Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области Текст научной статьи по специальности «Математика»

ББК 22.161.1 УДК 517.9; 519.6

ПОСТРОЕНИЕ АСИМПТОТИКИ РЕШЕНИЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ ПРИ МАЛОМ ВОЗМУЩЕНИИ

ГРАНИЦЫ ОБЛАСТИ

А.С.Слуцкий1

1 Санкт-Петербургский государственный университет сервиса и экономики, 192171, Санкт-Петербург, ул. Седова, дом 55/1

Изучается асимптотика вырождающегося на границе эллиптического уравнения при малом возмущении границы области. Способ построения асимптотики существенно зависит от величины параметра вырождения. Полученные результаты применимы к построению асимптотики решений задач теории упругостей, в частности, задачи о деформировании пластины с острым краем.

Ключевые слова: асимптотика, пограничный слой, краевая задача, эллиптический оператор.

Потребности современной техники, связанные с созданием новых материалов сложной микроструктуры, задачами снижения веса конструкций без потери надежности и многими другими практическими вопросами, требуют привлечения уточненных моделей сред и исследования свойств решений в областях со сложной конфигурацией границы. Громоздкость соответствующих уравнений и наличие участков границы с большими кривизнами значительно усложняют непосредственное вычисление решений. Однако многие такие задачи содержат малый параметр, что позволяет применять для их решения те или иные асимптотические методы. В настоящее время широкое распространение и важные приложения во многих разделах механики получил асимптотический метод М. И. Вишика и Л. А. Люстерника [1], [2]. Важными достоинствами метода являются его идейная простота, применимость к широким классам уравнений с частными производными с малым параметром при старших производных. Данная работа посвящена вопросу применения метода М.И. Вишика-Л.А. Люстерника для изучения асимптотики вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области.

Исследование вырождающихся уравнений, начатое работами М.В. Келдыша [3], С.Г. Михлина [4], О.А. Олейник [5], получило значительное развитие и в настоящее время имеется обширная литература по этому вопросу (упомянем обзоры [6], [7] и монографию [8]). Отличительной чертой краевых задач для вырождающихся уравнений является то, что их решения не наследуют свойства гладкости от правых частей - производные решений могут иметь особенности на линиях вырождения. Поэтому прямое приложение асимптотического метода М.И. Вишика-Л.А. Люстерника построения глобальной асимптотики решений эллиптических уравнений с малым параметром при старших производных в случае вырождающихся уравнений не приводит к успеху - удается построить только несколько первых членов асимптотики [9], [10]. Для построения полного асимптотического разложения решения краевых задач для вырождающихся на границе эллиптических уравнений применяется метод составных асимптотических разложений [11]. Слагаемые двухмасштабного асимптотического разложения определяются в двух итерационных процессах: в первом отыскивается внешнее разложение, а во втором - пограничный

слой. Для устранения особенности коэффициентов внешнего разложения применяется процедура перераспределения невязок между предельными задачами. Та часть невязки, которая порождена функциями внешнего разложения и обуславливает появление особенности на следующем шаге итерационного процесса, компенсируется при построении пограничного слоя, а невязка, образованная функциями пограничного слоя и имеющая недопустимый рост на бесконечности, компенсируется функциями внешнего разложения. Построенные таким образом коэффициенты асимптотики имеют определенное, не изменяющееся от шага к шагу итерационного процесса, поведение в окрестности границы или на бесконечности. Эта процедура реализована, в частности, в работе [12] для построения асимптотического разложения решения вырождающихся на границе эллиптических уравнений второго порядка с быстро осциллирующими коэффициентами.

В данной статье изучается асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом возмущении границы области. Рассматривается вырождающееся эллиптическое уравнение второго порядка, у которого все коэффициенты при старших произ-

2а

водных содержат множитель /г , где р Ь(х, дх )и(х):= Ь2(х, дх )и(х) — Ь0(х)г/(х) = Здесь

” г) г)

1-2 (х, дх )и(Е, X) = £ —V20 (Х)а11 (х) — и=1Щ ох.

