Асимптотическое интегрирование параболических систем с большим параметром Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.956

АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ИНТЕГРИРОВАНИЕ ПАРАБОЛИЧЕСКИХ СИСТЕМ С БОЛЬШИМ ПАРАМЕТРОМ1

© 2012 г. Н.С. Ивлева, В.Б. Левенштам

Ивлева Наталья Сергеевна - аспирант, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090, e-mail: ivleva.n.s@yandex.ru.

Ivleva Natalya Sergeevna - Post-Graduate Student, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090, e-mail: ivleva.n.s@yandex.ru.

Левенштам Валерий Борисович - доктор физико-математических наук, доцент, профессор, кафедра алгебры и дискретной математики, факультет математики, механики и компьютерных наук, Южный федеральный университет, ул. Мильчакова, 8а, г. Ростов н/Д, 344090; главный научный сотрудник, Южный математический институт Владикавказского научного центра РАН, ул. Маркуса, 22, г. Владикавказ, 362027, e-mail: vleven@math.rsu.ru.

Levenshtam Valeriy Borisovich - Doctor of Physical and Mathematical Science, Associate Professor, Professor, Department of Algebra and Discrete Mathematics, Faculty of Mathematics, Mechanics and Computer Sciences, Southern Federal University, Milchakov St., 8a, Rostov-on-Don, 344090; Main Scientific Researcher, Southern Institute of Mathematics of Vladikavkaz Scientific Center RAS, Marcus St., 22, Vladikavkaz, 362027, e-mail: vleven@math.rsu.ru.

Рассмотрена полулинейная система параболических уравнений второго порядка с высокочастотными по времени слагаемыми, среди которых содержатся пропорциональные корню квадратному из частоты. Для задачи о периодических по времени решениях этой системы в совокупности с однородными граничными условиями Дирихле выведена предельная (усредненная) задача, обоснован предельный переход и построена полная обоснованная асимптотика решения.

Ключевые слова: параболическая система, высокочастотные коэффициенты, метод усреднения, асимптотика.

We consider the semilinear system of second order parabolic equations with high frequency in time terms, among which there are proportional to the square root of the frequency terms. For the problem of time-periodic solutions of this system in conjunction with the homogeneous Dirichlet boundary conditions limit (homogenized) problem is derived, limit is justified and a complete reasonabled asymptotic solution is constructed.

Keywords: parabolic system, high frequency terms, averaging method, asymptotic.

В настоящее время список работ, посвященных асимптотическому интегрированию различных задач для дифференциальных уравнений, содержащих высокочастотные слагаемые, пропорциональные положительным степеням частоты (большие высокочастотные

слагаемые), довольно велик. Отметим здесь лишь работы [1-10], в которых рассмотрены обыкновенные дифференциальные, параболические и абстрактные параболические уравнения, а также некоторые задачи гидродинамики.

'Исследование выполнено при финансовой поддержке Министерства образования и науки Российской Федерации, соглашения 14.А18.21.0356 «Теория функциональных пространств, операторов и уравнений в них» и 8210 «Синтетические методы изучения операторов и уравнений в функциональных пространствах».

Собственно системы параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми исследовались в [7, 10, 11], где рассматривалась задача о периодических по времени решениях. В данной работе исследуется та же задача, но для более широкого класса параболических систем. Здесь обоснован метод усреднения (теорема 1) и построена полная асимптотика периодического решения (теорема 2). Теорему 1 можно было бы вывести из [6, теорема 1.1], где рассматриваются абстрактные параболические уравнения. Мы же здесь непосредственно не обращаемся к [6], но при доказательстве теоремы 1 используем разработанную там схему обоснования метода усреднения. Теорему 2 мы вовсе не доказываем, поскольку ее обоснование близко нашим доказательствам в [10, 11]. Отметим еще, что для рассматриваемой в данной работе задачи справедливы результаты об устойчивости и неустойчивости решения, аналогичные результатам [6, теорема 1.1]. Мы здесь на них не останавливаемся из-за недостатка места. Работа разбита на 5 пунктов. 1. В данном пункте содержится постановка задачи и сформулированы основные результаты.

