Обобщение теоремы Милн-Томсона на случай концентрического кольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 148, кн. 4 Физико-математические пауки 2006

УДК 532.546

ОБОБЩЕНИЕ ТЕОРЕМЫ МИЛН-ТОМСОНА НА СЛУЧАЙ КОНЦЕНТРИЧЕСКОГО КОЛЬЦА

А.М. Мальцева, Ю.В. Обносов, С.В. Рогозин

Аннотация

Дапо замкнутое аналитическое решите проблемы плоской теории фильтрации в бесконечной трех-компонентной гетерогенной среде с заданной главной частью, /(г), искомого комплексного потенциала. Среда представляет из себя изотропное концентрическое кольцо, два других изотропных компонента дополняют кольцо до полной плоскости.

Новые решения получены для случая произвольного распределения особенностей главной части f(г), включая случаи их граничного расположения. Кроме того, обобщая более рапппе постановки, проведены исследования для комплексных коэффициентов краевого условия. Приведены четыре примера, иллюстрирующие полученные решения, и построены соответствующие лилии тока и эквипотнщиали.

Хорошо известно, что многие абсолютно различные физические процессы в теории фильтрации, электродинамики, магнитодинамики. теплопроводности и др.. описываются одинаковыми математическими моделями, т. е. одними и теми же дифференциальными (интегро-дифференциальными) уравнениями и граничными условиями. В данной работе изучается одна из моделей теории гетерогенных сред.

А именно, в качестве плоской трехфазной гетерогенной среды рассматривается вся плоскость с двумя концентрическими окружностями радиусов г и Е (0 < г < Е), разделяющими разнородные компоненты среды. Точнее, изучается вопрос о возмущении заданного комплексного потенциала путем внесения в бесконечную плоскую изотропную среду й'х инородного гетерогенного двухфазного кругового включения во ий'з (см. рис. 1). Задача в такой постановке, с одной стороны, обобщает известную теорему Милн-Томсона об окружности [1] так же. как и результаты работ [2. 3]. С другой стороны, именно такая задача решалась в работе [4]. Следует сказать, что полученные в этой работе формулы для решения справедливы лишь в случае, когда заданный потенциал можно представить в виде суммы трех слагаемых, имеющих особенности внутри круга £з = {г : \г\ < г}, в кольце Б2 = {г : г < \г\ < Е} и в области Б1 = {г : \г\ > Е} соответственно. Однако ясно, что при наличии у потенциала логарифмических особенностей в кольце или внутри круга £3 он также будет иметь в общем случае особенность и в бесконечно удаленной точке в области £1, поэтому требуемое разбиение невозможно, и приведенные в работе [4] формулы (II), (III) в этих случаях, вообще говоря, неприменимы. Ситуация здесь такая же, как и с «общим» решением задачи о круговом включении, полученным в [2], когда это решение при наличии логарифмической особенности потенциала внутри кругового включения, пришлось подправлять исходя из геометрических соображений. Гораздо более общая по сравнению с предлагаемой ниже задача о двух произвольных круговых включениях рассматривалась в работе [6], но там, в частности для произвольного асимметричного кольца, решение получено лишь при внешнем расположении особенностей заданного комплексного потенциала.

Рис. 1. Концентрическое кольцо

В настоящей работе описанная выше задача решена в предположении, что особенности заданного комплексного потенциала произвольным образом расположены относительно компонентов среды, включая и ранее не рассматривавшийся случай их граничного расположения. Кроме того, на основе обобщения результатов предшественников решение соответствующей краевой задачи получено нами в случае комплексных коэффициентов краевого условия (такие условия возникают, например. в теории электродинамики).

1. Постановка задачи

Пусть заданный в изотропной плоскости комплексный потенциал f (z) с конечным числом особенностей в точках множества T возмущен путем внесения в плоскость инородного двухфазного гетерогенного включения S3 U S2.

Введем обозначения: S = Si U S2 U S3, F(z) = f'(z), w(z) = = y>(x, y) + i^(x, y) — соответствующий возмущенный комплексный потенциал, v(z) = w'(z) = vx (x, y) — ivy (x,y) - функция, комплексно сопряженная с вектором скорости v(x, y) = (vx(x, y),vy(x, y)), если последний интерпретировать как комплекснозначную функцию v(x, y) = vx(x, y)+ivy(x, y). В терминах функции v(x, y) задача состоит в следующем: требуется построить плоскопараллельное стационарное поле v(x,y) = vp(x,y), (x,y) £ Sp, p = 1, 2, 3, являющееся потенциальным и соленон-дальным:

div vp(x,y)=0, rot vp(x,y)=0 (1)

