Задача R-линейного сопряжения для прямоугольного клина в классе кусочно-мероморфных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

_____________УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 154, кн. 1 Физико-математические пауки

2012

УДК 532.546

ЗАДАЧА М-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ ПРЯМОУГОЛЬНОГО КЛИНА В КЛАССЕ КУСОЧНО-МЕРОМОРФНЫХ ФУНКЦИЙ

Т. В. Никопепкова

Аннотация

В работе дапо аналитическое решите задачи о возмущении заданного комплексного потенциала путем внесения в бесконечную изотропную среду инородного включения в виде прямоугольного клипа.

Ключевые слова: голоморфные функции, гетерогенная среда, задача К-линейного сопряжения.

Введение

Настоящая работа является непосредственным обобщением работы [1] и продолжением работ [2 4]. посвященных аналитическому исследованию одной из общепринятых в теории гетерогенных сред математических моделей. Эта модель сводится к задаче об отыскании комплексного потенциала в неоднородной среде в классе кусочно-мероморфных функций с фиксированными главными частями по краевым условиям соответствующей задачи R-линейного сопряжения. Известно, что решение подобных задач для неоднородной среды, состоящей из различных изотропных компонентов, представляет значительные математические трудности. Точные аналитические решения удается получить для немногих модельных задач для плоских, в основном двухфазных, сред, представляющих собой бесконечную однородную среду S2 с инородным включением Si, ограниченным одной из кривых второго порядка. В настоящей работе изучается случай, когда таким включением является бесконечный прямоугольный клин.

1. Постановка задачи

Рассматривается задача о возмущении заданного комплексного потенциала f (z) путем внесения в бесконечную изотропную среду S2 инородного включения Si -прямоугольного клипа (S1 = {z = x + iy, x > 0, y > 0}). Исследуется случай, когда у потенциала f (z) имеется конечное число логарифмических особенностей

Si S2

Функция F(z) = f '(z), комплексно-сопряженная с вектором скорости невоз-мущеииого потока, как однозначная мероморфная функция с конечным числом полюсов в расширенной плоскости C является рациональной функцией. Предположим, что полюсы F(z) не лежат на линии сопряжения областей Si и S2 , тогда F(z) может быть представлена в виде суммы F(z) = Fi(z) + F2(z). Здесь рациональные функции Fi(z), F2(z) являются суммами простых дробей с полюсами в областях Si и S2 соответственно, и следовательно, Fi(ro) = F2(to) = 0. Случай F(то) = Vq = const в более общей ситуации был изучен в работе [1].

S2 У S1 а X

0 ь

Рис. 1. Прямоугольный клип

Задача состоит в отыскании кусочно-мероморфной функции «(г) = {^(г), г € £1; «2(г), г € $2} то краевым условиям та линиях соиряжения областей £

и 52:

«і (ж) = А«2(ж) — В«2(ж), х > 0,

(1)

^1(1у) = А«2(1у)+ Вг^у), у> 0.

Кусочно-мероморфное решение «(г) задачи (1) ищется в виде суммы

V(г) = рз(г) + ^(г).

где «ор — неизвестные регулярные в области функции, а ^р(г) — известные главные части г>р(.г), р = 1, 2, исчезающие на бесконечности,

А = й+£1, в = ар«. (2)

2р1 2р1

Здесь р1 и р2 _ заданные положительные вещественные параметры, характеризующие физические свойства сред £1 и $2 соответственно (в частности, в электродинамике это коэффициент удельного сопротивления, в теории диффузии коэффициент диффузии, в теплопроводности коэффициент теплопроводности, и т. п.). У функций г>ор(г), г>ор(1/г), р = 1, 2, допускается наличие интегрируемых особенностей в начале координат:

1«0р(г)| = о(|г|±1), |г|±1 ^ то.

В дальнейшем, говоря о решении поставленной задачи в указанном классе функций, а также задач, к которым она будет последовательно приводиться в процессе решения, для краткости будем ссылаться на соответствующее краевое условие (например, задача (1)).

