Асимптотика по параметру решения эллиптической краевой задачи в окрестности линии внешнего касания характеристик предельного уравнения Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 2074-1871 Уфимский математический журнал. Том 9. № 3 (2017). С. 138-147.

УДК 517.928

АСИМПТОТИКА ПО ПАРАМЕТРУ РЕШЕНИЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОЙ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ В ОКРЕСТНОСТИ ЛИНИИ ВНЕШНЕГО КАСАНИЯ ХАРАКТЕРИСТИК ПРЕДЕЛЬНОГО УРАВНЕНИЯ

Ю.З. ШАЙГАРДАНОВ

Аннотация. В ограниченной области Q с К3 с гладкой границей Г рассматривается краевая задача

. ди еАи — —— = т (х), и |г = 0. дхз 11

Здесь А - эллиптический оператор второго порядка, е - малый параметр. Предельным при е = 0 является уравнение первого порядка. Его характеристики - прямые, параллельные оси Охз. Относительно области Q предполагается, что характеристи-

ГГ образует замкнутую гладкую кривую. В статье построена асимптотика при е ^ 0 решения исследуемой задачи в окрестности этой кривой. Для построения асимптотики используется метод согласования асимптотических разложений.

Ключевые слова: малый параметр, асимптотика, эллиптическое уравнение.

Mathematics Subject Classification: 34Е05, 35J25

Постановка задачи

В ограниченной одноевязной области Q С R3 с гладкой границей Г рассматривается краевая задача

eA(x,D)u(x,e) — D3u(x,e) = f (х), х Е Q, (0.1)

и = 0, ж е Г. (0.2)

Здесь е > 0 — малый пара метр, х = (х\,х2,х3), D = (Di,D2,D3), Dj =

A(x,D) = aa(x)Da — эллиптический дифференциальный оператор (д.о.) с положи-N<2

тельпо определенной квадратичной формой

а2(%,С) = ^^ аа(х)^а > ао|£|2, а0 > 0 — const, N=2

а — мультииндеке.

Пусть данные задачи (0.1)—(0.2) являются гладкими (класса тогда У£ > 0 суще-

ствует единственное решение и(х,ё) Е С^(Q).

Предельным для (0.1) при £ = 0 является уравнение первого порядка

—D3Uo(x) = f (х). (0.3)

Yu.Z. Shaygardanov, Asymptotics in a parameter of the solution to an elliptic boundary

value problem in the vicinity of the outer touching of the characteristics to the limit equation.

© Шайгарданов Ю.З. 2017. Поступила 9 июня 2017 г.

Его характеристики — прямые параллельные оси х3. Относительно области = и Г предположим, что характеристики уравнения (0,3) либо пересекают Г в двух точках, либо Г

замкнутую кривую 50, Дадее будем предполагать, что кривая Б0 лежит в плоскости х 3 = 0, Этого можно добиться гладкой заменой переменных, которая не изменяет вид уравнения (0.1).

Кривая 50 разбивает Г на две части Г± при х3 ^ 0 соответственно. Предельной для (0.1)—(0.2) является задача

-В3щ(х) = /(х), «о|г- = 0. (0.4)

Асимптотическое решение (АР) задачи (0.1)—(0.2) при е ^ 0 всюду в области за исключением окрестности кривой 50, находится методом Вишика-Люетерника [1]. В данной работе строится АР задачи (0.1)—(0.2) в окрестности 50, Для построения АР используется метод согласования асимптотических разложений А.М.Ильина [2]. Двумерный случай для уравнений с постоянными коэффициентами рассмотрен в [3] (см. также [2]).