в каждой изотропной фазе Sp всюду, за исключением конечного числа особых точек множества T П S. На границе контакта разнородных фаз dS = dS1 U dS3 = Г1 U Г3 предполагаются равными нормальные и касательные составляющие предельных значений векторов vp и v2, Ppvp и p2v2, p = 1, 3, соответственно:

[vp(x,y)]n = [v2(x,y)]n, [ppvp(x,y)]r = [p2v2(x,y)]r, P = 1, 3- (2)

Во втором соотношении (2) постоянный в фазе Sp коэффициент pp характеризует физические свойства среды. В общем случае этот коэффициент является тензором:

І р в

-вр І

где (как, например, в теории электродинамики) рр > 0 - сопротивление, а вр Є К -параметр Холла фазы £р, р = 1, 2,3.

В терминах комплексного потенциала ад(х, у) = у>(х, у) + і ^(х, у) в теории гидродинамики задача (1), (2) эквивалентна следующей (вр = 0):

кр^2(і) = к2^р(і), ^2(і) = ^р(і), і Є Гр, р = 1, 3.

Здесь ^ = <^>р(ж, у) - потенциал поля, ф = фр(ж, у) - функция тока в фазе Яр, д^/дж = vx и —д<£>/ду = —^ — гармонические сопряженные функции, кр = 1/рр — проводимость компоненты Яр.

Таким образом, физическая плоскость (ж, у) интерпретируется у нас как плоскость комплексного переменного г = ж + 1у, вектор V - как комплекснозначная функция v(z) = -ух + шу, а тензор рр в этом случае можно интерпретировать как комплексное число рр = рр(1 — 1вр)-

Комплексно сопряженная с V(г) функция v(z) = vp(z) = vpx(ж,у) — шру(ж, у), г £ Яр, р = 1, 2, 3, в силу условия (1) голоморфна в каждой из компонент Яр и непрерывна в их замыкании всюду, за исключением точек множества Т, причем в точках Я ПТ ее главная часть совпадает с главной частью заданной функции Д (г), а о поведении в граничных точках дЯ П Т, если таковые имеются, будет сказано позже.

Учитывая то, что производная £'(в) то натуральному параметру в от функции точки £(в) £ Г 1,3 совпадает с единичным вектором касательной к Г13 в этой точке, граничные условия (2) можно переписать в следующем виде:

Выписанные вещественные краевые условия эквивалентны [5, с. 53] следующему комплексному условию:

Учитывая, что ^(в) = й/г па Г3 и ^(в) = й/Д па Г1, граничное условие (3) запишется в виде:

Функция комплсксио-сопряжсниая с вектором скорости иевозмущеииого потока, Д(-г) = /'(г), как однозначная мероморфная функция с конечным числом полюсов в расширенной плоскости С является рациональной функцией. Исследование задачи (7) проведем сначала в предположении, что Д(г) не имеет полюсов дЯ

При сделанных предположениях функцию Д(г) можно представить в виде суммы Д(г) = Д1(г) + Д2(г) + Дз(г), где каждая из функций Др(г) имеет конечное

Яр р = 1, 2, 3

лее простого случая.

1т[^/(в)у2(^)] = 1т[#/(в)ур(#)], Ке[^/(в)/92у2(^)] = Ее[#/(в)ррур(#)].

г’2(#) = Л2рг’р{г) - В2р[#'(в)] 2г>р(#), # £ Гр, р= 1,3,

(3)

(4)

(5)

(6)

г>2^) = А21г’1 + В21ИЧ 2г>1(г), # £ Г1 = {# : Щ = Д},

(7)

г>2(#) = А23г>3 + В23г2# 2г’з(^), # € Г3 = : Щ = г}.

2. Решение задачи (7) в случае, когда гевтоД2(^) = гевтоД3(^) = 0

Кусочно-мероморфное решение v(z) задачи (7) будем отыскивать в следующей форме:

V(г) = Vp(z) = Др(г)+ Vpo(z), г £ Яр, р = 1, 2, 3, (8)

где Др(г) = fp(г) - известная главная часть функции ^(г), а vp0(z) - неизвестная правильная часть, голоморфная в Яр. При этом функция Д1(г) представляет из себя сумму конечного числа простых дробей и полинома, а Д2,3(г) - суммы простых дробей. На бесконечности функции Д2,3(г) и искомая регулярная часть v10, в общем случае, имеют нуль по крайней мере первого порядка. Однако в рассматриваемой ситуации, когда гевтоД2(^) = гевтоД3(,г) = 0, функции Д2,3(г) и искомая функция Vlo(z) на бесконечности имеют нуль не ниже второго порядка.