Пусть N, т и п - натуральные числа, р > п;

5 = ^ х - декартово произведение открытых шаров и пространств ЯЩ и ЯпЩ соответственно; О -ограниченная область в Яп с дважды непрерывно дифференцируемой границей дО. В цилиндре Q = О х Я рассмотрим задачу, зависящую от большого параметра 2к

а , вещественных--периодических по времени t

а

решениях системы N параболических уравнений

= 2 aVk (x) —kOt i, j = 1 OX: OX:

+ V® 2P*k (x, u)ei;

1< | s|<m

+ 2 fk (x,u,°U)eis

0<|s|<m OX

k = 1,...N,

u г

= 0, u = (Ui,...uN) .

(1) (2)

U e (0,1], вектор-

функций и е С(У, В), удовлетворяющих условию Гельдера с показателем ¡л . Ради краткости пространства С(Я, В) и С (Я, В) будем обозначать С(В) и С (В) соответственно. Отметим еще, что одним и тем же символом В, где В = (О), Wlp (О), С" (О) и

т.д., мы будем обозначать как соответствующее банахово пространство скалярных функций, так и банахово пространство, являющееся прямой суммой

к (к е Щ) экземпляров таких пространств, т.е. В®к.

2ж

Определение 1. Будем называть--периодиче-

т

2ж

ским по времени решением задачи (1)-(2)--перио-

а

дическую по t вектор-функцию и е C(Wí2 (О)), t е Я, имеющую производную по t в С(Ьр (О)), удовлетворяющую (1) в С(Ь и (2) в обычном смысле. При

этом, разумеется, | u(x,t),дu(x, t) |е 5 при (х, t) е О х Я.

I дх )

Вместе с возмущённой задачей (1) рассмотрим следующую задачу, которую назовём усреднённой:

дук п д2ук ( ду ^ — = 2 аак(х)-— + /0к\ х,V,— 1 +

гИ 1 у ^ Яг гк

д1 1,1=1 дх ■ дх ■ у дх)

+ 2 (isr 2

i N Р(x v)

р. (x, v), k = 1,...N, v |г = 0.

1<Й<т 1=1 ду Щ

Предположим, что эта задача имеет стационарное вещественное невырожденное решение и (х) е С2+а (О), а е (0,1). Под невырожденностью решения и0 (х) подразумевается, что линейная эллиптическая задача

(¿ou)k = (x)^Ut + 2ОТI x,u

i,j=1 dxi OXj j=1 OUj

+2 2 fk- (x,uo, ) j+

Ou 0

Uj

i Ow

Ox dx,

Здесь (х,и,w), рк (х,и) - комплекснозначные функции, удовлетворяющие при (х,и, w) е О х 5 х 52

условиям рЛ (х,и) = р_Л (х,и); /к(x,u,= /_Л (x,u,w); Г = дО х Я, аук (х) - вещественные функции.

Функции а1]к еС1+а(О),ае (0,1); /л(х,и,w) один раз непрерывно дифференцируемы по и, ^; р (х,и) два раза непрерывно дифференцируемы по и. Более того, (х, и, w), р (х, и) и их указанные производные

удовлетворяют условию Гёльдера по х, а также вып

полнено условие 2 а1]к££; >0, где \ = (£,£,,...4) еЯп.

1,1=1

Символом С (У, В), где У - числовая ось или ее отрезок; В - банахово пространство, обозначим банахово пространство непрерывных вектор-функций и : У ^ В, удовлетворяющих условию

||и|| , = 5ир||и|| Аналогично определяется ба-

II 11С(у,В) " "В

нахово пространство Сл (У, В)

+ 2 (is)-1 2 ^Psk (x,u0) Р(x,u0) u +

1<|s|<m j,l=1 ÖUj

1 N O'Рsk u0)

du,

Р-j u0)ui = ¥k (x) :

+ 2 2 _ _

1<к!<т 1,1=1 ди1 ди1

к = 1,...,Щ, и|г = 0, однозначно разрешима в классическом смысле при всех у е Са (О), а е (0,1).