1. Оценка решения в подобласти

Пусть ¿(х\, х2) — расстояние то внутренней нормали к 50, Через 5^0 обозначим кривую на плоскости х3 = 0 удаленную от Б0 па расстояние ¿(х,у) = где ¿0 выбрано так, чтобы нормали не пересекались. Характеристики уравнения (0.3), проходящие через 5^0, отсекают от ф область ограниченную этими характеристиками Х^0 и Г0 — частью Г содержащей 50. Пусть ^ — подобласть Q0 : = {х € Ц0 : 0 < с1(х, у) < с10 — #}, где 0 < 5 < й0. Через НР(С), где С — облаеть в К3, обозначим пространство Соболева (р > 0 — целое) с нормой

= £/ и12 йх.

Теорема 1. Пусть и (^з — области, определенные выше, тогда при достаточно малых £ > 0 и 5 > Се1, где С > 0 — постоянная, не завися,щая от е, 0 < ^ < 2, для, решения задачи (0.1)—(0.2) имеет место оценка

е|М|2,д4 + |М|2,д4 ^ Сг [||/^ + е2-7ИНЦ^ + |МЮЛо)] (1.1)

с постоянной Сне зависящей от е.

Доказательство.

Пусть ф^(хг,х2) — гладкая срезающая функция

Фё (Х1,Х2)

N1, 0 ^ ¿(х\,х2) о — 5, 0, й(х\,х2) > 5о, для которой справедливы оценки

|№2тфй|| ^ СКт5-(к+т), к,т = 0,1, 2,

с постоянными С^га, не зависящими от 6.

Рассмотрим выражение щ (х) = е-Ххя(х), где

Щ(х) = и(х)ф$(хг,х2), у&(ж) = у(х)ф&(хг,х2).

В силу уравнения (0.1)

е Ау з — Озь 6 — Ау6 = еХхз /ф6 — еА'у, (1.2)

где А'у = еХхз[А, е-Ххзф$}у(х).; [ •, • ] — коммутатор.

Умножая (1.2) на — (ад(х)) и интегрируя по области Qo, получим

—е(Ау&, у&> + (Дз^, ад> + А||ад||0,до ^ ЦеХхз!фб,ад>| + еЦА'у, ад>|, (1.3)

(и, V) = ! иьсСх.

Яо

Интегрируя по частям в левой части неравенства (1.3) и учитывая, что V $ = 0 на д(о = Х^0 и Г^0, а также эллиптичность оператора А, получим

—( Аь&, ) + (Д,^, ) + Л||||2 > еао\\\Цдо + ^Л - 2 - ||v&^.

Здесь и в дальнейшем С^ ] = 1, 2, 3..., — положительные постоянные, не зависящие от е. Оценка правой части (1.3) дает

|(еЛЖ3М, ш)| + еКА'ь, ш)| ^ Сз (211/112,д0 + 2II^Ю^о) +

2 и* 2

Г i 1 1

Р2 „ 1 „

+С4е

i i

£4- \hiQo + ^\MIQo 0 £2д

Сз|1Л|2 i С3 и ||2

^ Yll/lo,^ + YII^ \\2,Q0+

+с562ИМ\^о + Мы*].

Из полученных оценок правой и левой части неравенства (1.3) следует, что

1 „ Сз

«*>||vs ||2,Qo + (а - 2 - С2в - Щ IIvs||0,Qo £

^ С-llflllQo + с5е1 (e\M\?,Qo + \m\0,Qo).

Выбирая А > а> + § + Сх£ + Цз и учитывая,что ||v¿||0,go > IMI2,Qá, ||v¿||2,^ > |M\0,Qá, а норма llalli эквивалентна ||w|\0 приходим к неравенству (1.1). Теорема 1 доказана.

Следствие. Если ||/|\2,q0 = 0(ек) и £||и|\1,q0 + |М|2,q0 = 0(ет), где т < к, то в условиях теоремы, 1

elMlU + IMI0,q4 = 0(ек).

Доказательство.

Действительно, последовательно применяя неравенство (1.1) к областям вида ( п = 1, 2,..., через конечное число шагов получим требуемую оценку. Следствие доказано.

Теорема 1 показывает, что построение АР можно локализовать.