Голоморфная в кольце Я2 функция V2o(z) по теореме Лорана единственным образом представима в виде суммы:

^0(г) = №+0(г) + ^го(г)> ^ТоМ = 0 (9)

где функции V20(,г) и V20(,г) голоморфны, соответственно, в круге радиуса Д и во

г

Рассмотрим следующие функции

Д2(г)+ v+0(z) — A2зVзo(z) — В2зг2г 2Дз(г), |г| < г,

—v20(г) + А23Д3(г) + Д2зг2г-2;9з0(г), |г| > г.

А21Д1(г) — v+0(z)+ В21Й2г 2«ю(г), |г| < Д,

Д2(г) + v20(г) — А2т0(г) — В21Д2г-2Д1 (г), |г| > Д,

где введены обозначения

Ф(г) = Ф2/^), <р{г) = ^>(Д2/^). (12)

При сделанных предположениях функция ^-2Дз(^) имеет в пуле устранимую особенность, а значит, эта функция, как и функции Д2(-г), г?2о(-г)- г’эо(^), голоморфна в Бз. Функции Д3(-г), г~2дзо(г) голоморфны вне 53 и стремятся к

Г3

ции Ф(г) в силу (7)-(9) совпадают. Следовательно, функция (10) голоморфна в С и стремится к нулю на бесконечности, и по теореме Лиувилля Ф(г) = 0. Аналогично, используя (11), получим Ф(г) = 0.

Таким образом, приходим к системе функциональных уравнений:

(13)

(14)

Д2(г)+ v+0(z) — A2зvзo(г) — В2зг2г 2Дз(^) = 0, |г| < г,

^20(*0 + А23Д3(г) + В23Г2г-2г5з0(г) = 0, |г| > г,

А21Д1(г) — v+0(z) + В21 Д2г-2г>10(г) = 0, |г| < Д,

Д2(г) + v20(z) — ^2^10(г) — В21 Д2г-2Д1^) = 0, |г| > Д.

Исключим из системы (13) функцию vзo(z) и сделаем в полученном равенстве замену г ^ дг, где

д = г2/Д2 < 1. (15)

Учитывая соотношения (4)—(6), (12) и равенство Д2(дг) = Д72(г), придем к уравнению __

—+ г40{дг))-Рз{г) + А32?20(г) = °, М<И2/г. (16)

Аналогичным образом, исключение из системы (14) функции Vlo приводит к результату:

А12г,+^) + ^^(Р,М+щ^))-Е^)= 0, \z\KR. (17)

Исключая теперь из соотношений (16) и (17) функцию -и220(г), получим функциональное уравнение относительно v+o(z):

г’2о(-) = (18)

г у Аз 2 у А12

где |^| < Н. а

6 = дА2]_А2з = дА. (19)

Функции Д2(г) и Дз(г), имеющие в рассматриваемом случае на бесконечности нуль второго порядка, можно представить в виде:

Дз(г) = Дз0(г)Д2/г2, Д2(г) = Д20(г)Д2/г2, (20)

где Дз0(г) и Д20(г) — ограниченные та бесконечности функции (множитель Д2 взят для упрощения последующих формул). В силу (20) уравнение (18) принимает вид:

+ (-Ю — $(г’2п{дг) + Р2(дг)) + Д21 ( ^ Н т^- (21)

А32 / А12

720

Заменяя последовательно в (21) г на дкг, к = 1, 2, 3,..., придем к бесконечной системе, исключая из которой v+0(gz^ v+0(g2z),..., после N шагов получим уравнение

(;) = ^+4.+ (д^^) + ^*кР2(дкг) + А21А32^5кРзо^+

к=1 к=0

N N

+ Д21 (д^)+А^^бкр1(дк*)’ N (22>

к=0 к=0

Так как величина (19) по модулю меньше единицы, то SN+1 ^ 0, и из (22) в пределе, когда N то, получим решение уравнения (18) в виде абсолютно и

равномерно сходящегося при |г| < Д ряда:

,20(г)+ Д2(г)=^ 6к

к=0

Р / и ,Т Рж{дкг) ~ к \ ^1 0 -

Р2(д г) + Д21 -------\-F2oig г) Н--------—

\ А32 ) А12

.

Последовательно из уравнений (13) и (14) найдем остальные неизвестные функ-

г’зо(;) = А32д-1Р30(г) + А^3(г40(г) + Рф)), г’зд(-) = А3^Р3{г) + А23г2 г~2 (г$0(г) + Щг)), г’10{г) = А12Н2г~2Р1(г) + + Р2(г)).

Учитывая то, что оператор ф, примененный к функциям ф(дкг), ф(дкг), переводит первую из них в функцию ф(д-кг), равную значению ф(г) в точке д-кг, а вторую - в ф(д-к-1^), получим

«2о(г)+ ^2(г)

—к

т?

