Задача Римана на двулистной поверхности класса oa0b Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА Том 151, кн. 3 Физико-математические пауки 2009

УДК 517.544

ЗАДАЧА РИМАНА НА ДВУЛИСТНОЙ ПОВЕРХНОСТИ КЛАССА 0Аов

H.A. Бариева, H.A. Бикчаптаев

Аннотация

В статье И. А. Викчаптаева (Задача Римапа па ультрагиперэллиптической поверхности//Изв. вузов. Матем. 2000. Л'! 2. С. 19 31) были получены условия разрешимости

и дапо явное решите краевой задачи Римапа па ультрагиперэллиптической поверхности. В настоящей работе этот результат обобщается па случай двулистной римаповой поверхности класса OAoB.

Ключевые слова: краевые задачи, римаповы поверхности.

1. Предварительные сведения и результаты. Постановка задачи

1.1. Введем следующие термины и обозначения (см. [1]). Множество М на римановой поверхности или на плоскости называется АВ-устранимым, если для некоторой окрестности и множества М любая аналитическая и ограниченная в и \ М функция аналитически продолжима в и. Пусть АВ(Д) - семейство аналитических и ограниченных функций на римановой поверхности Д; Оав — класс

АВ

БОав """"" семейство римановых поверхностей с краем {Д} такое, что каждая АВ-фупкция / на Д с Ж/ = 0 на дД сводится к постоянной; как известно (см. [1, гл. II, § 1, п. 2С]), Д принадлежит ЯОаВ тогда и только тогда, когда ее дубль относительно края дД принадлежит ОаВ . Областью с краем В = В и дВ будем называть объединение области В па Д с аналитической жордановой относительной границей дВ. Через Оаов обозначим класс римановых поверхностей Д таких, что каждая подобласть с краем Д' на Д принадлежит ЯОаВ • Имеет место строгое включение ОаоВ С ОаВ (см. [1, гл. II, § 1, п. 2С]).

1.2. В настоящей статье мы будем считать, что рассматриваемая риманова поверхность Д принадлежит классу ОаоВ и ее род равен бесконечности.

Предложение 1. Пусть В - область с компактным краем на римановой поверхности Д класса ОаоВ . Тогда В может быть вложена в риманову поверхность с краем V такую, что дУ = дВ, множество V \ В АВ-устранимо и любая ее подобласть конечного рода с компактной относительной границей относительно компактна. Если род области В конечен, то V компактна.

В

текает из того, что Д € Оаов > и теоремы из [1, гл. II, § 3, п. 15А], примененной к дублю В относительно края дВ. Пусть теперь род области В бесконечен. Пусть {В„ } - исчерпание В областями с краем такими, что край дВп компактен и содержит дВ Вп С Вп+1 У дВ, род поверхности Вп конечен и все компоненты В\Вп -области рода бесконечность. Каждая Вп вложима в компактную риманову поверхность с краем Vп, причем ее род равен роду Вп, дУп = дВп и множество Уп \ Вп

является АВ-устранимым. Тогда область V = У™=1 удовлетворяет условиям

предложения. Действительно, то, что V \ В АВ-устранимо, следует из определения поверхности V. Пусть V' - область па V, род которой конечен и относительная граница дV' компактна. При достаточно большом п справедливо вложение Vn Э Э дV'. Покажем, что V' С Vn■ Если допустить противное, то найдется точка д € V' \ Vn. Так как множество V \ ^ не содержит точек относительной границы области V', то V' должна включать в себя компоненту множества V \ Vn, содержащую точку д. Но род последней, а, следовательно, и род V', равен бесконечности. Полученное противоречие показывает, что V' С Vn и V' как замкнутое подмножество компактного множества Vn компактно. Предложение доказано. □

Доказанное утверждение справедливо также и в том случае, когда относительная граница области В является пустым множеством, то есть В = Д. Соответствующую этому случаю область V обозначим через Д*.

/В

ной границы, то она аналитически продолжима в V; это продолжение условимся обозначать той же буквой.

