Об асимптотике собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи типа Стеклова для Лапласиана Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.929.7:517.929.8:517.984

DOI 10.25513/1812-3996.2018.23(3).20-27

ОБ АСИМПТОТИКЕ СОБСТВЕННОГО ЗНАЧЕНИЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ТИПА СТЕКЛОВА ДЛЯ ЛАПЛАСИАНА

Д. Б. Давлетов1, О. Б. Давлетов2, Р. Р. Садыкова1

1Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, г. Уфа, Республика Башкортостан, Россия

2Уфимский государственный нефтяной технический университет, г. Уфа, Республика Башкортостан, Россия

Информация о статье

Дата поступления 25.05.2018

Дата принятия в печать 29.06.2018

Дата онлайн-размещения 29.10.2018

Аннотация. В работе исследована краевая задача типа Стеклова для Лапласиана в полуполосе, из которой удалена малая окрестность начала координат. На боковых границах может быть выставлено любое из трех обычных граничных условий, что никоим образом не повлияет на качественный результат работы. Для удобства изложения предполагается, что на боковых границах и на границе малого отверстия выставлены условия Дирихле, а на основании полуполосы - спектральное условие Стеклова. Построено и строго обосновано асимптотическое разложение собственного значения возмущенной краевой задачи с точностью до степени малого параметра, определяющего «диаметр» отверстия.

Ключевые слова

Полуполоса, задача Стеклова, собственное значение, сингулярное возмущение, малое отверстие, асимптотика

Финансирование

Работа выполнена при поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 16-31-00066 а

ON THE ASYMPTOTICS OF THE EIGENVALUES OF A SINGULARLY PERTURBED BOUNDARY VALUE PROBLEM OF STEKLOV TYPE FOR LAPLACIANS

D. B. Davletov, O. B. Davletov, R. R. Sadykova

1Bashkir State Pedagogical University, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia 2Ufa State Petroleum Technical University, Ufa, Republic of Bashkortostan, Russia

Article info Abstract. The paper considers the problem of the Steklov type for the Laplacian in a half-

Received strip, which removed a small neighborhood of the origin. On the lateral boundaries, there

25.05.2018 may be any of the three usual boundary conditions, that no one it does not affect the qual-

itative result of the work. For convenience of presentation it is assumed that on the lateral Accepted boundaries and on the boundary of a small hole conditions are set Dirichlet, and on the basis

29.06.2018 of the half-strip - the Steklov spectral condition. An asymptotic expansion of the eigenvalue

for perturbed boundary value problem is constructed and rigorously proved to within a Available online small parameter, which defines the "diameter" of the hole.

29.10.2018

Keywords

Half-strip, Steklov problem, eigenvalue, singular perturbation,

small cavity, convergence, asymptotics

Acknowledgements

The reported study was funded RFBR according to the research project № 16-31-00066-MO._a

1. Введение

Исследованием спектра сингулярно возмущенных краевых задач для эллиптических операторов второго порядка в областях с малыми отверстиями занимались многие ученые. Например, поведение собственных значений скалярных эллиптических краевых задач в областях с малыми отверстиями исследовано в работах [1-5]. В [1] получены полные асимптотические разложения первых собственных чисел и соответствующих собственных функций классических краевых задач для оператора Лапласа в двумерных и трехмерных областях с малыми отверстиями. В работе [2] построен главный член асимптотики собственного значения для оператора Лапласа в двумерной области с малым отверстием. В [3] была получена оценка скорости сходимости собственного значения краевой задачи Дирихле для оператора Лапласа в трехмерной области с малой полостью. Позднее аналогичные результаты получены Ю.Н. Днестровским и Sh. Ozawa в работах [4], [5]. Ряд содержательных работ посвященных асимптотическому поведению решений краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями имеются у Massimo Lanza de Cristoforis (см., например, [6]).

