Краевая задача для эллиптического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами в трехмерном случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

КРАЕВАЯ ЗАДАЧА ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С БЫСТРООСЦИЛЛИРУЮЩИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В ТРЕХМЕРНОМ СЛУЧАЕ*

Рассматривается краевая задача для эллиптического уравнения в трехмерной цилиндрической области, разделенной на сектора, угол раствора каждого из которых считается малым параметром. Коэффициент теплопроводности композитного материала является быстро колеблющейся функцией. Период данного коэффициента равен £. Эта задача является обобщением рассмотренной ранее двумерной, для решения которой было построено асимптотическое разложение по степеням малого параметра методом двухмасштабных разложений. Причем проблем, связанных с угловыми точками, в трехмерном случае уже удается избежать благодаря виду рассматриваемой области.

Ключевые слова: краевая задача, асимптотическое разложение, эллиптическое уравнение, метод двухмасштабных разложений, метод осреднения, погранслойные функции.

Введение

Ранее уже были рассмотрены одномерная и двумерная краевые задачи для эллиптического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами ([2] и [3] соответственно), где был применен известный метод осреднения [1]. Проведенные в данных работах построения могут быть перенесены на объекты, соответствующие реальным конструкциям. Рассмотрим процесс в цилиндрическом слое, являющемся микронеоднородной средой, предполагая, что характерным масштабом микроструктуры среды при этом будет угол раствора секториальных областей (см. рисунок).

Цилиндрический слой

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проекты 10-01-96012 р-урал-а, НШ-6249.2010.1) и ФЦП 02.740.11.0612.

С помощью плоскостей г = 0 и г = 1 вырезается часть бесконечного слоя, заключенного между цилиндрами с радиусами г = 1 /2 и г = 1. В горизонтальном сечении получается кольцо, состоящее из большого числа секторов, угол раствора каждого из которых считается малым параметром. Таким образом, в цилиндрических координатах (г, ф) получается прямоугольник, состоящий из горизонтальных полос ширины £, причем их ровно N штук на отрезке [0, 2п], т. е. имеется точно такая ситуация, когда решение строилось методом двух масштабов в двумерном случае.

В данной работе проводится построение асимптотического разложения решения по степеням малого параметра с использованием уже полученных результатов. Уравнение для предельного решения — это уравнение с постоянными коэффициентами. Асимптотика решения краевой задачи и характер оценки приближенного решения зависит от граничных условий и правой части уравнения. Исследование проводится так же, как и в задачах, ссылки на которые приведены выше. Добавление второй производной по третьей переменной в уравнение и усложнение вида области с повышением размерности пространства, где она рассматривается, отражается на возникающих по ходу построения асимптотики вспомогательных задачах, но при этом, как уже говорилось ранее, дополнительных условий согласования в угловых точках не требуется.

1. Постановка задачи

В вышеописанной цилиндрической области П рассматривается дифференциальное уравнение с быстроосциллирующими коэффициентами:

дх (°^) дх) + ду (“® |) +I (“® ж) =/ )- (1)

В цилиндрических координатах r, т, z

ди ^ 1 ди ^ ди -

grad и = — г + —— j + — к dr r2 дт dz

1 д д д div а = - — (rax) + — (02) + т^(аз), r dr дт dz

1 д ( ,^ди\ д (а(*) ди\ д ( ди

~ + ^ а(0тг-

где

Тогда краевая задача для дифференциального уравнения (1) выглядит следующим образом:

а(*) д f ди\

д ди д2и

дТ (аК) дт )+ а«) gz 2

и | r=1 / 2 = P(T,z),

и|г=1 = 0,

О ’—1 N N и = 0.

f(r,T,z,*), (2)

Здесь е > 0 — малый параметр, а(£), f (г,ф,г,£) — гладкие периодические функции с периодом 1 по переменной £, а(£) > а\ > 0, р(ф,г) — достаточно

2п

гладкая функция, р(ф, 0) = р(ф, 1) = 0. Нас интересует случай, когда е = , где

N £ N — большое число, так что на отрезке [0, 2п] укладывается большое число периодов функции а(£).

Задача состоит в нахождении асимптотики решения и(г, ф, г, ^) при е ^ 0.

2. Построение предельного решения

Для формального построения применим метод двухмасштабных разложений; при этом поиск решения сводится к поиску функции от четырех независимых переменных: медленных переменных г, ф, г и быстрой переменной £, а частная производная по ф, стало быть, теперь имеет вид

д д 1 д

дф дф + е дф

И далее проводится исследование уже нового уравнения, полученного из уравнения (2) для функции и(г, ф, г, £):

д { ди\ д2и 2а(£) д2и 1 . ди

а(£>г¥г Ы) + а(е)в? + ?а'К)дф+

+ 1 щ) + а(‘)г2Ъ? =г2f (г'ф'г'‘ >■ (4)

Будем искать решение задачи в виде асимптотического ряда

ГО

и = ^ Ф ик (г,ф,г,£ )■ (5)

к=0

При этом все функции ик(г,ф,г,£) должны быть периодичны по переменной £ с периодом 1.