Предположим теперь, что па Д существует мероморфная функция г, принимающая каждое значение г = а € С не более двух раз с учетом кратности. Тогда Д может быть ревизована в виде накрывающей (Д, г) расширенной комплексной плоскости С. Продолженная аналитическн на Д* функция г определяет безграничную накрывающую (Д*, г) для области г(Д*) С С, на которой существует отличное от тождественного преобразование наложения ]Д*, то есть конформный автоморфизм поверхности Д*, удовлетворяющий соотношению г(^’д* (д)) = г(д) для всех д € Д* .

Род поверхности V, очевидно, равен роду В и является конечным в том и только в том случае, если накрывающая (V, г) имеет конечное число точек ветвления.

и Д* ди / и

и/

в точках области и, имеющих одинаковые проекции при отображении г : и ^ ^ С.

Доказательство. Пусть и0 С и - область с теми же свойствами, что и и, кроме того, ]Д* (и0) = и0 и функция / голоморфна в и о. Множество М проекций точек ветвления накрывающей (Цо,г) на С бесконечно и множество м его предельных точек совпадает с множеством д(г(и0)) \ г(ди0). Пусть Ш - область на С, содержащая г(и0) и такая, что дШ = г(ди0). Так как относительная граница ди0 области и0 компактна, то дШ = г(ди0) те содержит точек множества м-Поэтому М = М0М С Ш. Положим Л(г) := (/(^'й*(д(г))) - /(д(г)))2, где д(г) -точка области и0 такая, что г(д(г)) = г. Функция /0 теть АВ-фупкция в г(и0), исчезающая в точках множества М. Множество Ш \ г(и0) не имеет внутренних

а

Ш \ г(и0), то непостоянная функция 1/(г — а) теть АВ-функция на Д, что невозможно. Поэтому Ш \ г(и0) = м- Следовательно, /0 голоморфно продолжима в область Ш и обращается в нуль на множестве М = М У м С Ш. По внутренней теореме единственности /0 = 0. Предложение доказано. □

1.4. Пусть Г - кусочно-гладкий кон тур на Д, Т — множество узлов контура Г. Будем предполагат ь, что г (Г) также есть кусочно- гладкий контур на С, причем Г и г (Г) не имеют точек возврата. Ориентацию на Г выберем так, чтобы

гС

г(Г)

как индуцированную отображением г : Г ^ г (Г).

Зададим дивизор В, носитель которого лежит в Д \ Г, и функции О € € НМ(М)(Г, Т) и д € Дм,л(Г, Т), 0 < м < 1, —1 < А < 0, причем О(£) = 0, £ € Г (мы используем функциональные пространства ДМ1(^)(Г, Т) и ДмЛ(Г, Т), введенные на плоских контурах А.П. Солдатовым [2] и распространенные в [3] на

Т

Г (Д, г) Г

ки разрыва коэффициентов О и д, все точки £ € Г такие, что г(£) есть узловая г(Г)

Г

точка не лежит на г (Г) У г^ирр В).

Рассмотрим краевую задачу Римана в следующей постановке.

Найти кусочно-мероморфную функцию Д на Д с линией скачков Г, кратную 1/В Д

предельные значения которой на Г принадлежат классу ДМ,Л(Г, Т), 0 < м < 1, —1 < А < 0

Д+(£) = О(£)Д-(£) + д(£), £ € Г. (1)

2. Случаи, когда задача Римана сводится к плоской

Пусть Г — контур па Д такой, что каждая компонента множества Д \ Г имеет род, равный бесконечности.

2.1. Через д(г) будем обозначать поднятие точки г € С на накрывающую (Д*, г). № [3] и предложений 1 и 2 следует, что если Д - решение задачи (1), то функция Д аналитически продолжима на Д* \ Г, принимает одинаковые зна-

(Д, г) Д \ Г

имеющих одинаковую проекцию па г-плоскость; при этом функция /(г) = Д (д(г)) однозначна в С \ г (Г) и аналитически продолжима в С \ 7, где 7 — множество точек па г (Г), имеющих два прообраза при отображении г : Г ^ г (Г) (точки ветвления накрывающей (Д, г) при этом считаются дважды).

Определим в С давизор Д, полагая огб2(д) Д = шт {огбдВ, огб^л*(9)В} при

’ " при ]Д* (д) = д, где [ ] означает целую часть

Зп* (?) = ? и огб2(д)Д числа.