Спектральные краевые задачи для эллиптических операторов теории упругости в ограниченных областях с малыми отверстиями исследованы в работах [7-10]. Например, в работе [10] рассматривался случай краевых условий Неймана на границе n-мерной области (п > 3) с малой полостью. Построены полные асимптотические разложения собственных элементов возмущенной краевой задачи для общей системы теории упругости.

Полные асимптотики собственных значений задачи Стеклова для оператора Лапласа в области с малым отверстием были построены в [11]. Возникновение собственных значений из края существенного спектра для цилиндров с малыми отверстиями и граничными условиями Дирихле на границах малых отверстий исследовалось в [12; 13]. В работе [14] построены и строго обоснованы полные асимп-

тотические разложения собственных значений задачи типа Стеклова в п-мерном (п > 3) полуцилиндре с малой полостью.

В настоящей работе исследуется спектр краевой задачи типа Стеклова для оператора Лапласа в полуполосе с малым отверстием. На боковых границах и на границе малого отверстия выставлены условия Дирихле, а на основании полуполосы - спектральное условие Стеклова.

2. Постановка задачи и формулировка основного результата

Пусть П: = (-Ь,Ь), П: = Пх (а, а < 0,

Ь > 0, Па: = П х (а), {0} 6 П, ис!2 — связная ограниченная область с гладкой границей, со£ = (х: е-1х 6 со}, 0 < е << 1, П£ = П \ То£. Рассматривается следующая сингулярно возмущенная краевая задача Стеклова:

-Д-4^£(х) = 0, х 6 П£, ^£(х) = 0, х 6 5П \ Па,

__^(х)=Я£^£(х),

1бПа,^Е(х) = 0,1бйш£, (2.1)

где V - внешняя нормаль.

Для (2.1) назовем предельной следующую краевую задачу:

-Д -4^0(х) = 0, х 6 П, ^„(х) = 0, х 6 5П \ Па,

——(х^АоЫх),

х 6 Па. (2.2)

Методом Фурье легко показать, что собственные значения 0 < Я0Д < Я„,2 < — < < — и соответствующие ортонормированные в ¿2(ПЙ) собственные функции ^„^ краевой задачи (2.2) определяются равенствами

Ли = = ^(х^е-^^-Ч^З)

где ^ = (—) > 0, к 6 И и - собственные значения и соответствующие нормированные в ¿2 (П) собственные функции краевой задачи

dx2

= (Ufc^fc вП, = 0 на ЗП.

Всюду далее предполагается, что А0 - простое собственное значение предельной краевой задачи (2.2) и Ш0)±0.

Основной результат сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 2.1. Пусть А0 - простое собственное значение предельной краевой задачи (2.2) и гр0(0) Ф 0. Тогда асимптотика собственного значения А£ краевой задачи (2.1), сходящегося к А0 при е ^ 0, имеет вид

где А(т) - голоморфная в нуле функция такая, что Л(т) = А0 - 2п\гр0(0)\2т + 0(т2), т ^ 0.(2.4) Следует заметить, что имеют место аналогичные результаты, если на боковых сторонах полуполосы взять второе или третье краевое условие. 3. Предварительные сведения Определим пространство Н^П), как пополнение по норме

,1/2

11^Уи1(П) = 11\Ры\2йх+ jw2dXl _\п па

функций из Сет(П), обладающих конечным интегралом Дирихле

\ Vw\2dx < ю.

I

Подмножество функций из Н^П), обращающихся в нуль на дП\Па, обозначим через Я1(П;9П\ПЙ). Пространство Я1(П£) определим как пополнение по норме

\\w\\

н1(п£)

lVwl2dx+ I w2 dx1

I

1/2

функций из Сет(П£), обладающих конечным интегралом Дирихле

I

| Vwl2dx < ж.

Подмножество функций из Н1^), обращающихся в нуль на д<^£идП\Па, обозначим через Н1(П£;5^£ и5П \Па).

Очевидно, что если функцию, принадлежащую Н1(П£; дш£ идП\ Па), продолжить нулем в ш£, то она будет принадлежать Н1(П;дП\Пй). Поэтому всюду далее для этих продолжений будем сохранять их первоначальные обозначения.

