Однородная краевая задача Римана для обобщенных аналитических функций с дополнительными условиями на искомые функции Текст научной статьи по специальности «Математика»

ДОКЛАДЫ АКАДЕМИИ НАУК РЕСПУБЛИКИ ТАДЖИКИСТАН _________________________________2006, том 49, №10-12__________________________

МАТЕМАТИКА

УДК 517.554

Р.Акбаров, Х.Хидиров ОДНОРОДНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА РИМАНА ДЛЯ ОБОБЩЕННЫХ АНАЛИТИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ С ДОПОЛНИТЕЛЬНЫМИ УСЛОВИЯМИ НА ИСКОМЫЕ ФУНКЦИИ

(Представлено академиком АН Республики Таджикистан Л.ГМихайловым 29.12.2006 г.)

1. Пусть L состоит из простых непересекающихся гладких замкнутых кривых Жорда-но ^^1,...^п, из которых Lo содержит внутри себя остальные. Область, заключенную внутри Lo и вне Ll,L2,...,Lп, будем обозначать через D+ , а его дополнение до полной плоскости через D- =СШ+.

Пусть F={Fl,F2,.,Fn} - конечное множество заданных особых точек искомой функции (полюсов или существенно особых),не лежащих на L. Обозначим через Ш,Ш,из,.. ,,ип -малые окрестности точек Fl,F2,.,Fn соответственно.

Говоря о малости окрестностей и„ точек ^ мы имеем в виду, что множества Uv попарно не пересекаются и все лежат в С^. В проколотых окрестностях и v\F V зададим Н-непрерывные функции ^ ^). Предположим, что при каждом v=1,2,...,n заданная функция £, v (z) аналитична всюду на С^. Тогда можно ввести

f (z) = Є( z) + £2( z) +... + ? (z) ={

обобщенно аналитическую функцию (о.а.ф) всюду вне точек Fl,F2,...,Fn и № непрерывно продолжаемых через контур L. Обозначим F=F+UF_, где F+(F_) - множество особых точек функции Дг), лежащих в D+ (D"). Функции f+(z) и £^) обобщенно аналитичны всюду вне соответствующих особых точек. В частности, Д+ ф обобщенно аналитична в D" , а Д_^) в D+.

Для уравнения

5 (^ - /)

= A(z)(w - f) (1)

о z

требуется найти функции: [W+ (z)-f+(z)] - регулярное решение уравнения (1) в D+ H - непрерывное вплоть до L, и [W ~(z)-f_(z)] - регулярное решение уравнения (1) в D, H - непрерывную вплоть до L, если на контуре L их связывает линейное соотношение

[W * (t) - f (t)] = G(t) [W - (t) - f_ (t)], (2)

где ) - заданная комплексная функция, удовлетворяющая условию нормальности 0(?) Ф 0 и условию Гельдера. Функцию /(z) обычно в теории краевых задач [1] называют главной частью искомой функции Ж(z), а разность Ж(z)-/(z) должна быть о.а.ф. Упомянутую пару

Обобщим постановку задачи, допуская для искомой функции полюс с заданной главной частью ир^) на бесконечности. Тогда задачу можно коротко сформулировать так:

Найти кусочно-регулярное решение Ж^) - /(z) уравнения (1), имеющее в конечном числе изолированных особых точек заданные главные части /(z) и конечный порядок с заданной главной частью Ир^) на бесконечности по краевому условию (2).

Сформулированная задача в случае / (z) = 0 была предметом исследования И.Н.Векуа[2], Л.Г. Михайлова [3] и их учеников. В случае /^) Ф 0Д^)^0 для аналитических функций (а.ф.) задача исследована в [1] и принята называться задачей сопряжения (Римана) для а.ф. с учетом заданных главных частей. Это название сохранимо и для о.а.ф.

2. Прежде всего отметим, что всякое решение уравнения (1) с учетом заданных главных частей кусочно-регулярное в области D, за исключением линий разрыва первого рода коэффициента А^), кроме, быть может, концов, вблизи которых допускает оценку

и дискретного ряда изолированных особых точек функции w — /(z), допускает представление

и (р(z) - аналитическая функция, £=^П функция (н - /)/ ^-Д) интегрируема и имеет разрывы первого рода в точках множества F и нулях функции ’-Д^). Действительно, пусть

функций + (z) - / (; [Ж - / ^)]} будем называть кусочно-регулярным решением.

