Научная статья на тему 'Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае'

Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
63
7
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.
Область наук
Ключевые слова
ПАРАБОЛИЧЕСКАЯ ЗАДАЧА / ВЫСОКОЧАСТОТНЫЕ ПО ВРЕМЕНИ КОЭФФИЦИЕНТЫ / ВЫРОЖДЕННАЯ УСРЕДНЕННАЯ ЗАДАЧА / ПОЛНАЯ АСИМПТОТИКА ПЕРИОДИЧЕСКОГО ПО ВРЕМЕНИ РЕШЕНИЯ

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Гусаченко Валентин Васильевич, Левенштам Валерий Борисович

Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (x,t) и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Гусаченко Валентин Васильевич, Левенштам Валерий Борисович

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Asymptotic integration of the linear parabolic problem with the high frequency coefficients in the critical case

A concrete (illustrative) example of the linear parabolic problem with two independent variables and high-frequency coefficients in time is considered. The corresponding stationary homogeneous averaged problem is degenerate. Using the method developed recently for an ordinary differential equations [1] and the method of boundary layer a full formal asymptotics of the periodic solution in time is constructed.

Текст научной работы на тему «Асимптотическое интегрирование линейной параболической задачи с высокочастотными коэффициентами в критическом случае»

Владикавказский математический журнал 2012, Том 14, Выпуск 4, С. 19-23

УДК 517.633

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ЛИНЕЙНОЙ ПАРАБОЛИЧЕСКОЙ ЗАДАЧИ С ВЫСОКОЧАСТОТНЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ В КРИТИЧЕСКОМ СЛУЧАЕ1

В. В. Гусаченко, В. Б. Левенштам

Рассмотрен конкретный (иллюстративный) пример линейной параболической задачи с двумя независимыми переменными (х,^ и высокочастотными по времени t коэффициентами; соответствующая стационарная однородная усредненная задача при этом вырождена. С помощью методики, развитой недавно для обыкновенных дифференциальных уравнений (см. [1]), и метода пограничного слоя построена полная формальная асимптотика периодического по времени решения.

Ключевые слова: параболическая задача, высокочастотные по времени коэффициенты, вырожденная усредненная задача, полная асимптотика периодического по времени решения.

В работе [1] (см. также [2]) построены и обоснованы полные асимптотические разложения периодических решений линейных нормальных систем обыкновенных дифференциальных уравнений с высокочастотными коэффициентами, для которых стационарная формально усредненная задача имеет простое нулевое собственное значение. Важную роль при этом играет методика, развитая в работе [3], где рассматривались возмущения стационарных задач на спектре.

В данной работе методика [1] в сочетании с методом погранслоя [4] применена для построения формальной асимптотики решения конкретной параболической задачи второго порядка с двумя независимыми переменными (x, t) в полосе с высокочастотными по времени t коэффициентами. Соответствующая однородная стационарная формально усредненная задача вырождена. Представленная в работе методика, как видно из изложения ее на примере, применима к широкому классу высокочастотных параболических задач с вырождением.

Построим формальную асимптотику ^т-периодического по времени t решения задачи

= 9 dx2'^ + u(x, t) + ¿u(x, t) cos x + u(x, t) x sin wt + cos 2x + cos x cos wt; u(0,t) = u(n, t) = 0; (1)

^u(x, t + 2п) = u(x, t),

рассматриваемой в полосе (x, t) G [0, п] x R. Введем в рассмотрение оператор A0 с областью определения D(A0) = {u G W|([0, п]) : u(0) = и(п) = 0}, действующий в L2([0, п]) по правилу Aou = + u. Оператор Ao самосопряжен и его спектр имеет вид a(Ao) = {1 — k2, k G N}, a0(x) = sinx — собственная функция оператора A0, отвечающая собственному значению А = 0.

2012 Гусаченко В. В., Левенштам В. Б.

1 Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Россий-

ской Федерации, соглашение 8210, и Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 12-

01-00402-а.

Из соотношений (cos x sin x, sin x) = 0 и sin2x cos x — x cos x, sin ж) = 74 = 0 следует, что собственная функция ao(x) имеет обобщенную присоединенную функцию ai (x) относительно соответствующей тройки операторов Ao, Ai, A 2 (которые аналогичны одноименным конечномерным операторам из [1]), т. е. справедливо равенство A0ai(x) + Aia0(x) = 0, а уравнение A0z(x) + Aiai(x) + A2a0(x) =0 не имеет решений.

Для построения искомой формальной асимптотики в окрестности точки x = 0 положим £ = x^, а в окрестности точки x = п сделаем замену п = (п — x)v/w. Тогда д2 = , , д2 д2 = , , д2 дх2 д£2 ' дх2 дп2

Формальную асимптотику решения задачи (1) c учетом [1, 4] строим в виде

u(x,í) = ш2С_4 a0(x) + ш2 D_4 a0(x)

fe=_i

+ Ck_3a1 (x) + У2к+1 (Ж, r) + z1k+i r) + z!k+1 (ПT)

+

Ш 2

U2k+2(x) + w^fé) + w2k+2(n) + Dk_2ao(x)

k=_1

+ Dk_3a1(x) + y2k+2(x,T) + z2k+2T) + Z2k+2(n,T)

T = wt.