2. Внешнее разложение

Из предположения о порядке касания характеристик кривой 5о следует, что уравнение Г^0 можно привести к виду

с((Х\,Х2) = х2.

Исходя из этого предположения в области (о, введем переменные, выпрямляющие Г^0:

г\ = с1(х1,х2) — х33, г2 = х3, г3 = 8(х\,х2), (2.1)

где з(х\, х2) — координата на о ^ в ^

Отображение к : х ^ г является диффеоморфизмом, при этом

(о ^ш(0, (¿о) = [г : 0 <г 1 + < с(о, 12^21 < \fd~o, 0 ^ ¿з 1}, Г^0 ^ 7о = и : ^ = 0, |Z21 ^ у/ССО, 0 ^ ^з 01}, 7± = и е 7o, ¿2 ^ 0}.

Если положить и о к 1 = у(г, е), (Аеи) о к 1 = В£у, то задача (0,1)—(0,2) запишется в виде В ¿о = еВ(г ,Б)ь(г, е) + Во( г ,Б)ь(г, е) = д(г), г€ш(0,^), (2.2)

^ = у(0, г2, гз) = 0, (2.3)

где г = (г1, г2, гз), И = (И1, И2, Б3), = В (г ,Б) = ^ Ъа(г)Оа — эллиптический

^ !«\<2

д.о, Во(г,Б) = 2Х2Вг —

Формальное асимптотическое решение (ФАР) задачи (2,2)—(2,3) ищется в виде

V = £ £кьк (г). (2.4)

~к„ к=0

Относительно ьк (г) получим рекуррентную систему уравнений

I

ВоУо = (2г2Иг — Б2)Уо(г) = д(г), ад|7о = 0, Воьк = —Вук-1, ьк|7- = 0.

(2.5)

Решения этой системы выписываются в явном виде

22

Уо(г) = / до(^ + — Ь2^, г:з)сИ,

22

ьк(г) = — / Вьк-1(И, к = 1, 2,

(26)

Из (2,6) видно, что ь0(г) непрерывна при г € ш(0, й0), то те производные по г1, г2 будут иметь особенности при г = — 0, Исследуем аспмптотику ьк(г) при

г = у/г1 + г% — 0.

Лемма 2.1. Функции ук (г), к = 0,1, 2,..., представимы, в виде

ук (г) = г1-3к<рк (г,в, гз), (2.7)

где г =^+4, В = 22, По = [0, лЯо] х [—1, 0) х (0,1) х [0, ^ щ (г,в, гз) € С^Щ,)

и

при т —У 0 имеют асимптотику

ук(г) - к ^ ^к,т(0, ?з)гт, (2.8)

т=0

где <рк,т(в, гз) € С*( 1о х [0, 81]), 1о = [—1,1] \ {0}. Доказательство. По индукции при к = 0

22 У

Ьо(г) = — ! д(г2 — г, гз)<И = —г J д(г2(1 — £2),г£, гз) ^ = гщ(г, в, гз), - -1

где ро = — ! д(г2(1 — С2),гС, гз) € С* (По). -1

Посредством Ур, р < 0 — целое, обозначим класс функций ур(г), представимых в виде Ър(г) = гр'рр(г, в, гз), где рр(г, в, гз) € С*(По), Функции из Ур обладают следующими свойствами:

1° ур(г) €Ур — Б^р € Ур-2, В^Ьр € Ур-2, Издр € Ур:, 2° Ур' С Ур, при р' > р.

Пусть ьт(г) Е У-3т, при 1 ^ т ^ к — 1. Докажем, что Ук(г) Е У-3к.

ук(г)= I Вьк-1СИ = ^ 1Ьа(г2 — г2, г, гз)Ваук-1^ =

¿3

= ^ / Ьа(г2 — г2,г, г3) г-3кфк-г( г,-, ¿1 = г1-3кщ (г, в, г3), |«К2 — \ Г /

в

Щ = ^ [ Ьа(г 2(1 — е),гС, гз)фк-1( г,г, гз)% Е С™ (Щ,). N<2 -1

Асимптотика (2,8) получается из (2,7) при разложении щ(т,9,г 1) в ряд Тейлора при г = 0.

