Асимптотическое решение нелинейного уравнения в частных производных второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНОГО УРАВНЕНИЯ В ЧАСТНЫХ ПРОИЗВОДНЫХ ВТОРОГО ПОРЯДКА

1 2 3

Назаркулова Б. , Кененбаева Г.М. , Акерова Д.А. Email: Nazarkulova1795@scientifictext.ru

1Назаркулова Бурулжан - кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений; 2Кененбаева Гулай Мекишовна - доктор физико-математических наук, главный научный сотрудник, Институт теоретической и прикладной математики Национальной академии наук Кыргызской Республики; 3Акерова Джылдыс Абдрамановна - кандидат физико-математических наук, и. о. доцента, кафедра математического анализа и дифференциальных уравнений, факультет математики и информатики, Кыргызский национальный университет, г. Бишкек, Кыргызская Республика

Аннотация: разработка методов асимптотического решения нелинейного уравнения в частных производных остается весьма актуальной проблемой. Поэтому создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных задач. Эти методы можно классифицировать следующим образом: алгебраические, аналитические и асимптотические (в том числе созданные с нашим участием [7, 9]). В данной статье построено асимптотическое решение нелинейного уравнения в частных производных второго порядка с начальными и краевыми условиями. Получена асимптотика по малому параметру решения задачи. Доказана теорема о квадратичной интегральной оценке остаточного члена при £ ^ 0. Это доказывает сходимость решения задачи.

Ключевые слова: асимптотическое решение, нелинейное уравнение в частных производных второго порядка, остаточный член, оценка.

ASYMPTOTIC SOLUTION OF THE SECOND ORDER NONLINEAR PARTIAL DEFFERENTIAL EQUATION

1 2 3

Nazarkulova B. , Kenenbaeva G-М. , Akerova D.A.

1Nazarkulova Buruljan - Candidate of Physical and Mathematical Sciences, Associate Professor, CHAIR OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS; 2Kenenbaeva Gulai Mekishovna - Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Chief Researcher, INSTITUTE OF THEORETICAL AND APPLIED MATHEMATICS NATIONAL ACADEMY OF SCIENCES OF THE KYRGYZ REPUBLIC; 3Akerova Dzhyldys Abdramanovna - Candidate of Physical and Mathematical Sciences,

Acting assistant professor, CHAIR OF MATHEMATICAL ANALYSIS AND DIFFERENTIAL EQUATIONS,

FACULTY OF MATHEMATICS AND INFORMATICS, KYRGYZ NATIONAL UNIVERSITY, BISHKEK, REPUBLIC OF KYRGYZSTAN

Abstract: the development of methods for the asymptotic solution of a nonlinear partial differential equation remains a very urgent problem. Therefore, a number of methods for constructing asymptotic expansions of solutions of various problems had been created. These methods can be classified as follows: algebraic, analytical and asymptotic (including those created with our participation [7, 9]). In this paper we

construct an asymptotic solution of the nonlinear second order partial differential equation with initial and boundary conditions. The asymptotics with respect to a small parameter of the solution of the problem has been obtained. The theorem on the quadratic integral estimate of the remainder term has been proved under s ^ 0. This proves the convergence of the problem solution.

Keywords: asymptotic solution, the second order nonlinear partial differential equation, remainder term, estimate.

УДК 517.928

Ранее некоторые эффекты и явления были обнаружены методами [1 - 3, 8, 9, 12], которые можно классифицировать следующим образом: алгебраические, аналитические и асимптотические (в том числе созданы с нашим участием) [7, 9].

К настоящему времени создан ряд методов построения асимптотических разложений решений различных задач. Это метод пограничных функций, развитый в работах А.Б. Васильевой, М.И. Вишика, Л.А. Люстерника, В.Ф. Бутузова; метод регуляризации С.А. Ломова, методы усреднения, сращивания асимптотических разложений А.М. Ильина и другие. Также следует отметить немалый вклад в развитие теории асимптотических методов Н. Левинсона, Дж. Хединга, А.Х. Найфэ.

Все вышеуказанные методы позволяют получить асимптотические разложения решений для весьма широких классов уравнений. Каждый из них не охватывает все многообразие задач, и для уравнений в частных производных в критическом случае. Поэтому разработка методов асимптотического решения нелинейного уравнения в частных производных остается весьма актуальной проблемой. Вместе с тем ранее в [6] было предложено рассматривать множество решений вырожденного уравнения, как точечное, без дополнительных предположений на известные функции. Такой подход позволил применить методы доказательного поиска областей [7] для построения асимптотики решений (гарантированных границ траекторий) сингулярно - возмущенных систем без непосредственного построения самих траекторий; объем вычислений не зависит от значения параметра.

В [4] представлен метод вычисления асимптотических разложений решений алгебраических и дифференциальных уравнений. Метод основан на идеях и алгоритмах степенной геометрии. Степенная геометрия имеет приложения в алгебраической геометрии, дифференциальной алгебре, нестандартном анализе.

