CC BY
37
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ КРАЕВОЙ ЗАДАЧИ ДЛЯ ЭЛЛИПТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ В ОБЛАСТИ С МАЛЫМИ ОТВЕРСТИЯМИ*
Построено асимптотическое разложение решения краевой задачи для эллиптического уравнения в области с двумя малыми отверстиями. Доказано, что построенный формальный асимптотический ряд также является настоящим асимптотическим разложением.
Ключевые слова: асимптотическое разложение, уравнение Лапласа, краевая задача, малый параметр.
1. Введение
В настоящей статье изучается асимптотика решения уравнения Лапласа
2
△“ 5г2 = »■ (1)
где х = (х\, х2) лежит в области Пе, зависящей от малого параметра е > 0. Эта область получается из ограниченной области П с гладкой границей дП следующим образом. Пусть Р1; Р2 — некоторые точки в области П, а ш>1, ш2 — некоторые области с гладкими границами дш3-, содержащие начало координат и такие, что дополнение к каждой ш3- связно. Посредством ш3-,е обозначается область, полученная из ш3- сдвигом в точку Р3 и сжатием с коэффициентом е-1, так что
х € ш3>е ^ е 1 (х — Р3) € ш3. Область Пе определяется как П\[У ш3>е], так что
0П£ = [ и дШ],е] и дП
3 = 1
2 J
3 = 1
Ч,е! ' ' дП
Исследуем решение уравнения с граничным условием и(х)
ф(х)
с£дО,£
и асимптотику этого решения при е ^ 0.
В случае одного малого отверстия задача была давно изучена. Как было показано в [1] (см. также [2]), в двумерном случае не существует асимптотического разложения решения в ряд по степеням малого параметра е. В этой статье впервые в качестве калибровочных функций были рассмотрены рациональные функции ^(1п е) и построено равномерное асимптотическое разложение решения с точностью до любой степени малого параметра (впоследствии подобные и еще более сложные калибровочные функции анализировались во многих работах, см., например, [4-9]).
*Работа выполнена при поддержке РФФИ (гранты 10-01-96012-р_урал_а, НШ-6249.2010.1) и ФЦП 02.740.110612.
Позднее асимптотика решения и асимптотика собственных функций такой задачи в области с несколькими малыми отверстиями была получена другим способом (см., например, [3] (еЬ. 9)). Тем не менее, целесообразно показать, как асимптотическое разложение решения рассматриваемой задачи может быть получено применением метода статьи [1]. При этом можно получить в определенном смысле явные выражения для коэффициентов рядов внешнего и внутреннего разложений. Данная статья посвящена изложению такого построения и доказательству асимптотики в случае двух малых отверстий.
2. Первый член асимптотики
Итак, рассмотрим уравнение (1) с граничным условием
где и (ж) непрерывное в П решение уравнения(1), удовлетворяющее условию (2).
циенты ио(х) и ик(х, е) — это функции, которые гармоничны в П\РЬ непрерывны в П\Р1 и равны нулю на дП. Все они имеют особенности при х ^ Р1; причем по-
ладают такими же свойствами, но они имеют особенность не в точке Р1 , а в точке
каждая из них — это линейная комбинация функций, зависящих от х, с коэффициентами, зависящими от е. Эти коэффициенты, так же как и коэффициенты Л1(е), ^1(е), стремятся к нулю при е ^ 0, но медленнее, чем любая степень е. Построение и явный вид коэффициентов Л1 (е), ^1 (е) и функций ик(х,е), Нк(х,е) будут указаны ниже. Такую расшифровку этих функций можно было бы указать и в ряде (4), но подробная запись в этом ряде и в дальнейших таблицах согласования асимптотик была бы чересчур громоздкой. Поэтому напишем менее явную, но более короткую запись функций ик(х,е) и Ни(х,е).
Перейдем к построению первых членов ряда (4).
Вблизи каждой из точек Р1 и Р2 функция и(х) разлагается в соответствующие ряды Тейлора:
и£(ж)
■01 (ж),
(2)
хЄдП
иє(ж) =0, і = 1,2,
(3)
х£д<^і,є
где область определена выше, а функция 0(ж) Є С(дП).