Собственные функции ^£ и краевых задач (2.1), (2.2) рассматриваются в классах Н1(П£;дш£ и

дП \ Па) и Н1(П;дП\Па) соответственно. То есть ^£ Е Н1^^; дш£ и дП \ П.а) называется обобщенным решением краевой задачи (2.1), если для любого V Е Н1^^; дш£ и дП \ П.а) выполняется равенство

¡П/Ых)Ръ(х^х = Ъ (хМх^. (3.1)

Аналогично, элемент Е Н1(П; дП \ Па) называется обобщенным решением краевой задачи (2.2), если для любого V Е Н1(П; дП \ П.а) выполняется следующее равенство

J V ^ф0(x)Vv(x)dx = А0 J (x)v(x)dx1.

П па

В работе [15] доказана следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть отрезок [Л-,Л+] не содержит собственных значений предельной краевой задачи (2.2). Тогда при достаточно малых г этот отрезок не содержит и собственных значений сингулярно возмущенной краевой задачи (2.1).

Пусть кратность собственного значения 0 предельной краевой задачи (2.2) равна d. Тогда существует ровно d собственных значений А 1 = 1^ (с учетом кратности) краевой задачи (2.1), сходящихся к А0 при е ^ 0.

Пусть И£: Ь2(Па) ^ Ь2(Па) - линейный оператор, ставящий в соответствие функции д£ Е Ь2(Па) сужение решения и£ краевой задачи

йи£ = 0, х Е П£, и£ = 0, х Е дП \ Па, д и£

——+ и£ = д£,х Е Па, и£ = 0,х Е дш£ д

наПа, а Я0:Ь2(Па) ^ Ь2(Па)-линейный оператор, ставящий в соответствие функции д0 Е Ь2(Па) сужение решения и0 краевой задачи

Ли0 = 0,х Е П,и0 = 0,х Е дП \ Па,

д и0

~^ + и0= д0,х Е Па

на Па:

Ro9O': = ^

к=1

(Зо, Фк)ь2(П) ßk + 1

9k(xi).

Тогда для соответствующих собственных проекторов К£: = R-1 и К0: = R-1 в L2(üa) имеет место сходимость К£ ^ К0 при е ^ 0.

Справедливо утверждение (см. [16, Гл. III, § 3]).

Лемма 3.1. Существует решение краевой задачи

△ W(x) = 0,х Е Ш2\ш,1Р(х) = 0,х Е дш, имеющее дифференцируемую асимптотику на бесконечности

W(x) = ln г + а(ш) + ( dln г д ln г\ /1\

а

п

где г: = |х|, а с(<^), а(<^), - некоторые константы, зависящие от геометрии области ш.

Аналогично лемме 3.1 легко показать справедливость следующего утверждения.

Лемма 3.2. Пусть Х1(х,т) - произвольный однородный полином первой степени по х с коэффициентами, голоморфными по т в нуле. Тогда существует решение краевой задачи

А 7(х,Х1) = 0,х6 !2 \ ^,7(х,Х1) = 0,х6 3<^, имеющее следующую дифференцируемую по х асимптотику на бесконечности

7(х,Х1) = Х1(х,т) + С(^,т) + О (1),

где т) является голоморфной пот в нуле функцией и зависит от геометрии области ш.

Установим справедливость следующей леммы.

Лемма 3.3. При к = 2^„(0) существует решение краевой задачи

- А У(х) = 0, х 6 Я\{0},У(х) = 0,х 6 ЗЯ\ЛЙ, (3.2) ЗУ

— (х) = Я„У(х) + к^о(х), х 6 Яй,

имеющее дифференцируемую асимптотику в нуле У(х) = 1п г + ш(^) + О (г), (3.3) где ш(^) - некоторая константа, определенная с точностью до слагаемого С^„(0) и зависящая от геометрии области ш.