Лемма 2,1 доказана.

Следствие. Функции Ук (г) на принимают значения

"к= Ук(0, , гз) = z12-3kщ^(г2, гз), ^ > 0, (2.9)

где х2, г3) — гладкие функции, и при х2 ^ +0 ьк(¿0|7+ разлагаются, в асимптотические ряды,

то

- г21-3* гз) ф. (2.10)

т=0

Невязки на устраняются с помощью регулярного пограничного слоя в виде ФАР

то

У(1, %2, г-з, е) = ^ екук(I, ^ гз), (2.11)

к=0

где t = £-1z1, ук(t, z2, z3) ^ 0 при t ^ x>.

Чтобы выписать уравнения для нахождения у к (t, z2, z3), необходимо расщепить оператор В£ то степеням е. Представляя В£ в виде

В£ = £-1 [b2,о,о(еt, z')D2t + 2Z3D2] + (qi(et, z', D') - D2) + £q2(et, z', D'),

где z' = (z2, z3), D' = (D2, D3), q1(et, z', D') — оператор первого порядка, q2(£t, z', D') — д.о. второго порядка.

Разлагая коэффициенты В£ в ряд Тейлора при е = 0, получим

то

В£ = £-1Мо + ^ £кМк+1, (212)

к=0

где

Мо = b2,0,0(0, z')D¿ + 2Z2Dt, М1 = q1(0, z', D')Dt - D2, Мк = t%o,o(0, z')D¡ + tk-1q[k-1)(0, z', D')Dt + tk-2q2(0, z', D'). Используя (2,11), (2,12) для yk(t, z'), получим систему о.д.у. по переменной t:

Моуо = (jD2 + 2z2Dt) Уо = 0, Уо(0, z') = -z'), Z3 > 0, уо ^ 0, t^

к

Мо Ук = Y¿ МуУк-з, Ук (0,z') = - Vo (0,z'), Z2 > 0, Ук ^ 0, t^

3 = 1

где \ = b2,o,o(0,z') > 0.

Решения этой системы выписываются в явном виде

'yo(t, z ') = - Vo(0,z ')е-2ÁZ2t, Ук (t ,z ') = e-2Xz2tP2k (t ,Z'),

(2.13)

(2.14)

АСИМПТОТИКА ПО ПАРАМЕТРУ

143

где Р2к(Ь, У) — полиномы по Ь степени 2к. Выясним поведение ук(Ь, г2, гз) при г2 — 0, Лемма 2.2. Функции ук(Ь, х2, х-з) представимы, в виде

Ук(I, *2, гз) = г12~зке~ХаР2к(а, гз), (2.15)

где а = 2г2Ь, Р2к(а, х2, гз) — полипомы, по а порядка 2к, коэффициенты, которых — гладкие функции от (х2, гз). При х2 — +0 ук(Ь, х2, гз) разлагаются, в асимптотические ряды

ук(I, Х2, гз) - г12~зке~Хо^ Р2к+т(а, гз)г?, (2.16)

т=0

где А0 = Р2к+т(а, гз) — полипом,ы, по а порядка 2к + т с гладкими коэффици-

ентам,и от гз € [0, Доказательство.

