ < ЛП+1 то при достаточно малом е сегменты ВП и ВП+1 спектра (6) не пересекаются и между ними открыта лакуна.

Замечание. Проведенный анализ, к сожалению, не позволяет судить о наличии лакуны между сегментами В^ и В^ +1 в случае, если Л^ = Л^+1 — кратное собственное число.

Литература

1. Назаров С. А., Руотсалайнен К., Таскинен Я. Лакуны в спектре задачи неймана на перфорированной плоскости // Доклады АН. 2012. Т. 445, №2. C. 151-156.

2. Nazarov S. A., Ruotsalainen K., Taskinen J. Spectral gaps in the Dirichlet and Neumann problems on the plane perforated by a doubleperiodic family of circular holes // J. of Math. Sc., 2012. Vol. 181, N2. P.164-222.

3. Назаров С. А. Пример множественности лакун в спектре периодического волновода // Матем. сборник. 2010. Т. 201, №4. С. 99-124.

4. Nazarov S.A., Ruotsalainen K., Taskinen J. Essential spectrum of a periodic elastic waveguide may contain arbitrarily many gaps // Applicable Analysis. 2010. Vol. 89, N 1. P. 109-124.

5. Бирман М. Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980. 264 с.

6. Гельфанд И. М. Разложение по собственным функциям уравнения с периодическими коэффициентами // Доклады АН СССР. 1950. Т. 73. С. 1117-1120.

7. Кучмент П. А. Теория Флоке для дифференциальных уравнений в частных производных // Успехи матем. наук. 1982. Т. 37, №4. C.3-52.

8. Agmon S., Douglis A., Nirenberg L. Estimates near the boundary for solutions of elliptic differential equations satisfying general boundary conditions I // Comm. Pure Appl. Math. 1959. Vol. 12, N4. P. 623727.

9. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Асимптотическое поведение решения задачи Дирихле около изолированной особенности границы // Вестник ЛГУ. Сер. 1. 1977. Вып. 3, №13. С. 60-66.

10. Kozlov V.A., Maz'ya V.G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: Amer. Math. Soc. 1997.

11. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Задача Дирихле в областях с тонкими перемычками // Сибирский матем. журнал. 1984. Т. 25, №2. С. 161-179.

Статья поступила в редакцию 27 декабря 2012 г.