(3)

где

(4)

w — / = |w — /\єІр = рєІр, тогда

и (н—/)/(н — /) - ограниченная функция. Функция А(z) в равенстве (4) непрерывна во всей плоскости, а на бесконечности допускает оценку

ю^) обладает следующими свойствами:

10. б)( z) - непрерывна на всей плоскости ;

^ ч ^ ~ да л (н - /)

2 . а(z) е Cz во всей плоскости и —=- = А(z)-----------;

5 z (н - /)

3о. а(да) = 0.

Непосредственной проверкой легко убедиться, что функция, представленная формулой (3), будет регулярным решением уравнения (1) всюду, кроме линии разрыва коэффициента Л^) и множества Б функции ’-Дг) Если линии разрыва замкнуты, то они разбивают плоскость на две различные области Б + и Б- . Тогда формула (3) даёт регулярные решения отдельно в Б + и Б - . Формула (3) является основной. Более того, она обратима, и всякой аналитической функции ф(2) соответствует по формуле

1+л Г,( z,C)dïd!1 + +||Гр( z,C)dïd¡1

(2)

регулярное решение уравнения (1) и, обратно всякому регулярному решению уравнения (1) соответствует по формуле (3) аналитическая функция. Формулы (3) и (6) устанавливают гомеоморфизм между аналитическими функциями и регулярными решениями уравнения (1).

<р <р

Здесь Г и Г2 - резольвенты уравнения

^ = А(^.^), ¥(;) = = е”<=>

дх (р^) (р(1)

Найдя из (3) Ж± (1)-$± (1) = ф1 (1;)еа(г) и вставляя в (2), приходим к обычной задаче Ри-мана без учета заданной главной части

ср+ (г) = О(г(г), г е Ь. (7)

Ввиду того, что формула (3) допускает однозначное обращение, совокупности решений задач (2) и (1) находятся во взаимнооднозначном соответствии. Значит, выводы о картине разрешимости задачи переносятся без всяких изменений. Можно получить и сами решения, но мы здесь решение задачи дадим методом, основанном на понятии индекса и канонической функции. Индексом и канонической функцией задачи (2) будем называть индекс и каноническую функцию, соответствующую обычной задаче Римана без учета заданных главных частей (7). Каноническая функция х(г) удовлетворяет краевому условию

х+ (г) = С(ґ')х (г), г є і.

и не обращается в нуль нигде в конечной плоскости, включая контур Ь, х+ (г) ^ 0, х (г) ^ 0, и на бесконечности имеет порядок (-ж). Исключив коэффициент 0(1) из равенств (8) и (2), будем иметь:

(г) - /+ (г) _ (г) - /- (г)

г є Ь.

(9)

х+ (г) X (г)

Равенство (9) представляет собой условие непрерывности на контуре для функции [н(z)-/(z)]/х(z). Так как [н(z)-/(z)]/х(z) принадлежит классу С-, а х(z) голоморфна в

Б1 и х(z) ^ 0, то [н^) - /(z)]/х(z) принадлежит классу С - в Б1, причем

д_

д z

1 д(^ - /)

X(z) дz

Используя уравнение (1) для получим

_д_

д z

= А(z) •

Х( z) Х( z)

- /

X

(10)

Уравнение (10) того же типа, что и исходное уравнение (1), но с коэффициентом Л(2) [х(Х)/ х^Я непрерывным во всей плоскости за исключением линии Ь, где он имеет разрыв первого рода и на бесконечности удовлетворяет условию (5). Записывая краевое условие (9) в виде задачи о скачке

(г) (г/+(г) /-(г)

х+ (г) х- (г) х+ (г) х- (г)’

г є Ь

(11)

и используя обобщенный интеграл типа Коши, будем иметь

ф (z) = /(z) + [ (z) + V (Ю ] х( z),

где

/+ (т) /- (т)

,х+(т) х~(т).

ёт——Г 0)п(z,г) 2жі і 2

/+ (г) /- (г)

х+ (т) х~(т)

ёт.

2п+1

ю1з ю2 - ядро уравнения (10), ^ (z) =^ (z) - аналог многочлена, построенного в [4].

к =0

Функция ф (z) выражает влияние заданных главных частей на общее решение задачи и носит название функций заданных особенностей.