Ниже построено асимптотическое решение нелинейного уравнения в частных производных второго порядка. Доказана теорема о квадратичной интегральной оценке остаточного члена, т.е. решение задачи сходится к решению вырожденного уравнения.

Постановка задачи.

Рассмотрим уравнение в банаховом пространстве:

= fitAy(t,x),M^l (1) dt2 w dx2 ^ v ' 3t J

с начальными и краевыми условиями+

y ( 0, Х^) = ф( x ), 0 ( 0 x ,s) =v( x ) (2)

ot

y (t ,0,s) = ®0 (t), y (t, l,s) = ®i (t) (3)

в области Q = {0 < t < T, 0 < x < l}, где s - малый положительный параметр.

Предположим, что функции, входящие в (1) - (3), удовлетворяют следующим условиям:

(А): а(х), /\г,х,у,^, ф(х)х), ез0 (г),щ(-) - непрерывны, достаточное

количество раз непрерывно дифференцируемые по совокупности своих аргументов в области Q и при — да < у < +да, — да < у < +да, причем а (х) > Я > 0 .

Дадим асимптотику по малому параметру £ > 0 решения задачи (1) - (3). Приближенное решение уравнения (1), удовлетворяющее условиям (2) будем искать в виде:

ип (г,х,£)= и (1,х) + £/! (г,х) + £2и2 (г,х) +... + £пип (г, х)

Представляя (4) в уравнение (1) и условие (2), получаем

(4)

а2и0 (г, х) е2и (г, х) 2 а2и (г, х)

и и, х, д2и (г, х) , ча2ип (г, х) ., + £-^^ + £ -^ +... + £п-— £а(х)-

а?2 а?2 а?2 а?2 v ' дх2

2 , ,д2и, (г, х) , , ча2и (г, х) И+1а2и (г, х)

—£2а (х)-— £3а (х)-—... — £п+1-=

W дх2 W дх2 дх2

= / 1,х,и0 (1,х) + Ц (1,х) + £2и2 (1,х) + ... + £пип (1,х), ди,х) + ^

ди (г,х) ,ди, (1,х) ди (г,х

+£-1(-,х) + £ -+ ... + £п-

дг дг дг

ип (0,х,£) = и (0,х) + и (0,х) + £2и2 (0,х) +... + £пи п (0,х) = ф(х),

и (", х,£) = аи„(01х)+£ди1(01х)+£2 ди 2 (0, х) + +£„дЦ1(0,х)

дг дг дг дг "' дг ''

В правой части (5) функцию

( N N ди гИ

/ г, х£ £ик (г, х), £ £ ^^

V к=0 к=0

(6)

дг

разлагаем в ряды Тейлора по целым положительным степеням параметра £, а затем после некоторых преобразований, приравнивая коэффициэнты при одинаковых

степенях £ , для определения и (г,х), к = 0,1,2,...,п, имеем рекуррентную

последовательность задач:

д 2и0

д х2

= /

тт д и0

г, х,и0, — д г

(7о)

и0 (0, х) = ф(х), ^^^ = ф(х) (8о)

д 2и,. дг2

д/\ г, х,и0, ^

ди

■ и, —

дг

д/I г, х,ип, ^ . 1 , , 0, дг ) ди,

ди.

дг

(7.)

= я\г, хи, и ] ,...,и,—1, и1

-I I ' ' 0'

дг

дг

, ч ди. (0, х) и (0,х) = 0, -^^ = 0, (, = 1,2,...,п)

где - это коэффициенты в разложении —

7, х,ип,

дПп д7

по степеням £ .

Предположим, что и (7,найдено. Функция ип (7,X, е) не удовлетворяет, вообще говоря, граничным условиям (3). Для устранения невязки в выполнении этой функцией граничных условий (3) построены вблизи прямых X = 0 и X = 1

функдии слоев П ^7, ^, ПП ^ 7,

ТЕОРЕМА. Пусть

1) для задачи (1) - (3) выполнены условия (А);

2) тах

2

у, У7 <+ю

—

ду

— М = еот7. дУ

Тогда решение задачи (1) - (3) представимо в виде:

у (7,Х,£) = и (7,х,£) + п

X

+ П

'4£У V' 4£

1 - X

+ —(7, X,£),

где

ип (7, x,s) + П0п ^7,^ + пП ^7, ^

определяются из приближенных

решений, —(7,Л",е) - непрерывно дифференцируемая функция, для которой интегралы

1 т,

я(

0 0 *

д—( 7, X,£)

Э7

I т

dtdx, jj—2 (7, X, е) dtdx

(9)

00

равномерно ограничены при £ — 0.

ДОКАЗАТЕЛЬСТВО. Для доказательства оценки (9) воспользуемся следующим

уравнением остаточного члена

( I— —п —1

_ _0 -I д(ип + П + Пп + —)

7, x,Un + Пп + Пп +

д— ( чд2—

—^--еа (X)—у = — д72 дx

д7

-/

V

Т' /— —о —1

_ _0 _г д(ип + Пп + П

ип + П° + Пп

д7

Н (7, X, е)

У

(10)

с начальными и краевыми условиями

—(о,x,£)=о, М^=о

(11)

—( 0, X, е) = 0, —(7,1,е) = 0, (12) где Н- функция, полученная из приближенных решений и ограничена в области Q при £ —> 0 .