*=о

ВД/) + Д21 ( Р30{^+1) + ^20(^//+1)) +

12

Таким образом, решение задачи (7) запишется в следующей форме:

. (24)

^1(2) — ^1{г) + А12-й2^ 2-^1(2:) + ^21 (-^2(2) +-^23 -^з(з)) +

-^к

г2А21

к=о

^2(г//) + Д21

Дзо(г/дк+1)

А

23

+ ^2о(г//+1)

А

12

, (25)

А32

2 ОС -Т- г V—"Ч -т:к

+ Д23^Х1д

к=о

Д2(/г) + Д21 ( + Д20(/г)) +

^(дкг)

к=о

^(г/дк

Д

21

А32

Дзо(г/дк+1)

А

23

А

12

+

+ зд5‘+.))+^ А12

, (26)

1’3(г) = ^з(я) + Д32з Дзо(г)+

-А-з1^ дк

к=о

^2 (Зк

“л- / ^зо(д

Д

21

=^+^20(^) А32

^(дк

А

12

(27)

где все параметры определяются формулами (4), (5), (15), (19), (20), а под функцией <ф(д3г) (}р(д3г)) понимается значение функции ф(г) (ф(^)) в точке д^г.

Отметим, что в частном случае вещественных коэффициентов (в^ = 0, з = = 1, 2, 3) и Д(г) = ^\(г), решение (25)-(27) после интегрирования совпадает с полученным в [4] решением (I).

В приводимом ниже и во всех последующих примерах будем считать проводимость внешней среды $1 равной единице (&1 = 1/р1 = 1), что не уменьшает общности, так как решение (25) (27) существенным образом зависит лишь от относительных проводимостей ^/к1 = р1/р^-. Кроме того, для простоты в примерах будем рассматривать вещественный случай, когда в^' = 0, з = 1, 2, 3.

Пример 1. Пусть заданный комплексный потенциал / (г) определяет течение с постоянной скоростью Vо в бесконечности и единственным источником/стоком в конечной точке го, т. е. /7(г) = Д(г) = ^(г) = V) + д/(г — го). Требуется найти линии тока и эквииотенциали возмущенного комплексного потенциала в результате внесения в среду $1 двухфазного кругового включения с внешним радиусом Д = 10 и внутренн им г = 5, тел и |го| > Д- При таких предположениях ^2(г) = ^з(г) = 0, и формулы (25)—(27) в рассматриваемом вещественном случае приводят к результату

д

г — го г — ^о

- Д2 Д12 + дА2з

+ ^ °~—1—X—

г2 1 — д

■Е

Дк

ДгЗ*?

А12 А21 к= г — Гго'

г

Рис. 2. Сплошными лилиями изображены лилии тока, пунктирными эквипотепцпалн

, ч _ Уо <3А23 У0Д23 г2

г’2^ “ а12(1-й') А12(1-А)г + Л12(1-(*)?“

д23д^ дк , д ^

А12 г — дкг* А12 г — д кго5

12 к=о о 12 к=о о

Ч

, /.л _ _, д \- д

А12А2з(1 — д) А12А23 к= г — д кго'

Расчет возмущенного поля скоростей фильтрации по приведенным формулам при проводимостях фаз включения к2 = 0.1, кз = 10, мощноети д =10 источника в точке го = 12 и V) = 1 отражен на рис. 2.

3. Решение задачи (7) при |ге8тоД2(,г)| + |гевтоД3(,г)| = 0

В силу принципа наложения достаточно рассмотреть случай, когда Д(г) = а2/(г — г2) + а3/(г — г3) = Д2(г) + Д3(г), где ^ € $•, з = 2, 3 (случай произвольных ^(г), Дз(г), без особенностей на границе, получается простым сложением искомого решения с ранее найденным решением (25) (27)).

На основании представлений (8), (9) в данном случае получим:

{^(г) = -Ую(г),

«2(г) = Д2(г)+ «2о(г)+ ^2о(г)> (28)

^з(г) = Дз(г) + «зо(г):

где, в отличие от предыдущего случая, функция «1о(г) имеет пуль первого порядка па бесконечности, если ге8тоД2(,г) + ге8тоД3(г) = 0, и нуль не ниже второго порядка

в противном случае. Учитывая (28). рассмотрим следующие функции:

°2 + ~ ' '- ~ ^ ^ '' ' ' 1

адн =“=1. Вп11 *" <г"гзг) (29)

- г’20(г) + ' ^зо(г), |:| > г,

вд = ( ,30,

А21г’ю(г) - г’20(г) - _ _ _ , N > Д. г г2

Легко видеть, что функция (29) голоморфна в проколотой плоскости С \ {0}, так как она, очевидно, голоморфна в проколотом круге $3 и вне этого круга. На границе д$з предельные значения функции (29) извне и изнутри $з совпадают в силу второго граничного условия (7). Так как в нуле у Ф(г) простой полюс, а на бесконечности она стремится к нулю, то по обобщенной теореме Лиувилля Ф(г) = С^/г, где С1 - некоторая произвольная комплексная константа, которая будет определена позднее.