После формальной подстановки ряда (5) в уравнение (4) получаем равенство

^(а<е* ж) = 0,

из которого очевидным образом следует, что и0(г, ф, г,£) = и0(г, ф, г).

Из уравнения, полученного после приравнивания коэффициентов при е-1, вытекает, что

ди0

и1(г,ф,г,£) = 7(£) дф + А1(г,ф,г) (6)

где А1(г, ф, г) — пока неизвестная функция. Кроме того,

7(£) = [ в(Ь) ЛЬ, (7)

/^, I

У «к) ’ У

0 0

в (С) % = 0.

В уравнение, полученное после приравнивания коэффициентов при £0, необ-ди1 д2и1

ходимо подставить ——, ———, а затем осреднить (учитывая при этом, что

дф дфдС [«(С) + М0в(0 + «'(От (С )]ср = 7М):

д ( ди0\ 1 д2и0 2д2и0

иг— г ) +-------------+ иг ---------

дг V дг ) + II дф2 + дг2

= г2 [/ (г,ф,г,С)\ср .

(8)

где V = J «(С) ^С, а через [^\ср обозначен интеграл по С по отрезку [0,1\.

0

Таким образом, функция и0 определяется из уравнения (8) с граничными условиями (3).

3. Построение формальной асимптотики

Будем последовательно строить остальные члены асимптотического разложения (5). Из построения предельного решения известно, что функция и1 определяется с помощью формулы (6). Если потребовать, чтобы ряд (5) удовлетворял граничным условиям (3), то функции и1 (г,ф,г,С) следовало бы равняться нулю на всей границе области П. Из формулы (6) вытекает, что нулевые граничные условия при г = 1, г = 0 и г = 1 для функции и1(г,ф,г, ^) будут выполнены тогда, и только тогда, когда функция А1(г, ф, г) равна нулю на тех же частях границы. Поскольку функция А1(г, ф, г) не зависит от С, то функция и1 (г, ф, г, С), определяемая по формуле (6), при г = 1/2, вообще говоря, не равна нулю. Для выполнения условия и( 1, ф, г) = р(ф, г) следует добавить к ряду (5) в окрестности границы г = 1 /2 асимптотический ряд

>(ф,г,С,П) = ^ £кук(Ф,z,С,n), п =

г - 1/2

к=1

(9)

Все функции Ук(ф, г, С, п) должны быть периодическими по переменной С и быстро стремиться к нулю при п ^ ГО.

Разложение (9) должно формально удовлетворять уравнению

... д ( ду\ д ( дь\ ... 2д2ь

«(С)гТт УаТ) + дф («(С) эф) + «(С)г аГ2 = °

Тогда

д д 1 д д 1 д

дф дф £ дС дг £ дп

1

1

£

а уравнение (10) для функции у(ф, г,С,п) приобретает следующий вид:

«(С) д2у «(С) ду «(С) д2у д ( ду \

+ ^7г + — птт~2 + «(С)п^ ^ +

4£2 дп2 2£ дп £ дп2 дп \ дп

,^д2у 2«(С) д2у 1 .. .ду 1 д ( ,^ду\

+ «(С)дф2 + —дфЩ + £«(С)дф + £5ТС (а(С)5^) +

+ тй + £->С)-'Ш +

После подстановки ряда (9) в уравнение (11) и приравнивания коэффициентов при £-1 получаем уравнение для у1(ф,г,С,п):

1 ^ д («(С)^) =°. (12)

4 дп2 «(С) дС\ дС

Граничные условия для у1(ф, г, С, п) следует выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство и1 + у1 = 0 при г = 1 /2, т. е.

1 (С) д^ф (ф,г)+А1(1> ,ф,г)+уl(Ф,z,С, 0) =0

Решение уравнения (12) с граничным условием

у1|п=0 = -^(С)^ф(ф,г) - А1(2,ф,г

будем искать методом разделения переменных. Однако, для того чтобы решение экспоненциально быстро стремилось к нулю при п ^ го, необходимо и достаточно, чтобы среднее от граничной функции равнялось нулю. Следовательно, должно выполняться равенство

1

А1 (1 ,ф,г) = - дф (ф,г) /1 (С) ИС' (13)

0

Решение задачи (12) имеет вид

ГО

у1(ф,г,С,п) = X! с1(ф,г)е-2^п E^(С),

г=0

где £г(С) — собственные функции задачи Штурма — Лиувилля

И

-(«(С)Н'К))+ х«(с )н« ) = 0, (14)

Хг > 0, а функции ^г(С) периодические по С с периодом 1.