Обе части (10) разделим на а (X) > Л> 0, умножим на —— е~у7, где 0 <у<Я

д7

и проинтегрируем по 7 от 0 до Т, по X от 0 до 1, получим:

0

1(Т 1 д2— д— a ( X ) д 72 д7

/11

ЗоЗо

е пdtdx -£ I" ЗоЗо

у —— —— 010 дх2 д7

e~y,dtdx = £ |Та (х)

/

- /

— —0 —1 7, х,ип + Пп + П п + —,

¡— —0 —1 д(ип + П п + П п +

—7

7, х,и„ + Пп +... + П п

I— —0 — 1 \ \ д(ип + Пп + Пп)

' —7

—— • е Уtdtdx + —7

1 гТ 1

+ Г Гт Н (7, х,е)- —• e~y,dtdx. 1010 а (х) у ' —7

д—

В полученном выражении (13) первое слагаемое левой части проинтегрируем по частям и учитываем условие (11), а второе слагаемое проинтегрируем два раза по частям и учитываем условие (12). Преобразуем правую часть (13), для этого воспользуемся неравенством

\а <1\а\2 +||¿|2 .

После некоторых преобразований приведем подобные члены и получим следующее неравенство

1 ( д— (Т, х,е) V ( д—(Т, х,е)^2

а (х)( —7 ) V дх

7 Г1

Jо

dx +

1 <-т ( ( д—(Т, х,е)^

Ytdtdx + Г1ГТ

ЗоЗо

72/о№(t,х,е)|2 • е-2*Шх.

п У

а (х) ( X

т7

д—(Т, х,е)

дх

—7

dtdx <

У

(14)

X2 •,о-,°

Функция Н(7, х, е) - ограниченная величина при £ — 0, следовательно

Н (7, х,е)| dtdx < К1.

Здесь и ниже К1, К2, К3, К4 - некоторые положительные постоянные, не зависящие от е . Полагая в левой части выражения (14)

.-у, У

а

( х )

^

— +1

чХ

> 0

У

получим при

е— 0

ограниченность интегралов:

111

Ло .и

1 1-Т

д—(Т, х,е) д7

Шёх < К

(15)

1

1 ( д—(Т, х,е) ^

—7

dx < К.

Так как —(0, Х,е) = 0, то —(7, х,е)= Г

С

_ у д—( 5, х,е)

.

2

2

Возводя это в квадрат, используя неравенство Буняковского и неравенство (15),

Л2

имеем

£ IV (, ,,£) dtdx< т2 j; j;

dt j

dtdx < T2 • K = K.

Теорема доказана.

Список литературы /References

1. Акерова Д.А. Метод последовательных приближений в решении нелинейного интегро -дифференциального уравнения в частных производных четвертого порядка // Проблемы современной науки и образования, 2016. 2 (44). C. 21-25.

2. Акерова Д.А. Достаточные условия начально-краевой задачи // Наука, техника и образование, 2016. № 1 (19). С. 34-40.

3. Акерова Д.А. Интервальный метод для доказательства решений интегро -дифференциальных уравнений // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 2 (44). C. 25-29.

4. Брюно А.Д. Асимптотическое решение нелинейных уравнений и идемпотентная математика Препринт ИПМ № 56. Москва, 2013.

5. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Об асимптотике решения краевых задач для Квазилинейных дифференциальных уравнений. ДАН, 1958. Т. 121. № 5.

6. Иманалиев М.И., Панков П.С. Явление вращающегося пограничного слоя в теории сингулярно-возмущенных систем обыкновенных дифференциальных уравнений // Доклады АН СССР, 1986. Том 289. № 3. С. 536-538.

7. Кененбаева Г.М.Доказательная аппроксимация ломаными кривых и границ двумерных областей // Препринт № 16 СОАН СССР. Информационно-оперативный материал. Часть 1 (интервальный анализ), Красноярск, 1990. С. 15-18.

8. Кененбаева Г.М., Касымова Т.Д., Аскар К.Л. Классификации применения компьютеров в математических исследованиях // Проблемы современной науки и образования, 2016. № 1 (43). С. 23-30.

9. Назаркулова Б. Асимптотическое решение нелинейного уравнения в частных производных первого порядка. // Вестник КНУ им. Ж. Баласагына. Естественно-технические науки. Бишкек, 2010. Серия 3. Вып. 4. С. 37-41.

10. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1972.

11. Треногин В.А. Об асимптотике решений квазилинейных гиперболических уравнений с гиперболическим погранслоем // Труды МФТИ «Исследование по механике и прикладной математике». М., 1962. В. 9.

12. Kenenbaeva G.M., Kasymova T.J. COMPUTER MODELING OF PHENOMENA IN DYNAMICAL SYSTEMS // Наука, техника и образование, 2015. № 12 (18). С. 7-11.