CC BY
50
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК Том 12 Выпуск 3 (2011)
Труды Международной научно-практической конференции
Многомасштабное моделирование структур и нанотехнологии,
посвященной: 190-летию со дня рождения академика Пафнутия Львовича Чебышёва, столетию со дня рождения академика Сергея Васильевича Вонсовского и 80-летию со дня рождения член-корреспондента Виктора Анатольевича Буравихина
АСИМПТОТИКА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ КОШИ ДЛЯ СИНГУЛЯРНО ВОЗМУЩЕННОЙ СИСТЕМЫ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ
(с) 2011 г. А. В. Нестеров (г. Обнинск)
e-mail: [email protected] Аннотация
Построено полное асимптотическое разложение решения задачи Коши для сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений в критическом случае. Особенностью задачи является наличие членов асимптотики, описывающихся параболическими уравнениями. Доказана теорема
о равномерной оценке остаточного члена асимптотического разложения.
Библ. 6.
Ключевые слова: малый параметр, сингулярные возмущения, задача Коши, гиперболические системы уравнений, асимптотическое представление решений, параболический слой.
1 Введение
Рассматриваются сингулярно возмущенные системы уравнений в частных производных вида
£2(Ut + DUx) = AU + £к LU, (1)
U(x,t) = [ui(x,t)}, (i = 1,n) - вектор решений, 0 < £ << 1 - малый положи-
тельный параметр, к- натуральное число.
Предполагается, что матрица D = diag ||^м||™ - диагональная, среди элементов матрицы D есть хотя бы два не равных, A = ||aц ||™ - вырожденная (rang A = n — 1). L может быть дифференциальным оператором:
£2(Ut + D(x)Ux) = A(x)U + £4с (x)Uxx, (2a)
функцией:
е2(иг + №) = Аи + £2г (и), (За)
или иметь иной вид. Система решается в области |х| < > 0, или в области
х > 0,1 > 0.
С точки зрения теории сингулярных возмущений система относится к т. н. критическому случаю [1]: решения вырожденной задачи составляют однопараметрическое семейство.
Одной из первых работ в этом направлении была работа А. Б. Васильевой
0<х<
1,0 <КТ для системы уравнений
Г £(дп/дЬ + Л1ди/дх) = —аи + Ьь,
\ £(дь/дЬ + Л\дь/дх) = 7(ап — Ьь),
при условиях Л2 > Л1 > 0, а > 0,^Ь > 0.
Матрица А имеет однократное нулевое собственное значение А1 = 0 , а второе Л2 = —а — ^Ь < 0 — отрицательное. Построено вырожденное решение и пограничные функции, возникающие в окрестности сторон х = 0 £ = 0. Вырожденное решение П описывается уравнением первого порядка (ди/д1 + Л3дп/дх) = 0, где Л1 < Л3 < Л2, и имеет разрыв на линии х = Л3£. Доказана теорема о предельном переходе, на основании которой можно судить о наличии у точного решения внутреннего переходного слоя в окрестности разрыва вырожденного решения.
Уравнение для определения вырожденного решения получается из условий разрешимости уравнений для следующих приближений [1].
В ряде случаев [3]- [5] оно оказывается уравнением первого порядка в частных производных, характеристика которого в общем случае не совпадает ни с одной характеристикой левой части исходной задачи.
Поэтому вырожденное решение может иметь линии разрыва, обусловленные, например, угловыми точками границы или особенностями начально- краевых условий. В окрестностях таких линий разрывов решение имеет характер переходного слоя, вид которого может меняться в зависимости от исходной постановки задачи.
В настоящей работе построено полное асимптотическое разложение задачи Коши для сингулярно возмущенной гиперболической системы уравнений в критическом случае.
Особенностью задачи является наличие членов асимптотики, описывающихся параболическими уравнениями.
Доказана теорема о равномерной оценке остаточного члена асимптотического разложения.
2 Постановка задачи
Строится асимптотическое разложение (АР) решения задачи Коши для гиперболической системы уравнений в частных производных
где x,t С П = {0 <t< ж, |x| < то} U(x,t) = {ui(x,t)}, (i = 1,n) - вектор решений, 0 < £ << 1 - малый параметр.