самосопряженный вырождающийся эллиптический оператор,

\>a>0,L0=g(x)>0,v_ гладкая в & п0_

ложительная в функция, эквивалентная расстоянию до границы 80, а е — малый положительный параметр.

В малой б/ - окрестности границы области О введем локальные координаты у = (у1,у2,...,у„) = (у',у„), ось

- расстояние до границы области. Находится решение этого уравнения при малом регулярном возмущении границы области. Несмотря на то, что рассматриваемое возмущение границы регулярно, в случае \>а>\/2, для построения асимптотики приходится применять методы теории сингулярных возмущений, поскольку оператор задачи вырождается на границе. Метод построения асимптотики решения возмущенной задачи существенно зависит от величины порядка вырождения ОС. При а <1/2 возмущение носит регулярный характер, коэффициенты асимптотического разложения отыскиваются в виде решения задачи Дирихле для исходного уравнения в невозмущенной области. В случае а > 1/2 в асимптотику входят слагаемые типа пограничного слоя. При а > 1 пограничный слой имеет экспоненциальное убывание, а при \/2<а<\ ~ степенное. Поскольку порядок роста пограничного слоя при \/2<а<\ может увеличиваться от шага

к шагу итерационного процесса, для построения полной асимптотики в этом случае также применяется метод составных асимптотических разложений.

Пусть в области Г2 задано уравнение

: / (х), XeQ.

(1)

(2)

направлена по внутренней нормали

к Q.

Введем зависящую от S область = Q \ Dt., где D - полоса шириной eh(s) у границы 0Q, т.е. при всех х е Ds

выполняется неравенство: v(jc) < sh(s), h{s) >hQ> 0, se dQ.

В локальных координатах (у\у ) граница 5Q задается уравнением

Построение асимптотики решения вырождающихся эллиптических уравнений при малом

возмущении границы области

уп = а оператор Ь принимает вид:

«л я

£+ еМУИ’ЧМ^—«00 (3)

Ч/лОУі

Далее указывается процедура построения асимптотического разложения при є о решения и задачи Дирихле Ь(х,дх)и(є,х) = /(х), хеО£, (4) и(є,х) = (р(х) хєдСіЕ.

ду,

Цх,дх)и(х) = /(х) в области О. При гладкой правой части / решение и этого уравнения (в случае а < 1/2 решение соответствующей задачи Дирихле) допускает в малой окрестности дС2 асимптотическое представление

при различных значениях параметра ос > О.

Полагая е = 0 приходим к предельному уравнению

»<У). £ уГ'2-2а,и,м,(у') + ^иту';2а+й“(у),

р,д<ЕЫ0,руд(2-2а)<М

(д^йЦду'-ду^У)^-', _

(4) отыскивается в виде формального

ряда

>/+/(2-2 а)+к 1-2а

Структура асимптотики решения задачи (4) существенно зависит от величины параметра а. В случае О < а < 1 / 2 для вырождающегося в О оператора Ь разрешима задача Дирихле с граничным условием на ЗГ2. Асимптотическое разложение решения задачи

Ах,дхЦь(х) = 80,, доч 80к 1(х) - ^1ы,)(х,Ох)у1 (й/,(л-), (х) е Q

^Лх)-

X -

;../.А'єЛ?0

коэффициенты ряда (6) которого определяются из задач

к!Лх)=- X )

1+р=і,т+д=у 1,т,&,р,цёЫо

х є дО., где

Ь(т) х,дх =1/ т\дп / дєтЬ є,х,дх при є = 0, 8 , - символ Кронекера, а

т=1

І\р+сі(2-2а) Л,(РД)(

<Г^)-^У(У) + <50ДЖУ,

О./1

К слагаемым гладкого типа

уЦк

.Ік

слагаемые асимптотического раз-

добавляются функции типа пограничного слоя н’<л, записанные в переменных

(/,0 = (/,£-1уп)

ложения (5) функции ^ .