Внешнее асимптотическое решение будем строить в виде
иє(ж) = и (ж) + Л^є)и0(ж) + ^1(є)^0(ж) +
к=1
(4)
Структура функций и0(ж), Н0(ж), ик(ж,є) и Нк(ж,є) довольно сложная. Коэффи
рядок особенности растет вместе с номером к. Коэффициенты Н0(ж) и Нк (ж, є) об-
Р2. Зависимость функций ик (ж, є) и Нк (ж, є) от є выглядит следующим образом:
и (ж) = и (Р1) + 51 (ж - Р1) + £2(ж - Р1) + ..., ж ^ Р1,
и (ж) = и (Р2) + Т1(ж - Р2) + Т2 (ж - Р2) + ..., ж ^ Р2.
Здесь и всюду далее посредством Sk, Tk, Qk,a, Rk,a, Dfc)a, Gk,a, #k,a, Pk,a, Pk,a, Çfc,«, dk,a, gk,a обозначаются гармонические полиномы степени k. Второй индекс, если он присутствует, совпадает с индексом той функции, в разложении которой участвуют эти полиномы.
Функции uo(x) и ho (x) имеют логарифмические особенности в точках и Р2 соответственно. Для построения дальнейшей асимптотики понадобятся специфические гармонические функции, вид которых зависит лишь от области П и от точек Pi, Р2. Посредством ri(x) обозначим гармоническую в n\P1 функцию, которая непрерывна в П\Р1, равна нулю на дП и имеет асимптотическое разложение
ri(x) = ln |x - Pi| + Po + Pi(x - Pi) + P2(x - Pi) + ... (5)
при x ^ Pi. Нетрудно заметить, что такая функция существует и единственна.
Совершенно аналогично определяется функция Г2(x), асимптотическое разложение которой имеет вид
Г2(x) = ln |x - P2I + Do + Di(x - P2) + D2(x - P2) + ... (6)
при x ^ P2.
Каждая из функций Г3 (x) является гладкой всюду, кроме точки Pj, и поэтому разлагается в обычный ряд Тейлора в любой точке области П, отличной от Pj. В частности
ri(x) = Гi(P2) + Ri(x - P2) + R2(x - P2) + ... ,
Г2(x) = Г2(Pi) + Hi(x - Pi) + H2(x - Pi) + ...
Для построения внутреннего асимптотического разложения надо, как обычно, ввести растянутые переменные: £ = £-1(x - Pi) в окрестности точки Pi и n = £-1(x - P2) в окрестности точки P2. Для внутреннего разложения также понадобятся две специальные функции Л1(£) и Л2(п), вид которых зависит,
соответственно, от формы областей wi и w2. Функция Л1(£) определена и является гармонической в R2\wi, непрерывна в R2\wi, равна нулю на dwi и на бесконечности имеет следующее асимптотическое разложение: д (с\ as 1 iti , , qi(£) , q2(£) с
Л1(£) = ln |£| + а + |£|2 + |£|4 + . . . , £ ^ ТО.
Аналогичное асимптотическое разложение справедливо для функции Л2(п):
Л ^ as ! ,| , а , gi(n) , g2(n) ,
Л2(П) =ln \n\ + e +..., n ^^.
Существование и единственность таких функций Л1(£) и Л2(п) не вызывают сомнений.
Внутреннее разложение в окрестности точки P1 будем искать в виде
œ
V (£,£) = vo(£,£) + ^ £k (vk (£,£) + Ak+i (е)Л1(£ )). (7)
k=1
Аналогичный вид имеет внутреннее разложение в окрестности точки P2 :
œ
W(n,£) = wo(n,e) + ^2 £k(wk(n,£) + ^k+i(£)Л2(п)). (8)
k=1
Все функции Vk (£, £) определены и являются гармоническими в R2\^î, непрерывны в R2\w1, равны нулю на д^1, но, вообще говоря, не ограничены на бесконечности. Аналогичными свойствами обладают и функции Wk(n,£). По поводу явного вида зависимости этих функций от £ можно сказать то же, что сказано выше относительно функций Uk (x,£) и hk (x, £).
Первые члены рядов в формулах (4), (7) и (8) определим следующим образом: A1uo(x) = A1r1(x), À2ho(x) = À2r2(x), vo(£,£) = А1(£)Л1(£),
wo(n,£) = ^1(£)Л2(п).
