Оптимальное граничное управление в области с малой полостью Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.9

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ОБЛАСТИ

С МАЛОЙ ПОЛОСТЬЮ

А.Р. ДАНИЛИН

Аннотация. Статья посвящена исследованию асимптотики решения задачи оптимального граничного управления [1] в области с малой полостью. Построение асимптотики краевой задачи для эллиптического оператора в области с малой полостью рассмотрено в [2], а асимптотика распределенного управления в области с малой полостью — в [3]. Асимптотика граничного управления для оператора с малым коэффициентом при старшей производной рассматривалась в [4], [5]. Другие задачи управления решениями краевых задач оптимального управления, содержащих малый параметр, рассмотрены в [6], [7].

Ключевые слова:асимптотика, граничное управление, метод согласования, краевые задачи, системы уравнений в частных производных.

1. Постановка задачи

В двусвязной ограниченной области QS:=Q \ еш С Е3 (О € С Q) с гладкой границей Ге = Г Uej := dQ Uedu) (Qs — гладкое многообразие с краем) рассматривается следующая задача оптимального управления [1, глава 2, соотношения (2.41), (2.9)]

Aze = f{x), х € € Я1^),

dz£ , , , л „ (1-1)

-—= д(х) +ие(х), х£Те, дпА

и (£ Ые — выпуклое и замкнутое множество в L/2(Qe), (1-2)

J(u) := \\z£ - zd\\2e + z/-1|||-u£|||g ->• inf, (1.3)

где A = -V • (A3x3(x) ■ V) + a0(x), A3x3(x) = (а^(х)), то есть

3 д / , „ dz

Az:=-E

ij=l

/,а0)ачєГ(О),9еГ(Г£), (1.4)

дх дх , . / гті , г\

ау — соБ(п,Хі) = V*- (А3х3«) - (1.5)

і,з=і 1

конормальная производная, определяемая оператором А, сов(п,Хі) — г-й направляющий косинус внешней нормали п к границе Гє области ПЄ1 А^х3 — транспонированная матрица Азхз, и — положительная константа, а ||-||є и |||-|||є — нормы в пространстве Ь2(іїє) и Ьг(Ге) соответственно.

A.R. Danilin, Optimal boundary control in a small concave domain .

© Данилин A.P. 2012.

Работа поддержана РФФИ (грант 11-01-00679-а), ФЦП 02.740.11.0612 и Программой Президиума РАН "Фундаментальные проблемы нелинейной динамики в математике и физике "(проект 12-П-1-1009).

Поступила 15 апреля 2012 г.

Относительно коэффициентов оператора А кроме этого предполагается следующее:

3«>0\/хеО\/(еК3

з 3

^ а(ж)ч&& ао(х) ^ а > 0 (1-6)

І, j=l І= 1

ац(0) = 1, (%•(()) = 0 (г ф ,?').

В дальнейшем скалярные произведения в Ь2{£1Є) и Ь2(ТЄ) будем обозначать через (•, -)є и (•, -)є, норму в Н1(П£) — через || • ||Є)і, а нормы и скалярные произведения в Ь2(П) и ^2(Г) будем обозначать через || • ||о, (-,-)о и III • Шсь (•) ')о соответственно.

В [1, глава 2, п. 2.4] доказано, что задача (1.1) — (1-3) имеет единственное решение.

Мы будем рассматривать эту задачу при следующих предположениях:

9

Є-/

= 0,

иє=иє{ 1), где иє(г) :={и Є Ь2(ТЄ) : и = 0, |||«|||0 ^ г},

(1.7)

Є7

то есть управление процессом происходит только через внешнюю границу.

Нас будет интересовать асимптотическое разложение ге и и£ при є —>■ 0.

2. Определяющие соотношения

Как показано в [1, глава 2, п. 2.4], единственное решение задачи (1.1) — (1.3) пара ге и ие характеризуется следующими условиями: существует рє Є Н1(0,є) такое, что

= f(x),

д z,

А*рє = z£- zd, x Є Q£

дпА

= g(x) + иє(х),

дре

дпА*

= 0,

x Є Г£

УуЕЫ {pe + v 1u£,v — u£)^ 0, где оператор А* — формально сопряженный к А, то есть

A*:=-V-(Afx3(x)-V)+ao(x).

Лемма 1. Условие (2.2) дл.яЫе = U£(r) эквивалентно следующему

З Л Є (0; г/] : (иє(-) = -Хрє(-) р) Л

л(л|||ре|||о < г) Л ((г/ - Л) • (г - ЛєІІІРєІІІо) = о).

Доказательство проводится аналогично доказательству леммы 1 из [4]. ■ С учетом (2.3) система (2.1) принимает вид

Aze = f{x), A*Pe = Ze-Zd, X Є Qe,Ze,Pe Є Н1^),

(2.1)

(2.2)

(2.3)

dzs дрє

+ A «Л =»(*), ^

dze _ o дрє

= 0, = 0,

(2.4)

дпА дпА*

(Ае € (0; и]) А (а£11 \р£1110 < 1) А ((г/ - Ае) • (1 - Л£11 \р£\| |0) = о). (2.5)

Отметим, что в силу условий (1.6) граничный оператор д/дпА (д/дпА*) нормален, накрывает оператор А (А*) [8, Глава 2. п. 1.4.], а отображение следа

Нт(П£) Э и) ^ (ьз г , € Ят'1/2(Ге) х Ят“3/2(Ге)

сюръективно.

