CC BY
31
МАТЕМАТИКА
УДК 517.956:517.983.246
МОДЕЛИРОВАНИЕ СОЧЛЕНЕНИЙ ПЛАСТИН И СТЕРЖНЕЙ ПОСРЕДСТВОМ САМОСОПРЯЖЕННЫХ РАСШИРЕНИЙ*
Т. Дурапте1, Дж. Кардоне2, С. А. Назаров3
1. Durante Tiziana — University of Salerno (Italy),
PhD, durante@diima.unisa.it
2. Cardone Giuseppe—University of Sannio (Italy),
PhD, giuseppe.cardone@unisannio.it
3. С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, srgnazarov@yahoo.co.uk
В статье [1] Ж.-Л. Лионе упомянул технику расширений дифференциальных операторов как один из наиболее адекватных аппаратов исследования мультиструктур, т. е. сочленений тонких и массивных тел с различными предельными размерностями. Независимо в работе [2], основанной на идее использования потенциалов нулевого радиуса для описания «грязных» сред [3], в частности, тел с малыми рассеянными дефектами, был сформулирован подход, позволяющий моделировать названные мультиструктуры при помощи самосопряженных расширений и операторов на весовых пространствах с отделенной асимптотикой (см. также статьи [4, 5] и [6, 7]). Дальнейшее развитие [8-10] этого подхода позволило найти его связь с методом сращиваемых асимптотических разложений, создать натуральную процедуру поиска параметров самосопряженных расширений, а также осуществить корректную постановку краевых задач на гибридных областях — объединениях подмногообразий различных размерностей.
Выкладки, учитывающие явление пограничного слоя и приводящие к правильному выбору параметров самосопряженного расширения в модели сочленения, а также неравенства, позволяющие получить асимптотически точные оценки погрешностей, существенно зависят от индекса предельных размерностей мультиструктуры (ср. работы [11, 12] с индексами 3:0 и 2:0, где подобласти евклидовых пространств R3 и R2 имеют малые полости, стягивающиеся к точкам, нульмерным множествам). В данной статье
* Работа третьего автора выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №06-01-257).
© Т. Дуранте, Дж. Кардоне, С. А. Назаров, 2009
Рис. 2.
описана модель сочленения пластины со стержнями, т. е. тонких трехмерных областей с индексом 2 : 1 предельных размерностей (см. рис. 1 и 2). Асимптотический анализ аналогичной мультиструктуры можно найти, например, в публикации [2].
Пусть и0
, и3 — области на плоскости М2, ограниченные простыми гладкими за-
мкнутыми контурами дшр; всюду в статье индексы р и ] принимают значения 0,..., J и 1,..., J соответственно. Зафиксируем точки уЦ € и>0 и числа Ц > 0, причем уЦ = ук при ] = к и ], к = 1,..., J. Введем зависящие от малого параметра Н > 0 множества
= {х = (у, х) • У Є и0, —Ь < х < 0} , = {х : Н 1 (у — у3) Є и3, 0 < х < /3-}
\ У Ї2Ї, Н (Л) = 0° и У
3=1
3 = 1
(1)
т. е. пластину, . стержней, пластину с пазами и сочленение соответственно. Рассмотрим смешанную краевую задачу
Ьин = в (Н), Мпн = 0 на д^(Н)\Г(Н), ин = 0 на Г (Н) := (11)и...ии^ (/).
(2)
Здесь и°н (і) = {х : Н 1 (у — у3) Є и, х = і}, Ь = —У^ЛУх —эллиптический дифференциальный оператор второго порядка и N = птЛУх —оператор краевых условий Неймана, п — единичный вектор (столбец) внешней нормали, а символ Т означает транспонирование,
УІ = (УуА) , у =(у1,у2), У у = (0/ду1,д/ду2)Т , д* = д/дх.
Матрица Л размером 3 х 3 является положительно определенной, симметричной и кусочно постоянной,
Л (х)
Л0,
Н-аЛ3,
ЛР
ЛР Лр
УУ У *
ЛР ЛР
гу гг
(3)
где Лрг — скаляр, Лрг = (Лру) — столбец и Лру — (2 х 2)-блок матрицы Лр.