(2)

Подставим ряд (2) в уравнение и граничные условия задачи (1) и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях ш, причем отдельно для регулярных и для погранслойных слагаемых. Равенство коэффициентов при старшей степени (ш2) доставляет задачи:

ду-1(х,т) _ Г1 дт = C_

4 x sin x sin t ;

(y_1 (x, t )) = 0,

' d2w 1i(g) д!2 W_1 (£)

0;

• д2 w 2 1 (n) = 0; dn2 '

w 21 (n)| = 0,

rdzii(í,T)

д2 z ii(g,T) д!2 ;

дт ""

<zÍ1 (£,т )> =0;

z Í1 (е,т )|€=те =0 UÍ1 (0, t ) = 0,

' дг"21 (n,T)

дТ

д2 z^i (п,т) д!2 ;

(n, t )> =0;

v2

z 21 (n,T )|n=^ = 0; [z 21 (0, t ) = 0.

Таким образом, y_ 1(x,T) = — C_4x sin x cos t, zl1(£,T) = z^(n,T) = w i1(£) = w^1 (n) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при следующей степени (ш2): дуо^"",т) = D _4x sin x sin т. Отсюда y0(x,T) = —D _4x sin x cos t.

Для погранслойных слагаемых получим те же задачи, что и на предыдущем шаге.

Поэтому z0(£,T) = z0(n,T) = w¿(<Ü = w2 (n) = 0.

Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ш:

dy1(x,T) ( д 2 Л / / N ,

---= ——~ + 1 u _ 1 (x) + y _ 1 (x, т) +— C _ 4 sin 2x + C _ 4 cos x sin x

дт \dx2 / \ 6 /

+ ^u _ 1(x) + C_ 3a0(x) + C_4a1 (x) + y _ 1(x,Tx sin т.

2fc-1

0

Применяя к уравнению (3) операцию усреднения по т, составим задачу

( 32U-l(x) / \ г,

dx2 ; + u-i(x) = 0; u-i (0) = u-1 (п) = 0; ^ (u-1 (x), sinx) = 0.

Отсюда, u-1(x) = 0. Возвращаясь к (3), найдем

y1 (x, т) = — C_3 sin x x cos т — 1 C_4 sin 2x x cos т + 1C_4 sin x x2 cos 2т — 2C_4 cos x sin т.

6 4

Перейдем к погранслойным слагаемым при той же степени. Получим задачи:

ЯЛ2 = 0;

«1(

w1 (OL.» = 0,

Таким образом, w1 (£) = w2(n) = 0. Далее,

dzl(!'T) = д2z 1(!'Т);

дт = Щ2 ;

<z1 &т)> =0; *1&т )|€=те = 0;

^1(0, т) = 2C_4 sin т,

d2w 2(n) = 0;

3r¡2 ;

w2(n)1 = 0.

1 \ / / n=<x

' dz2 (П'Т) d2 z2 (П'Т) i

dn2 ;

дт 2

z 2 (n, т )> =0; ; 2 (n, т )| =0;

1 \ о у 1п=те '

^ z2 (0, т) = —2C_4 sin т.

(4)

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента C_4.

i

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (w 2):

dy2 (x, т) ( d2 \( 1 \ -дт— V дж2 + / \ (x) + Уо (x, т) + 6D_4 sin 2x I + D_4 cos x sin x

+ ^u0(x) + D_3a0(x) + D_4a 1 (x) + y0(x^x sin т.

Применяя к уравнению (4) операцию усреднения по т, получим задачу

' d2U2x) + U0(x) = 0; < U0 (0) = U0 (п) = 0; ^ (u0 (x), sin x) = 0.

Отсюда, u0(x) = 0. Возвращаясь к (4), с учетом условия (y2(x^)) = 0, получим y2 (x, т) = —D_3 sin x x cos т — 6 D_4 sin 2x x cos т + 4D_4 sin x x2 cos 2т — 2D_4 cos x sin т. Перейдем к погранслойным слагаемым. Получим задачи:

fd2w1 (!) =0;

J d!2 = 0;

Iw1 (0|€=те =

Таким образом, w1, (£) = w2(n) = 0.

dzl (!'T) _ d2zl (!'T),

' d2w2 (n) dn2

w2 (П)

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

^ = 0;

0.