2.2. Если множество 7 является АВ-устранимым, то функция / аналити-

С

1/Д

решимости задачи Римана функции О и д удовлетворяют соотношению д(£) = = (1 — О(£)) /(г(£)), £ € Г ГДе / - рациональная функция, кратная дивизору 1/Д. Если это соотношение выполняется, то функция Д(д) = /(г(д)) является решением краевой задачи Римана (1). Отсюда вытекает следующее утверждение.

Теорема 1. Пусть 7 является АВ-устранимым множеством. Тогда для раз-

(1)

О и д были связаны соотношением д(£) = (1 — О(£)) /(г(£)), £ € Г, где / раци-

1/Д (1)

имеет вид Д = / о г.

Из этой теоремы вытекает, что:

1) при ord Д < 0 задача (1) имеет решение (равное нулю) только при g = 0;

2) если G = 1, то для разрешимости задачи Римана (1) необходимо и достаточно, чтобы g = 0; при этом число линейно независимых решений задачи (1) равно max {0, ord Д + 1};

3) если G(t) ф 1, то задача (1) не может иметь более одного решения.

2.3. Предположим теперь, что множество 7 те является AB-устранимым; при этом его линейная мера будет положительной. Обозначим через Г1 кривую на R* D R, гомеоморфную z(r) относительно отображения z : Г1 ^ -г(Г). Тогда Г2 := jR* (Г1) тоже гомеоморфна z(r) относительно отображения z и Г1 U Г2 = = z-1(z(r)). Через pk : z(r) ^ rk, k = 1, 2, обозначим гомеоморфизм z(r) на rk такой, что z(pk(£)) = ^и £ G z(r). Ориентацию на rk выберем таким образом, чтобы индуцированная ею при проектировании z : R* ^ С ориентация на z(r) совпадала с уже выбранной в п. 1.4.

Доопределим G и g па Г1 U Г2, полагая G(t) = 1, g(t) = 0 в точках t, не принадлежащих Г. Тогда функцпя f на z(r) удовлетворяет условиям

f + (£) = G(pk(£))f-(£) + g(pfc(£)), £ G z(r), Д-^f), k = 1,2. (2fc)

Решение задачи (2^) будем отыскивать в классе функций, предельные значения которых на г(Г) принадлежат классу (г(Г), г(Т)).

/

г(Г)

множества Д \ Г имеет род, равный бесконечности, следует, что каждая компонента множества С \ 7 содержит бесконечное число проекций точек ветвления накрывающей (Д*, г). На множество г(Г) \ 7 функция / аналитически продол-жима и, следовательно, является аналитической в области С \ 7, за исключением, возможно, конечного числа полюсов. Поэтому для совпадения решений краевых (21) (22)

точек г к € С \ г (Г), выбранных те одной в каждой компонен те множества С \ 7 .

2.4. Если Оо]К* = О па Г1 и Г2 , то, поскольку До jR* = Д, для разрешимости задачи (1) необходимо, чтобы д о jR* = д на Г1 и Г2. Тогда задачи (21) и (22) совпадают. Если / - решение задачи (2к), то Д = / о г будет решением задачи (1).

Обозначим через X(г) каноническую функцию задачи (2к), предельные значения которой па г(Г) принадлежат классу и(г(Г), г(Т)) и имеющую максимально возможный порядок к та бесконечности. Тогда при к + оМД > — 1 задача

Здесь функции G(pk(£)) принадлежат классу ffMj(M/)(z(r), z(T)), где

т G T, j (т)= т

M/(z(r))

j(T)=т-

Функции g(pk(£)) принадлежат классу (z(r), z(T)),где

min {А(т), A(j(T))} , т, j(T) G T, j(T) = т,

v(z(t)) = < А(т),

т G T, j(т) G T:

Лт) = т G T.

(2к) разрешима для любой функции д € Нм,л(Г, Т), 0 < ^ < 1, —1 < Л < 0, и ее общее решение имеет вид

*( ) х(г) [ д(Рк(£))^ , х( )5( ) (3)

1 (г) = ^Т/ X+ (Ш — г) + Х (г)Л'(г)’ (3)

0(Г)

где 5 - произвольная рациональная функция, кратная дивизору Д-1то-к.