Далее, не нарушая общности, будем считать и = 0, так как к такой ситуации можно перейти заменой переменных.

Перейдем к формулировке основных результатов. Через Л0 обозначим линейный оператор в Ьр (О)

с областью определения О(Л0), состоящей из вектор-функций и е Wp2 (О), обращающихся в нуль на дО, и

д 2и,

действующий по правилу (Л0и)* = 2 аИк(х)- ,

1,1=1 дх, дх,

^ I 1

к = 1,...Щ , и еО(Л0). Как известно (см., например, [12]), оператор -Л0 является сильно позитивным оператором, т.е. существует такая константа с>0, что при

+

+

всех Л, у которых Яе2 > 0, существует резольвента оператора А и 11(2/-Д)-1|| <с(1+Щ "'), 00.

II \\Иот( 1р ,1р )

о 26

Через В р (б > 0) обозначим банахово пространство векторов, принадлежащих области определения оператора (-Д,)6, с нормой ЦиЦ°26 = ||(-Д0)6и||^ .

Пусть Д - оператор в Ьр (О), р > 1, с областью определения ДД) = ДД), действующий по формуле

52 v.

(A,v)k = Z aiJk(x)—^ + Z^(x,0,0)Vj +

u /Ылл /ЫЛЛ . W» i ^

i,J=1

" " /)k

dr, Sx, /=1 5w,

1 j j J

5v,.

5/

1< | j| <m

5v

+ Daffl(x,v,t)-5- = A0(v + аи) + Z f(x,v,-^У™' +

5/ 0<|j|<m OX

+

V" ZPj (x, v)eisat + Z

1< | j| <m

0< |j| <m

8

fj(x, v + a«^(v + а") " OX

5v

- fj (x, v, ^)

5x

5v 5v

уравнению —= Дv + Z f (x, v,—)e'j"' +

5/ 0<|j|<m 5x

+ Z D9j1(x, v)('j2)_19j2(x, v)ei(j1+j2)"' + R(v, ',"),

1<|j1,j2|<m

где R(v,',") = [(/ + Daffl)4 -1]Дv +

d

+ Z fj(x,v + аи, — (v + аи))e""' +

0<|j|<m 5x

+ V" Z(Pj(x,v + а"-9j(x,v))e'j"

1<|j|<m

+ Z fj(x,v + а",£(v + а"))e's"' -

0<|j|<m

5x

- Z fj (x, v, +

0<|j|<m Ox

-4" ZDPj (x, v)aae'"

1<|j|<m

V" Z[Pj(x,v + aj-fj(x,v)]e'j" -

1<|j|<m

V" Z Dpfx, v)a"eij1" -

1<| jl|<m

"V" Z Dfj (x,v) X Z ('S2V")-1 (x, v)e'j2"te'j1"t.

1<|j1|<m 1<|j2|<m

Введем в рассмотрение оператор, действующий в L

(Au)k = Z aVk(x)

i, j=1 OX,. cX

+ ЕЕ/-(х,0,0)д^ + Е 1 Е Р-,(х,0)у;,

^=1 /=1 д^., ОТ; 1<|^|<т 1Я ¡,1=1 ды. оы1

к = 1,...Д.

Пусть 0 < и < 1 достаточно близко к единице; , ^ (О0 с ^) - открытые шары с центром в точке

0 и

и0 = 0 пространства Вр (О), где р определено выше, такие, что 0 е С0 и для каждой вектор-функции

а е ^ имеем [ а, — | е Такие С0, ^ существуют в

силу леммы 1 (см. выше). Далее пусть ^ и ф^ - вектор-функции, компонентами которых служат функции /л и рл , к = 1,...Д, соответственно; ®0 > 0 -такое число, что при ®>®0 и у(-, ^ е , t е[0, ^ ], вектор-функция

и(х,t) = у(х,0 + 4ю Е(¿м-4)-1ф,(х,у)е"а =

1<|5|<т

= V + ая(х,V,t)е^, (о>юй (3)