"dT

"a!2"

f 9z%(n'T) _ d2z2(n'T),

<z2 (е,т )> = 0; z1 (е,т )|€=те = 0;

kz1 (0, т) = 2D_4 sin т,

"dT

dn2

(z2(n, т )> =0;

z2 (n т) l = 0;

2 V h ) I n=^ ' ,z2 (0, т) = —2D_4 sin т.

0

Вернемся к этим задачам после нахождения коэффициента ^_4. Приравняем теперь регулярные слагаемые при степени ш0:

dy3 (x, т) дт

д

1

dx2 + 1) ( U1 (x) + y1 (x, т) + 6 C_3 sin 2x

+ ^ C_3a0(x) + C_4 a1 (x) + y_1(x,T )jcos x + ^u1(x) + C_2a0 (x) + C_3a1(x) + y1(x, т) j x sin т + cos 2x + cos x cos т. Применяя к уравнению (5) операцию усреднения по т, составим задачу

(5)

д дХ2 + u1 (x) = — 6C_4 cos x sin 2x + C_4 x cos x — cos 2x; u1(0) = u1(n) = 0; ^ (u1(x), sinx) = 0.

Откуда, C_4 = — 76, u1 (x) = — 3 cos x + 3- x cos x + x2 sin x + 3 cos 2x + 42- sin 3x

zí(£,T) = —76( e^ ^ !+e^ ^ ^! I sinт— — г|е

16 7П

cos т,

16

zi(n,T) = 7^(e

n+e( n

. 16/ (—/2 n f_v2 n sin т + 7-4 ev 2 2 jv — e\ 2 г 2 У? | cos т.

Приравняем регулярные слагаемые при следующей степени (ш 2):

dy4dx,T) = (dxi + 0 (ui(x) + yi(x,T) + 1 D_3 sin2x)

+ ^D_3 a0(x) + D_4 a1(x) + y0 (x,T )jcos x + (u2 (x) + D_2Й0 (x) + D_3a1(x) + yi(x,T)) x sin т. Применяя к (6) операцию усреднения по т, получим задачу

д д"2(х) + u2(x) = — 1 D_4 cos x sin2x + D_4 x cos x; u2 (0) = u2 (n) = 0; , (u2(x), sin x) = 0.

Отсюда, D_4 = 0, u2 (x) = z^^t) = z2 (n,T) = 0. В результате находим

(6)

, \ 16 2 (3 8

u(x, í) = — w sin x + w I - sin x + —— sin 2x — — x sin x cos wí

7n

7

21n

16 7П

1

2

4

1

— cos x +--x cos x + — x2 sin x +— cos 2x +

3 3n 7n

/ 82 1 105109 95

+ +

3

42n

sin 3x

206 2 23 3 v 567 n 1 60480 504П — 504П — 504П ' sinx

3 3 8 4 2 32

+--sin 2x--sin x x cos wí--sin 2x x cos wí +--sin x x2 cos 2wt +--cos x sin wí

42 7 21n 7n 7n

16 7П

e( ! + e( !

16

sin wí — —г 7п

cos wí

+

16 7П

e( +*#) n + Д n

16

sin wí + — г 7п

e( n_ Дn

cos wí + .

2

1

Литература

1. До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с высокочастотными слагаемыми в критическом случае // Дифференц. уравнения.—2012.— Т. 48, № 8.—С. 1190-1192.

2. До Н. Т., Левенштам В. Б. Асимптотическое интегрирование системы дифференциальных уравнений с большим параметром в критическом случае // Журн. вычислительной математики и мат. физики.—2011.—Т. 51, № 6.—С. 1043-1055.

3. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Решение некоторых задач в случае матриц и самосопряженных и несамосопряженных дифференциальных уравнений // Успехи мат. наук.—1960.—Т. 15, № 3.— С. 3-80.

4. Вишик М. И., Люстерник Л. А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук.—1957.—Т. 12, № 5.—С. 3-122.

Статья поступила 20 ноября 2012 г.

Гусаченко Валентин Васильевич Южный федеральный университет, магистрант факультета математики, механики и компьютерных наук

РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а E-mail: lestat.anarhist@yandex.ru

Левенштам Валерий Борисович Южный федеральный университет,

профессор кафедры алгебры и дискретной математики РОССИЯ, 344090, Ростов-на-Дону, ул. Мильчакова, 8 а; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, главный научный сотрудник отдела дифференц. уравнений РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: vleven@math.rsu.ru

ASYMPTOTIC INTEGRATION OF THE LINEAR PARABOLIC PROBLEM WITH THE HIGH FREQUENCY COEFFICIENTS IN THE CRITICAL CASE

Gusachenko V. V., Levenshtam V. B.

A concrete (illustrative) example of the linear parabolic problem with two independent variables and high-frequency coefficients in time is considered. The corresponding stationary homogeneous averaged problem is degenerate. Using the method developed recently for an ordinary differential equations [1] and the method of boundary layer a full formal asymptotics of the periodic solution in time is constructed.

Key words: parabolic problem, high-frequency coefficient, averaged problem, full asymptotics.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.