к = 0

Уо(I, г') = — е~2Х23ад(0, Х2, гз) = ^е¿2, гз), гз > 0,

где Q0(х2, гз) = —<£+(г2, гз) то следствию го леммы 2,1, Далее, через Ур-т обозначим класс функций вида

УР,т^, г2, гзз) = г1-ре~ХаРт(а, Х2, гз), где р > 1 — целое, Рт(а, г2, гз) — полиномы порядка т, коэффициенты которых — гладкие функции от (г2, гз). Имеют место следующие свойства Ур-т: 1° УР',т' С Ур-т при р' > р, т ^ т, 2° если уР-т(1, г2, гз) € ТО И^р

®2 Ур Озз УР

&Ур,т € Уp—j,m+j•

Предполагая, что yj(Ь,х') € при 1 ^ ] ^ к — 1, покажем, что ук(Ь,г') € У1-зк>2к-

Положим yj (Ь ,г') = yj (а, г'), 0 ^ j ^ к, тогда ур авнение для г/к (а, г') принимает вид

+ ук = — г-2 ^ Mjукук(0, г') = — г12~зкфк(г'), =1

Ук (а, г') — 0, а —

Используя предположения индукции, свойства У, 0 ^ к— 1 и вид оператора Mj

к

(2,12), нетрудно показать, что г-2 Mjук^ € У-зк>2к-1, откуда следует, что решение за-

2 =1 - - -

дачи для имеет вид: / = г^~зкР2к(а, г')е~Ха и, тем самым, (2,15) доказана. Представляя Ук в виде

ук = г!~зке~Хо° [е(Хо-Х)°Рк(а, ^ гз)]

2=0

Лемма 2,2 доказана.

Рассмотрим и-чаетичные суммы рядов (2,4) и (2,11)

и положим

где

Уп(г, е) = ^ ук(г)£к, Уп&, г2, гз, е) = ^ ук^, ^, гз)£к к=о к=о

ип(г, е) = Уп(г, е) +Уп(1, ^ е)Х , (2.17)

у0, 1

— гладкая срезающая функция.

1, > 2 хм = -

Лемма 2.3. Функция ип(г, е) является, ФАР задачи, (2.2), (2.3) в области ш(еР, ¿0) = {г : е^ ^ г ^ ¿0, 0 ^ г3 ^ в2}, где 0 < @ < 3, с точностью 0(е(1-3^Уп). Доказательство.

В силу (2,5) и (2,13) в области , ¿0)

В£ип = д(г) + Е^(г, е), ип(0, *з, е) = 0, |> ^,

п / п \ / п \

Е м]Уп+к-Л + [в£ - £ ej-lMj\ .п.

k=l \j=k J \ j=0 J

^ ^ ~ ^ ^ (\ ^ а ^ 1

где Rn(z, е) = еп+1Вьп + е^еМ Е MjVn+k-j + [ В£ - £ £j-lMA Yr

Из лемм 2,1 и 2,2 следует, что при г > е13, z2 > е13, 0 < ß < 3

|дп(Z, Е)1 €С

где постоянная Сп е зависит от е. Лемма 2,3 доказана.

(г3) + (z3)

€ 2Сп£(l-3ß)ri,

3. Внутреннее разложение Для построения ФАР в окрестности линии Б0 введем растянутые переменные

¿1 = е2/3С, ¿2 = £1/3г, гз = (3.1) Пусть к : г ^ (£,т, г3). Положим

уо к = т(£, т, гз, е), (В£у) о к£ = С£ т, до к£ = ,т, гз, е), (3.2)

( , , 3)

С£т = к, т(0,т, г3, е) = 0. (3.3) Расщепление оператора С£ по степеням е имеет вид

к-1

Се = £ e---Lk, (33.4)

k=0

где

Lo = \-lDl + 2tDs - DT, Lk = 1DIb2fi,o(ß2^,ßr, Z3)\ß=oD'l+

+ ,ßT, z3)ln=oDD + ...