При интерпретации задачи (2) как статической задачи о распределении тепла в сочленении коэффициент Н-а в формуле (3) отражает контрастность свойств материалов пластины и стержней. В физической постановке задачи разумными оказываются два случая: а = 0 и а = 1. В первом сравнимы по порядку сами коэффициенты ко и кц теплопроводности тел и ОРн, а во втором — эффективные коэффициенты коН и кцН2.
х
В данной статье изучается случай а = 1, который характерен несколькими отличительными особенностями. Во-первых, в асимптотическом разложении решения задачи (2) при а =1 возникает рациональная зависимость решения от большого параметра 11п Н| (ср. [13, 14], а также [15, гл. 2]) — это обстоятельство находит отражение в процедуре выбора параметров расширения, обеспечивающего степенную, а не логарифмическую (ср. [16]) точность приближения. Во-вторых, среднее м£ € Н 1((^°) сужения м£ решения задачи (2) на пластину П£ не имеет предела в пространстве Соболева Н 1(^°), что делает невозможным применение методов, разработанных в [16] для исследования аналогичных (1) сочленений упругих тел. Наконец, существует предел в пространстве Лебега Ь2(^°) функции м£, который обладает логарифмическими особенностями в точках уЦ € ш°.
Разрывы коэффициентов дифференциальных операторов, предписанные формулой
(3), требуют постановки условий сопряжения на поверхностях П£ П дП£. Условия сопряжения не указываются явно, так как в основном приходится иметь дело с вариационной постановкой [17] задачи (2)
= (/ «)Н(Ь), V € н
Здесь (•, •)п — скалярное произведение в пространстве £2 (2) и Н — подпространство функций из Н 1(П), обращающихся в нуль на объединении Г (Н) торцов стержней. Очевидно, что интегральное тождество имеет единственное решение М£ € Н. Обращаем внимание на то, что согласно второй группе формул в (1) стержни вставлены в пазы Ц = П£ П П£, просверленные в пластине. Лишь незначительные изменения в процедурах нужны в том случае, если укороченные стержни П£ = П£ \ П£ приклеены к верхнему основанию пластины П£.
Предположим, что сужения /° и /Ц правой части / уравнения из (2) соответственно на пластину П£ с отверстиями и стержни П£ определены формулами
/р = ^° (у,0 , /Ц (х) = Н-1рт (пЦ,г) , з = 1,...,J, рт € £2 (Пр), р = 0,...,^
(4)
в которых £ = Н 1г € (-1, 0) и = Н 1 (у — уЦ) —быстрые переменные, а функции ^р
не зависят от параметра Н. Примем стандартные асимптотические анзацы для решений
эллиптических задач в тонких областях:
М£ (х) - «° (у) + Ни°° (у,С) + ..., X € П £, (5)
М£ (х) — V3 (г) + НиЦ (пЦ, г) + . .., х € П£, (6)
где ир = «р и ир — функции, подлежащие определению. Замены координат х ^ (у, £) €
П°, х ^ (пЦ, г) € П1 и подстановки анзацев (4)—(6) в задачу (2) приводят к последова-
тельностям предельных задач на отрезке (0,1) и сечении и>3, возникающие в результате сбора коэффициентов при одинаковых степенях параметра Н. Несложные вычисления (см., например, [18, гл. 1]) показывают, что выделенные в (5), (6) асимптотические члены и1р, которые служат решениями предельных задач при к = 1
—дсЛ°2дси°°(у, с) = дсА°уУуи°-1(у, с) + УуЛ0угдси°_1(у, с)+
+УуЛУуУуи°-2(у, С) + 4^°(у, С), С € (0,1),
±Л°2дси°°(у, ((1 ± 1)/2) = ТЛ°уУуи°°-1(у, (1 ± 1)/2), (7)
-У^Л'ууУ- иЦ(пЦ, г) = Лу2д*и°°—^, г) + д*Л°уи°°—^, г)+
+д*Л°2д*и°°-2(пЦ, г) + 4,2^'(пЦ, г), п € иЦ,
V3(пЦ)ЛууУп- иЦ(пЦ, г) = -V3(пЦ)Лу2д*и°°—^, г), п € диЦ, (8)
определены простыми формулами
и°° (у, С) = - (С - 1/2) (Л°2)-1 Л°уУуV0 (у), иЦ (пЦ, г) = - (пЦ)Т (Л^) —1 Л^д*V3 (г).