Доказательство. Пусть /(£) - бесконечно дифференцируемая функция, равная нулю при £ < 1 и единице при £ > 2. Решение краевой задачи (3.2), (3.3) будем искать в виде

У(х) = (1 - /(гД))(1п г + + и(х), (3.4) где константа с(<и) из леммы 3.1, а Д > 0 - достаточно большое число. Подставляя функцию из (3.4) в краевую задачу (3.2), получаем следующую краевую задачу для и(х)

- А и(х) = Р(х), х 6 П, и(х) = 0, х 6 ЗП \ П, ^(У) = Я„и(х) + к^„(х),х 6 Пй, (3.5) где Р 6 С„°(П). Используя метод разделения переменных, легко показать существование такой константы к, при которой решение и(х) краевой задачи (3.5) существует и принадлежит классу Сет(П) и определено с точностью до слагаемого С^„(х) для любой константы С. Отсюда в силу (3.4) вытекает существование решения краевой задачи (3.2), имеющего дифференцируемую асимптотику (3.3) в нуле.

Осталось вывести явную формулу для к. Разлагая ^0(х) в окрестности нуля в ряд Тейлора, получаем

^„(х) = ^РДх),г = |х| ^0,

¿=о

Р„(х) = 0„(0). (3.6)

Пусть 5(Д) - круг радиуса 0 < Д << 1 с центром в начале координат. Умножая обе части уравнения в (3.2) на ^0(х) и интегрируя дважды по частям, получаем

0 =

/

^о A Udx =

щй-1)\в(й)

= / (*о

3x,

3x,

(3.7)

о^М^-О,

1 I 9x21

Х2=й-1

Зг 9г /

Из определения функции ^0(х) (см. (2.3)) следует, что

^„(х) ^ 0, х2 ^ то.

Тогда в силу (2.3) для ^0(х) и решения У(х) краевой задачи (3.2), (3.3) справедлива сходимость

х2 ^ то. (3.8)

Переходя в (3.7) к пределу при Д ^ 0, в силу сходимости (3.8) и асимптотик (3.3), (3.6) для У(х) и ^„(х), получаем

к = 2^„(0).

□

Следствие 1. При Я1 = -2тс|^„(0)|2 существует решение краевой задачи - А ^1(х) = 0, х 6 П \ (0), ^1(х) = 0, х 6 ЗП \ Пй, ^(х) = Я„^1(х)+Я1^„(х), х 6 Па, (3.9) имеющее дифференцируемую асимптотику в нуле:

^1(х) = (1п г + а(^))^„(0) + &(*) + О(г2), где (х) - однородный полином первой степени.

Обозначим

П(Д): = П х (а,Д), где Д > 0 - произвольное достаточно большое число. Через Ж2г(П(Д); ЗП \ Пй) обозначим подпространство Соболевского пространства Ж2г(П(Д), состоящее из функций, обращающихся в ноль на границе ЗП \ПЙ. Определим пространство ¿2(ПЙ) как подмножество функций из ¿2(ПЙ), ортогональных собственной функции ^(х) предельной краевой задачи (2.2).

Лемма 3.4. Пусть / 6 Тогда обрат-

ный оператор 'И краевой задачи

-4<р(х) = 0,х6 Я,<р(х) = 0,х6 ЗЯ\^Й,

3(»

— (х) = Я„^(х) + /(х), х 6 Ла, ^(0) = 0

является ограниченным из Ь2(Па) в Ш2(П(И); дП\Па). _

Доказательство. Обозначим через обратный оператор краевой задачи

-Аср(х) = 0,х Е П,р(х) = 0,х Е дП \Па,

д(р

— (х) = Х0р(х) + f(x), х Е ^ (р, ^мад = 0 определенный в Ь2(^а). Тогда

(3.10)

Так как 5R - ограниченный оператор из L2(H.a)

в W22(n(Ä);dn\na), а

\М\с(п(й)) ^

^ ci\\<P\\wi(n(R)) (см., например, [17, Гл. III, § 6, п. 2, Гл. IV, § 2, п. 3]), то из (3.10) следует справедливость доказываемой леммы.