При к + огё Д < — 1 необходимые и достаточные условия разрешимости задачи (2к), а, следовательно, и задачи (1), имеют вид

[ g(Pfc(C))^j(С)

J *+(0

z(r)

= 0, j = 1,..., -к - ordA - 1, (4)

где Uj - базис пространства рациональных функций, кратных дивизору Дток+2. При выполнении условий (4) задача (2к) имеет единственное решение вида (3) с 5 = 0.

Условия (4) можно переписать в виде

j gdj = 0, j = 1,..., -к - ord Д - 1, (5)

ГпГк

где (t) = (X +(z(t)))-1 Uj(z(t))dz(t). Общее решение задачи (1) имеет вид

F <"> = ^gr1 j X + (,(‘ж1м- ,(,)) + X (z("))5(z'"». (6)

rnrfc

k

Таким образом, доказана

Теорема 2. Пусть y имеет положительную линейную меру и коэффициент G задачи (1) удовлетворяет соотношению GojR* = G мо Г1 иГ2. Тогда дляразре-(1) g условиям g o jR* = g мо Г1U Г2 и (5). Лри выполнении этих условий общее решение задачи (1) имеет вид (6), где 5 - произвольная рациональная функция, крат-

ная дивизору Д-1то-к. Однородная задача (1) имеет l = max{0, оМД + к + 1} линейно независшшх решений.

2.5. Пусть y - такое же, как в предыдущем пункте. Будем предполагать, что Go jR* = G. Ясно, что при этом однородная задача Римана (1) имеет лишь нулевое решение, а неоднородная может иметь не более одного решения. В рассматривае-f

задач Римана (21) и (22). Обозначим через Xk(z) каноническую функцию (того же класса, что и в п. 2.4) задачи (2k), Kk = ordTOXk(z). При Kk + оМД > —1 задача (2k) безусловно разрешима и ее общее решение имеет вид

f ( ) = Xk(z) [ g(Pk(£)) d£ , X ( )5 ( ) (7)

fk(z)= 2ni J X+k(£)(£ - z) + Xk(^4(^ (7)

z(r)

где 5k (z) -произвольная рациональная функция, кратная дивизору Д-1то-Кк.

При кк + огёД < — 1 для разрешимости задачи (2к) необходимо и достаточно выполнения условий

( д(р+(!)) ^ (С) ^ = 0, = 1, 2,..., — кк — огёД — 1, (8)

г(Г) к

где шкз, = 1, 2,..., — кк — огё Д — 1, - базис пространства рациональных функций,

кратных дивизору Дтокк+2 . Полагая 0кз- (£) = шкз- (г(£))[Х+ к (^(¿))] —х^^(^), условия

(8) перепишем в виде

J й^кз =0, ] = 1, 2,..., —Кк — огёД — 1, к = 1, 2. (9)

ГпГк

(2к)

с 6к = 0. Для того чтобы функции fk определяли решение исходной задачи (1), должно выполняться равенство / = /2. В силу сказанного в п. 2.3 для этого достаточно потребовать выполнения этого равенства в окрестности некоторых точек € С\ ¿(Г), т =1, 2,..., / , принадлежащих различным компонентам множества С \ 7, где / - число компонент множества С \ 7.

Пусть гт - точка из С \ г (Г), в которой функции Хк и /к голоморфны. Функцию Хк(,г)/2п*Х+ к(п)(п — ¿) разложим в ряд Тейлора в окрестности точки гт:

Хк (^) ^ ( )( ),'

2п*Х +к(п)(п — *) = 3(П)(^ ¿т) .

Пусть 6кз, ^ = 1, 2,..., кк + огё Д + 1, - базис пространства рациональных функций, кратных дивизору Д-1то-Кк, к =1, 2. Тогда

х^+оМ Д+1

Хк(^)6к(^0 = ^ ^ акпХк (^^кп^^

п=1

где акп - комплексные числа. Разлагая функции Хк6кп в ряд Тейлора, имеем:

Хк(^)6кп(^) ^ ^ акпзт(% ¿тЗ.