В случае 1>а>1/2 краевое условие для оператора Ь не задается и выполнение соотношений (4)2 достигается введением в асимптотическое разложение слагаемых типа пограничного слоя. Асимптотика решения задачи (4 ) отыскивается в виде двухмасштабного ряда

гладкого типа

уравнения А= / М? = м>,

«'. Старшее слагаемое

V = Л’

ооо находится из а старший член

ооо пограничного слоя из задачи

^-{! + Ку))2а ^-ч(у,1) = 0, гед+, а! а!

м> у, 0 =<р У ■

Поскольку решение задачи (8) имеет лишь степенное (а не экспоненциальное) убывание при t —» оо для построения младших членов ряда (7) следует воспользоваться процедурой пере-

распределения невязки, подробно описанной в книге [11].

При а > 1 полное асимптотическое разложение решения задачи (3) как и в случае 1 / 2 < а < 1 является двухмасштабным, однако для его построе-

ния не требуется проведения процедуры перераспределения невязки. К слагаемым гладкого типа ск\’к , определяемым из уравнений

L х,дх v, х =Sokf х Х,дх vk_m

х

хеЙ,

т=1

добавляются функции типа погранично-

шии член пограничного слоя w - w ,

го слоя sia+J а 1 wr y',z , зависящие от определяемый из задачи

переменных y\z — y\s ауп • Стар-

У h У

, d2w

Hz2

y',z -g° у' w y\z = 0, ze0+, w y\0 =<p у'

имеет не степенное, а экспоненциальное (порядка О exp -kz , к> 0) убывание при z —> оо . Это свойство наследуют и младшие члены w пограничного слоя.

Литература

1. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3-122.

2. Треногин В.А. Развитие и приложения асимптотического метода Люстерника-Вишика // Успехи матем. наук. 1970. Т. 25. № 4. С. 123156.

3. Келдыш М.В. О некоторых случаях вырождения уравнений эллиптического типа на границе области // Доклады АН СССР. 1951. Т. 77. № 2. С. 181-183.

4. Михлин С.Г. Вырождающиеся эллиптические уравнения // Вестник ЛГУ. Сер. матем., мех., астр. 1954. № 8. С. 69-77.

5. Олейник О.А. О линейных уравнениях второго порядка с неотрицательной характеристиче-

ской формой // Матем. сборник. 1966. Т. 69. №

3. С. 111-140.

6. Олейник О.А., Радкевич Е.В. Уравнения второго порядка с неотрицательной характеристической формой. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1969. С. 7-252.

7. Глушко В.П., Савченко Ю.Б. Вырождающиеся эллиптические уравнения высокого порядка: пространства, операторы, граничные задачи. Итоги науки, сер. Математика, вып. Матем. анализ. 1985. С. 125-218.

8. Терсенов С.А. Введение в теорию уравнений, вырождающихся на границе. Новосибирск: Изд-во НГУ, 1974.

9. Щипачев В.С. Эллиптические уравнения с малым параметром,

вырождающиеся на границе области // Вестник МГУ. Сер. матем., мех. 1970. №6. С. 58-66.

10. Mayer S. Zur Theorie der enterteten Gleichun-gen mit kleinem Parameter

leiden hochsten Ablaitungen // Wiss. z. Techn. Nachsch. Karl-Marx Stadt. 1979. Bd. 21. №7. S. 865-871.

11. Maz'ya V., Nazarov S., Plamenevskij B. Asymptotic theory of elliptic boundary value problems in singularly perturbed domains. Basel: Birkhauser Verlag. 2000.

12. Назаров С.А., Слуцкий А.С. Степенные пограничные слои в задаче осреднения скалярного уравнения, вырождающегося на границе // Проблемы математического анализа. 2001. № 23. С. 94-146.

1 Слуцкий А.С., доктор физико-математических наук, профессор кафедры «Высшая математика» СПбГУСЭ, e-mail:kaf_vm@mail.ru