Далее следует приравнять во внешнем и во внутренних разложениях в окрестностях точек P1 и P2 все члены рядов, которые по порядку больше, чем O(£). Тем самым должны быть выполнены равенства
U(Pi) + Ài(£)(ln |x - Pi| + po) + ^1(£)r2(P1) = À1(£)(ln |£| + a) и U(P2) + ^1(£)(ln |x - P2 1 + Do) + À1(£)ri(P2) = ^1(£)(ln |П| + в).
В результате получаем систему линейных уравнений
( U (Pi) + Ài(£)(ln £ + Po) + M^Wi) = Ài(£)a,
{ (9)
[ U(P2) + ^i(£)(ln £ + Do) + À1(£)ri(P2) = ^i^A
из которой определяются коэффициенты À1(£) и ^i(£). Очевидно, что |Ài(£)| + |^i(£)| = O((ln £)-1).
3. Построение всех членов асимптотики решения
Далее надлежит определить следующие члены рядов (4), (7) и (8). Коэффициенты внешнего разложения должны иметь более сильные особенности в точках P1 и P2 , а следующие члены внутренних разложений должны иметь более сильные особенности на бесконечности.
Лемма 1. Пусть Qk(x) — гармонический полином, где k > 0. Тогда существует гармоническая в П функция U(x) такая, что функция Qk(x)|x - P1|-2k + U(x) непрерывна в П\P1 и равна нулю на дП.
Доказательство. Функция Qk(x)|x - P1|-2k является, очевидно, гармонической в П\P1. В качестве U(x) следует взять решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа в области П с граничным условием U(x) = -Qk(x)|x - P1|-2k при xGdП.
□
Существует такая же функция с заменой точки P1 на точку P2.
Лемма 2. Пусть Qk(£) — гармонический полином. Тогда существует гармоническая в R2\^I, непрерывная в R2\w1 ограниченная функция V(£) такая, что функция Qk(£) + V(£) равна нулю на дП и на бесконечности имеет асимптотическое разложение
Qk (£ ) + в(£ ) = Qk (£) + £ §(§.
k=o |£|
Доказательство сразу вытекает из известных свойств решения внешней краевой задачи для уравнения Лапласа на плоскости. □
Следующие члены ряда (4) и^х,^ и ^(х,£) попробуем искать в естественном виде как функции, имеющие особенности порядка 0(|х — Р^-1)
и 0(|х — Р2|-1) соответственно. В качестве главных членов асимптотических разложений этих функций возьмем не определенные пока функции д1Д(ж — Р1 )|х — Р1|-2 и С1;1(х — Р2)|х — Р2|-2. После того как эти главные члены фиксированы, все асимптотики функций м1(х,е) и ^1(х,е) определяются однозначно, они имеют следующий вид:
И1 (х) = ^1,1 (х — Р1)|х — Р11 2 + Ро,1 + р1,1 (х — Р1) + ... (10)
при х — Р1,
Л-1(х) = С1,1(х — Р2) |х — Р21 2 + А),1 + ^м(х — Р2) + ... (11)
при х — Р2.
Функция и1(х), имеющая особенность в точке Р1, в любой другой точке разлагается в обычный ряд Тейлора. То же справедливо и для функции ^1(х). Введем следующие обозначения для членов этих рядов:
^(х) = Ло,1 + Л1д(х — Р2) + ^2,1 (х — Р2) + ... при х —— Р2,
Л-1(х) = Но,1 + Ям(х — Р1) + Н21 (х — Р1) + ... при х —— Р1.
Условие согласования внешнего и внутренних разложений состоит в том, что ряд (4) формально совпадает с рядом (7) в окрестности точки Р1 и с рядом (8) в окрестности точки Р2.
За проведенными здесь построениями, которые, к сожалению, неизбежно довольно громоздкие, и особенно за следующими построениями удобнее следить по стандартным таблицам согласования асимптотических разложений. Они, по существу, такие же, как в давней работе [1], но ввиду значительно большей сложности и громоздкости приходится вводить дополнительные сокращения. Как обычно, в первом столбце табл. 1 выписаны члены ряда внешнего разложения (4). В каждой строке стоят члены асимптотического разложения соответствующей функции при х — Р1. Для экономии места введено обозначение у = х — Р1. Например, в строке, которая начинается с функции и(х), стоят члены ее разложения в точке Р1: и(Р1), 51 (у), 52(у),... В строке, которая начинается с функции Л1(е)Г1(х), стоят члены ее разложения в той же точке: Л1(е)(1п |у| + Р0),
Л1(£)Р1(у) Л1 (^)Р2(у) , . . .