з=о

/1 /2

/1 = /2

К1+о^ Д+1 К2+о^ Д + 1

^ ^ а1па1пзт ^ ^ а2па2п^т

п=1 п=1

— ^ (д(Р1(П))с1зт (п) — д(Р2(П))с23т (п)) %

г(Г)

.7 = 0,1, 2,..., т = 1, 2,...,/. (10)

Положим Zi = max{0, кі + ord Д + 1}, Z2 = max{0, к2 + ord Д + 1},

A

aiioi ai2oi . . aiijoi —a2ioi —a22oi . . oi 2 CN a —

aiio2 ai2o2 . . an1o2 —a2io2 — a22o2 . . . —a2l2o2

aiioi ai20i • . aiiioi О 2i a — — a22oi . . . —a2i2oi

aiiii ai2ii . . aiiiii —a2iii —a22ii . . . — a2i2ii

aiii2 ai2i2 . . aiiii2 — a2ii2 —a22i2 . . . —a2i2i2

aiiil ai2ii . . aiiiii —a2iii 2 2 a — 2 • • a —

aii2i ai22i . . aiii2i —a2i2i —a222i . . . —a2i22i

aii22 ai222 . . aiii22 —a2i22 —a2222 . . . —a2l222

aii2i ai22i . . aiii2i CN 2i a — — a222l . . . —a2i22i

V : : /

ajm (t)

—cijm(z(t))dz(t), t Є Г П Гі,

C2jm(z(t))dz(t), t Є Г П Г2,

a(t) = (aoi(t),. .., aoi(t), aii(t),. .., aii(t), a2i(t), .. ., «2i(t),. .. )4 =: (ai(t), a2(t),. .. )*,

a = (an, ai2,. . ., a^, a2i, «22, .. ., в2і2)4 .

Тогда система (10) запишется в виде

Aa = j ga.

г

(11)

В силу единственности решения задачи Римана (1) ранг г матрицы A должен быть равен числу неизвестных ак„, то есть г = max {0, ki + оМД+1} + + max {0, к2 + ord Д + 1}.

Пусть B - невырожденная квадратная матрица порядка г, составленная из строк матрицы A с номерами j1; j2,...,jr (j < j2 < ••• < jr), Bj - квадратная матрица порядка г + 1, составленная из г +1 строк расширенной матрицы

A / 9“НЧ,а j ТОгда

det Bj = J gf3j,

Г

где

в3 = ^^ ВЗЛп а

п= 1

В^ - алгебраическое дополнение элемента J дак матрицы В.,; очевидно, В^- =

г

= det В = 0. Если принимает одно из значений Л, ^’2,...,]г, то в? =0. Условия разрешимости системы (10) (или (11)) имеют вид

(12)

г

Совокупность условий (9) и (12) необходима и достаточна для разрешимости задачи (1). При их выполнении единственное решение задачи (1) определяется равенством В(д) = /к(г(д)), где функция /1 = /2 определена формулой (7). Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 3. Пусть 7 имеет положительную линейную меру и коэффициент С задач и (1) удовлетворяет нерав енст,ву С(^'д* (£)) ф С(£), £ е Г1 и Г2. Тогда для разрешимости задачи Рима на (1) необходимо и достаточно выполнения условий

(9) и (12). При их выполнении задача (1) имеет, единственное решение, определяемое равенством В = /к о где совпадающие между собой функции /к, к =1, 2,

определяются равенством (7).

3. Случай произвольного кусочно-гладкого контура

Пусть теперь Г - произвольный кусочно-гладкий контур на Д, определенный в п. 1.4.

3.1. Обозначим через Е область на Д, обладающую следующими свойствами:

1) род области Е конечен;

2) все компоненты множества Д \ Е имеют род, равный бесконечности;

3) Е Э Г;

4) относительная граница дЕ множества Е состоит из конечного и четного числа компонент, каждая из которых есть аналитическая дуга, гомеоморфная окружности и отображающаяся взаимнооднозначно в С функцией г : Д ^ С;

5) дЕ те содержит точек ветвления накрывающей (Д, г);

6) над каждой компонентой множества г(дЕ) лежат две компоненты дЕ.