Аналогично показывается, что и функция (30) определяется с точностью до произвольной константы в виде Ф(г) = С^/г.

Таким образом, приходим к системе функциональных уравнений

°2 , + ^ л , \ В23?’2 03 С1 II/

(,.2_ад = т, и <

' -----е2^(г) + ''' ■ ■ — -| г,

г — гз г2 г

(31)

В21Й2~ , ,, С'2

г2 г

А21г’ю(г) - г’зд(г) - -1— = —, N > Д.

(32)

г’ет(г)---=^5—г’ю(-)) = —, 1-1 <

г2 г п 02 _ С'2

г — г2 г

Из первого уравнения системы (31) и условия голоморфности функций «зо(г) 220(

и «2о(г) в точке г = 0 найдем константу С1

С\ — —В2303. (33)

Исключая из системы (31) функцию г>зо(г), с учетом (33) найдем:

1Щ1~ (г’2о^) + + (|А2з|2 - |-В2з|2^з»’“2-)^-^--------

V у 2 — Х2) Г2 — 2:32:

- А2зг’20(г) = -А2зВ2зазг~2 г, |г| < г. Заменяя в последнем соотношении г на гг2/Д2 = дг, получим:

Щ3г~ + —-—) + (IА2312 - |52з|2гзД~2г) ,а3"_--------------

1ь \ дг — х2 / К1 — 2:32:

- А23щ0{г) = -А2зВ2зазЕ~2г, |г| < Д2/г. (34)

Из системы (32) исключим функцию г5ю(г):

~л + г \ и К2 (—г \ , °2- С2А21 + С2В21 I I ^ и лэ-\

А21г’2о(-) - 21 ~ 1’2о(г) + ~Б~п------— = --------------:-----> 1-1 < Д- (За)

г2 V R2-z2z

Исключая теперь из уравнений (34) и (35) функцию г2о(,г), придем к следующему функциональному уравнению относительно «2о(г):

«2о(г) — д ^2о(дг) +

«2 А Д- (аз-гз^1 . а2-2 _

дх - г2 ) Л уД2 - Д2 - г2-гу

= (Д21(А-230з + В23О3 + 02) + (?2 + С2А21) /г, |г| < Д. (36)

Левая часть равенства (36) голоморфна в начале координат, а значит, правая часть должна быть тождественно равна нулю, что дает условие для определения С2

Со + С2Д21 = —Д21(^.2303 + В 23 03 + си).

Единственное решение этого уравнения имеет вид

Со = -£>12^-21 (с — Д21С), где С = А23О3 + В23О3 + Я'2-

После элементарных преобразований с использованием формул (4) (6) для кон-С2

Со — —В01А, где А — (В 12О2 + А-120'2 + В13О3 + А13О3). С2

(37)

(г) — д «2о(дг)+

02

Д21 (^1

02

0,

дг — г2 / \ г — 23 г — 2:2

где использованы соответствующие обозначения

(38)

Решение полученного уравнения, найденное точно так же. как ранее было найдено решение уравнения (21). представимо в виде бесконечного ряда

^2о

(*) = !>*

к=о

02 Д

г — д - (к+1)г2

-г21 ( +

02

г — д к2з г — д к 22

(39)

где

Д = Д21Д23 • (40)

Искомое решение задачи (7) находится на основании соотношений (28). (31). (32). (33). (37). (39). (40) в следующей форме:

«1(г)

Д13А

~1гк

~ ^21 А

к=о

02Д23 х — дк+1Ъ2

азА32

г - дкг2 г - дкг3

02

(41)

^(г) = ^>к

к=о

02 Д

г — д - (к+1)

- Д

02

г2

21

+

- -т-1 03 А32

г — д к22 г — д к2з

к=о

1

_^2___________ОзЛз2_\ ВгзА 2

^ — 5гк+1^2 г-дкг 2 г-дкг3) А13г’

г

Рис. 3. Левый рисунок соответствует случаю источника, правый вихреисточпика

, N 03 Дз2 Оз

г’з(-) =-------------------------Г +

г — гз г — г|

к=о 23

°2 -д- ( а2 , ОзА32

- /\21

г — д кг2 \ г — д к22 г — д к23

(43)

В частности, если р2 = р3, 02 = 0, 03 = 0, г3 = го, формулы (41)-(43) принимают вид

, ч оАо/ Д-|о т , ч а ((Д91

г’1(-) = ------1---~(В12а + А12а), г>2(г) = г’з(-) =-------1----

г — го г г — го г — го

полученное решение совпадает с соответствующим частным случаем общего решения из [3].