В верхней строке таблицы записаны члены ряда внутреннего разложения (7). В каждом столбце на некоторых местах помещены члены асимптотического разложения соответствующей функции при £ — то. Эти коэффициенты отмечены с двух сторон знаком Ц. Например, в столбце, который начинается с функции Л1(е)Л1(£), стоят члены ее разложения на бесконечности: Л1 (в)(1п |£| + а), Л1(е), Л1(е)^||г,... В столбце, который начинается с функции е^1(£,е), стоят
члены ее разложения на бесконечности: ер1;1 (£,£), ер0;1(е), £,... Согласование асимптотических разложений состоит в том, что внутри каждого прямоугольника таблицы, который ограничен двойными линиями, сумма членов рядов, соответствующих внутреннему разложению (в таблице они отмечены знаками Ц), равна сумме остальных членов.
Таблица 1
А1Л1(0 е^1(С,е) еА2Л1 (£) е2 Ы£,е) е2АзЛ1({)
и (ж) и (Р1) ЗД) ^(у)
А^1(ж) А1(1п |у| + Ро) А1р1(У) А1Р2Ы
^Л(ж) ^1 Яо ^1Н1(У) ^1Н2(У)
ЙА1(1п |£| + а)« «ерм(£,е)« «е2р2,2(С,е)«
еА1и1(ж) еА1 |у|2 еА1Ро,1 еА1Рм(у)
е^^(ж) е^1 Яо,1 е^1Ям(у)
«А1 ^ « «еро,1« «е2р1,2(С,е)«
еА2^(ж) еА2(1п |у| + Ро) еА2Р1(у)
«еА2(1п |£| + а)«
е^^ж) е^2 Г2(Р1) е^Я^у)
е2и2(ж,е) е2А, е2 ^1,2(у,е) е |у|2 () Ро 2 (-0
е2Л,2(ж,е) е2 Яо,2(е)
«А1 « «е “1|‘£(|Г) « «е2ро,2(е)«
е2АзГ1(ж) е2Аз(1п |у| + Ро)
«е2Аз(1п |£| + а)«
е2^зГ 2 (ж) е^2Г2 (Р1)
Более детальное описание табл. 1 состоит в следующем. Пусть означает
сумму тех членов асимптотического разложения функции £т
ит (х,£) + ^т(х,£)
при х ^ Р1, которые после замены переменных х на £ превращаются в сумму членов, зависящих от £, с различными коэффициентами в7(£), так что в7(£ = 0(ега), но в7 (£ ^ £га+1. Пусть означает сумму тех членов асимптотического раз-
ложения функции £г
г’га(£,е) + ^га+1 Л1(£)
при £
то, которые после замены
переменных £ на х превращаются в сумму членов, зависящих от х, с различными коэффициентами р7(£), так что р7 (£) = 0(£т), но р7(£) ^ £т+1. Итак, согласование асимптотик вблизи точки Р1 просто означает, что ^ХП = Посредством
Птп обозначим прямоугольник табл. 1, в котором расположены функции, принадлежащие и
Точно такая же табл. 2 иллюстрирует согласование асимптотических рядов в окрестности точки Р2 (обозначение г = х — Р2).