Действительно, если п — единичный вектор нормали к Ге, то в силу (1.5)

п

■ (А^х3 -п) =п - (Азхз -п) ^ а> О,

Hm(Vte) э w w = ip

что и означает нормальность этого граничного оператора.

Пусть теперь 0 ф т — касательный вектор кГ£ в точке х Є Гє, п — единичный вектор нормали кГ£ в точке х Є Гє, (З ф 0, А3х3 • п = т\ + /Зігг, где т\ касательный вектор кГ£в точке х Є Гє. Тогда многочлен

(т + fit ■ п) ■ (А^х3п) = т ■ Ті + (3 ■ Pit ОТ t имеет ОТЛИЧНЫЙ ОТ нуля коэффициент при І, поскольку /Зі = гг * (А^х3п). Поэтому его корень вещественен. Таким образом этот многочлен не равен нулю по модулю многочлена (t — ti), где 11 — комплексный корень многочлена второго порядка, порожденного символом оператора А и вектором т + fit ■ п.

Наконец, покажем для произвольных ір Є Нт~1/2(ТЄ) и ф Є Нт~3/2(ТЄ) разрешимость задачи

dw ,

г£ И дпА

В силу определения (1.5) и представления А'3х3(х) ■ п(х) = т\(х) + fii(x)n(x) получим, что dw/riA = Vw-Ti(x)+fii(x)dw/n. Но Vw-ti есть производная по касательному вектору ті, поэтому она выражается через ip: Vw-ti = В (ip). Тогда dw/n = /3f1 (Ow/па ~ В (ip)) = /3f1 (ф — В (ip)). Но в силу теоремы о следах [8, Глава 1, теорема 8.3] отображение

Нт(Пє) э w ^ (w г , Є Нт~1/2(Те) х Нт~3/2(ТЄ)

есть сюръекция.

В силу свойств эллиптических уравнений из условия (1.6) следует, что

Vme N ze,Pe Є Hm(Qe),

и, следовательно, z£,p£ Є С°°(ПЄ).

Отметим, что краевая задача (2.4) при каждом фиксированном Ає по определению эквивалентна соотношениям

Уір,ф Є Hl(Qe)

(f,<p) = 7rs(Vzs,Vip) + (a0zs,ip)s - (g - Хєрє,ір)о, (2.6)

(Ze-Zd^) = ттє(Уф, Vp£) + (а0рє,ф)е, где

( i\ ST ( dLp дФ\

і,3 = 1 " 1

В дальнейшем мы будем постоянно пользоваться тем фактом, что если Пі I) ^2) то определено непрерывное вложение Нт(Пі) ■—> Нт(ГІ2) — "сужение на Пг"- Мы не будем различать сам элемент из Нт(Пі) и его сужение на 0,2- Отметим также, что норма этого оператора вложения равна 1.

Лемма 2. Пусть гє, рє и Хє, — решение задачи (2.4), (2.5). Тогда

І І^ЄІ Іє “Ь I I \Рє\ I 10 = (/) Рє)є + (%СІ) %є)є + (<7) Рє)о (2-7)

Ые,1,\\Ре\\е,1 = 0(\\П\е + ||^||е + ||ЫНо),е ->■ 0. (2.8)

Доказательство. Пусть г£ — решение задачи (1.1) при и = 0. Тогда по определению %£ получим, что \\г£ — 2^||е ^ \\%£ — -г^Це, откуда следует, что

\\ZeWe ^ ||1£||£ + 2||г(г||е. (2.9)

О

Поскольку удовлетворяет (1.1) при и = 0, то

(/) %е)е — %е)£ — (V ) %е) “Ь ) % г) £ {,9 ч )

что с учетом (1.6) дает

а||;У£2д ^||/||Н|Уе + ||Ы11о-ШУ|о. (2.Ю)

Поскольку Н3(Г) при в > 0 вложено в Ь2(Г) плотно и непрерывно, то в силу теоремы о следах (см [8, Глава 1, теорема 8.3]) оператор взятия следа является непрерывным как оператор из Нт(&) в Ь2(Т) при т ^ 1, то есть

Ж > 0V-г € Н1(П) |||-г|||о ^ ^Н-гЦя1^))

поэтому в силу (2.10)

1|У,.1=0(||Я|« + |||9|||с,).

В силу (2.12) и (2.9) получим, что

1Ы1, = о(11Яи + 1Ы1, + НЫ11о).

Теперь, положив в (2.6) = г£ и ф = р£, получим

«НЫНвД ^ и,2е)е + (д,г£)О - (\£ре,г£)о,

«НЫНед < ('Ре,г£)£ - (га,ре)е.

Из последнего неравенства с учетом (2.13) получим, что

||Рв1к1 = 0(||/||в + ||^||в + НЫ11о).

(2.11)

(2.12)

(2.13)

(2.14)

(2.15)

Теперь из первого соотношения в (2.14) и соотношения (2.15) с использованием неравенства (2.11) и ограниченности Ае получим, что

1кв1к1 = 0(||/||в + ||^||в + ||ЫНо).