Предполагается, что
1. Матрица D = diag ||^м||™ - диагональная, среди элементов матрицы D есть хотя бы два не равных.
2. Матрица A = ||аij |Щ - вырожденная (rang A = n — 1).
AD
Задача (4), (5) является видоизменением задач, рассматривавшихся ранее в работах [3]- [5], в которых строилось формальное асимптотическое представление решения начально-краевой задачи для системы (4) в области x,t С П = {0 < t < T, 0 < x < то}. Наличие угловой точки границы не позволяло строить высшие приближения и провести обоснование построенной асимптотики. Для начальной задачи эти трудности удается преодолеть.
Для того, чтобы оставить особенность решения, вызванного ранее угловой точкой, а именно, переходный слой, поставим начальные условия специального вида: U(x, 0) = U°(x,£) = w(x/e)H, где H- некоторый вектор, w(z) = 0 V Izl > 8 > 0.
£
x=0
ния распространения начального локального возмущения в многофазной среде, в случае, когда обмен между фазами происходит намного быстрее движений, либо в случае больших пространственно-временных масштабов.
Введем обозначения: h1 - собственный вектор матрицы A, соответствующий нулевому собственному значению A1 = 0 h\ собственный вектор транспонированной матрицы A*, соответствующий собственному значению A1 = 0. Скалярное произведение векторов а и b будем обозначать стандартно (a,b), V =
(Dh1, hi). Зададим норму вектора ||X|| = max lXi\, норму вектор-функции, за-ii
данной в области G:
||X ||G = max max Xi\.
G i
Для построения асимптотического разложения (АР) решения задачи (4)- (5) с точностью O(£N+l) наложим условия 3.-6.
3. (h1, hi) = 0. Очевидно, что при выполнении этого условия можно выбрать векторы h1,h1 так, что (h1,h^) = 1.
AA
условию Re A < 0.
£2(Ut + DUx) = AU + £2F (U), U(x, 0) = U°(x,£),
(4)
(5)
4а. Без ограничения общности, для сокращения некоторых выкладок счи-тется, что все собственные значения Аг матрицы А однократны. Отвечающие им собственные векторы обозначим кг.
5. Функция Р(и) достаточно гладкая: Р(и) € См+3,М > 0.
6. и(х, 0) = и°(х,£) = ш(х/е)И, где И- вектор, ш(г) = 0 V 1г| > 5 > 0,
ш(г) € О™.
Остальные условия наложим по мере необходимости.
3 Алгоритм построения АР
Очевидно, что регулярная часть АР решения при таких начальных условиях тождственно равна нулю. В соответствие с этим АР решения задачи (4)- (5) строится в виде суммы функции всплеска S((,Ь), сосредоточенной в окрестности некоторой линии {I : £ = 0} -“псевдохарактеристике“ системы (4) и пограничной функции
Р(£,т), сосредоточенной в окрестности границы Ь = 0:
N
и(х,Ь,£) = SN((,£) + PN(С,т) + яи = ^ £г(вг((,£)+Рг(С,т)) + я = UN + яи, (6)
г=0
здесь ^ - построенное АР решения с точностью O(£N+1) , Я- остаточный член. Ниже индекс N у функций SN, Р^/ будем писать по мере необходимости. Представим функцию Р(и) в виде [1]
Р (и) = SР + РР + ЯР, (7)
где SР = Р^), РР = Р^ + Р) — Р^), ЯР = Р^ + Р + Я) — Р^ + Р). Назначение и алгоритм построения функций, входящих в выражения (6), (7), а так же аргументы этих функций описаны ниже.
Построение функции всплеска
Для удовлетворения начальных условий строим функцию всплеска S((,Ь) > х — УЬ
где £ = -,У=(Пко,к0), исходя из требования формального удовлетворе-
£
ния функцией 5'((,Ь) системе уравнений:
£2(^ + DSx) — AS = £2SР (8)
С ТОЧНОСТЬЮ O(£N+2).
Начальные условия для функции S((,Ь) поставим ниже.