2. Решение краевой задачи (1)

Введем функции

, г’оі(-г) - АР2{г) - Вг>02(-г), г Є

^+(*) = 4 _________ _ (3)

[Ап02(г) - ^(г) + ВР2(-г), г Є С+\вь V-(г) = А«о2(^) — ^і(г), г Є С-, (4)

голоморфные соответственно в верхней, С+ = {г : 1т г > 0}, и нижней, С = = {г : 1т г < 0}, полуплоскостях. Определим функцию

V(г) = {У+(г), С+; У-(г), С-},

С

(4) получим краевую задачу

V-(х) — V + (х) = Д(V +(—ж) + V2(х)) + 5(х), х > 0,

V+ (х) = V (х) + ВВ2( — х), х< 0,

эквивалентную задаче (1), где

(5)

5 (х) = Д(Л (х) + Л(-х)) + В(^2 (х) — Д^2 (х)),

а Д = В/А, и следовательно, |Д| < 1.

Решение данной задачи в силу (3), (4) следует отыскивать в классе голоморфных в С\М функций, для которых в начале координат и на бесконечности выполняется условие

|±Ь

і±і

то.

Используя последние соотношения и те, что получаются из них заменой х на —х и комплексным сопряжением, относительно четырехмерной вектор-функции Ф(г) с компонентами

Фі(.г) = У(г), Ф2(г) = У(-г), Ф3(г) = У(г), Ф4(г) = У(-г), (6)

придем к четырехмериой задаче Римаиа с краевыми условиями

ф£(ж) = Ф2 (ж) — ВВ2(ж),

Ф+ (х) = Ф- (х) + ВЛг(х), Ф-(х) - Ф+(х) = Д(Ф+(х) + Ф+ (х)) + 5(х),

Ф+ (х) — Ф3 (х) = Д(Ф2 (х) + Ф-|_ (х)) + 5(х),

х> 0

Ф+ (х) = Ф1 (х) + ВВ2(—х),

Ф+(х) = Ф-(х) — ВВ2(—х),

Ф+(х) — Ф-(х) = Д(Ф- (х) + Ф-(х)) + 5(—х),

1Ф-(х) — Ф+(х) = Д(Ф+(х) + Ф+(х)) + 5(—х),

х< 0

Перепишем последнюю задачу в векторной форме:

Ф+(ж) = <ЗФ (х)+Н(х), ж > 0; Ф+(ж) = РСРФ (х)+РН(—х), ж < 0, (7)

где постоянная невырожденная матрица О и перестановочная матрица Р имеют

вид

О =

1 — д2 —д2 —Д —Д 0 0 0 1

0 1 0 0 , Р = 0 0 1 0

Д Д 1 0 0 1 0 0

0 0 0 1 1 0 0 0

(8)

H(x)

H(x) = (-Д5(x) - S(x) - ДBF2(x), -BF2(x), S(x), BF2(x)). Решение задачи (7) в силу (6) должно удовлетворять условиям

Ф(-г) = Р1Ф(г), Ф(г) = Р2Ф(-), Ф(-^) = РФ(-),

где Рх, Р2 — перестановочные матрицы

(9)

P1

О І О О О О І О

І О О О , P2 = О О О І

О О О І І О О О

О О І О О І О О

а также условиям в нуле и на бесконечности:

±1

±1

Ж, з

І, 2, 3,4.

Рассмотрим линейное преобразование

Ф(г) = W-1Ф(г)

(Ю)

Где ^ - матрица, приводящая матрицу С к нормальной жордановой форме . Матрицу РСР это преобразование приводит к треугольной матрице ,12. С помощью замены (10) задача (7) приводится к эквивалентной задаче:

где

*+(x) = J1^ (x) + K1(x), x> О; *+(x) = J2^ (x) + K2(x), x< О

J1

(ID

І О О О І О А-І А - І

О І 0 О , J2 = О І Д Д

О О А О О О А 0

О О О А О О О А

A = (2 - Д2 + ІДv74 - Д2)/2 = e' -1

W

О -І (А — 1) (А-

Д Д

О І О О

-І О І І

І О О О

W-

= еП1а N < І/2,

=W- 1РЯ(-ж),

О О О І

О І О О

Д Д І І

A-A A-A 1 + A 1 + A

Д Д І І

(12)

(13)

. (14)

А — А А — А 1 + А 1 + А

Принимая во внимание тождества (9), решение задачи (11) следует отыскивать в классе кусочно-голоморфных функций, удовлетворяющих условиям:

Ф(-г) = \¥-1Р1\¥Я>{г), Ф(Ж) = \¥-1Р2\¥Ъ{г), Ф(-Ж) = \¥~1Р\¥'1!(г), (15)

при этом функции Ф(.г) и Ф(1/.г) допускают наличие интегрируемых особенностей в начале координат, то есть

|*j (z)| = o(|z|±1), |z|

±1

ж, з = І, 2, 3, 4.