Наконец, взяв в (2.6) = ре и ф = г£ и вычтя из первого получившегося равенства второе,

получим соотношение (2.7). ■

Теперь, используя априорные оценки (2.8), мы получим аналогичные оценки для следующей краевой задачи более общего вида по сравнению с (2.4)

Аг = Л(ж), А*р-г = /2(х), жбП^^реЯ1^),

дг

дпА

дг

+ А р = д 1,г(ж), = 5,1,7(^)1

др

дпА*

др

= 92,г(х), хеТ = д2,1(х), хе £7,

(2.16)

ч дпА ’ дпА

где А — некоторая положительна константа, fi € Ь2(0,е), д^г € Н1/2(Т) и дгГ/(х) € Н1/2(ег)). Лемма 3. Пусть г и р — решение задачи (2.16). Тогда

1Икъ1Нк1 = 0(||/1||е + ||/2||е + |||51,г|||о + |||5,1,г|||о+

+ 11 |5'1,Г 11 |е7 + |||5,1,г|||е7),е —> 0,

где ||| • 11|е7 — норма в пространстве Ь2(е^).

Доказательство. Пусть г и р — решения краевых задач

Аг = 0, А*р = 0, ж € Г2е,

дг „ др

(2.17)

дпА

дг

0,

дпл*

др

= 92,г(х), ж € Г, = д2г((х), х € £7.

ч дпл ’ дпл*

Отметим, что они разрешимы единственным образом и для них справедливы оценки [9], [8]

Тогда функции г : = г — г и р:= г — р удовлетворяют следующей задаче

Ах =/\(х), А*р — г = /2(х) + х(х), х Є

дг + Хр = ді,г(х) - Хр(х), т^~ = 0,

дпА

дх

дпА*

др

= 0,

ж Є Г

х Є £7,

<9пд <9пд

Поскольку эта задача совпадает с задачей (2.4), (2.5) при ^ = /2 +

$ = 51,г ~ Хр, V > Л и г = А|||р]||о, то в силу (2.8) получим

Р|е,ъ Ш\е,1 = 0(т\е + ||/2 + г\\е + II|51)7 - Хр \11о),£ у 0.

Теперь осталось применить неравенство треугольника для норм и соотношение (2.18). ■

Теорема 1. Задача (2.16) разрешима единственным образом при любых € Ь2{£1е), дг,г € Н1/2(Т) и дг,7 € Н1/2{е7) (г = 1,2) и её решение г,р€ Н2(Пе).

При этом, если € С°°(0,)), <&, г € С00^) и д^П € С00(егу) (г = 1,2), то при всех те N

г,реНт(П£).

Доказательство. Расссмотрим отображение гильбертова пространства

Е :=Н2(Пе)2 в гильбертово пространство О := Ь2{&£)2 х Я1/2^)2, определяемое задачей (2.16),

А(г,р) := (^Аг, А*р - г,

+ Л р

др дх др

г’ дПА* г’ дПА £1 дпА*

Є7

Пусть Е := Н1(0,£)2. Тогда Е компактно вложено в Е. Покажем, что

ЗС > 0Уг,р е Н2(Пе) \\(г,р)\\Е < С ■ (\\А(г,р)\\с + ||(2,р)||*’). В силу п.1 теоремы 5.1 из [8, Глава 2, п. 5] 3 С\ > 0:

\\(г,р)\\Е < Мнцп£) + ||р||н2(пе) < Сг(\\Аг\\£ + \\А*р - г\\е + |И|е+

(2.19)

+

дг

дпА

+ Л р

+ 'М1ННя1/2(г£) +

др

дпА*

Я1/2(Ге)

+ ІИІм + ІИІм) •

Н1/2(Ге)

Но в силу теоремы о следах З С2 > 0:

Н1г111я1/2(г£) ^ С^НИНєд, НЬ1Ня1/2(г£) ^ СгІІІРІНєД)

что и завершает доказательство неравенства (2.19).

Таким образом, по лемме Питре [10], [8, Глава 2, лемма 5.1] образ оператора А замкнут, а его ядро конечномерно.

Что касается ядра оператора А, то в силу априорных оценок (2.17) оно состоит из одного нуля, то есть оператор А инъективен.

Покажем, что оператор сюръективен.

Пусть /* Є £2(Пє), 5*г Є Я_1/2(Г) и д*7 Є Я-1/2(є7) (і = 1,2) таковы, что М и,ь Є Я2(Оє)

0 = (Аи, /і)є + (А*V — и, /з)є + Л'и,5,і,г^)0+

„ \ / ди * \ . / ду

") 52,7

+

/ гл; * \ / аи * \ / * \

\в^'92'Г/о + \а^’91'-'/„ + \ШГ.'д2-у,

(2.20)

’ /о \<9пд /£7 \дПА* ■ ■ / £7

В доказательстве этой теоремы через (-)о и (-)£7 обозначены билинейные формы, задающие двойственность между пространствами Я*/2(Г) и Я_1/2(Г), Н1/2(е7) и Н~1/2(е7) соответственно.

Отметим, что если д*г € £2(Г) и д* € £2 (£7), то эти билинейные формы совпадают со скалярным произведением в Ьг(Г) и ^(е7) соответственно, и, тем самым, не противоречат предыдущему использованию этих обозначений.

Наша цель — доказать равенства /* = 0, д*г = 0 и д* = 0 (г = 1,2), которые в силу замкнутости образа оператора А дадут сюръективность этого оператора.

В силу независимости и и у соотношение (2.20) распадается на два

УиєН2(Пє) 0 = (Аи,Г1)е-(и,^)е + ^,д1г)о + ^,д11)£ , (2.21)

,/ дь * \

* \ / ' 9-й

^)о + < ><9п,4 ’ 01,7

/ <9-и \

0 + \а.и. * >52,Г )о+

(2.22)

Соотношение (2.21) показывает, что

Гі)є++=(и> І2)є Тем самым по п. 2 теоремы 5.1 из [8, Глава 2, п. 5], примененной к оператору и >—> (Аи, получим, что

/Г Є Н2Ш, д1г Є Я3/2(Г), д*1г/ Є Н1/2^).