Переходя от переменных (х,Ь) к новым переменным (С,Ь), получаем
£2^ + £ФSC — AS = £2SР, (9)
ГД6!
Ф = (D — УЕ), (10)
Е
Функция S((,Ь) ищется в виде
N+2
S (С,Ь) = ^2 £г8г(С,г). (11)
г=0
Подставим разложение (11) в SР и стандартным способом (ст. сп.) [1] разложим SР по степеням малого параметра
N+2 N+2
SР = Р£ £г*г((, Ь)) = ^2 £г^Р + ЯN+2SР, (12)
г=0 г=0
где S0Р = Р(в0), остальные члены разложенпя SiР определяются стандартно, ЯN+2SР - остаточный член. Отметим, что SiР имеет вид
дР
^Р = ди(в0)вг + фг (в0, ■ ■ ■ , Si-l), (13)
где Фг(в0, ■ ■ ■ , вг-1) - многочлен относительно в0,■ ■ ■, вг-1, причем Фг(0, ■ ■ ■ , 0) =
0
Подставляя разложение (12) в систему (9), ст. сп. [1] получаем системы уравнений для членов разложения в0, 51, в2, ■ ■ ■
1) £0 : Ав0 = 0,
2) £1 : Ав1 = Фв0с,
3) £2 : А^2 = ^04 + Фв^ — SоР,
г) £г : Авг = в—2г + Фвг-1С — Si-2Р,
Из системы уравнений 1) следует, что вектор-функция в0 имеет вид:
в0 = ф0((,Ь)к1, (14)
где ф0 - пока неизвестная функция.
Уравнение, которому должна удовлетворять функция ф0, получается стан-
в1 в2
должны выполняться условия!
(Фв0с ,К) =0, (15)
(в04 + ФSlc, к\) = 0^ (16)
Первое условие выполняется ввиду выбора переменной
(Фкь к\) = ((D — УЕ) к1,к\) = ркь к1) — У (кь к\) = 0, (17)
т. к. У = ^к-]^, к1), (к1, к1) = 1. в1
в1 = ф1 (С, Ь)к1 + ф0с ((,£)СФкь (18)
здесь ф0, ф1 - пока неизвестные функции, матрица С - псевдообратная к матА (Р, к1) = 0
АУ = Р записывается в виде У = СР + Ок1; где О - произвольная постоянная).
Подставляя (14), (18) в (16) и исключая из него функцию ф1; получаем уравнение
ф0ь + Мф0сс = в0Ре/, (19)
ГД6
М = (ФGФкl,к*l),SоРef = (SоР, к1) = (Р(ф0к1),к1)- (20)
Уравнение для определения следующих приближений приближения вп,П >
1
дующих приближений вп+1 ,вп+2.
Приравнивая коэффициенты при £п, £п+1, £п+2, получаем соотношения
п) £п : Авп = вп-2,Ь + фSn-1X — Si—2Р,
п + 1) £п+1 : Авп+1 = Sn-1,t + вп,^ — ^-1^
П + 2) £п+2 : Авп+2 = Sn,t + Фвп+1,С — SiР■
Из первого соотношения следует, ЧТО вп = фп((,Ь)к1 + С(вп-2^ + Фвп-1)£ — Sn-2Р), где фп((,Ь) - пока неопределенная функция.
вп+2 вп+1
уравнение для определения функции фп((,Ь):
дР
фп,1 + М фпХС -- [ ди (ф0к1)к1 , к1^ фп + Ф е/,п , (21)
где Фе/,п линейно выражается через вг, 0 < г < п — 1 и их производные, в частности,
Фе/’1 = (ди(ф0к1)(СФ + Е)кьк*^ ф0,с — ((СФ + ФС)к1,к*)ф0,к—
— (ФСФСФСФк1, к1)ф0, ссс ■
Явное выражение для Фе/,п еще более громоздкое.
Таким образом, получены выражения для вг и уравнения для определения входящих в эти выражения функций фг((, £) для всех 0 < г < N + 2.
Наложим условие параболичности уравнений для фг(С,£), т. е. условие
7. М < 0.