,

,

ФАР задачи (3,3) ищем в виде

то

W = ^ s^Wk(с,т, Z3). (3.5)

k =o

то -

Разлагая h(£,т, z3, е) то степеням е, находим, что h = h k (£,т, z3)eз, где

k =o

hk(£,т, z3) = k.Dßd(ß2£,ßT, z3)lß=0. Далее стандартным образом получим систему параболических уравнений для нахождения wk (£ ,т, z3) в области R+ х [0, SjJ = {0 <f< то, |г| < то, 0 € z3 € sl}:

(Lowo = (\-lD\ + 2tD? - Dt)wo = ho,

) k (3 6)

| LoWk +Y,LjWk-j = hk, k=l, 2,... У j=l

с граничными условиями

тк (0,т, гзз) = 0, к = 0,1,.... (3.7)

Чтобы выяснить, при каких дополнительных условиях следует рассматривать решения (3,6)—(3,7), воспользуемся условиями согласования ([2]), Обозначим

п п

Уп(зп) = £ у(?п)(фк, УПзп) = £ у™(г, г2, гз), (3.8)

к=о к=о

где у^ — 3п-чаетичные суммы асимптотических рядов (2,4), (2,16) функций (г), Ук(Ь, г2, гз) соответственно. Пусть

ипзп)(г, в) = Упзп)(г, е)+Упзп)(1, ^, гз)х (^) , (3.9)

Х( )

1, 2

{

Х(Т) | 0, г^ 1

и Сп(г, е) = Ип(г, е) — и^зп) (х, е).

Из лемм 2,1 и 2,2, с учетом разложений (2,4), (2,16), следует, что в области , е^) = {г1 ^ г ^ где 0 < р < 0 < имеют место оценки

Сп(г, е) = 0(^(п+1)), ВЕСп{г, е) = 0(^п). Из этих оценок и леммы 2,3 получаем оценку в области ш(е@, е^)

В£и(зп) — д(г) = 0(^оп), (3.10)

где ро = шт(и, 1 — 30),

( , , з)

ипзп) о К£ = шпзп)(£,т, гзз, е). (3.11)

Здесь

Жзп) = £4п) к ,Г, ^ ^,

к=о

п / п \

™{к] = Е Рк+1-зт'^гп(в 1, гз) + е-ХоаЧ ^ тк+1-зтР2к+т(а1, гз)\ х(т), т=о \т=о /

где р = + т2, 01 = -р,а1 = 2£т.

При этом = 0 ПРИ т = 0, что следует из явных формул и леммы 2,3,

Формула (3,11) и есть условие согласования внешнего и внутреннего разложений. Это означает, что решения системы уравнений (3,6), (3,7) следует искать в классе функций, растущих при р — + го не быстрее степени р и имеющих при р — ж асимптотику вида

(п)

Перепишем (3,10) в переменных (£,т, гз)\

В£-ипзп) о К£ — д(г) о К£ = С^ — , г, е) = (Ьо'ш™ — +

+£1/з (Ьо1(п) + Ь1 ыоп) — ь) + ••• +

+£ к/з(^о + ^ — ^ + ••• = 0(£»оп). (3.12)

При отображении

К£ : ш(£0, е1) — и' (£^-1/з, £1-1/3) = {(е ,т, гз)1 £0-1/3 <р< £1-1/3, гз € [0, ^]}. Из (3,12) следует, что в области и'

Ьо топ) — Но = 0(£1оп), Ьоы[п) + — Нк = 0(£1оп-к/3), к = 1, 2,...,^. (3.13)

j=l

Эти соотношения при р — го эквивалентны следующим

ЬоЩ — Но = 0(р-11п), Ь0т(п + ^ ЬА% — Нк = 0(р-11п+12к), к = 1, 2,...,къ (3.14)

j=l

Устремляя п — го в (3,14), получим

к

Ьо1о — Но = 0(р-*), Ьо$к + ^Ь3€ик-3 — Нк = 0(р-*), к = 1, 2,..., (3.15)

=1

где

1 = ^ рк+1-3щ,3(в 1, гзз) + х(е)е-Хоа1 ^тк+1-3 Р^К *зз) (3.16)

=о =о

— формальные асимптотические ряды.

Лемма 3.1. Существуют единственные решения системы уравнений (3.6) с граничными условиям,и (3.7) 1к (^ ,т, г3) € С*(К+ х [0, в-]]), которые при р — го разлагаются, в асимптотические ряды (3.16), 1к(^, т, г3) — ъик(£, т, г3). Доказательство.