Теперь воспользуемся тем, что д\ г Є Я3/2(Г). Поскольку отображение следа

Нт(Пє) э IV ^ (ьз , Є Ят'1/2(Ге) х Ят“3/2(Ге)

да*

является непрерывным и сюръективным отображением, найдется д\ Є Н3(ПЄ): —— = д\ г на Г

дпд

дд\

= 0 на Є7- Тогда в силу формулы Грина [1, Глава 1, п.3.4]

ди \

дпА,У/ є ' \“’ дПА*

дпА

и,у € Я1(0£) =>(Аи, у)£ = (и,А*у)е - + (и> ;^~)£ (2-23)

получим равенства

= (£'*’), = + (* £:),■

Таким образом, соотношение (2.22) можно записать в виде

(А*у, /2 + Хд1) + >92,г + ^1)0 + (дпА* ’^’7 + = /^^£‘

Поскольку € Я1(Ое), то снова, применяя п. 2 теоремы 5.1 из [8, Глава 2, п. 5] получим, что

/2* + А^* € Н3(П£), д*2>г + АЛ* € Я5/2(Г), д*2>у + А^ € Я1/2^).

Это с учетом теоремы о следах дает:

/2* € Я3(0£), 4Г € Я5/2(Г), 52*)7 € Я1/2^).

О

Теперь, взяв в (2.21), (2.22) и, V € Н2(Пе), получим, что 0 = (и, А*— /|)е и 0 = (г^А/!), откуда

О

в силу плотности Н2(П£) в Ь2(Г]е) следуют равенства

Л*Л* = 0, А/2* = 0, жео, (2.24)

Применив в (2.21) и (2.22) формулу Грина (2.23) и учтя равенства (2.24), получим, что

*»<=я»(п.) о = (|^;.г-/;)0+(!^9;.7 -/;)„+

9П

+ (и

дпА*/о ’

УуєН2(П£) О = ^,Л51*г + ^)о + (^:>52)г-/2)0+

, / дЯ \ , /

\ ’дгы/л (вп^’112'1 ~

откуда в силу сюръективиости отображения следа получим

яр

01,Г - /Г = °> на Г> 01,7 “ Л* на

(2.25)

, * , д/| * ^ 9/| *

Хд1,г + 52,г - /2 на г, —, д2г/ - /2 на £7,

что с учетом равенств (2.24) дает

( А/* = 0, А*/*-/* = О,

9/1 I 'Г О 9П О Г-Г

М = 0> ^ = 0, ж € £7.

<9па*

Заметим, что (/|, Д*) удовлетворяет однородной задаче (2.16), и, тем самым, как уже было показано, /| = /1 = 0. Поэтому в силу (2.25) и все остальные элементы и равны нулю.

Последнее утверждение теоремы есть следствие свойства эллиптических краевых задач для одной неизвестной функции. ■

3. Предельная задача и априорные оценки погрешности приближения

Теперь мы покажем, что предельной для задачи (2.4), (2.5) будет следующая задача

Аг0 = /(ж), А*р0-г0 = г(1, жеО£,2о,р0 еЯ'(О),

дг0 , \ г \ дРо г -г

ХоРО = д{х), 7^- = о, жег

(Ао € (0, и}) А (АоЩроЩо ^ 1^ А — Ао) • (1 — АоЩроЩо) = о). (3.2)

Эта задача совпадает с системой оптимальности для задачи (1.1) — (1-3) в области с "заклее-ной" полостью, то есть с заменой Ое на О и Ые(г) на Ы(г) :={и € Ьг(Г) : ||Н||о ^ г}.

Теорема 2. Пусть Хе, х£ и решение задачи (2.4), (2.5). Тогда при е —> 0

Ае У Ао ; \\%£ %0 | |е,1 ^ 0, | | Ре Ро I |е,1 ^ 0.

Доказательство. Предположим противное. Тогда найдется г) > 0, и последовательность ет такие, что

| Хт Ао | + | \Zfri ^01 |т,1 “Ь 11 Рт Ро\\т,1 ^ 1], (3-3)

где Хт : = Х£т, : = х£т, рт :=Рет, & 11 ■ 11 т, 1 норма в Н (0£т).

Поскольку 0 < Ат ^ V и Ат|||рт|||о ^ 1, то, не ограничивая общности, можно считать, что

Ат—>х, Ат|||рт|||о —>~р, (г/ - А) • (1 - Д) = 0. (3.4)

Если А = 0, то Д = 1 и, значит, |||рт|||о—^оо, что противоречит соотношениям (2.8) и (2.11). Таким образом, и ^ А > 0.

Пусть г, р — решение задачи

Аг = /(ж), А*р-г = гл, жбО£,1,р0еЯ1(О),

® +\р = д(х), ^-=0, «Г.

Эпа дПА*

Отметим, что разрешимость этой задачи при всех правых частях с нужной степенью гладкости получается аналогично тому, как это сделано при доказательстве теоремы 1. При этом в силу условий на / и д справедливы вкючения Ж,р € С00(О).