Начальные условия для функций фг((,1) поставим ниже.
Построение пограничных Р-функций
Из соотношения 80 = ф^^)^ следует, что при произвольном векторе Н функция SN Р ни для какого N не может удовлетворить поставленным начальным условиям SN((, 0) = ш(х/е)Н.Для выполнения начальных условий ст. сп. [1] строится пограничная вектор-функция Р(£, т), зависящая от растянутых
переменных £ = —, т = —. Она должна совместно с функцией S удовлетворять £ £2 начальным условиям
а) S(C, 0) + Р(^ 0) = ш(x/£)H,
системе уравнений:
б) £2(Рг + DРX) — АР = £2РР, с точностью с точностью 0(£М+2), а так же условию
в) Иш Р = 0Т
Погранфункция Р(£,т) строится в виде
N+2
Р (£,т ) = £ £гРг(£,т) (22)
г=0
Подстваляя разложения (11), (22) в РР, переходя к переменным £, т, ст. сп. [1], получаем разложение
РР = Р ^ + Р) — Р ^) =
N+2 N+2
= Р(£ £г(5гК — У£т, £2т) + Рг(£, т))) — Р(£ £г«г(£ — У£т,£2т)) =
г=0 г=0
N+2
' £
г=0
где РР0 = Р(80(£, 0) + р0(£,т)) — Р(80(£, 0)), остальные РРг выражаются ст. сп. через 8^,р^,] < 1,ЯР = 0(^+3).
Рг
Р0т = АР0,Р1Т = Ар1 — Dpо?,Ргт = Арг — Dpi-l,? + РРг-2,г > 2^ (23)
Подставляя разложения (11), (22) в начальные условия а) и учитывая, что С(х, 0) = с£ = £-1х, получаем
8о(С 0)+ Ро(^ 0) = ш(£)H, (24)
8г(С, 0)+ Рг (£, 0) = 0^ (25)
Р0
п
Ро(£,т) = Х! Сог(£)кг exp(Лiт), (26)
г=2
где суммирование ведется по номерам, отвечающим ненулевым собственным
А
Подставляя 80(С, 0) и Р(£, 0) в начальное условие, получаем линейную систему уравнений для определения ф0(С, 0), Сог(£):
п
фо(С, 0)к1 + ^ кгСог(£) = ш(£)H, (27)
г=2
единственное решение которой имеет вид ф0(С, 0) = к01ш(£),С0г = когш(£), г = 2, ■ ■ ■, п. Остальные рг(£, т) строятся рекуррентно совместно с определением начальных условий фг(С, 0) [1]. Все рг(£,т) существуют, единственны и имеют оценку
\\Рг(£,т )11 <С ехР(—кт), (28)
где С > 0, к > 0 - постоянные.
4 Оценки функций всплеска фг,вг.
ф0
с дифференцируемой нелинейностью в правой части и гладкими финитными начальными условиями
фог + МФосс = 8оpef, (29)
Фо(С 0) = к01^(£)■ (30)
Справедлива теорема.
Существуют постоянные Т1 > 0, к > 0, С ^ 0 такие, что при [0,Т1] решение задачи (29), (30) существует, единственно и вместе с производными всех порядков удовлетворяет оценке
д к+з фо(С,Ь)
дЬк дС 3
< Сехр(—кС2), к + ] ^ 0^
(31)
Доказательство проведится методом последовательных приближений. Остальные фг(С, £) определяются из начальных задач для линейных параболических
уравнений, существуют, единственны на [0,Т1] и вместе с производными всех порядков оцениваются аналогично:
д еНкдУ^ <СехР(—кС2),к + 3 ^ 0
Отсюда следует, что все вектор функции на [0,Т1] вместе с производными
всех порядков удовлетворяют оценкам
дк+вг(С,г)
< Сехр(—кС ),к + 3 ^ 0^ (33)
дЬк дС3
5 Оценка остаточного члена.