□

Теорема 3.2. Существуют голоморфная в нуле функция Л(т), для которой справедливо равенство (2.4) и функция

Ф(х,т) = ^0(х) + тгр1 (х) + tW(x,t), (3.11) где ^1(х) из следствия 1, а W^,t) - голоморфная по т в нуле функция со значениями в W2(n(R); дП \ й.а) такие, что

-ДФ(х, т) = 0, х Е П \ {0}, Ф(х, т) = 0, х Е дП \Па,^(х,т) = Л(т)Ф(х,т),х Е Па, (3.12) где v - внешняя нормаль, причем

W(0,T) = 0. (3.13)

Доказательство. Функцию Л(т) будем искать в виде

Л(т) =Ä0+ тЛ1 + TÖ(T), (3.14)

где А1 из следствия 1. Подставляя равенства (3.11), (3.14) в краевую задачу (3.12), в силу (2.2), (3.9), получаем следующую краевую задачу для W(x, т): -AW^t) = 0,хЕ П^(х,т) = 0,х Е дП\Па,

— /

dW dv

(х,т) = Ä0W(x,T) + Z(x,x),x e na, (3.15)

где

г(х,т): = А1т(гр1(х) + Ш(х,т)) + +5(т)(Ых) + т(Ых) + Ш(х,т))). В силу третьей теоремы Фредгольма (см., например, [17, Гл. II, § 4, п. 5]) необходимым и достаточным условием разрешимости краевой задачи (3.15) является равенство

'2(х,г)%Шх1 = 0.

Па

Отсюда имеем

5(т) = —1 'У* '—( ' \ (3.16)

I

Подставляя (3.16) в (3.15), в силу леммы 3.4 получаем, что краевая задача (3.15), (3.13) эквивалентна в Ш22(П(И); дП \ П.а) следующему уравнению

W = Х(т, W),

(3.17)

где

Z(T,W) = А1т(^(гр1) + ^(W)) ÄiTf (&i(x) + W(x,T))ipo(x)dxi

1 +т1Па(^1(х) + Ю(х,т))ф0Шх1

х&ш+тт^+пт)).

Из определения Х(т,Ш) следует, что, во-первых, оператор-функция Х(т, Ш) голоморфна в точке (т,Ш) = (0,0), а, во-вторых, справедливо равенство

т,W) = (0,0) = ',

где - тождественный оператор. Следовательно (см., например, [18, Гл. 5, § 20]), существует единственная голоморфная в нуле функция Ш(х,т) со значениями в Ш22(П(Д); дП \ Па), являющаяся решением уравнения (3.17).

В свою очередь, отсюда и из (3.14) и (3.16) следует, что Л( ) - голоморфная в нуле функция, для которой справедливо равенство (2.4).

□

Следствие 2. Пусть функция Ф(х,т) удовлетворяет условиям теоремы 3.2. Тогда справедлива следующая дифференцируемая асимптотика в нуле Ф(х,т) = -т(1п г + а(ш))гр0(0) +

+гр0(0) + Х1(х,т) + 0(тг2), (3.18) где Х1(х,т) -однородный полином первой степени по х с коэффициентами, голоморфными по т в нуле.

Доказательство. Представим функцию Ф(х, т) в виде

Ф(х,т) = -тф0(0)1п г + У1(х,т). (3.19) Из следствия 1 и теоремы 3.2 следует, что У1(х,т) = тф0(0)1п г + Ф(х,т),У1 Е Ш2(П(И)), причем функция У1(х,т) является решением краевой задачи

-А - АУ1 (х,т) = 0,х Е П \ {0}, У1(х,т) = тгр0(0)1п г,х Е дП \Па, дУ д 1п г (х, т) = Л(т)У1 (х, т) + тгр0 (0) --

-тЛ(т)гр0(0)1п г,х ЕП.а. (3.20) Так как Л( ) - голоморфная функция, причем Л'(0) Ф 0, а т^0(0)1п г - голоморфная в нуле функция со значениями из Ск(дП \ П.а) для любого к, то из теорем о повышении гладкости решений эллиптических уравнений и теорем вложения следует, что решение У1(х,т) краевой задачи (3.20) является голоморфной в нуле функцией со значениями в Ск(П(Д)) для любого к и любого сколь угодно большого И > 0. Тогда справедливость утверждения

сразу же вытекает из (3.19), следствия 1 и теоремы 3.2.