(9)
Здесь 3к,г —символ Кронекера, ир = 0 при к < 0, а vp = ^р, V2)Т —единичный вектор внешней нормали к контуру дир. Кроме того, задачи (7) и (8) при к = 2 разрешимы в том и только в том случае, если выполнены соотношения
Ь° (Уу) v0 (у) = f ° (у), у € и°, ЬЦ (д*) V' (г) = f' (г), г € (0,Ц). (10)
у) = -УТА°Уу и ЬЦ (дг) = -дгА'д*
При этом Ь° (Уу) = -УТА°Уу и ЬЦ (дг) = -д2А'д2 — дифференциальные операторы
А° = Луу - Л°2 (Л°2) 1 Л°у, А' = шеа82^Ц (л*г - Л^ (Л^) 1 ЛуЛ ,
Г° Г (11)
f ° (у) = ^ (у, С) <, f' (г) = & (пЦ, г) .
»/ — 1 »/ 3
Снабдим уравнения (10) краевыми условиями, унаследованными от краевых условий Неймана и Дирихле в исходной сингулярно возмущенной задаче (2):
N° (у, Уу) v0 (у) := v0 (у)Т А°Ууv0 (у) = 0, у € ди, V3 (Ц) = 0. (12)
Задачи (10), (12) с индексами з, разумеется, незамкнуты — нет краевых условий в точке г = 0. Краевая задача Неймана, фигурирующая в формулах (10), (12), также не годится в качестве результирующей задачи для пластины, так как исходная задача (2) имеет решение М£ при любой правой части Д, а решение V0 € Н(и°) задачи Неймана существует только при выполнении условия ортогональности
I := У f °(у) ^у = 0.
Причина последнего изъяна кроется в самой асимптотической процедуре. В самом деле, вывод уравнения в задаче Неймана основан на анализе уравнения и краевого условия из задачи (2) на пластине П£ с отверстиями Ц в ее основаниях, однако множества Ц стягиваются к точкам у' на плоскости {х : г = 0}, а значит, достоверно первое уравнение из (10) выполняется только на проколотой области и® = и\{у1,..., yJ}. Это наблюдение делает логичным расширение понятия решения задачи Неймана. Именно, под ее решением на множестве и® понимаем линейную комбинацию
V0 (у) = V0 (у) + о^1 (у) + ... + о,(у), (13)
в которой V0 € Н2 (и°), о = (о1,...,о/)Т € М/, а —обобщенная функция Грина [19], т. е. обладающее нулевым средним по области и° решение задачи
Ь° (Уу) С (у)= 3 (у - у') - (шеа82и°) —1, у € и°, N° (у, Уу) С (у) = 0, у € ди°,
и
где 3 — функция Дирака. Подчеркнем, что € £2 (и°) \ Н 1(и°), и справедливы пред-
ставления
(у) = Зц.кФ (у - ук) + £' + о (|у - ук|), у ^ ук, к = 1,..., J, (14)
в которых фигурирует фундаментальное решение оператора Ь° (Уу) на плоскости М2
Ф(у) = -С° 1п |у| + Ф' (|у| —1 у). (15)
При этом С° > 0 и угловая часть Ф7 € (81) имеет нулевое среднее по единичной
окружности 81. Нетрудно убедиться в том, что величины образуют симметрическую
<^ размером J х J (см., например, [12]).