и выполнено равенство раш(-, у(-, 0,0|| Нот(1р ) <1

В уравнении (1) выполним замену переменных (3). Получим — + 4а Е)-1 ф (х, v)e's(t +

0Ч (х,0,0)ы . +

N п о/ 0ы,. 1 N 02р (х,0)

+ ЕЕ ЕЕ (х,0,0) + 2 - Е рк( , ) Р-, (х,0)ы, +

]=11=1 ОХ, 1<|л|<т Ш .,1=1 оы оы;

, „ 1 £ (х,0) (х,0) + Е ~ Е — -.-Ы , к = 1,...,£, с обла-

1<^|<т/5 .,¡=1 дыJ

стью определения О(Л) = ЩЛ0).

Пусть ^ е Л удовлетворяет условию ел° ^ 1 при всех 2 е ст(Д), где ст(Д) - спектр оператора Д . Положим Т(= (2ж)-1®], где [а] - целая часть числа а. На участке t е[0,Тет ] рассмотрим интегральное уравнение

у(-,0 =íe(t-г)Л [ Е fs (-, V, О^-0-^ V -

0 10<|5|<т дх ди

5f0 (-,0,0) 5v 5w 5x

+ Z Dpn (-, v)(ij2)-1 Фj2(-,v)e

1<| J11, | J2 |<m

'■(j1+j2)r

- Z (ij) -1 Оф-^v -

1<|j|<m

- Z ('j)

1<|j|<m

5u 5u

(4)

-1 5 2pj (-,0) 5u2

Ф (-,0)v + R(v,T,")

dr +

+ (I -eT"A)-1 J e(T"+t-T)A(,..)dr = Mm(v),

0

где v =

5u 5u 5u

e'™' +4" Z[Pj(x,v + аИ)-pj(x,v)]e'j".

1<|j|<m

Проделав несложные преобразования, приходим к

дХ; дх2 дхп Определение 2. Обобщенным Тю -периодическим по t решением задачи (1)-(2) будем называть Тю -периодическое продолжение вектор-функции и(х,t) = V + а((х,v,t)еС(^р(^)) на ось t еЯ, где V -решение уравнения V -Мя (V) = 0, t е[0, Т, ]. Если указанное продолжение при некотором ¡( е (0,Т() является еще и ¡ет -периодическим по t, то будем также его называть обобщенным ¡ет -периодическим по t решением.

Теорема 1. 1. Найдутся четыре положительных числа ¡3,^., г,( такие, что при ®>®0 в шаре ^

пространства СЦ(С3(О)) с центром в точке 0 радиуса

г существует и единственно обобщенное ^^ -пери-

(

одическое по t решение ^ задачи (1)-(2). При этом оно вещественно и выполнено предельное равенство

lim К

гф

= 0.

+

T

2. Если вектор-функции fs(х,и^), р (х,и) являются полиномами относительно переменных и, w, то

2ж

каждое обобщенное--периодическое по t решение

задачи (1)-(2) является ее обычным

2ж

-периоди-

ческим по t решением.

По поводу доказательства теоремы 1 см. пункт 3.

Прежде чем сформулировать еще одну теорему, введем дополнительное условие

(Д) функции а и компоненты вектор-функций fs, р бесконечно дифференцируемы по своим аргументам.

Для построения формальной асимптотики решения задачи (1)-(2) введём в замыкании О, пограничной подобласти О области О толщины / криволинейную систему координат (у, г) следующим образом. Определим отображение 5Ох[0,/] ^О, по закону (у,г) ^ у+ п г, где у - точка на дО, имеющая местную координату у; п - вектор внутренней нормали к дО в точке у. Число / выбираем достаточно малым так, чтобы указанные нормали в О, не пересекались. Согласно методу пограничного слоя [13], введем новую независимую переменную р = 4аг, г </, выразим производные по х ., 1 < 1 < п, через производные по ук, 1 < к < п — 1, р и разложим коэффициенты в полу-

ченных равенствах по степеням ю

д дх

(

,3 Л

Jäb,0 + bnp + b„ р+ 0,3 р +...