--->
Таблица 2
^1Л2(^ єад1(п,є) Є^2Л2(П) Є2^2(П, є) є2 ^зЛ2(п)
и (ж) и (Р2 ) вд
^Л(ж) ^(іп |^| + ^0) ^А(г)
А1Г1(ж) А1^0 А1^1(г) А^Ог)
Й№(іп Ы + в)Й ) (-0 ~х~^ «є2 Г2,2(П,є)«
е^1^1(ж) С1-і(*) Є^1 |г |2 є^1^0,1 є^1^1,1(г)
еА1и1(ж) єА1Й0,1 єА^дОг)
^ :м "Ті ^ ~х~^ ЙЄГ0,1Й «є2Г1,2 (П, є) «
ЄД2Г2(ж) є^2(іп |,г| + А)) є^АОг)
Йє№(іп ІПІ + в )Й
єА2^(ж) єА2Г1 (Р2) єА2^1(^)
є2Л,2(ж, є) є2\ С2,2(г) є А1 | г |4 є2 Сі,2(г,є) Є М2 є2^0,2(є)
є2и2 (ж, є) є2^0,2(є)
«А1 ^« «є аі!„(р') « «є2 Г0,2(є)«
Є2^зГ2(ж) є2^з(іп |г| + А))
Йє2^з(іп |П| + в )Й
є2АзГ1(ж) єА2Г 1 (Р 2)
Уже построены члены внешнего разложения (4) — функции и (ж), Аі(є)Гі(ж), ^і(є)Г2(ж) и первые коэффициенты внутренних разложений (7) и (8) — функции г>о(£) = А1(е)Л1(£) и и>о(п) = ^1(^)Л2 (п). Следовательно, полностью определены все члены в трех строках, соответствующих функциям и (ж), А1(є)Г1(ж), ^1(е)Г2(ж), и все члены во вторых столбцах, соответствующих функциям г>0(£) и и’о(п). Тем самым завершено построение прямоугольников П0 0, П0 к и Пк,0, к > 0.
Выполнение системы (9) фактически означает, что равенства ^0Х0 = ^0П0 выполнены как в табл. 1, так и в табл. 2.
В прямоугольнике П10 табл. 1 пока определена лишь функция А1(е) = єА1(є) 2Х — член внутреннего разложения функции А1(е)^0(£). По-
этому следует определить многочлен ^1;1(£), приравняв его к многочлену д1(£). Тем самым, согласно лемме 1, построена функция и1(ж) и будет выполнено равенство = ^1П*. После такой же процедуры вблизи точки Р2 будет определена и функция ^1(ж). Следовательно, будут однозначно определены все слагаемые в рядах (10) и (11).
В прямоугольнике П01 табл. 1 уже определены все члены внешнего разложения: 51(ж — Р1), А1(е)Р\(ж — Р1) и ^1 (е)Н1(ж — Р1), которые после замены
переменных превращаются в многочлены eSi(£), Ài(e)ePi(£) и ^i(e)eHi(£). Ясно, что в качестве главного члена асимптотики функции evi(£) надо взять сумму этих многочленов eSi(£) + Ài(e)ePi(£) + ^i(e)eHi(£). Обозначим эту сумму как ep1;1(£, е) и согласно лемме 2 определим функцию evi(£) согласно этому главному члену. Следовательно, определены все члены столбца в табл. 1, который соответствует функции evi(£,e). Ее асимптотический ряд при £ ^ то имеет следующий вид:
(с \ as (С \ I ! \ I q1,1(£,e) , q2,1(£,е)
evi(£,e) — epi,i(£,e) + epo,i(e) + е |£|2 + е |£|4 +--
Точно так же строится функция ewi (п) — коэффициент внутреннего разложения вблизи точки P2.
Прямоугольник П1;1 пока заполнен лишь частично. Действительно, по построению ZfX* — eÀ1(e)P0,1 + е^1(е)Н0>1 (последнее слагаемое обязано своим происхождением функции Zi(x), имеющей особенность в точке P2), — epo,i(e)-
Вообще говоря, ZeX* — что нарушает согласование. В этом опять-таки со-
стоит существенное отличие двумерного случая от более простого трехмерного, что приводит к более сложному виду асимптотики решения.
Для того чтобы восстановить согласование асимптотических разложений, следует добавить новые члены: eÀ2(e)r(x) для ряда (4) и eÀ2(e^i(£) для ряда (7). Разность членов этих рядов, входящих в П1;1, равна eÀ2(e)(a — lne — P0). Такие же изменения надо осуществить в окрестности точки P2, что приведет к добавлению члена е^2(е)Г2(Р1) к Zfi* в окрестности точки P1. Таким образом, следует обеспечить выполнение равенства
eÀi(e)Po,i + e^i(e)Ho,i + е^2 (е)Г 2(Р i) — epo,i (е) — eÀ2(e)(a — ln е — Po).