Линейная комбинация (13) попадает в пространство £2 (и°) и для замыкания соотношений (10), (12), т. е. корректной постановки результирующей задачи на гибридной области
2 = и® и У (0,Ц), (16)
к=1
применим теорию операторов в гильбертовом пространстве (см, например, [4]). Под Т будем понимать неограниченный оператор в гильбертовом пространстве
£ = £2 (и0) х £2 (0,11) х ... х £2 (0,/7)
с дифференциальным выражением (Ь° (Уу), Ь1 (дг),..., Ь7 (дг)) и областью определения
V (Т) = {V = (V0,..., V7) € Сс°° (и® и ди) х Сс°° (0,11] х ... х Сс°° (0, 7] :
N0v0 =0 оп ди°, V' (Ц )=0, з = 1,...,J} . (17)
Здесь (Т) — линейное пространство бесконечно дифференцируемых функций с компактными носителями на множестве Т. Обращаем внимание на то, что в определение (17) включены краевые условия (12). Кроме того, функция V0 обращается в нуль вблизи точек ук. Поэтому благодаря теореме Соболева о вложениях Н2(М2) С С(М2) и Н2(Ж) С С*1 (И), область определения замыкания Т оператора Т состоит из тех вектор-функций V € Н2 (и°) х Н2 (0, /1) х ... х Н2 (0, /7), которые подчинены условиям
N0v0 = 0 оп ди°, V0 (ук) = 0, V3 (0) = д2V3 (0) = V3 (/,) =0, 3 = 1,..., X (18)
Область определения Т> (Т) по-прежнему настолько узка, что операторы ТиТ имеют нетривиальный дефектный индекс, который, как нетрудно подсчитать (см., например, [12]), равен 2J : 2J, поскольку сопряженный оператор Т* для Т приобретает более широкую область определения V (Т*), состоящую из вектор-функций V € £, у которых V0 —линейная комбинация (13) с любым столбцом коэффициентов о € М7, а функции V' = V3 € Н2 (0, /ц) подчинены краевым условиям из (12), но произвольны вблизи точки г = 0 (ср. с ограничениями (18)).
Оператор Т допускает самосопряженные расширения, а формула Неймана доставляет описания всего семейства таких расширений (см., например, [4, гл. 4]). Для целей,
преследуемых в данной статье, достаточно подсемейство, весьма простое описание которого приводится в очередном утверждении, оперирующем со следующими непрерывными проекциями на линейном пространстве V (Т*):
^ = (V0 (у1) , .. ., V0 (у7) )Т , П—V = о, (19)
П^ = V' (0), П—V = (-А1д2V1 (0),..., -А7д2V7 (0))Т .
Предложение. Пусть М — неособенная симметрическая матрица размером J х ^ Сужение Тм оператора Т* на линеал
V (Тм) = {V € V (Т*) : п—V = П— V, п+ V = П^ + Мп—V} (20)
является самосопряженным расширением оператора Т.
Рис. 3.
Матрица М в соотношении (20) как раз и определяет параметры самосопряженного расширения. Согласно процедуре, разработанной в статье [2] (см. также публикации [20, 11, 10]), для ее правильного формирования требуется исследовать явление пограничного слоя в окрестности зон соединения стержней с пластиной. Дело в том, что простые асимптотические анзацы (5), (6) обслуживают решение м^(х) сингулярно возмущенной задачи (2) только на удалении от множеств , а в непосредственной близости от них требуется перейти к «быстрым» переменным £к = Н—1(у - ук, г) и исследовать возникающие при этом предельные задачи. Поскольку матрица коэффициентов (4) включает большой параметр Н—а = Н—1, отражающий контрастные свойства материалов пластины и стержней, появляются независимые предельные задачи в перфорированном слое Лк = (М2 х (0,1)) \ 0Ц ( см. рис. 3) и полуцилиндре ^к = ик х (0, +то) (если а = 0, то предельной служит единая задача сопряжения на множестве Лк и ; см. работу [2]). Отметим, что условия сопряжения в исходной задаче распадаются (причины и правила распадения обсуждаются, например, в статье [21]), и краевое условие Дирихле отходит к задаче в слое (менее проводящий материал), а условие Неймана — к задаче в полуцилиндре (более проводящий материал). Итак, предельными служат смешанная краевая задача
£°(У,-Ь°к(£к) := -УТ Л°У,-пРк(£к) = 0, £к € Лк,
Ж0±(У?3)№°к(»?к, (1 ± 1)/2) := ±е^3)А°У^го°Ц^, (1 ± 1)/2) = 0, & е»2\^, (21)
™°к(£к) = £°к(£к), ек € дик х (0,1),
и задача Неймана
Ь'(У^ )ад' (£') := —У^ А'У^- ад' (£') = 0, £' Є ,
N(£', У5, )ад' (£') := V' (п')тА0Упзад'(£') = д'(£'), £' Є ди' х (0, +го), (22)
N°' (У5, )ад' (п', 0) := — еТ>)А'У^-ад' (п', 0) = 0, п' Є и'.
Здесь е(з) —орт оси £з = £, а под V' подразумевается трехмерный вектор (V', V', 0)т внешней нормали к цилиндрической поверхности ди' х М.