(16)

Решение краевой задачи (11) следует начинать с отыскания последней компоненты - Ф4. Относительно нее имеем краевую задачу Римана с разрывными коэффициентами

Ф+(х) = С4(х)Ф-(х) + д4(х), х € М, (17)

]Л, х> 0, ]к14(х), х> О,

С4(ж') = 1Т ^ п 9^х> = г,- f 1 ^ п

I Л, х < О, I Л24(х), х < О,

где К'4(х) - четвертые компоненты вектор-функций К^ (х), j = 1, 2, определенных формулами (13).

Умножая обе части равенства (17) на Л и факторизуя коэффициент Л(34 с помощью ветви функции 1/х(г) = 1/^“, фиксированной в плоскости с разрезом по

отрицательной части вещественной оси условием | а^ г| < п, задачу (17) приводим

к виду

АФ4 (х) = ^ Ф7(х) + Хд4(х), х £ М.

Х+(х)

Последнее условие может быть записано в виде

ЛФ+ (х)х+(х) - Т4+ (х) = Ф-(х)х-(х) - Т4-(х), х € М, где интеграл типа Коши

пн = ^ /1м(гк+(г)аг, (18)

2п1 у т — £

м

дает решение задачи о скачке

Т4+ (х) - Т4-(х) = А<74(х)х+(х), X € М.

Следует заметить, что интеграл (18) сходится в силу того, что #4(х) - рациональная функция, исчезающая на бесконечности.

Учитывая, что Ф4 принадлежит классу кусочно-голоморфных функций, удовлетворяющих в нуле и на бесконечности условиям

|ад| = о(1^|±1), -то,

общее решение задачи (17) получим в виде

Ф4(*0 =

ГЛ(Т4(г) + С4)/х(^), 1т г> О, \(Т4(г) + С4)/х(^), 1т г< О,

где с4 - произвольная комплексная константа.

Аналогично выписывается решение задачи Римана относительно Фз:

Ф+(х) = Сз(х)Ф—(х) + 5з(х), х € М

ГЛ, X > 0, \ К13(х), х > О,

Сз(х) = Ь / п ^з(х) = <

|^Л, х < О, |^К2з(х), х < О,

где К'з(х) — третьи компоненты вектор-функций К^ (х) (j = 1, 2). Общее решение этой задачи представляется следующим образом

т , . ГАх(-)(Тз(-) + С3), 1т £ > О,

ад = \

[х(^)(Тз(г)+ сз), 1т г< О.

Здесь функция х(г) = факторизует коэффициент задачи ЛСз.

= +У} /г, (19)

2п1 7 х+(т)(т — г)

м

сз

Далее, подставляя Ф—(х), Ф—(х) в первые два условия (11), относительно Ф^г), Ф2(г) получим две задачи о скачке

Ф+(ж) - Фх (х) = |(Л _ 1)ф-(ж) + (д _ 1)ф-(ж) + к21(х), X < 0, (20)

Ф+(х) — Ф—(х) = {К12(х) х>0, (21)

2К ’ \ДФ—(х)+ДФ—(х)+ К22(х), х < О. 1 '

Здесь К.д(х), К^2(х) - первый и второй компоненты вектор-функцпй Kj(х) соот-

ветственно. Частные решения задач (20), (21) дают интегралы типа Коши

оо 0 _

2шТМ = /^<* + I (22|

сю 0

2„Тф) = 7,1т + / АФзМ + АФГМ + ^М йт< (23|

где Ф3 (х) = х (х)(Тз (х) + сз) и Ф4 (х) = (Т4 (х) + С4)/х (х). Интегралы (22), (23) в силу (16) принадлежат классу искомых функций, то есть удовлетворяют условиям

|Т1,2(г)| = |г|±1 — ТО

С учетом класса искомых функций решением задач (20), (21) будет

Ф1(г) = С1 + Т1(г), Ф2(г) = С2 + Т2(г),

с1 , с2

Чтобы найти решение задачи (11), а следовательно, задачи (1) в явном виде достаточно рассмотреть два случая расположения особенностей ^(г).