□

Аналогично устанавливается справедливость следующего утверждения.

Лемма 3.5. Существует решение Я(х,т) краевой задачи

-ДЯ(х,т) = 0,хе П \ {0}, Я(х,т) = 0,хе 0П \ Пй, 9Я

— (х,т) = А(т)Я(х,т),х 6 Пй, öv

где v — внешняя нормаль, имеющая дифференци-

öin г\

руемую асимптотику в нуле

-ln г )—--+

/ о ln г о ln г\

ЯСх^-т^)—+ )

х ^0(0) + с(т) + О(тг),

х

где ( ) - голоморфная в нуле функция.

4. Доказательство теоремы 2.1

В окрестности <^£ введем переменную £ = хе-1.

Обозначим

= -т^(0^„(0) + еК^), (4.1) где из леммы 3.1, 7(^Г,Х1) из леммы 3.2, а из (3.18). Из лемм 3.1 и 3.2 следует, что из

(4.1) является решением краевой задачи

А^ V = 0, £ 6 !2 \ V = 0, £ 6 (4.2) и имеет дифференцируемую по £ асимптотику на бесконечности

v(f,T) = -r(ln р + ct(w))^o(0) -( -ln р -ln р\

+

еХ1^,т) + еа^,т) + 0(^ + ^), (4.3)

где Р = К1.

Положим

г£(х,т): = Ф(х,т) + еЯ(х, т). Пусть Л(т) - голоморфная функция из теоремы 2.1, удовлетворяющая условию (2.4). Тогда в силу теоремы 3.2, следствия 2 и леммы 3.5 функция г£(х,т) является решением краевой задачи -Дг£(х,т) = 0, х 6 П \ {0},г£(х,т) = 0, х 6 5П \ Пй,^(х,т) = Л(т)г£(х,т),х 6 Пй (4.4) и имеет следующую дифференцируемую асимптотику в нуле

/ - ln г - ln г\

z£(x,t) = +

-ln r\

■ r(ln r+ ct(w))^o(0) + ^0(0) + ес(т) + Хх(х,т) + О(тг2 + етг). (4.5) Обозначим:

^(х) = / (re-1) Z£ (х,^) +

+ (i-zl

(4.6)

где /(£) - бесконечно дифференцируемая срезающая функция, тождественно равная нулю при < 1 и единице при > 2.

Из теоремы 3.2 и леммы 3.5 следует, что

/Па (гЕ - ^£(х))2 ^ ^ 0,£ ^ 0.(4.7)

В свою очередь из (4.7) и теоремы 3.1 следует, что для 4>£(х) из (4.6) имеет место сходимость

;Па Ч>£ (Х)^£(Х)^Х1 ^ 1, е ^ 0. (4.8) В силу (4.2) и (4.4) функция ^£(х) является решением краевой задачи

ДЧ>£(х) = ^00, х 6 П£, ^£(х) = 0, х 6 5П \ПЙ,

д^£ / 1 \ __(х)=л(.__)^£(х),х6па,

^£(х) =0, х 6 д<^£, (4.9)

где - внешняя нормаль, а

Р£(х): =

-(z£(x,in^)-V(X£-1,in7))А^(r£-2)-2 7 (^ (х,й - V (Х£-1,й) ^ (Г£-1). (4.10)

Напомним, что через £(Д) обозначается круг радиуса 0 < Д < 1 с центром в начале координат. В силу (4.3), (4.5) и теоремы 3.2 при

что то же самое при

х 6 В (2с1) \В (е2) (или,

= хе-1 6 В (2e-l) \ В (£-2)), справедливо следующее дифференцируемое по х равенство

=(

О ("- + 7—"- + г—г2 + —^£г). (4.11)