Общие эллиптические краевые задачи в областях с цилиндрическми выходами на бесконечность изучены в полном объеме (см. ключевые работы [22-25] и, например, монографии [26, 27]), и поэтому необходимые результаты для задачи Неймана (22) формулируем далее без пояснений. Краевые задачи в слоевидных областях исследованы в меньшей мере (см. публикации [28-31] и др.), однако благодаря тому, что коэффициенты оператора Ь° постоянны, он аффинным преобразованием координат, не изменяющих геометрическую структуру выхода на бесконечность, переводится в оператор Лапласа, для которого возможно применение метода Фурье, доставляющего необходимые асимптотические формулы на бесконечности. Обратим внимание лишь на то, что вариационная постановка задачи (21) осуществляется на гильбертовом пространстве ^., полученном пополнением линеала С“(А') по норме интеграла Дирихле
||ад; Я|| = (||У5-ад; І2(А')||2 + ||ад; ^(А' П Вд)||2)1/2,
где Вд — открытый шар радиусом Д, содержащий множество 0'. Постоянная функция принадлежит ^., а значит, при д°' = 1 единственным решением задачи (21) служит ад0' = 1. Постоянное решение недостаточно для целей сращивания асимптотических разложений, и в следующем утверждении приводится решение однородной задачи с логарифмическим ростом на бесконечности, которое по понятным причинам не попадает в пространство ^..
Лемма. 1) Однородная (д°' =0) задача (21) имеет решение °', допускающее следующее разложение на бесконечности:
Н'(£') = ф(п') — (С — 1/2) (А°2)-1 А°уУп-Ф(п')+1пС' + О (|п'Г»), ІЄI - ~, (23)
причем число ст° Є (0,1) произвольно. При сііяі(п', и') ^ <і° > 0 соотношение (23)
можно дифференцировать по правилам Уп-О (|п' |-ст) = О (|п' |-ст-1) и дсО Оп'| ^ =
О (|п'|-ст) . Справедливо равенство
V' (п')ТА°Уе, Н' (£') ^п' = 1. (24)
х(°,1)
2) Задача (22) с правой частью д'(£') = V' (п' )ТА°У^з Н°'(£') имеет решение Н' с линейным ростом на бесконечности
(£') = с1 (с — (п')Т (аУуС 1 Ау2) + с° + о(ехр(— Ст'C)), С — ^ (25)
причем с1 = -(Л')-1 и <г3 — положительное число, зависящее от А' и ^. Это решение определено с точностью до постоянного слагаемого, а значит, допустимо положить с0 = 0 в формуле (25). При ( ^ £о > 0 соотношение (25) можно дифференцировать по правилу о(ехр(—)) = о(ехр(—)).
Доказательство. Как уже упоминалось, асимптотические разложения (23) и (25) обеспечены упоминавшимися общими результатами, которые, в частности, помещают в правую часть (25) линейную комбинацию полиномиальных решений однородной задачи Неймана для оператора Ь в цилиндре ^ х М (то, что оба слагаемых удовлетворяют названной задаче, очевидно; также нетрудно убедиться в отсутствии других полиномиальных решений). Поэтому достаточно проверить равенство с1 = -(Л')-1. С этой целью воспользуемся методом [23] и применим формулу Грина в усеченном цилиндре Од = {£' £ О : С < Д}. При учете разложения (25) и определения (11) матрицы Л' находим, что
I V' (п')т А' У,• Н' (е) < =
ди3 х(0,1)
= -с! | (а^ - А*у (4У)-1 А0^ + 0(1) = -с1л' + 0(1). (26)
и 3
Теперь обратимся к соотношению (24). Используя модификацию [29] метода [23] для слоевидных областей, применим формулу Грина в области ЛД = {£' £ Л' : |п' | < Д}. Имеем
I V' (п')т А0 Н(£*') =
ди3 х(0,1)
= ^ / (^)Т (а°уУч,Ф(773') - А°2 (А°2)-1 А°уУч,Ф(773')) ^ +
х (0,1)
+ 0(1) = 1 I (т^')т А°Уч,-Ф(773') V + 0(1) = 1 + 0(1). (27)
Здесь учтено представление (23) функции Н0', определение (11) матрицы Л0, а последний интеграл по окружности не зависит от радиуса Д и равен единице согласно назначению фундаментального решения Ф.