Обозначим через 1Уа-к (^ ,т, г3) гладкие функции, которые при р — го разлагаются в асимптотические ряды (3,16) и равны нулю при £ = 0, 1а,к — 1а-к(0, т, г3) = 0. Известно, что такие функции существуют. Положим

1а, т, гз) = 1а,ка, г, гз) + гк(£, т, гз), к = 0,1,.... В силу (3,6) и (3,7) получим

к

ЬоГо = фо, Ьо гк + ^2Ьjr■k-j = фк, Го(0,т, гз) = гк (0,т, гз) = 0, к = 1, 2,..., =1

к

где фо = Но — Ьо1а,о, фк = ^ Ьjrk-j — гладкие функции, убывающие вместе с произ-' j=о " " _

водными быстрее любой степени р-1. Класс таких функций обозначим Б(К+ х [0, 51]).

Рассмотрим задачу

" ЬоКо = ф(£ ,т, гз), По(0,т, гз) = 0,

где ф € в(К+ х [0, 51]), В [2] доказана однозначная разрешимость этой задачи в классе Б в случае, когда Ьо и ф те зависят от г3. Очевидно, что этот результат справедлив и

Ьо ф з

к = 0 к Лемма 3,1 доказана, 3 п

з п

Жзп = ^ (£,т, гз). (3.17)

к=о

Лемма 3.2. Ряд (3.17) является, ФАР задачи (2.2),(2.3) в области

1

з •

и(0, £^) = {г1 0 ^ г ^ г3 € [0, 81]} с точностью 0(е1п), где 0 < р < 1

Доказательство.

Имеем в силу (3,6)

B£W3n = C£W3n = h + [Ri,n(z, e) + R,n(z, e) + R3,n(z, e)],

где

Р1,п(г, е)= ("¡Тек/3кк - П , \к=0 / 3п / 3п \

ЯА*,£) =£П ^£к/3 ,

к=1 \у=к )

Пз,п{*, £) = [Се - ^ е^Ьк ) №зп. к =0

Используя асимптотические разложения для (^,т, г3) и вид операторов Ьк, нетрудно видеть, что каждое слагаемое в квадратных скобках не превосходит Сп£пр3п = Спгп ^ Сп£^п, где постоянная Сга не зависит от е. Отсюда следует, что в области ш(0, £м)

ВМзп = д(г) + Р£(г, е), ге й(0, £^), (3.18)

где , е) = 0(£^п). Лемма 3,2 доказана.

Образуем составное асимптотическое разложение ([2])

Уа,п = ип(г, е) + Шзп(£,т, ^ е) - и^3п)(г, е). (3.19)

Теорема 2. Составное асимптотическое разложение (3.19) является равномерным асимптотическим решением задачи, (2.2)—(2.3) в области ш(0, й0) с точностью 0(£^°п). Доказательство.

В силу лемм 2,3, 3,2 и формулы (3,10) имеем

(яп (г, £), ге й(£V ,йо) В£(у - Уа,п) = Кп(г, е) = I , е), г е й(£4)

[-Р^ (г, £) + Р°п (г, £), ге ш(£ ?, £^)

где Рп(г, £) = 0(£^°п). Из теоремы 1 следует, что

Ф - УаЛм04о) + Ь - Уа,п\\2оМо4о) ^ С^.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук, 12:5 (1957). С. 3122.

2. Ильин A.M. Согласование асимптотических разложений кра,евы,х задач. — М.: Наука, 1989.-336с.

3. Леликова Е.Ф. Об асимптотике решения эллиптического уравнения второго порядка, с малым параметром при старших производных // Дифференц. уравнения, 12:10 (1976). С. 18521865.

Юрий Закирович Шайгарданов, Институт математики с ВЦ УНЦ РАН, ул. Чернышевского, 112, 450008, г. Уфа, Россия E-mail: [email protected]