п-1

+и

k=1

J \ (

J2 Г-л/ю

,2 Л

ю

др

р р

CkJ0 + CkJ1 !— + CkJ2 + ...

V ю ю

d¥k

r\ , ч д д р д д

Отсюда aiß (x)—— = aiß =

дх дх, л1ю дх.

= ю

д2 ^0 k

aijt <ж) —Г + и ю 2 ми Jk (V, р) +

др k=1

N0+1

+ ю 2 ми N+1(V,P, r)

где M:

1 < i, J < п,

u(x,t) = U0(x) + Цю 2 (Uk(x) + vk(x,t) +

k=1

+Wk (ур) + Zk (V,AT)), T = at.

Частичные суммы последнего обозначим

м M dt

u(x, t) = U0 (x) + Ц ю 2 (uk (x) + vk (x, T) +

k=1

+w k (ур) + z k (Ур,т)) •

(5)

Здесь коэффициенты ук(х,т) и гк(у,р,т) - 2п-пе-риодические с нулевыми средними по т . Коэффициенты и* и у* - регулярные, а ^ и zi - по-гранслойные вектор-функции [13]. Следуя [13], мы предполагаем, что все погранслойные функции обращаются в нуль вне погранполосы О2 ;3, а в ней

умножены на срезающую функцию и е С(О) такую,

что и( х) = |q

1,0 < r <v/3 х е Q \ Q

2-ц/Ъ.

Определим теперь 3 вспомогательные задачи. (А1). Задача Дирихле для эллиптической системы

вида

L0u = Y(x), x е Q,

и(х)|эп = 0,

где у - известная бесконечно дифференцирумая вектор-функция.

(А2). Задача об ограниченном на луче ре (0,да) решении 7(у, р) дифференциального уравнения

ikz (у, р) =ßk (у)

д z(y, р)

др2

z(y,0) = Z0 (у), z |р=„ = 0.

+ F (у,р)е

р

I = 1,...Щ, 1 < к < Щ +1 - дифференциальные выражения относительно у,р, коэффициенты которых являются полиномами по р.

Асимптотическое разложение решения ия (х,€) задачи (1)-(2) строим в виде ряда

Здесь к е Z \ {0}; Re(#) < 0; ¡Зк (у) = 2 aijk (у),

i,j=1

к = 1,...Д, где функции aijk(у) (>0) определены в (5);

F - ограниченная бесконечно дифференцируемая функция; \yecQ. - параметр.

(А3). Задача об ограниченном на луче ре (0,да)

решении w(y,p) дифференциального уравнения

д2 w(y,p) Ср

- \ + G(y,p)e4p = 0 п „ п

др , где Re(^) < 0 ; G - огра-

Чр=» = 0

ниченная бесконечно дифференцируемая функция; у е CQ - параметр.

2ж

Теорема 2. 1. Обобщенное--периодическое

а

по t решение, о котором говорится в теореме 1, при дополнительном условии (Д) является бесконечно гладким.

M

2. Построение любой частичной суммы u полной формальной асимптотики решения uffl сводится к решению конечного числа линейных однозначно разрешимых задач типов (А1), (А2) и (А3). При этом все

M

слагаемые u вещественны и бесконечно гладкие.

3. Для любого натурального числа М найдется такое положительное число ам, что при а > ам при всех к > 0 справедливы оценки

k-M-1

< c(M, к)а 2 , c(M, к) = const > 0.

с ,2

Подробное доказательство теоремы 2 мы не приводим. Отметим лишь, что построение формальной

M

асимптотики u осуществляется как в [11], а ее обоснование - как в [10].

2. В данном пункте будут сформулированы вспомогательные утверждения для доказательства теоремы 1.

ю

ю

1/2

д

+

д

k

Лемма 1 (см. [14, 15]). Пусть , е [0,2), q > п, , п

б е (0,1) и б > —I--. Тогда имеет место непрерыв-

2 2q

о 26 _

ное вложение Bq с С1 (О).