Осталось в обеих полученных соотношениях перейти к пределу при Д ^ и учесть, что по условию второго утверждения левые части (27) и (26) равны. Лемма доказана.
Замечание. Если Ь0(У^з) —оператор Лапласа, то названное в лемме решение Н'0 не зависит от поперечной переменной £ и совпадает с емкостным потенциалом (см., например, [32, 33]), т. е. гармонической в К2 \ шЗ функцией, обращающейся в нуль на и допускающей представление
^ -1ПС1°8(^)+0(И~1)) •
Величина С108((^) носит название логарифмической емкости множества . По аналогии выражение ехр(2пС3), взятое из (23), называем логарифмической емкостью цилиндра х (0,1) в слое М2 х (0,1) (ср. [34] для задачи теории упругости).
Внутреннее разложение решения задачи (2) вблизи паза ищем в виде
мЛ(*) ~ с°'(Ь) + с?'(Ь^°'(?) + ..., (28)
мЛ(х) - с°'(Ь) + Ьс?'(Ь)^‘(£') + ... (29)
на пластине И£ и на стержнях соответственно. Подчеркнем, что благодаря множителю Ь в правой части (29) и множителю Ь-а с а =1 в представлении (4) матрицы А функции (28) и (29) в основном удовлетворяют условиям сопряжения на поверхности х (0,1). Произведем согласование пар анзацев (5), (6) и (28), (29), следую методу сращиваемых асимптотических разложений (см. монографию [14] и ср. с работами [2, 8, 12]) . Для первой из них в силу формул (13), (9), (14), (15) и (23) требуются равенства
з
с°'(Ь) + с?'(Ь)(—С°| 1п Ь| + 1п С') = у°(у') + ^2 , с?'(Ь) = а'. (30)
к=1
Для второй пары анзацев формулы (9) и (25) (в последней с? = — (А')-1) показывают, что
с°' (Ь) = V (0), с?' (Ь) = -А' д2 V (0). (31)
Исключая величины с°'(Ь) и с?'(Ь) из соотношений (30) и (31), обнаруживаем связи
з
а3 = —А' (0), у°(у' )+^ а* £' - а' (—С°| 1п Ь| + 1п С,- )= V (0). (32)
которые при учете определений (19) принимают вид асимптотических условий в точках у?,...,у3 (см. [8, 10]). Подчеркнем, что, во-первых, согласно (9) и (26), (27) первая формула (32) уравнивает потоки, приходящие из пластины И£ и уходящие в стержни П£, и, во-вторых, связи (32) суть ничто иное, как соотношения в (20), (19), определяющие конкретное самосопряженное расширение Тм оператора Т* с матрицей
М = 1з 11п Ь| + д — а1ая(1п С?,..., 1п }. (33)
Здесь 1з — единичная матрица размером J х J, д — симметрическая матрица, составленная из коэффициентов разложений (14) обобщенной функции Грина, а в последней (диагональной) матрице фигурируют логарифмические емкости цилиндров ^ х (0,1) (см. замечание). Таким образом, решение V £ ^(Тм) абстрактного уравнения
Тм V = f = (Г °, f ?,..., f 3) е£ (34)
доставляет функции v°,v1,...,vJ, которые обладают всеми необходимыми свойствами для того, чтобы сформировать согласно анзацам (5), (6) и (28), (29) глобальное асимптотическое приближение к решению сингулярно возмущенной задачи (2).
Теорема. 1) При малом Ь > 0 матрица (33) положительно определена и абстрактное уравнение (34) однозначно разрешимо.
2) Если данные уравнения (34) вычислены согласно формулам (7), (11) и (20), (33), то решение V £ Р (Тм) этого абстрактного уравнения и решение £ Н исходной сингулярно возмущенной задачи (2) находятся в отношении
- v0; L2 (fi°) || + h-1/2 £ ||uh - ; L2 (j || < ch |lnh|3/2 ^ ||Fp; L2 (П?)|| , (35)
j=1 p=0
где множитель с не зависит ни от Ь £ (0, Ь°], ни от Т°, . .., Т3.