3. Случай, когда особенности заданного комплексного потенциала расположены в области £

Не уменьшая общности, достаточно исследовать случай потенциала с единственной особенностью в произвольной точке а = ге1^, О < ^ < п/2, то есть когда

П

ПМ-'£Г}М,

к=1 ( '

Свободные члены задачи (11) в этом случае в силу (13) будут иметь вид:

Кі(х) = {0,0,Р1М(х) + рзМ (х), ріМ (х) + рзМ(х)}, (24)

К2(х) = {—Д"М(ж) — АМ(х),АМ(х),рзМ(х) + р4М(х),рзМ(х) + р^М{х)}, (25)

где М(х) = ^х(-х) + Л(х) и

Р1 = Д2/(Л-Л), р2=Д/(А+1), рз = -Арь _р4 = -Ар2- (26)

Прежде всего вычислим интеграл (18):

А (' Ки(т)х+(т)<1т А (' 1<24(т)х+ (т) <1т

2п1

__2

Так как х_ (£) = А х+ (£) на Мто справедливо равенство

Г Кп,а{т)х+(т) ёт = 1 I' К24{т)х{т)<1т

.! г - г 1 - Л2 •/ т _"

К- К-+и К-2

(27)

где М_ + , М__ - верхний и нижний берега разреза по отрицательной части вещественной оси соответственно.

Аналогично, на М+ получим

Г Ки(т)х+(т)Ат = Г Ки(т)х1 (т) Ат = 1 Г Кы(т)х1(т)<1т

.] т — г ] т — г 1— Л2 У т — г

К+ К+ К+~и К+ +

где Х1(^) = — ветвь, фиксированная в С\М+ условием 0 < а^ г < 2п, при этом

Х_(£) = А2х+(^), £ > 0. Следует заметить, что функции х1(г) и х(г) связаны соотношением

{х(г), 1т г > 0

2

А2х(г), 1т г < 0.

В силу теоремы Коши о вычетах интегралы в правых частях соотношений (27), (28) с учетом равенства К24(х) = —ХКи(х) , которое вытекает из (24) (26), и представления функции

т.- I \'— ({ — ^)ко-к , а,к ^ , —({ — 1)как | ак ^

А14(х) - ^Р1 + (—1^) +Р2 ^^

равны сумме вычетов подынтегральных функций в простом полюсе т = г и в полюсах порядка к в точках ±о, ±о (А; = 1,..., п). Следовательно,

1 [ Х1{т)<1т _ Х1(г) , , Х1(£)

2п1 у (т — г)(т — а)к (г — а)к (С — г)(С — а)к’

к+-ик++

где вычет в точке а находится стандартным образом:

*,<0 - 1 Нт

(С — г)(С — а)к (к — 1)! е-

►а

х1(С) 1(к_1}

С — г

е

_ \ ' Ск- 1X1 (а)(к 1 У)! _ — XI(а) \ ' 5

(А - 1)!(г - а)к~з {г - а)к ) \а

х^'^а) - у'-я производная функции х1(г) в точке г = а.

т — г

С учетом этих выкладок последний интеграл, обозначим его через qk, имеет

(ЭД

к+ -у к+

где

Аналогично на М_

1 [ Х(т)йт х(^) - х(а)гк (г/а; а)

2пі У (т — г)(т — а)к (г — а)к

К_+ и К--

9к(г; а). (32)

Интеграл (30) при г — а имеет предел, равный х(к) (а)/к!, а для интеграла (32) этот предел равен х1к)(а)/к!.

Таким образом, для интеграла Коши (18) получено представление

А п

= \ Д9 а) + (-1)кС)к(г; -а))+р2ак((^к{г] а) + (-1)кС)к(г; -а)),

к=1

где р' определяются соотношениями (26), а

^к(г; а) = ql1(z; а) + Аqk(г; а).