Построим N + 3 члена разложения и представим решение задачи (4) — (5)
В ВИД6
N+3
и(х,Ь,£) = SN+з(С, Ь) + РN+3(^ т) + К 'У ' £І(si(С, Ь) + Рг(С,т)) + К = UN+з + К,
г=о
(34)
где UN+3 - построенная асимптотика, К - остаточный член.
Из алгоритма построения UN+3 и оценок на функцпп вг,рг следует, что остаточный член К на отрезке [0,71], удовлетворяет задаче
£2 (Кг + ОКх) = АК + £2КР + 3, \х\ < ж, 0 <Ь<Т0 (35)
К(0, х) = 0,
3 = 0(^+2), (37)
где КР(К) = Р(SN+3 + РN+3 + К) — Р(SN+3 + РN+3). Оценки 3, а так же начальных условий получаются непосредственным вычислением с учетом алгоритма построения асимптотики.
Для оценки остаточного члена наложим два дополнительных условия. Условие 8. Внедиагональные элементы матрицы А неотрицательны: агз >
0^ = 3-
Условие 9. Вектор к1у отвечающий собственному значению Л = 0, имеет компоненты одного знака. При этом, очевидно, можно считать, что ког > 0Уг.
К
При выполнении условий 1.-9. существуют такие константы, е0 > 0 и Т >
0,С > 0, не зависящие от е, что для всех 0 < е < е0, \х\ < ж, 0 < Ь < Т реиление
задачи (35) - (37) существует, единственно и выполняется неравенство
\\К\\ < CеN+^
(38)
Доказательство. Возьмем произвольную точку M0(x0,t0) и опустим из
неё две характеристики на ось x = 0 lmax и lmin, отвечающих dmax = max dii и
i
dmin = min dii соответственно. Обозначим через До полученный характеристи-
i
ческий треугольник (область влияния на точку M(x0,t0)), а его основание на оси t = 0 через Г0.
Доказательство теоремы основано на следующих леммах.
Лемма 1. Пусть L линейный обратимый оператор, действующий на
вектор-функцию Y = {yi, 1 < i < n}, обладает свойством,: если все компо-
ненты вектора F положительны, fi > 0,1 < i < n, то реиление уравнения LY = F, где F = {fi, 1 < i < n}, тоже покомпонентно положительно: yi > 0, 1 < i < n
Пусть LYi = FbLY2 = F2.
Если f2i > \fu\, 1 < i < n, mo y2i > \yu\, 1 < i < n.
Лемма 2. Пусть U-реиление задачи
(Ut + DUx) = AU + F (x,t), (39)
U(x, 0) = U0(x), (40)
где A = {aij},aj > 0Vi = j, U = {ui},U0(x) = {u0(x)},F(x,t) = {fi(x,t)}, 1 <
i < n. Если для точки M0(x0,t0) выполнены неравенства fi(x,t) > 0 в Д0г u0(x) > 0 в Г0 для, всех 1 < i < n, то ui(x, t) > 0 в Д0 для, всех 1 < i < n.
Ui U2
(Uit + DUix) = AUi + Fi(x,t)i (41)
Ui(x, 0) = U0(x), (42)
где A = {aij},aj > 0Vi = j Ui = {uj},U0(x) = {u0j(x)},Fi(x,t) = f (x,t)}, 1 < j < Щ i = 1, 2.
Если U0j > \U2j^fij > \f2j\, mo Vx,t uij > \u2j\, 1 < j < n.
Доказательство. Доказательство сразу следует из лемм 1 и 2.
U
(Ut + DUx) = AU + F (x,t), (43)
U (x, 0) = U 0(x), (44)
где A = {aij},aj > 0Vi = j, U = {ui}, U0(x) = {u0i(x)},F(x,t) = {fi(x,t)}, 1 <
i < n.
Пусть rang A = n — 1, и собственный еектор Н1} отвечающий собственном,у значению А1 = 0, имеет компоненты, одного знака.
Тогда ЗС'1 > 0, С*2 > 0, что VM0(x0,t0) выполнено неравенство \\U\\д < Ci\\U 0\\г + C2t0\\F\\д.
Доказательство. На основании леммы 3 для оценки решения достаточно подобрать соответствующий барьер.