Пример 2. Пусть $3 = {г : |г| < 5}, $2 = {г : 5 < |г| < 10} и $1 = {г : |г| >

> 10}. Проводимости сред $1, $2 и $3 равны, соответственно, к1 = 1, к2 = 1/3, к3 = 1/5, коэффпциенты Ард, определяются то формулам (4) при в = 0,

3 = 1, 2, 3.

Пусть в области $з в точке гз = 3 + * задан единственный источник интенсивности Q = 2. Таким образом, Д3(г) = ^/(г — г3) (03 = Q, г3 = 3 + 1). Соответствующие линии тока и линии равного потенциала изображены на рис. 3 слева.

Пусть в точке гз = 3 + 1 расположен вихреисточник и Д3(г) = (2 — 21)/(г— —г3). Линии тока и эквипотенциали представляют собой два взаимоортогональных семейства спиралей, с фокусом в точке г3 (справа па рис. 3)

Пример 3. Пусть проводимости сред такие же, как и в примере 2. В области $3 расположен источник (Д3(г) = 4/(г—3)), а в области $2 -сток (Д2(г) = —2/(г—8)).

Соответствующие линии тока и эквипотенциали, найденные по формулам (41) (43), изображены на рис. 4.

Рис. 4. Случай источника в точке х = 3 и стока в точке х = 8

4. Решение задачи (7) при наличии особенностей у заданного потенциала на границе

В этом пункте рассмотрим случай, когда комплексный потенциал / (г) имеет конечное число особенностей в точках границы Не уменьшая общности, достаточно исследовать случай потенциала, имеющего по одной особенности на Г и Гэ, т. е. когда

п т

Р(г) = /'(г) = ^2 аь(г - ^)-к + ^ Ък(х - 42)-к = ^01(2) + ^(г). к=1 к=1

где 41 £ Гь 42 € Гэ.

Так же, как и в работе [3], будем предполагать, что главные части р (г) искомого решения «(г) = «7 (г), г € ^, имеют ту же структуру, что и Р (г), а именно,

Р1(г)=Х^ а1к(г - ^1) к, Рэ(г) = ^ Ъэк(г - ^) к, к=1 к=1

пт

Р2(г) = ^ а2к(г - 41)-к Ъ2к(г - 42)-к = ^21 (г) + р22(г

к=1 к=1

при этом в силу закона сохранения и гладкости границы должны выполняться равенства Р1(г) + Р21(г) = 2Р01(г), Рэ(г) + Р22(г) = 2Р02(г), поэтому

а1к + а2к = 2ак, к = 1, 2, Ъ2к + Ъэк = 2Ък, к = 1, 2,..., т. (45)

Если использовать представление (8) решения задачи (7), то в данном случае, в отличие от предыдущих, надо будет определять ие только неизвестные регулярные части г70 , но и коэффициенты а1к , а2к (к = 1, 2,..., п), Ъ2к, Ъэк (к = 1, 2,..., т) главных частей (44) искомых функций .

С учетом представлений (8), (44) введем функции

г+0(г) - А2э«э0(г) + р21(г), |г| < г,

Ф(г) = ^ В2эг2 - (46)

' ' А23Р^) - vw{z) - Д22(;) + -^_({Г3о(я) + ^(г)), N > г;

|«20(г) - А21гю(г)+ р22(г), |г|> Д,

Ф(г) = \ В Д2 (47)

|-43(2) + а21д1(2)-д21(2) + ^^(?1о(2) + Д1(^)), и < д.

Ясно, что функция (46) голоморфна внутри и вне круга £э, стремится к нулю на бесконечности и в силу второго граничного условия (7) непрерывна на границе д^э. По теореме Лиувилля Ф(г) = 0. Причем для того, чтобы Ф(г) была непрерывна в точке 42 необходимо потребовать выполнения тождества

- Д,М - в» + ± ^ ± = 0, ,48,

где использовано представление

/ 1 1 \ т .к-1 т

= (г-—)

Учитывая (44), приравняем нулю коэффициенты при всех различных степенях г - 42 в выражении (48) и с помощью (45) придем к системе

(1 + А2з)6зй — (1 — А2з)(—42/42)к %к = 2Ъ*к, к = 1, 2,..., пг, (50)

в,„ ™ ЬзЛГо)

К=ьи Ь*т =Ът, Ь*к = Ък + —^ ^ ~ , к = 2,3,..., т — 1. (51)

24 2 7 = к+1 (-42)