Для интеграла (19) справедливо представление

О -гг, ^ Г АА'13(т) /• АА23(т) ^

2тпТз(-) = ,, и-г<1г+ —— -------<1т =

У х+(т)(т — г) У х+(т)(т — г)

К+ КА [ 1<1з(т) , , А [ К23(т) ^

1-А2 -I XI (т)(т - г) Т 1 — А2 У х(т)(т - г) Т'

К+~и К+ + К-+и К-2

На основании (13) для функций А1з(х) и А2з(х) вычисление интегралов (33) сводится к суммированию в точках ±о, ±о следующих интегралов

1 [ (г - о) й (іт _ Хі ~ Хі ("/а; -<*)

2тгі У (т-^)хі(т) (г-а)к

к+2 ик++

1 [’ {т-а)-к([т _ х-1(г) ~ Х"1^)?’*: ("/«і -«)

2тгі У (г - ^)х(т) (г - о)й

К-+ и К--

Таким образом, получили

'?11(г;а) (34)

%(г; а). (35)

А л ~ _

Тз{%) = ------=2 'У^,Ріак(Як(ї', °) + ( —1)&(3 ~а))+Р20'к(Я к(^', о) + ( — 1)! — &)),

1 — А к=1

<ЗФ; а) = <^(г; а) + А<?ф; о).

+

Так как А11(х) = А12(х) = 0, то интегралы (22), (23) есть сумма интегралов типа Коши по отрицательной вещественной полуоси с плотностями Ф_(ж) = = х_(х)(Т_(х) + сз), Ф_(х) = (Т4_(х) + С4)/х_(х) и А2'(х) (з = 1, 2) соответственно.

Имеем

[ ——с1г = —Д [Аак(Ок(г', а) + ( — 1)к —а)) +

к- Т — ^ к=1

+ ак(^к (г; а) + (—1)к^к(г; —а))] ; (36)

/ :^^с1г = ^Да^[^(г;а) + (-1)'гА(г;-а)], (37)

к- Т ^ к=1

где А2' (т) (у = 1, 2) — з’-й компонент вектор функции (25) и

. . [ (т — а)_к 1 ( г к-1 (1 — г/а)'\ . .

в'Лг:а) = ]Ат = —^ 1‘% + ^—з— <38>

к_ \ '= )

Здесь 1п С - ветвь логарифма, фиксированная в С\М_ условием —п < а^ ^ < п. Легко доказать, что справедливы следующие равенства

[ С4 ёт 2п С4 Г х_(т)сз ёт 2п

------------------------------------ =2-7Т7Т’ / —I-:-= То-7*(-)сз. (39)

} X (т)(т - -) Л2-1Х(^)’ } т~ г X2 — 1'

К- К-

Чтобы вычислить интегралы

[ Т±{т)Ат Г х~(т)Г3~(г)(1г

■1 X~(т)(т-z), } т z

достаточно найти, используя представления функций Qk, Qk и формулы (31),

(32), (35), (38), значения следующих двух интегралов:

Г дк~(т;а)<1т = Г хГ(Г)+ЛХ~(Г) _■ _

3 Х~(т){т-г) ] х~(т){т - г){т - а)к Т

- Г <1^р!1 = (л= + л№(г;,,)_

^ Vз) а' Л- х (т)(т — г)

к-1

\г^ I оЛхЛа) +Ах(а) 2тг1 _

- 2. I ----------~з--------а), (40)

'=0 ^ / А — 1

где х1(г) связана с х(г) соотношением (29). Аналогично, имеем

I' Х~(т)Як(т;а)<1т =

.1 т - г

К-

/-г-2 —ч . ч /—оЛ \л (а) + А^ 2т . . , ч

= (А + А).0&(г;а) - ^ ^ ^----------- ---------д2 _ а)- (41)

Таким образом, значение интегралов Т(г) может быть выписано на основании соотношений (40), (41), формул (38), (39), а также интегралов типа Коши (36), (37).

Возвращаясь теперь к функции Ф(г) и требуя, чтобы выполнялись тождества (15), получим, что С! = с2 = с3 = с4 = 0. Искомое решение задачи (5) на основании (6), (10), (14) удобно найти с помощью соотношения V(г) = Ф2(-г). Отсюда с учетом (12) (2) и представления функции А! (г) находим

Здесь функция х(г) = г“, фиксированная в плоскости с разрезом по отрицательной части вещественной оси условием | а^ г | < п, удовлетворяет равенствам

Используя теперь формулы (3), (4), выпишем решение задачи (1) в случае, когда комплексный потенциал имеет особенность внутри включения $1:

где V + (г) = {V(г), 1т г > 0}, V_(г) = {V(г), 1т г < 0} - функции, аналитические в верхней и в нижней полуплоскостях соответственно, причем по построению функция «2 (г) непрерывна на М_ и, следовательно, голоморфна в $2.