Тогда 'Zm := zm — Z, Pm '-=Vm — P, удовлетворяют следующей системе

Azm = 0, A*pm -zm = 0, x € Qe

0zm , _ /Т \ \ dp

Apm — (A Arn)Pmi

dnA dzm . dnA

dz

diiA

dnA*

dpm

0,

dp

В силу (2.17) имеем

о +

driA* дПА*

dz

дПА

+

ж € Г,

х € £7.

др

с)па*

(3.5)

гДе III ' HU ~ норма в Ь2(ет7).

Но в | А Хт|'|| \рт111 о —> 0 силу ограниченности { |||Рт|||о } и (3.4) Поскольку z,p £ С°°(П), то

dz

дпА

др

дпА*

= 0(£т).

В силу этого и соотношений (3.5) |||рт|||о —> ||И|о и) тем самым, А, г, р есть решение задачи

(3.1), (3.2), имеющей единственное решение. Поэтому X = Хо, г = го и р = р0, что противоречит (3.3). .

В дальнейшем будем предполагать, что

Ао < V, и, тем самым, АоЩроЩо = 1, (3.6)

то есть в предельной задаче ограничения по существу.

Тогда в силу теоремы 2 при всех достаточно малых £ > 0 условие (2.5) принимает вид

Х£ 111 Ре 11 |о — 1-

Теорема 3. Пусть и£>г — решение задачи (1.1) г € [г\] г2], удовлетворяющее условию |||и£)Г-|||о = г. Тогда

ЭК > 0 3£О > 0 V г, г' € (г\]г2) Уе € (0; £о) \\\и£,г ~ «е,г-'Ц|о ^ К ■ \г — г'

(3.7)

(1.3) с U = Ue(r),

Доказательство. Пусть z£ — решение задачи (1.1) при и = 0, а оператор Fe : Ь2(Т) —> L2(Q£) ставит в соответствие функции и € L2(T) решение задачи (1.1) как функции из Ь2(П). Тогда в точке и£>г достигается минимум функционала \ \z£ + Т£и — Zd\|2 + v~l\\ |и| 11§ на Ы£{т) — замкнутом шаре радиуса г в Ь2(Т). Тогда в силу принципа Лагранжа и£>г есть точка локального минимума и для

||1£ + Т£и - zd||2 + ^-1||М||о + //|||и|||о, /х > 0.

Тем самым найдется ц£>г такое, что F* (z£ + F£u£>r — Zd) + (v~l + 1л£>г)и£>г = 0 или

u£,r = {Г*еГе + (v~l +ii£,r)iylF*£(zd - °z£), (3.8)

где T* : L2(Q£) —>■ L2(T) — оператор, сопряженный к Т£, а I — тождественный оператор в Ь2(Т).

Используя спектральное представление самосопряженного оператора Т*ТЕ (см., например, [11, гл. 4, § 4]) и вводя обозначение w£ :=F*(zd — z£), из (3.8) получим

Ms

u£,r = j (o' + г/-1 + г)”1 dlaw£,

(3-9)

НК)Г|||о = J ((J + V~l + fx£tr)~2 d\\\Iaw£

us 0)

\^£.Г

Ms 2 Q

Г \l^£,r J d I I |/<7'Ш£| | |q

^imo = / 7 ' тут ' Г2

j [(T + V-1 + fji£ir) {cr + IS-1 +fjLey)

(3.10)

ОПТИМАЛЬНОЕ ГРАНИЧНОЕ УПРАВЛЕНИЕ В ОБЛАСТИ С МАЛОЙ

95

(здесь {1а}- ортопроекторы, порождаемые оператором F*Fe : Ь2(Г) —> Ь2(Т), а М£ = +

£ = ||^||2 + £)■

Рассмотрим функцию

F(n):= J (a + v 1 + ji) 2 d\\\Ic

а^є\ 110*

Тогда r2 = |||мЄ)Г|||о ('=='> F(/i£)T.) ^ z/2|||tye|||o, то есть

(3.11)

Отметим, что поскольку (<т + г/ 1 +/х) 2 строго убывает как функция от /х, то Е(-) тоже строго

убывает. Поэтому у Е(-) есть обратная функция. Более того,

м£

№) 1=2

J (a + v 1 + ц) 3 d \\\IC

2ЦІШ

(Мє + u~l + /і)

3 •

(3.12)

Тогда

(3.10)

\иє,г - иєу\\\о ^ иг\ілє,г - І~ієу\-\\\и}є\\\о = V2\\\We\\\o ■ \F 1(r2) — F l{r'2)\ =

= z/2|||«;e|||o • • \r2 — r'2\ = z/2|||«;e|||o • 1 ■ \r2 — r'2\ ^

. 2............ /І I , (Me + v~1 + ]l)3(3-j1)v32r2\r-rl\(Me + v~1 + fxi)3

^ v гує о • Г — r I • г + r I---------------———------- ^

2r\

(здесь [IX :=Е Н^2))-

Оценим Ц^Ц, а следовательно и М£. Пусть |||и|||о ^ 1 и г\=Т£и. Тогда по определению Те

дх дх

Аг = 0, ж € С1£, —— = и, ж € Г —— = 0, ж € £7,

ОПА ОПА

поэтому ЦгЦе = О(|||и|||о) = 0(1). Ш

Теперь докажем основную аппроксимационную теорему

Теорема 4. Пусть функции Д

Є С°°(П), дг, Г)«

С00^),

(3.13)