Решение системы (50) имеет вид

= ((1 + А2з)Ьк + (1 — А2з)(—42/42)й 1Ь^)/(2Ее А2з), Ат = 1,2,..., лг. (52)

С помощью (51) по формулам (52) сначала определяются Ъэ1, ЪЭт, а затем, если

т > 2, иоследовательно Ъэ т-1 > Ъэ т-2 , • • •, Ъэ2 ■

Отметим, что коэффициенты Ъ21, Ъэ1, найденные на основании формул (50)-(52), в силу представления (5) и соотношений (6) связаны равенствами

АозЪз1 ~ ВозЪз1 = Ъо1, АзоЬог - Вз2&21 = &31- (53)

Коэффициенты полинома Д22(-г) теперь находятся на основании (45) по формулам Ъ2к = 2Ък - Ъэк. Однако, используя условие гэ(4) = Аэ2г2 + Вэ2г24-2г2(4),

|4| = г, эквивалентное второму условию (7), можно получить аналогичные (52)

формулы

Ь^к = ((1 + Аз2)Ък + (1 — ^4з2)(—42//42)А: 1Ьк)/(2Ке А32), к = 1, 2,..., т, (54)

где Ък вычисляются то формулам (51) после замены В2э на Вэ2.

Теперь, учитывая (46), (48), (49), получим

«+0(г) - А2э«э0(г)+ Р21(г) = 0, |г| < г,

О О — (00)

В2зг~+ В23Ьз1/- = 0, |г| > г.

В результате исключения функции «э0(г) из двух последних тождеств придем к

уравнению

В2э(г+0(г) + р21(г) + А2эЪэ1/г) - ^эг2^-2?},^) = 0, |г| < г. (56)

Аналогичным образом показывается, что при выполнении обязательного условия

’’ <!"■ лмй)'

Оц | г1

(z ~ - ±/ fc=2 v х/ j=k

функция (47) равна С/я, где параметр С будет определен позднее. С помощью последнего условия и (45) коэффициенты полиномов Д^я), F2i(z) однозначно определяются соотношениями

O'lfc = ((1 + Mi)a*k + (1 - A2i)(-4i/?i)fc 1a^)/(2ReA2i),

— — _ j -1 — ™ — l. . . .. ti. (Oi)

0'2fc = ((1 + A-12 )ofc + (1 — Ai2){—Ofc)/(2Re Ai2),

Вол ^ auiizl)

a.* = ob a* = on, 4 = °fc + Tn^fc E r_7 l’ ^ = 2,3, 1, (58)

2ti j=fc+i ( Jl)

a ak вычисляются то формулам (58) по еле замены В21 в правых частях этих формул на B12. Коэффициенты aik, a2k определяются по формулам (57), (58) в той же последовательности, как определялись коэффициенты 63k, b2k по формулам (51), (52). Так как Ф(я) = С/я, то на основании (47) и представления

/, X n .fc-l n

= (т-—)

4 1 У k = 2 V 1У j = k

получим

v20(z) - A2ivio(z) + F22(я) = С/я, |я| > Д.

В21(Д2я_2?ю(я) + оц) — г’2о(я) = С/я, |я| < Д.

Исключая из системы (59) функцию г>ю(я), найдем

Bo\R2 — ~ -j- /Воюй I Л v42iC + B2iC

(59)

2

(ЗД + Foo(z)) + А21 - г.+ (я) = ^ ^ (60)

при |я| < Д.

Из уравнений (56), (60), заменяя в первом из них я на $я, после исключения функции «20(я), учитывая (53), получим функциональное уравнение относительно «20(я):

г4з(я) - 5{г40{дг) + Д21(#я)) + Д21Д20(я) =

= (Д21011 + Д21а2зЬз1 — С — Д21С)/я, |я| < Д, (61)

где 3 определяется по формуле (19), а

I? с ч Ь21 ^ Р ! \ Ь21 Г к^к ~

Д20(я) =--------^Д22(я) =-------^-42 > ------- ----~-7-----, (62)

я я2 я - 42 (я - 42)к

в свою очередь 1о = К2/и. Прежде, чем решать полученное функциональное уравнение, заметим, что его левая часть голоморфна в точке я = 0, а значит, коэффициент при 1/я в правой части должен равняться нулю. Таким образом, получаем уравнение для определения параметра С, решение которого с учетом

представления (5) и соотношений (6) после ряда упрощений можно представить виде

С = В21(А12с + В12с), с = а2іоц + А23Ь31. (63)

Окончательно уравнение относительно v2+o(z) приводится к виду

г,2о(-) = + Р2і(дг)) - А21^2о(-), 1-і < Д.

Решением последнего уравнения является абсолютно и равномерно сходящийся в круге |г| < К ряд

*+(*) = (№2і(/+1-) - А21^2о(/-)) .