4. Случай расположения особенностей потенциала f (г) в об л ас ти $2

Пусть Ь = ге1^, п/2 < ^ < 2п и

П

к=1

+ (-г)^к(г; а) + ^1к(г)^г (г5 -а)) > (42)

ЬЩг; о) = (г/о; а) + (г/о; -а), г = 1, 2, 3,4,

(44)

х(-г) = етпаіх(г), г Є С±.

гф) =Аі(г) + 1/+(г) + Д(1/+(-г)+А1(-г)), г Є й'ь

Аі(г)/А + 1/+(г)/Д гЄС+^ь Аі(г)/А + V (г)/А, г Є С ,

к= 1

тогда свободные члены задачи (8) в силу (13) будут иметь вид:

Кі(х) = {ВА2(ж), -В^2(ж),рі^2(ж) +р2А2(.г’),р1А2(ж) + р2А2(ж)}, (45)

А'2(х) = {-ДВА2(-х) + В(А2 - 1)А2(-ж), ВА2(-х) - ВДА2(-х),

р3А2(-ж) +Р4А2(-ж),^А2(-ж) +рїА2(-ж)}, (46)

где

Р1 = В(Х + 1)Д/(Л - Л), ро = В, рз = —Лр1, р4 = АХр1-В. (47)

Так же. как и в предыдущем случае, последовательно найдем значения интегралов типа Коши Т(г), ] = 1, 2, 3, 4. На основании соотношений (27)-(32) и (45), (46) выпишем значение интеграла (18):

1 \ - — _____—2

ТФ) = =—(pi^ql(z',b) ~Рз(-1)кЧк(г; -6)) + Л - л k=1 v у

+ Ък (рпХ'ql(z;b) -p4(-l)kqk(z; -bfj ,

где коэффициенты р определяются по формулам (47). Далее, используя формулы

(33) (35), получим, что интеграл (19) равен

1 " — - -

Тз{г) = ----= ^Ък (р1Х2д1к(г]Ь) - р3(-1)кдк(г] -Ь)) +

Л - Л к=1

+ ^ (р2л2«Т11(г;ь) -Р4(-1)к5й(г;-Ь)).

Подставляя теперь функции Ф- (ж) = X (ж)(Т3 (ж) + сз) и Ф4 (ж) = (Т4 (ж) + + с4)/х-(ж) в интегралы (22), (23), найдем значения интегралов Т1(г), Т2(г) в явном виде. В отличие от предыдущего случая, в условиях (20), (21) свободные члены Кц(ж) и К12(ж) тождественно не равны нулю, поэтому частные решения (22), (23) этих задач содержат интегралы по М+, которые в силу (38), (45), (46) имеют вид

Lii(i~)di~ _ —В n / i.\ I _ В — п , 1Л

т-z ~ (-l)fc ^ J T-Z ~ (-l)fc ^

k= 1 m, k=1

Интегралы по отрицательной вещественной полуоси в (22), (23) вычисляются точно так же, как и в предыдущем случае, с использованием формул (30) (32), (34) (39).

Поскольку справедливы соотношения (15), имеем, как и выше, что С1 = С2 = = сз = С4 = 0 и искомая функция V(г) = Ф2(-г) имеет вид

П

V(z) = ]Г (F^-z)Li(z-,b) +Ff{¥)Ll(z; -b) + k=1

+ Fk(-z)Ll(z;b) + Fk(z)Li(Z] -6)) +M^)B где I с - характеристическая функция множества C:

Ic- (b), Im z> 0, -IC+ (b), Im z < 0,

Ых) = \о Х-1г (49)

I 0, х ^ О,

Ц,(г] Ъ) = 1^Нк(г/Ь; а) + 1^Нк(г/Ь; -а), ] = 1, 2, 3,4,

Дк (г/Ь; ад) выражается по формуле (43) и

11 = Х^11о, и = Б!1 13 = Х±114, /4= ГБА , ЬеС*. (50)

“ (Л-Л)2’ ’ (А-А)2’ ^

Частное решение исходной задачи (1) в случае, когда комплексный потенциал имеет особенности в «2 , теперь может быть найдено на основании соотношений (3), (4). Общее же решение составит сумма двух частных решений, соответствующих внутреннему и внешнему расположениям особенностей.