9га,т € С°°(е7) (г = 1,2), а Лт(£) и Ьт(е) — некоторые функции от е и \т € (0;г/] при всех достаточно малых е > 0. Если

11/г,е,т| |е) || |5*,Г,т| ||0) 1115гг,'у,ггг 11\e~fi |Л'т(^)| — О (б ), £ У 0 а %т, Рт ~ решение задачи

Агт — I(х) Д,£,т(х), х (Е Ое,

А рт гт = Д,£,т(х) дгт

дпА dzm , дпА

+ А трт = д( ж) + gi,r,m(x),

= 9l,j,m(x),

%ті Рт Є Н (Q dp,

dnA*

dpm

= 92,Г,т(х), Ж Є Г = 92a,mix), Ж Є £7)

дпА*

Ат| | |Рт| | |о = 1 Л-т.) (3-14)

то для х£,т-= г£ — гт, Ре,т-=Ре-Рт, Ае,т:=Ае-Ат, гдех£,р£, \£, —решение задачи (2.4), (3.7), справедливы следующие асимптотические оценки:

I |^е,т,| |я2(П£) ) I |Ре,пг| |я2(П£)) = 0{е ), £ > 0,

ІС(П£)

= 0(ет), £ —У 0.

(3.15)

Доказательство. Возьмем zm,i и рт,1 — решение краевой задачи Azm,i = fi,s,m(x), х Є

A Pm,I Zm, 1 = f2,є,mix') dzm, 1

dnA

9zm,l

AmPm,l — 9і,Г,т(х), = 9l,~f,m(x),

Zm,l, Pm,l Є H (£le), 9pm, 1

dnA* 9pm, 1

= 5,2,Г,т(ж), Ж Є Г, = 92,1,ш{х), ХЄЄ-f.

(3.16)

Тогда в силу оценок (2.17), (3.13) и неравенства 0 < Ат ^ и получим, что

\\Zm,l\\e,l, \\Pm,l\\e,l = 0(ет), £ ^ 0.

Теперь пара функций zm,2 ■= zm — zm, 1 и pm>2 '-=рт — Pm, 1 удовлетворяет следующей краевой задаче

^m,2 = f(x), X € Qe,

^4 Pm,2 ^m.,2 = 0, Zm,2iPm,2 € (^e)j

^m’2 + \mPm,2 = g{x), д^т’2 = 0, Ж€Г,

дпА dzm, 2

— 9l,~f,m(x),

dnA* dPm, 2

= 0, ж Є £7.

г-л г? ? о

опА*

Это означает, что функция гт,2(~) есть решение задачи оптимального управления (1.1) и = и£(гт), где Гт = Ат|||рт)2|||о с оптимальным управлением ит = — ^тРт,2\г-Но в силу (3.14) и (3.16)

(1.3) с

'->т,2\\\о — РтдЩо — \п (II\Рт\||о 2 {рт, Рт, 1) 0 + 11 \Рт,1 \ | |о) —

= 1 + 0(ет),

поэтому и Ат|||р2,т||| = 1 + О (ет) при £ —> 0. Отсюда по теореме 3 для

ие = — \£р£\г и ит = —^тР2,т\г с учетом равенства (3.7) получим

\\\ие-ит\\\0 = О{ет), £^0. (3.17)

Рассмотрим теперь функции ге>т,2 '■= %£ — гт,2, 2£>т,2 '■= %£ — гт,2 Они удовлетворяют краевой

задаче

^^£,т,2 0; Ж £ £1£,

А Ре,т,2 %т,2 = 0, %е>т,2,РЕ,т,2 € Н^(£}£),

д%е,т,2

дпА

dze,m,2

дпА

0,

е,гп,2

др,

дпА* дрт, 2 дпА*

= 0, ж Є Г

0, ж Є £7,

Тем самым для любых ф € Н1(П£) справедливы соотношения

0 = 'Ке^%£,т,2-1 ^(р) (й0%£,т,2, ^)е (Ц£ ит,^р)0)

(ге,т,2,Ф) = ^е(Уф,УРе,т,2) + (а0Ре,т,2,'Ф)е-

Положив в этих соотношениях (р = гЕ)т,2 и ф = ре,т,2 с учетом (1.6) и (3.17), получим

|\%е,т,2\|е,1) | |Ре,т,2| |е,1 — О (б ), £ У 0.

(3.18)

Поскольку гє>т = %є,т,2 + ^т,1, & Рє,т = Рє,т,2 + Рт, Ъ ТО ДЛЯ получения окончательных ОЦЄНОК (3.15) для этих функций осталось применить неравенство треугольника для соответствующих норм и уже полученные оценки (3.16) и (3.18), теорему 5.1 из [8, Глава 2, п. 5] и теоремы вложения [12].

Докажем теперь последнюю оставшуюся оценку для величины |Ає>т|.

Из теоремы 2 и соотношения (3.7) следует, что ЛоЩроЩо = 1- Поскольку |||ре|||о —> |||й)|||о при е —> 0, то

НЫНо1 =0(1), е^О. (3.19)

(3 17)

Наконец |Л£>т| • ||Ы||о = 111КРе ~ Атр£\\\о ^ |||КРе ~ Атрт\\\о+ |||Атрт - Хтр£\\\о = 0(ет), что с учетом (3.19) дает окончательно |Ае>т| = 0(ет). я

4. Построение асимптотического разложения Внешнее разложение ищем в виде асимптотических рядов

сю к—2 сю к—2

2(х) = Е£к Е гьАх)1п1 ^(ж) = Е£к Е иьАх)1п1

к—0 1=0 к=0 1=0

с© к—2

(4.1)

л(е) = е&к Е Хк>11пг е, е ^ °>

к=0 1=0

а внутреннее разложение для функций у(£) := г(е£) и ги^) :=р(е£), где £ — внутренняя переменная (х = е£), ищем в виде

сю г—2 сю г—2

ЯО = Е ^ Е е, МО = Е Е 1пт е. (4.2)

i=0 т=0 г=О т=0

Как обычно, считаем, что гк,г = 0, рк,1 = О, Ак,1 = 0 при I > к — 3 и = 0, 1Уг,т = 0 при т > г — 2.