U
t2(Ut + DUx) = AU + t2Fl(x, t) + t2F2(x, t, U), (45)
x,t £ П = (\x\ < ж, 0 <t < T), (46)
U(x, 0) = U0(x), (47)
где A = {aij},aj > 0Vi = j, U = {u}, U0(x) = {u0i(x)},F(x,t) = {fi(x,t)}, 1 <
i < n.
Пусть
rang A = n — 1
2.Собственный вектор hl} отвечающий собственному значению А1 = 0, имеет компоненты, одного знака,
Fi
ления.
4- Пусть в области G : \ \U\\ < K, K > 0, F2(x,t, U) £ CQ- Обозначим через p максимум модуля производной F2 в обласmu G: p = max max max dj < ж.
О ij G j
5.F2(x, t, 0) = 0.
6. \\U0\\ < K.
Тогда существует t0 > и постоянные 0 < T0 < T,C > 0, не зависящие от t, такие, 4,moV0 < t < t0, VM0(x0,t0), 0 < t0 < T0, реиление задачи (45) — Д0
\\U\\д < C(\\U0\\r + t0\\Fi\\д). (48)
Доказательство. Доказательство проводится методом последовательных приближений.
Применяя к задаче (35) — (37) лемму 5, и полагая T = min[T0, T1], получаем доказательство теоремы об оценке остаточного члена.
Из доказанной теоремы, очевидно, следует, что при выполнении условий 1. — 9. решение задачи (4) — (5) при всех 0 < t < t0, \x\ < ж, 0 < t < T существует и единственно.
Отбрасывая в (34) в сумме слагаемые, имеющие порядок 0(ew+1), получаем, что решение может быть представлено в виде
N
U (x,t,£) = ^2 £l (Si (Z,t)Pi(£,T)) + ^ (49)
i=0
где R — остаточный член — имеет равномерную оценку
\\R\\< CtN+1.
6 Заключение
1. От условия однократности собственных чисел матрицы A с ReA < 0 без ограничений общности можно отказаться.
D
является существенным, от него отказаться нельзя.
A
виям, непусто. Например, им удовлетворяют симметричные матрицы
A = {aj}, у которых aii < 0 aij > 0 Vi = j, aii = —^2 aij• Для этих
j=i
же матриц выполняется условие 7 параболичности уравнения функции всплеска.
4. Совершенно аналогично строится асимптотическое разложение решения системы (4) с начальными условиями, имеющими область больших гра-
i
диентов порядка £ 1.
5. Алгоритм построения АР можно распространить на случай переменных
DA
6. Существование и единственность решения задачи (35) — (37) следует и из общих теорем о гиперболических системах [6], однако ввиду наличия малого параметра при старших производных применение этих теорем не дает приемлемых оценок промежутка, на котором существует решение, и приемлемых оценок остаточного члена.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (коды проектов 08-0600302, 09-01-12166).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
[1] Васильева А.Б., Бутузов В.Ф. Сингулярно возмущенные уравнения в критических случаях. М.: Изд-во МГУ, 1978, 262 с.
[2] Васильева А. Б. О внутреннем переходном слое в решении системы уравнений в частных производных первого порядка. Дифф. уравнения. 1985. 21. № 9, С. 1537-1544.
[3] Nesterov A.V., Shuliko O.V. The asymptotic solution of singularly perturbed system of first order partial differential equation in critical case// Тезисы докладов конференции ’’Mathematical modeling and analysis” , Trakai, 2005.
[4] Нестеров А.В., Шулико О.В. Асимптотика решения сингулярно возмущенн-ной системы дифференциальных уравнений первого порядка в частных
производных с малой нелинейностью в критическом случае // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2007, Т. 47, №3, С. 438-444.
[5] Нестеров А.В., Шулико О.В. Об асимптотике решения сингулярно возмущенной системы параболических уравнений в критическом случае. Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2010, Т.50,№2, С.268-275.
[6] Б. Л. Рождественский, Н. Н. Яненко. Системы квазилинейных уране-ний.М.: Наука, 1978, 688 с.
ИАТЭ НИЯУ МИФИ Поступило 30.10.2011