Таким образом, доказана

Теорема 1. Если заданный комплексный потенциал /(г) имеет лишь конечное число особенностей, не лежащих на линии сопряжения областей « и «2, и F(г) = ^(г) + Д2(,г), где ^1(г), Д2(г) - суммы простых дробей F(г) с полюсами в «ь соответственно, тогда решение задачи (1) находится по формулам

Vl(z) = F^z) + V+(z) + A(V+(-z) + F-ti-z)) + (A- BA)F2(z), z є S'b (51)

,2(*) = вд + вдм+ ^cn*, (32)

[V (z)/A, z G C ,

где кусочно-голоморфная функция V(z) = {V+(z), C+; V_(z), C_} есть сумма двух частных решений (42) и (48).

Замечание 1. Следует отметить, что функция v2(z), определенная формулой (52), в силу (5) непрерывна на R_ и, следовательно, голоморфна в S2.

Замечание 2. В частном случае, когда заданный комплексный потенциал имеет в качестве особенностей лишь логарифмические особенности в конечных точках zi G Si и z2 G S2, то есть

Fi(z) = ———, F2(z) = ———, (53)

z — Zi z — Z2

искомое решение задачи (1) находится по формулам (51), (52), где кусочно-голоморфная функция V(z) = {V+ (z), z G C+; V_(z), z G C_} на основании формул (42), (48) имеет вид:

V(z) = V1(z)+V2(z) (54)

[-Ic+ (z2), Im z< 0,

где IC - характеристическая функция вида (49),

( Уі{г) = Рі(-г)Ь1(г] £*) + ^(г)Ь2(г; -г.і) + ДД-г)Ь3(г; + ^(г)Ь4(г; -їі), [Ь>(г;гі) = а) + -а), ] = 1,2, 3,4, і = 1,2,

(55)

где коэффициенты (з^, /^ (з2) определяются формулами (44) и (50) соответственно, а

Д(з; а) = - 1, з Є С±. (56)

Пример. Пусть рі = 1, р2 = 10. На рис. 2 приведены распределения линий тока н эквипотенциалей, полученные с помощью формул (53) (56). Левый рисунок соответствует случаю вихре-источника в точке зі = 3 + 5І и вихре-стока в точке z2 = —2 — 3І, когда

рф)= 1 + 31 , вд= ~2~13і-

з — 3 — 5І з + 2 + 3І

На правом рисунке приведена картина поля в случае вихреисточника в точке = = — 3 + І и двух впхрестоков в точках з і = 3 + 4І, = 1 — 4І:

іг г \ -3 + і -2-і 2 + Зі

^і(-) = —^= 7 ї і +

z — З — 4i z — 1 + 4i z + З — i

Рис. 2. рі = 1, р2 = 10

Замечание 3. В случае вырождения среды в однородную, когда р1 = р2. имеем в силу (2), (12), что Д = 0, а = 0, и формулы (48), (51), (52) приводят к результату

Уі(г) = 'о2(х) = ^і(г) + Р2(г).

Summary

Т. V. Nikonenkova. R-Linear Conjugation Problem for a Rectangular Wedge in the Class of Piecewise Meromorpliic Functions.

The paper presents an analytical solution for the problem of perturbation of a given complex potential by inserting a foreign inclusion of the form of a rectangular wedge into an infinite isotropic medium.

Key words: holomorphic functions, heterogeneous medium, R-linear conjugation problem.

Литература

1. Обносов Ю.В. Решение задачи R-липейпого сопряжения теории композитов для одной трехкомпопептпой среды // Изв. вузов. Матом. 1996. Л'! 5. С. 63 72.

2. Obnosov Yu. V. A generalized Milne-Thomson theorem // Appl. Math. Lett. 2006.

V. 19, No 6. P. 581 586.

R

case of hyperbolic interface // Lithuanian Math. J. 2008. V. 48, No 3. P. 322 331.

4. Обносов Ю.В. Краевые задачи теории гетерогенных сред. Многофазные среды, разделенные кривыми второго порядка. Казань: Изд-во Казан, ун-та, 2009. 205 с.

Поступила в редакцию 16.01.12

Никоненкова Татьяна Владимировна аспирант кафедры дифференциальных уравнений Казанского (Приволжского) федерального университета.

E-mail: nikaatv Qmmbler. ти