Функции го,о(ж), Ро,о(х) и число Ао,о - это решение предельной задачи (3.1), (3.6) -го(ж), ро(х) и Ао- При этом, как уже отмечалось, го(х),ро(х) € С°°(П).

Для рядов (4.1) и (4.2) должно быть выполнено условие согласования [2]:

V 77-, ТП (Е N Ат£*Ап^х2 = А*п,хАт,{^, •^т,^'^п,х'Р = •^п,х^-т,^'^, (4-3)

где Лп,х (Лт^) — оператор взятия частичной суммы асимптотического разложения функций от е, х (е, £) с точностью до о(еп) (о(ет)), при этом асимптотические разложения функций вида Ъ(х/е) берутся при £ = х/е —> со (а функций вида Ь(е() при ж = е( —> 0).

Функции гк,г(ж), рик,г(ж) и числа Ак,1 являются решениями задач

Ахк,г(ж) =0, ж € П \ О,

А*Рк,1 ~ *к,1 = 0, гк,ирк,1 € С°°(П \ {О}),

+ \)Рк,г(х) = ~^к,1Ро(х) + 9к,1(х), =0 ж € дП,

к ОТ1А ОТЬд*

к-1

где дк,г(х) = - ЕЕ \3>аРк-з,1-<т(х) - полностью определяются решениями предыдущих уравне-

8=1 <Т

ний (здесь а : з — 3 > <т > 0, к — I — 3 > в — а, I > а).

Для получения аналогичных уравнений для Уг}ГП(^) и из^т^) необходимо разложить операторы А, А*, 8/па и д/пА* в окрестности точки О в ряд при х —> 0. В силу (1.6) при х—>-0 получим

СЮ СЮ СЮ

А = -А - Е Яг,2(ж, £>) - Е ЯгАх> В) - Е

г=1 г=0 i=0

сю сю сю

а* = -а - е о) - е <эь(ж> - Е

г=1 г=0 г=0

д д ^ _ д д

+ Е<?гд(ж,-0), = +^1г(х,0),

дпА дп дп

г=1 г=1

где (ж, Р), €}^(х,Р), д^{х,Р) и д*^{х,Р) — многочлены от х = (ж1,ж2,ж3) и

/ д д д \

И = ——, ———— однородные степени г по ж и степени ] по И (при этом оператор И дей-V ОХ\ ОХ2 ОХ3 /

С©

ствует раньше умножения). Отметим, что ^ <Зг,о(ж) — это ряд Маклорена функции ао(ж).

г=О

Подставляя ЭТИ разложения В систему ДЛЯ функций НИ У), получим ДЛЯ функций Уг)Гп И У0г>т следующие задачи

Азд,о(С) = 0, Аг;0,0(0 = О,

Д^1,о(£) = (<51,2(С, О) + (Зод(£, Р))ьо,о(£),

А«л,о(0 = (дЬ(£,^) + ^од(£,^))«Ме),

г

АУг,т(0 = ^ (Яз,2(£, Р) + <^8-1д(С; -Р) +

8=1

2,о(£)) ^г—— / 1,г—2,пг(С) 1

г

Аи,г,т(о = ^2{^(с,р)+я1-1Л’п)+

8=1

+<Эв-2,о(0)гУ* — 8,т(0 “Ь ^г—2,т /2,г—2,пг(С))

(4.5)

с граничными условиями

9^0,0 дп

дУг_т

диоо,о _ 0 9г>1,о _ 0 9ц;1,о _ 0

<9п

<9п

<9п

9гу,;

г^Ч—в,т.

дп

дп

г

'У ' Яз,г^г—з,т,

(ей.

(4.6)

8=1 8=1

ЗдеСЬ /1,г—2,т И /2,г-2,т порождены разложениями при Ж —>■ 0 фуНКЦИЙ /(ж) И 2^(ж), СООТВеТСТВен-НО.

Дополнительное условие (3.7) принимает следующий вид

Хо{Ро,Рк,1)о + ^мШРоШо = ^,ь (4.7)

где числа й/у определяются предыдущеми рк>1 и А^.

Прежде всего отметим, что г^о = 2о(0) и ^0,0 = Ро(0), однако в силу (4.3) г^о и го 1,0 не константы, тем самым эти функции неограничены при £ —>■ оо. Это в свою очередь порождает неограниченность и остальных функций гк^, Рк,и ^г,т> Щ,т- Тем самым данная задача бисингу-лярна. В [3] найднены классы функций неограниченных при ж->0и при £ —>■ оо, соответственно, в которых задача, аналогичная рассматриваемой здесь, разрешима. В этих же классах функций разрешимы и задачи (4.4) — (4.6 ). Доказательство этого факта почти дословно повторяет доказательства из [3, § 3].