Замечание 1. В общем случае

к

Zk (г,ф,г,С,п) = и + ^ £г(иг + у*). (15)

г=1

Таким образом, после добавления первого слагаемого асимптотического ряда (9) очевидно, что формально построенное решение Z1 = и0 + еи1 + еу1 удовлетворяет граничным условиям (3), поскольку и\ + у1 = 0 на границе области П. Далее обозначим сумму уже найденных слагаемых через

д / ди \ д 2и

дм(т, у, г, С) = а(С)т- + [а(С) + 2а(С )в (С) + а' (С Ь (0] ^ +

Я 2и + а(С)т2- т2!(т,у,г,С),

причем

[дм(т,у,г,С)]ср = 0

поскольку выполнено соотношение (8). Нетрудно заметить, что верно и следующее:

дм(т, у, г,С) + а!(С)^ ^)° (16)

Отсюда, действуя далее по схеме, описанной в [3], можно выразить следующий коэффициент ряда (5):

ЗАл

П2 (т,у,г,С) = 7 (С)~оу + А2 (т,у,г) + д4,1(т,у,г,С), (17)

где 7(С) задано формулой (7).

Замечание 2. Здесь и далее посредством дк,г(т,у,г,С), дг(т,у,г), т(у, г,С,п), е\(у,г), т![(у,г,п) будут обозначены функции, которые уже определены к соответствующему этапу построения коэффициентов рядов (5) и (9).

Теперь можно приступать к определению А1(т,у,г) и тем самым к определению и1(т,у,г,С). Для этого необходимо приравнять коэффициенты при е в уравнении (4) после подстановки в него ряда (5), воспользоваться соотношениями (6), (17) и осреднить:

д ( дАл \ ,1 д2Ал , 2д2Ал ( , (18)

ит^:\т+ + ит = дл(т,у,г), (18)

дт \ дт ) ^ ду2 дг2

причем очевидно, что граничные условия для функции А1(т,у,г) следует выбрать нулевыми при т = 1, г = 0 и г = 1, а при т = 1 /2 — в соответствии с формулой (13). Определим функцию А1(т, у, г) как решение уравнения (18), которое удовлетворяет указанным граничным условиям. Из выражения (6) определяется функция п1(т, у, г, С).

Итак, уже построены функции По(т,у,г), и1(т,у,г,С), У1(у, г,С,п) и выяс-

дА1

нено, что и2(т,у,г,С) = т(С)^------+ А2(т,у,г)+ д4Д(т,у,г,С), где А2(т,у,г) — пока

ду

еще не определенная функция.

Если подставить ряд (9) в уравнение (11), то при е = 0 получим уравнение

1 д2у2 1 д ( ,0у2 \

+ а(С) = тl(У, z,С, п), (19)

4 дп2 а(С) дС \ дС

где

, 82У1 д2У1 1 <9г>1 а' (С) дvl

т1(у,г,С,п) = -П^гт - 2-

дп2 дудС 2 дп а(С) ду'

Граничные условия для v2(у, г, С, п) следует выбрать таким образом, чтобы выполнялось равенство и2 + v2 = 0 при т = 1/2, т.е. д0,2(2,у,г,С) + А2(2,у,г) +

дА

+V2(у,z,С, 0) = ° где до,2(т,у,г,С) = 7(С)^у + д4,1(т,у,г,С).

Правая часть в уравнении (19) экспоненциально стремится к нулю. Значит, его решение существует и тоже экспоненциально стремится к нулю при п ^ го. Решение уравнения (19) с граничным условием

Чп=0 = -до,2(2,у,г,С) - А2(1 ,у,г)

будем искать в виде суммы

v2(у,г,С,п) = V2)1(У,z,С,n) + V2,2(У,z,С,п),

где v2)1(у, г, С, п) — решение однородной задачи, v2>2(у, г, С, п) — решение неоднородной задачи.

Правая часть в уравнении (19) раскладывается в ряд по той же системе собственных функций £г(С):

ГО

т1(у,г,С,п) = ^ т1 (у,г,п)Ег(С)-2=0

При этом функция v2)2(у, г, С, п) находится как сумма ряда

ГО

ХХ2(у,г,п)^г(С ),

2,2'

2=0

где коэффициенты v2 2(у, г, п) — это такие решения уравнений

d2vг2 2 - 4Л2V2)2 = т1 (у, z,п), г = 0,1,... ,

которые экспоненциально стремятся к нулю при п ^ ГО.