Пусть Е* = Е* У дЕ* (с Д*) - компактная риманова поверхность с краем

ЕЕ па Е*, причем дЕ* = дЕ и множество Е* \ Е является АВ-устранимым. Для римановой поверхности Д е О а0 в такая поверхн ость Е* существует согласно предложению 1.

В силу АВ -устранимости множества Е* \ Е функцию г можно аналитически продолжить в Е*. Таким образ ом, (Е*,г) становится безграничной двулистной накрывающей для области г(Е*) С С. Множество С \ г(Е*) состоит из конечного числа т > 1 односвязных областей, число которых совпадает с числом компонент множества Д \ Е. Образуем гиперэллиптическую поверхность 5 Э Е* , которая подЕ*

множества С \ г(Е*); при этом каждая компонента множества С \ г(Е*) берется в

дЕ*

вую проекцию, причем точка р е дЕ* отождествляется с соответствующей точкой г(р) е д(г(Е*)).

Обозначим через ак, к =1, 2,..., 2Н + 2, 0 < Н < то, точки ветвления накрывающей (Е*,г), где Н - род области Е*. Тогда (5, г) есть гииерэллиитическая Н

2Ь+2

^2 = Л (г - Гк), (13)

к=1

где гк = г(ак). Через Ео обозначим область на 5, являющуюся полным прообразом области г(Е*) С С относительно отображения г : 5 ^ С. Ясно, что Ео содержит все точки ветвления накрывающей (5, г) и существует конформный гомеоморфизм а : Ео ^ Е* такой, что г о а = г и а о^ = ^'д* о а. Множество 5\ Ео

состоит из 2т односвязных компонент Ек и Ек, г = 1, 2,..., т, причем зв(Е|) = = Е2, зв(Е2) = Е2. Отображение г : Егк ^ С, к = 1, 2, г =1, 2,..., т, однолистно и конформно; обратное к нему отображение обозначим через ркк : г(Ек) ^ Ек. Очевидно, р2 = Зв о р1, = зв о р2, г = 1, 2,..., т.

Положим Го = а-1 (Г) и определим на Го ориентацию, индуцированную отображением а-1 : Г ^ Го. Пусть В - решение задачи Римана (1). Эта функция аналитически продолжима в Д* \ Г Легко видеть, что В о зд* = В в Д* \ Е*. Поэтому на 5 определена однозначная кусочно-мероморфная функция

[V(а(д)), д е Ео,

(p), г(р) = г(д^ д е 5 \ Eо, р е Д* \ Е*

с линией скачков Го. Определим на 5 дивизор То, полагая 'огёа(д)Е, д е Ео,

шт{огёрД ог^л*(р)Т},^(р) = г(д), де5\ Ео, реД*\Е*, зд*(р) = р,

, г(р) = г(д^ де5\^ ре Д*\E*, зд*(р) = р.

огёд Бо

Положим То = а-1(Т) и доопределим па То Функцию А, полагая А|То = Аоа|То. Функция То мероморфна в 5\Го, кратна дпвпзору 1 /Бо, а ее предельные значения на Го принадлежат классу Нм л(Го, То) и удовлетворяют соотношению

Во+(^) = С^))^(Ь) + д(а(Ь)), Ь е Го. (14)

Кроме того, в 5 \ Ео она удовлетворяет соотношению

Во озв = Во. (15)

Функции С о а и д о а принадлежат классам Нм,(м) (Го, То) и Нм,л(Го, То) соот-ветствеиио.

Существует взаимнооднозначное соответствие между точками д поверхности 5 и парами чисел (г, ад) = (^(д), ад(,г(д))), связанными соотношением (13). Точку д обычно отождествляют с парой (г,ад). Тогда точке зв(д) соответствует пара (г, — ад). Точке ветвления ак соответствует пара (гк, 0).

Выберем на 5 канонические циклы {ак, 6к}, к = 1, 2,..., Н, как в статье [4]. Обозначим через ^, з = 1, 2,..., Н, комплексно нормированный (относительно выбранных циклов) базис пространства абелевых дифференциалов первого рода на 5 и через ^тао - нормированный абелев интеграл третьего рода, служащий разрывным аналогом ядра Коши (см. [3, 4]).