к=0

Из соотношений (55), (59) теперь легко определить функции «10, 'и-0, у30, а вместе с ними на основании представлений (8). (9) и решение задачи (7):

у1(г) = Р1(г) + А21

Р22(-) - С/г + В23Ь31/г+

СЮ

+ г22-2А2з^2$к (^21 {дкг2/х) - Д21 Р2о(дкг2/г)^

к=0

к

гф) = ВД + $>* (^2і(/+1-) - Д21*20(дк*)) + к=0

СЮ

+ В23ь31/г + г2г~2А23^дк (Р2і(дкг2/і) - Л21Р20(дкг2/!)^ , (64)

к=0

гф) = Рф)+А2(Р21 (<Д) - А21Р20(д'^)) , о

где коэффициенты функций (44) определяются по формулам (51). (52) (54). (57). (58), функция Р20 задается равенством (62), а параметры д, 5 и С находятся из соотношений (15), (19) и (63) соответственно.

Замечание. Если р1 = р2, в = в2 и Р(г) = Р02(я), то В12 = В21 = Д12 =

= Д21 = Д = С = 0, А12 = А21 = 1, Р01 = Р1 = Р21 = 0, и формулы (64) приводят к результату

г>1(г) = г’2(г) = Р21{г) + В23^31, г3(г) = Р3{г),

г

где коэффициенты , к = 2, 3, полиномов Р21(г), Р3(г) определяются по формулам (51) (54). Выписанное решение, с точностью до обозначений, совпадает с соответствующим решением, полученным в [3].

Пример 4. Рассмотрим в заключение задачу о формировании возмущенного поля скоростей фильтрации в случае, когда заданный единственный вихреисточ-ник/сток попадает в граничную точку і2 на Г3, т. е. в наших обозначениях Р(г) =

Рис. 5. Случай источника мощности Q = 10 в граничной точке t2 = r и проводимостей к2 = 0.1 к3 = 10

a C определяется то формуле (63) с а11 =0. Вычисления по приведенным формулам при соответствующих фиксированных значениях параметров отражены на рис. 5.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского и Белорусского фондов фундаментальных исследований (проекты Л*1' 06-01-81019-Бел_а и Ф06Р-106).

Summary

A.M. Mal'tceva, Yu. V. Obnosov, S. V. Rogosin A generalization of Milne-Tliomson theorem for the case of annulus.

A closed analytical solution to the problem on 2-D seepage flow with a given main part., f (z), of a desired complex potential in an infinite heterogeneous three-component porous

Fq2(z) = b\/{z — to). Соответственно. Fqi = F\ = Fo\ = 0. Foa(z) = b2i/(z — to) F22(z) = b2i/(z - t2), F3(z) = b3i/(z - t2), где

b2i

(1 + ^32)61 + (1 — ^32)^1 , _ (1 + A23)bi + (1 — A23)bi

I ~A 7 ^ Л ~A

A32 + A32 A23 + A23

С учетом выписанных представлений на основании формул (64) получим

где

а — С — Воф-ц + Д621 / (1 — А), /3 — С — а,

medium is presented. The medium is composed of an isotropic annulus and two other dissimilar components adding annulus up to the whole plane.

New solutions are derived for the cases of arbitrary distribution of singularities of a given main part f (z) including for the cases of singularities at the interface. Besides, the cases involving complex coefficients in the boundary conditions are considered. Four examples, illustrating gotten solutions, are given and corresponding stream lines and equipotential lines are represented.

Литература

1. Милн-Томсон Л.М. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир. 1964. С. 153 154.

2. Голубева О.В. Обобщение теоремы об окружности па фильтрационные течения //

Изв. АН СССР. МЖГ. 1966. № 1. С. 113 116.

3. Obnusuv Yu. V. A generalized Milne-Tliomson theorem // Appl. Math. Lett. 2006.

V. 19. P. 581 586.

4. Костицыиа Л.И. К вопросу о движении фильтрационного потока в кусочно однородной среде // Учен. зап. Моск. обл. пед. ип-та. Тр. каф. теор. физ. 1966.

Т. 164, Вып. 6. С. 67 82.

5. Емец Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук, думка, 1987. 254 с.

6. Hunein Е., Hunein Т., Herrmann G. On two circular inclusions in harmonic problems // Quart. Appl. Math. 1992. V. 50, No 3. P. 479 499.

Поступила в редакцию 05.12.06

Мальцева Александра Михайловна студентка мехапико-математического факультета Казанского государственного университета.

Обносов Юрий Викторович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Е-шаП: Уиггг.ObnusuvQksu.ru

Рогозин Сергей Васильевич кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры теории функций Белорусского государственного университета, г. Минск.