Лемма 2 (см. [14]). Пусть л е (0,1), к е N . Тогда пространство Сл непрерывно вложено в Вед ,

0 <е<—У(л ^ , у(л, q) = штСл,1) .

Обозначим через S шар в пространстве С (В2ру°) с центром в нуле и столь малым радиусом, что при

о

v(x, 1) е 5 v(x, 1) е 02.

о 0

Рассмотрим отображение М : 5х (а*,да] ^ С (BрУ0),

заданное равенством М(V,®) = Мя (V) (см. (4)) при конечных а и соотношением

2k + у(щ, q)

q

M (v, <x)(t) = J e

(t-r) Д

о2и ( ди 1 -

Пусть р > п , и е Вр (О), I и,— I е 5, х е О. По-

I 5х)

скольку fs (х, и, w) один раз непрерывно дифференцируема по и, w, а ф (х, и) два раза непрерывно дифференцируема по и, то из лемм 1, 2 следует существование чисел 0 < б2 < б < б0 < б, при которых выполняются следующие утверждения. При

о 2и ( ди 1 о 2б

и(х,г) е Вр , ^I х,и,— I, ф,(х,и) е Вр (О) , и

У дх)

0 2б0

определено выше. Если и(-,?) е Вр , то

5ф [-,01 ч дТ [-,0,01 ч о 2б1

J и(-,О,^^^-1 и(-,О е Вр , а поэтому ди би

о 2б0 о 2б1

Вф^ [-,0]: О х 00 ^ Нот(Вр ,Вр ),

о 2б0 о 2б1

В^[-,0,0]: О х х 52 ^ Нот(Вр ,Вр ) .

о 2б2

Аналогично, если и1(-, t), и2(-, I) е Вр , то вектор д2ф Г ,0]

—-и1 (-, ^) и2 (-, ^) е Ь, значит,

ди

о 2б2 о 2б2

В2ф,[-,0]: О х 00 ^ Нот(Вр ,Нот(Вр ,Ьр )), где символом В обозначен дифференциал Фреше.

Пусть у0 = 1 + б (б определено выше) и ^ - та-

о 2У0

кой шар в Вр с центром в точке и = 0, что С2 с С0. Такой шар существует, так как имеет место

о 2У0 о 2и

непрерывное вложение Вр с Вр .

Лемма 3. Существуют число а > 0 и такая функция у: (®*, да) ^ (0, да), что ^^оо У(®) = 0, и для всех V: ^ ^ , t е Я и а > а справедливы оценки

||R(v(x,4^ЦВрб1 <Уа, В^хА^Цнот(ВрУ0,Врб1) <Уа .

3. В этом пункте будет намечена схема обоснования метода усреднения.

Предварительно для краткости введем следующее

обозначение. Символом 5ГВ (а) будем обозначать шар в банаховом пространстве В с центром в точке а е В и радиусом г > 0.

Пусть б, б ,б ,Уо ,^2 - определенные в пункте 2 объекты и 3 е[а,1/2 + б), л е[0,шт(1/2 + б-Д,б -б)]•

f0(-, v,—) -

5v 5f0 (-,0,0) 5f0 (-,0,0) 5v

5x

5u

5w 5x

+

+ Z Dp-j (-, v)(is)

1 5pj (-,0) 5p-j (-,0)

5u

5u

v -

1 5 2Ф j (-,0)

5u2

Ф j (-,0)v

dr + (I-e")-1J e(T"+t-r)A[...]dr.

1<|,|<т

- Е №

Методами теории полугрупп и дробных степеней линейных операторов [12] с учетом леммы 3 доказывается следующее утверждение.

Предложение 1. Отображение М(V,«) обладает дифференциалом Фреше ВМ(V,») по V, при этом М и ВМ непрерывны в точке (0, да) и удовлетворяют равенствам М (0, да) = 0, ВМ (0, да) = 0.

Утверждение 1 теоремы 1 вытекает из этого предложения, теории неявных функций и следующего предложения.