Доказательство первого утверждения приведено в [12, теорема 3.4], а второе получается при помощи обычной процедуры, включающей сращивания анзацев (5), (6) и (28), (29) при помощи подходящего разбиения единицы, оценивание появившихся невязок и применения весового неравенства Фридрихса в пространстве Н. Последнее нетрудно извлечь из работ [35, 36], а первая пара действий вполне стандартна (ср. статьи [2, 11, 20, 12]). Поэтому рутинные и громоздкие выкладки опускаем и ограничиваемся комментариями.
Поскольку ||V0; Ь2 (П°) || = О (Ь?/2) и |1 V'; Ь2 | = О (Ь) (здесь и далее не пишем
логарифмов), неравенство (35) действительно обосновывает основные члены асимптотических представлений (5) и (6). В то же время Н?-нормы членов типа пограничного слоя приобретают порядок Ь?/2, а значит, при оценке остатков по соболевской норме разложения (28) и (29) были учтены в асимптотическом приближение к решению м£, но затем ввиду малости О(Ь3/2) их Ь2-норм слагаемые Н°' и были удалены из формулы (35), т. е. присоединены к асимптотическим остаткам.
Оценка (35), содержащая «слабые» нормы в левой части, достаточна для многих целей (ср. публикации [8, 11, 12] и др.) при моделировании краевой задачи (2) на сочленении 2 (Ь) (рис. 1) абстрактным уравнением (34) на гибридной области (16) (рис. 2). Абстрактное уравнение включает в себя дифференциальные уравнения на двумерной области и одномерных отрезках, краевые условия на одномерном контуре и в концах отрезков, а также условия сопряжения в точках, «нульмерных множествах», т. е. демонстрирует полную иерархию дифференциальных выражений на подмногообразиях всех размерностей. Линейное пространство (20) может быть снабжено гильбертовой структурой, а абстрактное уравнение (34) можно переформулировать как вариационную задачу (см. [37, 8, 20, 11, 10, 12]). Иными словами, задача на гибридной области наследует все «хорошие» свойства от краевой задачи на сочленении тонких стержней и пластины.
0
и
h
Литература
1. Lions J.L. Some more remarks on boundary value problems and junctions // Asymptotic methods for elastic structures (Lisbon, 1993). Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1995. P. 103118.
2. Назаров С. А. Соединения сингулярно вырождающихся областей различных предельных размерностей. 1 // Труды семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 18. М.: Изд-во МГУ. 1995. С. 378; 2 // То же. Вып. 20. М.: Изд-во МГУ. 1997. С. 155-195.
3. Березин Ф.А., Фаддеев Л. Д. Замечание об уравнении Шрёдингера с сингулярным потенциалом // Докл. АН СССР. 1961. Т. 137, №5. С. 1011-1014.
4. Бирман М.Ш., Соломяк М. З. Спектральная теория самосопряженных операторов в гильбертовом пространстве. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1980.
5. Павлов Б. С. Теория расширений и явно решаемые модели // Успехи матем. наук. 1987. Т. 42, №6. С. 99-132.
6. Карпешина Ю. Е., Павлов Б. С. Взаимодействия нулевого радиуса для бигармонического и полигармонического уравнений // Матем. заметки. 1986. Т. 40, №1. С. 49-59.
7. Назаров С. А. Самосопряженные расширения оператора задачи Дирихле в весовых функциональных пространствах // Матем. сб. 1988. Т. 137. №2. С. 224-241.
8. Назаров С. А. Асимптотические условия в точках, самосопряженные расширения операторов и метод сращиваемых асимптотических разложений // Тр. Санкт-Петербург. матем. об-ва. 1996. Т. 5. С. 112-183.
9. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. Санкт-Петербург. матем. об-ва. 1998. Т. 6. С. 151-212.
10. Назаров С. А. Эллиптические задачи на гибридных областях // Функциональный анализ и его приложения. 2004. Т. 38, № 4. С. 55-72.
11. Назаров С. А. Оценки точности моделирования краевых задач на сочленении областей с различными предельными размерностями // Известия РАН. Серия матем. 2004. Т. 68, №6. С. 119-156.
12. Nazarov S. A., Sokolowski J. Self-adjoint extensions for the Neumann Laplacian and applications // Acta Mathematica Sinica. 2006. Vol. 22, N 3. P. 879-906.
13. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью. II. Область с малым отверстием // Матем. сб. 1977. Т. 103. N 2. С. 265-284.
14. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука, 1989.
15. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотика решений эллиптических краевых задач при сингулярном возмущении области. Тбилиси: Изд-во ТГУ, 1981. (Немецкий перевод: Mazja W. G., Nasarow S. A., Plamenewski B. A. Asymptotische Theorie elliptischer Randwertaufgaben in singular gestorten Gebieten. 1. Berlin: Akademie-Verlag. 1991; английский перевод: Maz'ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Vol. 1. Basel: Birkhauser Verlag, 2000.)
16. Gaudiello A., Monneau R., Mossino J., Murat F., Sili A. On the junction of elastic plates and beams // C. R. Acad. Sci. Paris. Ser. 1. 2002. T. 335. P. 717-722.
17. Ладыженская О. А. Краевые задачи математической физики. М.: Наука, 1973.
18. Назаров С. А. Асимптотическая теория тонких пластин и стержней. Понижение размерности и интегральные оценки. Новосибирск: Научная книга. 2001.
19. Смирнов В. И. Курс высшей математики. Т. 2. М.: Наука, 1967.
20. Назаров С. А. Асимптотический анализ и моделирование сочленения массивного тела с тонкими стержнями // Труды семинара им. И. Г. Петровского. Вып. 24. М.: изд-во МГУ. 2004. С. 95-214.
21. Lobo M., Nazarov S. A., Perez E. Eigen-oscillations of contrasting non-homogeneous bodies: asymptotic and uniform estimates for eigenvalues // IMA J. of Applied Mathematics. 2005. Vol. 70. P. 419-458.
22. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками // Труды Московск. матем. общества. 1963. Т. 16. С. 219-292.
23. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. О коэффициентах в асимптотике решений эллиптических краевых задач в области с коническими точками // Math. Nachr. 1977. Bd 76. S. 29-60.
24. Мазья В. Г., Пламеневский Б. А. Оценки в Lp ив классах Гельдера и принцип максимума Миранда-Агмона для решений эллиптических краевых задач в областях с особыми точками на границе // Math. Nachr. 1977. Bd 77. S. 25-82.
25. Назаров С. А. Полиномиальное свойство самосопряженных эллиптических краевых задач и алгебраическое описание их атрибутов // Успехи матем. наук. 1999. Т. 54, № 5. С. 77-142.
26. Nazarov S. A., Plamenevsky B. A. Elliptic problems in domains with piecewise smooth boundaries. Berlin, New York: Walter de Gruyter. 1994.
27. Kozlov V. A., Maz’ya V. G., Rossmann J. Elliptic boundary value problems in domains with point singularities. Providence: Amer. Math. Soc., 1997.
28. Назаров С. А. Асимптотика решения краевой задачи в тонком цилиндре с негладкой боковой поверхностью // Известия РАН. Серия матем. 1993. Т. 57, №1. С. 202-239.
29. Назаров С. А. Асимптотические разложения на бесконечности решений задачи теории упругости в слое // Труды Московск. матем. общества. 1998. Т. 60. С. 3-97.
30. Nazarov S. A., Pileckas K. The asymptotic properties of the solution to the Stokes problem in domains that are layer-like at infinity // J. Math. Fluid Mech. 1999. Vol. 1, №2. P. 131-167.
31. Nazarov S. A., Thater G. Neumann problem in a perforated layer (sieve) // Asymptotic Analysis. 2005. Vol. 44, N 3, 4. P. 259-298.
32. Ландкоф Н. С. Основы современной теории потенциала. М.: Наука, 1966.
33. Полиа Г., Сеге Г. Изопериметрические неравенства в математической физике. М.: Физ-матгиз, 1962.
34. Назаров С. А. Упругие емкость и поляризация дефекта в упругом слое // Механика твердого тела. 1990. №5. С. 57-65.
35. Назаров С. А. Весовое анизотропное неравенство Корна для сочленения пластины со стержнями // Матем. сборник. 2004. Т. 195, №4. С. 97-126.
36. Назаров С. А. Неравенства Корна для упругих сочленений массивных тел, тонких пластин и стержней // Успехи матем. наук. 2008. Т. 63, №1. С. 143-217.
37. Назаров С. А. Асимптотическое решение задачи с малыми препятствиями // Дифференциальные уравнения. 1995. Т. 31, №6. С. 1031-1041.
Статья поступила в редакцию 24 ноября 2008 г.