Аналогичное равенство должно быть выполнено в окрестности точки Р2, что приводит к системе
Ài(e)Po,i + ^i(e)Ho,i + ^2(e)r2(Pi) — po,i(e) — À2(e)(a — ln e — Po), ( )
^i(e)Do,i + Ài(e)Ro,i + À2(e)ri(P2) — ro,i(e) — ^2(e)(в — ln e — Do), ( )
из которой определяются коэффициенты À2 (е) и ^2(e).
Таким образом, окончательно определен первый член под знаком суммы в ряде (4): u1 (x, e) — u1(x) + À2(e)r1(x), h1(x, e) — h1(x) + ^2(е)Г2(x).
Следующий шаг состоит в построении функции e2u2(x,e). Функция u2(x,e) будет иметь порядок особенности больше, чем порядок особенности функции u1(x,e). В соответствии с леммой 1 она однозначно определяется по главным
Q 2 (x — P1) Q1(x — P1)
членам асимптотики, которые имеют вид —--------------- и —---------—.
’ |x — Pi|4 |x — Pi|2
q (£)
В прямоугольнике n2 o уже есть член внутреннего разложения À1 (е) ,
о, н
до положить Q2(£) = q2(£) (естественно обозначить этот многочлен второй степе-
гл ft\ Q 2,2(x — P1)
ни как Q22(c), так как —;----------— являет
^2,2V^’ |x — P1|4
разложения функции u2(x,e) при x ^ P1).
J2\ , N?2(x — P1)
который во внешних переменных имеет вид е А^е)-|---------р |4 . Следовательно, на-
нно обозначить
гл ^2,2(х — р1)
ни как у2;2(4), так как —:---------— является одним из членов асимптотического
Iх — р11
После этого в прямоугольнике П20 будет выполнено основное соотношение
уеж£ угП
^2,0 — ^2,0 .
Далее надо добиться такого же согласования и в прямоугольнике П21. Так как функция ^1(£,е) уже построена, то определены и все функции в третьем столбце табл. 1, т. е. во всех прямоугольниках П^2. В частности, в прямоугольнике П2 1 определена функция е^1’1^’—). Значит, в слагаемом функции м2(х,е),
|2
б ^1(х — р1) 7л \ о- \
которое имеет особенность вида —--------- , надо положить ^1(4,е) = 51,1(4,е)
|х — р11
(и, естественно, обозначить этот многочлен как ^1,2(£, е).) После этого полностью определена функция м2(х,е) и, следовательно, вся строка в табл. 1, соответствующая этой функции, в частности, многочлен Р0,2(е). Такую же операцию можно провести в табл. 2, определив функцию Л,2(х,е).
Далее следует определить функцию е2г>2 (£,е). Для этого сначала добьемся согласования в прямоугольниках П0,2 и П1,2, определив полиномы р2,2(£,е) и р1’2(£,е) равными уже построенным ранее полиномам 52(£) + А1 (е)Р2(£) + +^1(е)#2(£) и А1(е)Р1,1(£) + ^1(е)Я1,1(£) + А2(е)Р1(£) + ^2(е)Я1(£). Затем по этим главным членам согласно лемме 2 построим функцию е2^2(£,е) и тем самым заполним все элементы ее столбца. Возникшее несогласование в прямоугольнике П2,2 ликвидируется, как и выше, введением дополнительных членов е2А3(е)Л1(£), е2Аз(е)Г1(х) и е2^з(е)Г2(х).
Продолжая этот процесс, нетрудно определить все члены рядов (4), (7) и (8) так, что во всех прямоугольниках Птп справедливо равенство = ^ПП. После того как найдены коэффициенты Ак (е),^к (е) и построены функции Мк(х,е),Л,к(х,е),^к(£,е),^к(п,е), стандартным образом проводится обоснование равномерного приближения решения м(х,е). Пусть N — некоторое натуральное число. Сумму всех членов ^|Х*, находящихся в прямоугольниках П^ табл. 1 при г ^ N’ к ^ N’ обозначим У^д, а такую же сумму в табл. 2 обозначим У^,2- Пусть
01,г — круг х : |х — р1| ^ £, а 02^ — круг х : |х — р2| ^ £.