V Г ln £ Г- ln £ ln £ /

J ln £ Г2 ln £

Из (4.10) следует, что

suppF£ с В (2£i) \ В (4.12)

Поэтому в силу (4.10), (4.11) и очевидных ра-

венств

(г£ 2)| = О (е 2) х(г£--)| = О(£-1)

| А

последовательно получаем, что |^£(х)| = 0(1),

11^11^) = О (^), £^0. (4.13) Умножая уравнение в (4.9) на собственную функцию ^£(х) возмущенной краевой задачи (2.1) и

и

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 20-27

-ISSN 1812-3996

интегрируя по частям на П£, в силу краевых задач (2.1) и (4.9), получаем

h-л(-^j) |ч>£(хЖШх1 =

Па

= !п/е(хШ(х)<1х. (4.14)

Продолжая гр£(х) нулем вшЕв силу интегрального тождества (3.1) для возмущенной краевой задачи (2.1), имеем

11^^£(х)12 йх = Ä£ I 1^£(х)12йх1 = А£.

П£ Па

Следовательно,

Ш\2Н1(ПВ) = I №е(х)12йх+ I 1Шх)12ах1 < С. п£ Па

Так как (см., например, [17, Гл. III, § 5, Т. 5]),

INIw^nw) < эдниьчщй))-

то

М^Нщя» ^ С(Д)\И\Н1(Щ, (4.15) где С(И) - константа, зависящая от выбора И. Тогда, продолжая ^£(х) нулем в ш£ в силу (4.15), имеем

Поэтому из (4.12) и (4.13) следует, что при £ ^ 0 справедливо следующее равенство

^ (х)-фЕ(х)Ох = 0 (е1). (4.16)

Тогда из (4.14) в силу (4.16) и сходимости (4.8) окончательно получаем:

л£-л(1П1) = о(£1),£

Теорема 2.1 полностью доказана.

СПИСОК ЛИТЕРА ТУРЫ

1. Мазья В. Г., Назаров С. А., Пламеневский Б. А. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями // Изв. АН СССР. Сер. мат. 1984. Т. 48, вып. 2. С. 347-371.

2. Ozawa Sh. Spectra of domains with small spherical Neumann boundary // J. Fac. Sci., Univ. Tokyo. Sect. IA. 1983. Vol. 30. Р. 259-277.

3. Самарский А. А. О влиянии закрепления на собственные частоты замкнутых объемов // ДАН СССР. 1948. Т. LXIII, № 6. С. 631-634.

4. Днестровский Ю. Н. Об изменении собственных чисел при изменении границы областей // Вестник Моск. ун-та. Сер. I. Математика, механика. 1964. № 9. С. 61-74.

5. Ozawa Sh. Singular Hadamard's variation of domains and eigenvalues of Laplacian // Proc. Jap. Acad. 1980. Vol. A56. P. 351-357.

6. Cristoforis M. L. Asymptotic behavior of the solutions of the Dirichlet problem for the Laplace operator in a domain with a small hole. A functional analytic approach // Analysis. 2008. Vol. 28. P. 63-93.

7. ДавлетовД. Б. Сингулярно возмущенная краевая задача Дирихле для стационарной системы линейной теории упругости // Известия вузов. Математика. 2008. № 12. С. 7-16.

8. Давлетов Д. Б. Асимптотика собственных значений краевой задачи Дирихле оператора Ламэ в трехмерной области с малой полостью // Журн. вычислит. матем. и матем. физики. 2008. Т. 48, вып. 10. С. 18471858.

9. Давлетов Д. Б. Асимптотика собственного значения двумерной краевой задачи Дирихле для оператора Ламе в области с малым отверстием // Матем. заметки. 2013. Т. 93, № 4. С. 537-548.

10. Камоцкий И. В., Назаров С. А. Спектральные задачи в сингулярно возмущенных областях и самосопряженные расширения дифференциальных операторов // Тр. С.-Петерб. Матем. общ. 1998. № 6. С. 151-212.