Поскольку решение системы (4.4) можно представить в виде

гкЛх) = хк,1? о (ж) + гк>и рк>1{ ж) = \к/р0(х) + Рк,1, где го,Ро € С°°(О) - решение задачи

ж € П,

Аг0 = 0, А*р0 = О,

^о . х _

+ АоРо — ~Ро,

Ро

дПА дПА

а 2к>1,Рк>1 € С00(О, \ {О}) — решение неоднородной системы

AZu 1 = 0, А*Ри 1 — Zu 1 = О,

= 0, ж € Г,

(4.8)

(4.9)

жб0\0,

д2к1 — дРк 1

' +А0 Рк,1=9к,1{х), = 0, ж € <90,

дпА

дПА*

то уравненя (4.7) принимают вид

^м(Ао(ро> Ро)о + НЫНо) = $к,1- (4-10)

Лемма 4. Справедливо соотношение

>^о(Ро,Ро)о + НЫНо Ф °- (4-11)

Доказательство. Умножив первое равенство в системе (4.9) на р0 и применив формулу Грина (2.23) для области П, получим равенство

РоНо + АоШРоШо = -(Ро,Ро)- (4.12)

Предположим теперь, что соотношение (4.11) неверно. Тогда

-(Ро,Ро) = А^НЫНо и (4-13)

ро ± (ро + Ад ^о) в Ь2(Т). (4.14)

Из равенств (4.12) и (4.13) получим, что

Ао||^о||о + АоШДоШо = НЫНо- (4-15)

С другой стороны, в силу соотношения (4.14) и теоремы Пифагора

^оНЫНо = НЫНо + II Ьо + АоРоШо- (4.16)

Из равенств (4.15) и (4.16) следует, что го = 0 и (ро + Ад1^)^ = 0. Но тогда в силу (4.9) р0|г = 0 а, значит, и ро|г = 0, что противоречит соотношению (3.6). ■

Построение функций гк,г(х), Рк,1(х), ^4>гп(^), и}г>т(^) и чисел Ак,1 идет стандартным для метода согласования асимптотических разложений [2] способом. Функции г^о^С), Ро,о(£0 определяют главные члены асимптотических разложений функций ^г,т(£)> Уг,т(0 (* > 0) ПРИ С ~^ Определив ПО НИМ функции У\а(0 и ^1,о(£) мы ИЗ разложения функций У1>о(х/е) И IV 1>о(х/е) при

х/е —> оо получим главные члены асимптотики при х —> 0 функций г^Дж), Рк,г(х) (к > 0). Найдя Zk,l(х), Рк,г(х) с заданной асимптотикой, из уравнения (4.10) находим А1;о(ж). Теперь г\$(х) и Р1,о(х) определены И, вместе С НИМИ, определены следующие члены разложений Уг>т(^) И Уг>т(^) (г > 1), и т. д.

Доказательство того, что таким образом построенные согласованные в смысле (4.3) ряды (4.1) и (4.2) есть асимптотика решения задачи (2.4), (3.7) проводится аналогично тому, как это сделано в [3, § 2,§ 5]). Тем самым, справедлива следующая теорема.

Теорема 5. Пусть выполнены условия (1.4), (1.6), (1.7) и (3.6). Тогда решение задачи (2.4), (3.7) расскадываются в равномерные в области С'00(0\{0}) (в смысле норм || • ||я2(п£) и1Н1с(пГ)) асимптотические ряды вида (4.1), (4.2).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Лионе Ж.Л. Оптимальное управление системами, описываемыми уравнениями с частными производными. М.: Мир. 1972. 414 с.

2. Ильин А.М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач. М.: Наука. 1989. 336 с.

3. Данилин А.Р. Асимптотика ограниченных управлений для сингулярной эллиптической задачи в области с малой полостью // Мат. сб. 1998. Т. 189, № 11. С. 27-60.

4. Данилин А.Р., Зорин А.Р. Асимптотика решения задачи оптимального граничного управления // Труды Института математики и механики. 2009. Т.15. № 4. С. 95-107.

5. Данилин А.Р., Зорин А.П. Асимптотическое разложение решения задачи оптимального граничного управления // ДАН, 2011. Т. 440, № 4. С. 1-4.

6. Капустян В.Е. Асимптотика ограниченных управлений в оптимальных эллиптических задачах // Докл. АН Украины, сер. Математика, естествознание, технические науки, 1992, № 2, с. 70-74.

7. Капустян В.Е. Оптимальные бисингулярные эллиптические задачи с ограниченным управлением

II ДАН Украины. 1993. № 6. С. 81-85.

8. Лионе Ж.Л., Мадженес Э. Неоднородные граничные задачи и их приложения. М.: Мир, 1971. 371 с.

9. Ладыженская О .А., Уральцева Н.Н. Линейные и квазилинейные уравнения эллиптического типа М.: Наука, 1964. 540 с.

10. J. Peetre Another approach to elliptic boundary problems // Comm. Pure. Appl. Math. 1961. V. 14. P. 711-731.

11. Морен К. Методы гильбертова пространства. М.: Мир, 1965. 570 с.

12. Соболев С.Л. Некоторые применения функционального анализа в математической физике. Л.:Изд-во ЛГУ. 1950. 255 с.

Алексей Гуфимович Данилин,

Институт математики и механики УрО FAH,

ул. С. Ковалевской 16

620990, г. Екатеринбург, Госсия,

профессор кафедры математического анализа и теории функций УрФУ E-mail: [email protected]