Тогда решение однородной задачи

ГО

2 (

V2,1 (у,г,С,п) = ^ с2(у,г)е 2/^П^2(С),

2=0

стремящееся к нулю на бесконечности, удовлетворяет следующему граничному условию:

1 1 ГО v2,l(у, z,С, 0) = -д0,2(2,у,г,С) - а2(2,у,г) -^ v2)2(у,z, 0)^2(С)

2=0

где £г(£) — собственные функции задачи (14).

Следовательно, для того чтобы функция г2,1(у, г,^,п) экспоненциально быстро стремилась к нулю при п ^ ж, необходимо и достаточно, чтобы среднее от граничной функции равнялось нулю, т. е. должно выполняться равенство

1

А2(2,у,Л = - [ до,2(1 ) ^ - У02,2(у,г, 0). (20)

Тем самым в процессе отыскания решения неоднородного уравнения методом Фурье обнаруживается вид функции Л2( 1 ,у,г), которая задает граничное условие для функции Л2(т,у,г) при т = 1/2. Сама же функция Л2(т,у,г) определяется из уравнения

д ( ЗЛ2 ^ ,1 о2л2 , 2 д2Л2 ( , (21)

"т¥т {г-д7) + Уду? + итТфг = д2<т-уг)' (21)

получаемого из уравнения (4) после подстановки в него ряда (5), приравнивания

, 2 „ д2п3 дп3

коэффициетов при е2, использования полученных выражений для п2, ———, ——

дуд£ ду

и осреднения. Итак, Л2(т,у,г) — это решение уравнения (21), удовлетворяющее условию (20) при т = 1/2 и нулевым граничным условиям при т =1, г = 0 и г =1. И по формуле (17) определяется функция п2(т, у, г, £), а формально построенное решение Z2 удовлетворяет граничным условиям (3).

Далее построение функций пи(т,у,г,£), ги(у,г,^,п) проводится по индукции. Согласование проводится аналогичным рассмотренному образом: решение ги(у,г,£,ц) находится в виде суммы двух функций — решений однородного и неоднородного уравнений, экспоненциально стремящихся к нулю при п ^ ж, т. е.

гк (у,г,£,п) = Щ1(у,г,£,п) + ьи,2(у,г,С,П)-

Причем ги,2 является суммой ряда, коэффициенты которого определяются из уравнений

Сруги 2

- 4^ггк,2 = тк-l(у, z,п), г = 0 1,...,

а решение однородной задачи — это ряд ^°=0 ск(у, г)в-2^'пЕг(£) со следующим граничным условием:

1 1 ^

Vk,l(у,z,C,0) = -до,к(2,у,г,0 - Лк(2,у,г) - ^vh(У,z,0)Eг(0,

г=о

в которое включена функция

1

11

Лк[ 2= - I до,к(2,у,г,С) СС - v0)2(у,z, 0).

Затем находится функция Лк(т,у,г), удовлетворяющая указанному выше граничному условию при т = 1/2 и нулю на остальных частях границы. Становится возможным определить

пи(т, у, г, £) = до,к(т, у, г, £) + Лк(т, у, г).

Таким образом, решение пк + гк = 0 на границе рассматриваемой области П, а стало быть, функция Zk, задаваемая соотношением (15), удовлетворяет граничным условиям (3).

4. Обоснование асимптотики

Здесь мы рассмотрим, насколько частичные Zn(т,у,z,£,п) отличаются от решения задачи (2), (3).

Теорема. Пусть п(т,у,г,е) — решение задачи (2), (3). Тогда справедлива оценка п(т,у,г,е) - по(т,у,г) = 0(еп+1); равномерная по всей цилиндрической области П.

Доказательство. Из построения коэффициентов рядов (5) и (9) непосредственно следует, что разность между значением оператора от функции Zn+2(т, у, г,£,п) и функцией f (т,у,г,е) равна 0(еп+1), при этом на границе области П разность Zn+2(т, у, г, £, п) - п(т, у, г, е) равна 0(еп+1), внутри области П выполнено соотношение еп+1пп+1 + еп+1гп+1 + еп+2пп+2 + еп+2гп+20(еп+1) — отсюда и из принципа максимума вытекает утверждение теоремы. □

Список литературы

1. Бахвалов, Н. С. Осреднение процессов в периодических средах / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. — М. : Наука, 1984.

2. Ильин, А. М. Асимптотические методы в анализе / А. М. Ильин, А. Р. Данилин. — М. : Физматлит, 2009.

3. Малахова, И. С. Краевая задача для эллиптического уравнения с быстроосциллирующими коэффициентами в прямоугольнике / И. С. Малахова // Журн. вычисл. математики и мат. физики. — 2011. — Т. 51, № 8. — С. 1457-1466.

4. Назаров, С. А. Асимптотика решения задачи Дирихле для уравнения с быстро-осциллирующими коэффициентами в прямоугольнике / С. А. Назаров // Мат. сб. — 1991. — Т. 182, № 5. — С. 692-722.