11. Назаров С. А. Асимптотические разложения собственных чисел задачи Стеклова в сингулярно возмущенных областях // Алгебра и анализ. 2014. Т. 26, № 2. С. 119-184.

12. Назаров С. А. Вариационный и асимптотический методы поиска собственных чисел под порогом непрерывного спектра // Сиб. матем. журн. 2010. Т. 51, № 5. С. 1086-1101.

13. Борисов Д. И. О PT-симметричном волноводе с парой малых отверстий // Тр. Ин-та математики и механики УрО РАН. 2012. Т. 18, № 2. С. 22-37.

14. Давлетов Д. Б., Кожевников Д. В. Задача типа Стеклова в полуцилиндре с малым отверстием // Уфим. матем. журн. 2016. Т. 8, № 4. С. 63-89.

Вестник Омского университета 2018. Т. 23, № 3. С. 20-27

ISSN 1812-3996-

15. Давлетов Д. Б., Давлетов О.Б. Сходимость собственных элементов задачи типа Стеклова в полуполосе с малым отверстием // Итоги науки и техн. Сер. Соврем. матем. и ее прил. 2017. № 141. С. 42-47.

16. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М. : Наука, 1989.

336 с.

17. Михайлов В. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. М. : Наука, 1983. 391 с.

18. Красносельский М. А., Вайникко Г. М., Забрейко П. П., Рутицкий Я. Б., Стеценко В. Я. Приближенное решение операторных уравнений. М. : Наука, 1969. 456 с.

ИНФОРМАЦИЯ ОБ АВТОРАХ

Давлетов Дмитрий Борисович - кандидат физико-математических наук, доцент кафедры математики и статистики, Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, 450000, Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Октябрьской революции, 3а; e-mail: davletovdb@ mail.ru.

Давлетов Олег Борисович - магистрант, преподаватель кафедры механики и конструирования машин, Уфимский государственный нефтяной технический университет, 450062, Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Космонавтов, 1; e-mail: davolegus@mail.ru.

Садыкова Рузалина Разгатовна - ведущий специалист по научной работе управления научной работы и международных связей, Башкирский государственный педагогический университет им. М. Акмуллы, 450000, Россия, Республика Башкортостан, г. Уфа, ул. Октябрьской революции, 3а; e-mail: ruzal89@mail.ru.

ДЛЯ ЦИТИРОВАНИЯ

Давлетов Д. Б., Давлетов О. Б., Садыкова Р. Р. Об асимптотике собственного значения сингулярно возмущенной краевой задачи типа Стеклова для Лапласиана // Вестн. Ом. ун-та. 2018. Т. 23, № 3. С. 20-27. DOI: 10.25513/1812-3996.2018.23(3).20-27.

INFORMATION ABOUT THE AUTHORS

Davletov Dmitriy Borisovich - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Docent, the Department of Computing Mathematics and Statisties, Bashkir State Pedagogical University, 3a, October revolution st., Ufa, 450000, Republic of Bashkortostan, Russia; e-mail: davletovdb@mail.ru.

Davletov Oleg Borisovich - Postgraduate Student, teacher, the Department of Mechanics and Machine Design, Ufa state petroleum technical University, 1, Kosmonavtov st., Ufa, 450062, Republic of Bashkortostan, Russia; e-mail: davolegus@mail.com.

Sadykova Ruzalina Razgatovna - Leading Specialist of Scientific Work, the Management of Scientific Work and International connections, Bashkir State Pedagogical University, 3a, October revolution st., Ufa, 450000, Republic of Bashkortostan, Russia; e-mail: Russiaruzal89@mail.com.

FOR CITATIONS

Davletov D.B., Davletov O.B., Sadykova R.R. On the as-ymptotics of the eigenvalues of a singularly perturbed boundary value problem of steklov type for laplacians. Vestnik Omskogo universiteta = Herald of Omsk University, 2018, vol. 23, no. 3, pp. 20-27. DOI: 10.25513/ 1812-3996.2018.23(3).20-27.