Введем обозначения для частичных сумм рядов (4), (7) и (8):
(х,е) = и (х) + А1(е)ио(х) + ^1 (е)^о(х) + ^ ек
N
Мк (х,е) + ^ (х,е)
к=1
N
Ф^1(£,е) = А1Л1(£) + ^ ек (^к (£,е) + Ак+1(е)Л1(£))’ к=1
N
ФN,2(п,е) = ^1Л2(п) + ^ек(^к(п,е) + ^к+1(е)Л2(п))-
ск<
к=1
Теорема. Пусть м£(х) — решение задачи (1), (2), (3). Тогда всюду в замкнутой области П справедлива оценка
|Ф2N(^ е) + Ф2^1 (£’ е) + Ф2^2, е) — ^N’1 — ^N’2 — Ме(х)| < Ме
N
Доказательство. По построению функция E = Ф2^(х,е) + Ф2мд (£,е) + +Ф2м,2(£,е) — Y2n,i — Y2n,2 — u£(x) непрерывна в П£ и гармонична в П£. Поэтому достаточно выяснить оценку этой функции на границе области П£. Пусть с0 — некоторая положительная постоянная. Из асимптотик построенных функций Vfc(£,е) и Wfc(п,е) следует, что при |£| > С0е-2 справедливо неравен-
ство |Ф2мд(£,е) — Y2n,1| < MeN, а при |п| > с0е-2 справедливо неравенство
|^2N,2(C,e) — Y2N,2| < .
Так как разность U(х) — u£(x) и все остальные слагаемые суммы Ф2^(х,е) равны нулю на 5П, то, следовательно, |E| < MeN. На грани-
це $^1)£ решение и£(х,е) и все слагаемые функции Ф2мд(£,е) равны нулю, |Ф2м,2(£,е) — Y2n,2| < MeN. Аналогичное неравенство справедливо и на 5w2;£.
Из асимптотик построенных функций (х, е) и hk(x, е) следует, что на Sw1;£ и на 5w2>£ справедливо неравенство |Ф2^(х,е) — Y2n;1| < MeN. Отсюда вытекает, что |E| < MeN на 5w1>£ и на 5w2>£. □
Замечание. Из доказанной теоремы и из асимптотик функций vk(£,е) и wk(п,е) следует, что ряд (4) равномерно приближает решение и£(х,е) всюду в области П£ при |£| > С0е-7 и при |п| > С0е-7, где 0 < 7 < 1.
Список литературы
1. Ильин А. М. Краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка в области с узкой щелью / А. М. Ильин // Мат. сб. — 1977. — Т. 103, № 2. — С. 265-284.
2. Ильин А. М. Согласование асимптотических разложений решений краевых задач / А. М. Ильин. — М. : Наука, 1989.
3. Maz’ya, S. Asymptotic theory of Elliptic Boundary Value Problems in Singularly Perturbed Domains / S. Maz’ya, S. Nazarov, B. Plamenevskij // Operator Theory, Advances and Applications. — 2000. — Vol. 111, № 1. — Ch. 9.
4. Мазья, В. Г. Асимптотические разложения собственных чисел краевых задач для оператора Лапласа в областях с малыми отверстиями / В. Г. Мазья, С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский // Докл. АН СССР. Сер. мат. — 1984. — Т. 48, № 2.
5. Мазья, В. Г. Асимптотика решения задачи Дирихле в области с вырезанной тонкой трубкой / В. Г. Мазья, С. А. Назаров, Б. А. Пламеневский // Мат. сб. — 1981. — Т. 146, № 2. — С. 187-217.
6. Гадыльшин, P. P. Расщепление кратного собственного значения в краевой задаче для мембраны, закрепленной на малом участке границы / P. P. Гадыльшин // Сиб. мат. журн. — 1993. — Т. 34, № 3. — С. 43-61.
7. Борисов, Д. И. О двухпараметрической асимптотике в одной краевой задача для Лапласиана / Д. И. Борисов // Мат. заметки. — 2001. — Т. 70, № 4. — С. 520-534.
8. Борисов, Д. И. О краевой задаче в цилиндре с частой сменой типа граничных условий / Д. И. Борисов // Мат. сб. — 2002. — Т. 193, № 47. — С. 37-68.
9. Данилин, А. P. Асимптотика решения задачи о быстродействии при возмущении начальных условий / А. Р. Данилин, А. М. Ильин // Изв. Акад. наук. Техн. кибернетика. — 1994. — № 3. — С. 96-103.