Предложение 2. Пусть при некоторых р > п и

ех, е2> 0 для каждого числа ¡е (^ ,е2) найдутся числа л е (0,1) и а1 > 0 такие, что при а > а1 и некотором г = г(а), где г(а) ^ 0 при а ^ да, задача

(1)-(2) в шаре SR

(0) имеет единственное обоб-

Сщ (Bp )

щенное решение u, причем lim|u II o2ß1 = 0 . То-

CM1(BP )

гда найдутся четыре положительных числа ц,ф, r,"0 таких, что при " > "0 задача (1)-(2) в шаре Sr „ (0)

Сщ(Bß)

имеет единственное обобщенное решение u и вы-

= 0

полнено предельное равенство lim|u II ß

Утверждение 2 теоремы 1 доказывается аналогично [15].

Литература

1. Симоненко И.Б. Обоснование метода осреднения для задачи конвекции в поле быстро осциллирующих сил и для других параболических уравнений // Мат. сб. 1972. Т. 87, № 2. С. 236 - 253.

2. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для задачи конвекции при высокочастотных вибрациях // Сиб. мат. журн. 1993. Т. 34, № 2. С. 92 - 109.

3. Левенштам В.Б. Асимптотическое разложение решения задачи о вибрационной конвекции // Журн. ВМ и МФ. 2000. Т. 40, № 9. С. 1416 - 1424.

4. Басистая Д.А, Левенштам В.Б. Асимптотика решений обыкновенных дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2004. Спецвыпуск. Механика сплошной среды. С. 46 - 48.

о

o2ß1

5. Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование дифференциальных уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Докл. АН. 2005. Т. 405, № 2. С. 169 - 172.

6. Левенштам В.Б. Обоснование метода усреднения для параболических уравнений, содержащих быстроосцил-лирующие слагаемые с большими амплитудами // Изв. РАН. Сер. мат. 2006. Т. 70, № 2. С. 25 - 56.

7. Левенштам В.Б. Некоторые вопросы теории усреднения параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Докл. АН. 2006. Т. 411, № 3. С. 302 - 305.

8. Левенштам В.Б., Хатламаджиян Г.Л. Распространение теории метода усреднения на дифференциальные уравнения, содержащие быстроосциллирующие слагаемые с большими амплитудами. Задача о периодических решениях // Изв. вузов. Математика. 2006. № 6. С. 35 - 47.

9. Юдович В.И. Вибродинамика и виброгеометрия механических систем со связями // Успехи механики. 2006. Т. 4, № 3. С. 26 - 158.

10. Капикян А.К., Левенштам В.Б. Асимптотика периодического решения системы параболических уравнений с большими высокочастотными слагаемыми // Изв. вузов.

Поступила в редакцию_

Сев-Кавк. регион. Естеств. науки. 2009. Спецвыпуск. Актуальные проблемы мат. гидродинамики. С. 106 - 112.

11. Ивлева Н.С., Левенштам В.Б. Асимптотическое интегрирование параболических систем с большими высоко-частоными слагаемыми // Мат. форум. Т. 4. Исследования по мат. анализу, диф. уравн. и их прил. Владикавказ, 2010. С. 63 - 78.

12. Красносельский М.А., Забрейко П.П., Пустыльник Е.Н., Соболевский П.Е. Интегральные операторы в пространстве суммируемых функций. М., 1966. 499 с.

13. Вишик М.И., Люстерник Л.А. Регулярное вырождение и пограничный слой для линейных дифференциальных уравнений с малым параметром // Успехи мат. наук. 1957. Т. 12, № 5. С. 3 - 122.

14. Симоненко И.Б. Метод усреднения в теории нелинейных уравнений параболического типа с приложением к задачам гидродинамической устойчивости. Ростов н/Д, 1989. 112 с.

15. Левенштам В.Б. О взаимосвязи двух классов решений уравнений Навье-Стокса // Владикавк. мат. журн. 2010. Т. 12, № 3. С. 56-66.

7 сентября 2012 г.