Формула (12) выражает общее решение однородной задачи Римана для о.а.ф. с заданными главными частями. Из нее видно, что решение однородной задачи с учетом заданных

главных частей имеет неоднородный характер. Исходя из общей формулы (12), приведем анализ решений, исчезающих на бесконечности.

1. ж>0. х(2) на бесконечности имеет нуль порядка ж, У^), очевидно, можно взять порядка не выше ж-1, т.е.

2к-1

V,(z) = 2 4'7к (*),

к=0

и решение задачи будет: н = I(z) + [^) + V Дz)]х^) (13)

2. ж=0. Ур(7)=0, и единственное решение дается формулой

Ж = I ^)+Ж^х^) (14)

3. ж<0. х(2) на бесконечности в нуль не обращается и имеет полюс порядка (-ж), но

Ур(г)=0. Функция Wf (7) как обобщенный интеграл типа Коши имеет на бесконечности в общем случае нуль первого порядка. Для существования решений необходимо и достаточно,

чтобы ’д(7) имела нуль порядка -ж+1. Поскольку ’д (7)-функция не аналитическая, в степенной ряд не разлагается, то будем исходить из того, что Wf ^) является решением уравнения (10):

Ж ( z) = ^( z)eа( 2)

где

г) = -1Я А(0 -^, (15)

х(£) Жг(£) С-z

Отсюда следует, что ^ (z) на бесконечности имеет нуль порядка (-ж)+1 тогда и только тогда,

когда ф(7) имеет тот же порядок. Все сводится к исследованию аналитической функции. Из

(15) можно найти ф(7) и выписать условия разрешимости, но удобно представить ф(7) в форме интеграла типа Коши. Для этого вспомним, что (z) имеет скачок

Ж} (г) - Ж-(г) = ^7-^7, г є Ь.

/+ (г) /- (0 х+ (г) х~ (г),

Отсюда и из (3) находим

Р+ (г) -Р~ (г) =

/+ (г) /-(г)

£-®(г)

_х (г) х~ (г) _

Последнее равенство есть задача определения кусочно-голоморфной функции по заданному скачку. Решая её, найдем

р( г)=^Ь I

МП-1-(г) е-®(т)_Г

т-z

Разлагая интеграл в степенной ряд в окрестности бесконечно удаленной точки и при-

При выполнении этих условий ф (7), а вслед за ней w f (7) будет иметь нуль порядка

|ж|+1. Итак, при ж<0 необходимые и достаточные условия разрешимости однородной задачи состоят в выполнении |ж| равенств (16). Подведем итоги проведенного анализа

Теорема: Однородная задача Римана с дополнительными условиями (заданными главными частями) на искомой функции при ж<0 имеет 2ж линейно независимых решений в смысле комбинации с вещественными коэффициентами и его общее решение дается формулой (13).

При ж =0 решение единственно и дается формулой (14)..

При ж<0, задача, вообще говоря, не разрешима. Для разрешимости задачи необходимо и достаточно выполнение |ж| условий разрешимости (16). При их выполнении общее решение задачи дается формулой (14).

Кулябский государственный университет Поступило 29.12.2006 г.

1. Лкбаров Р. Краевые задачи теории аналитических функций с заданными главными частями и им соответствующие особые интегральные уравнения. Душанбе: Дониш, 2006, 245 с.

2. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции М.: Наука, 1988, 509 с.

3. Михайлов Л.Г. Новый класс особых интегральных уравнений и его применения к дифференци-

Халли масъала дар шакли сарбаст дода шуда, шартх,ои халшавандагии он ёфта шудааст.

равнивая к нулю коэффициенты при 7-1 , 7 -2 , 7-3,.. .,7 -х , будем иметь

(16)

ЛИТЕРАТУРА

альным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963, 185 с.

4. Михайлов Л.Г.- Уч. записки. ТГНУ, 1956, с.32-79.

Р.Акбаров, Х.Хидиров МАСЪАЛАИ ЯКЧИНСАИ РИМАН БАРОИ ФУНКСИЯ^ОИ УМУМИШУДАИ АНАЛИТИКИ БО ШАРТ^ОИ ИЛОВАГИ ДАР ФУНКСИЯИ МАТЛУБ

R.Akbarov, H.Hidirov INVESTIGATED HOMOGENEOUS PROBLEM RIMAN FOR GENERALIZED ANALYTICAL FUNCTIONS BY AN ADDITIONAL CONDITION TO THE SET FUNCTIONS

The decision of a problem is given in the closed form and found its conditions of resolvability.