Положим

д Є

Пули и бесконечности функции X(д) образуют квазидивизор (X) = т^1 тК2 • • • тКг, где тк = а-1(Ьк), Ьк е Т, - узлы линии Го, кк - числа, определяемые коэффициен-

Г

том С и выбором ветви функции 1п С(а(Ь)) (см. [4]). Положим к = — А(тк )] =

к=1

где [ ] означает целую часть числ а. Число к, те зависящее от выбор а ветви 1п Со а, назовем индексом коэффициента задачи (14) в классе Нм,л(Го, То) • Положим А = = ¿1К1 Л(Т1)1Ь[К2 л(т2)] • • • Л(Тг)], В = (д')^д-1 • • • д-1, где д' е 5 - произвольно

фиксированная точка, не совпадающая с д0, точки д1, д2,..., дк образуют решение проблемы обращения Якоби вида:

к Чз" 1

I = ------- 1п(¿) (по модулю периодов), V =1, 2,..., Л.

“ ] 2п ]

■7=1 ч' г о

Тогда общее решение однородной задачи Римана (14) имеет вид

/(9)еХР I — I ІП С(а(і)Н® (*) -^ ^990 - 2п*ті > (16)

1

2п*

го

где в последних двух интегралах путь интегрирования не пересекает канонических сечений ах, Я2,..., ак, ш^- - вполне определенные целые числа, / - произвольная мероморфная функция, кратная дивизору Б. У функции ^ЧЧо (по переменной д) выбрана фиксированная в 5 \ ик=1ак ветвь, исчезающая в точке д0.

Обозначим через /о и /д число линейно независимых мероморфных функций и дифференциалов на 5, кратных соответственно дивизорам Б^А-1^-1 и Б0АВ. Через Р обозначим целый дивизор порядка /д с носителем в 5 \ Г 0 такой, что не существует абелевых дифференциалов на 5, кратных дивизору Б 0 АВР и отличных от тождественного нуля. Для построения решения неоднородной задачи (14) найдем сначала частное решение этой задачи в классе функций, кратных дивизору Б -1Р-1. Такая задача безусловно разрешима в силу выбора дивизора Р. Ее частным решением является функция вида (см. [4])

х0(д) Г д(«С0) А (, д) ()

х+м А1(*'д)- (17)

Го

где Х0 - функция вида (16) при / =1, А1(4, д) - мероморфный аналог ядра Коши

на 5 с характеристическим дивизором Д1, который получается делением диви-

зора Б 0АВР на некоторый целый дивизор. Функция (17) будет решением задачи (14) в том и только в том случае, если д удовлетворяет /д условиям, обеспечивающим кратность функции (17) дивизору Б-1. Эти условия равносильны условиям разрешимости задачи (14) и имеют вид

/д ° “!о =0, 3 = 1, 2’...’/°, (18)

го

где ^, 3 = 1, 2,...,/ д, - базис пространства абелевых дифференциалов на 5, кратных дивизору Б 0АВ.

При выполнении условия (18) общее решение задачи (14) имеет вид

(к ( чо ч

2П“ У 1П С(«(^Нчо “¿1 / ^ЧЧо - 2ПШ' ^ ^

Го ^=1 \д' ч'

, X(д) [ д(а(^))

2П У X +(і)

Г о

Для того чтобы эта функция определяла решение задачи (14), необходимо и достаточно, чтобы она удовлетворяла условию (15).

Обозначим через /1; /2,..., /1о базис пространства мероморфных функций на Я, кратных дивизору Е-1^-1^-1. Тогда функция Ео может быть записана в виде

ВД — хс(?)Е сйЛ(<?)

Й=1

Хо(д^ д(а(^)) 2пі У Х+(і)

Г о

Аі(і,д);

(20)

где ек - произвольные комплексные числа.

В каждой компоненте множества Я \ Ео выберем точку в?, у = 1, 2,..., т, такую, что ¿(в?) = то и функции Хо(д), /к(д), А1 (¿, д) голоморфны по д в точках в? и Уя(в?)• Разложим функции Хо/к и (Хо/к) о уя в ряд Тейлора по степеням г(д) - ф?):

ОО ОС

Хо(/(д) = ?(^(д) - *(й?))', Хо(Уя(д)/(Уя(д)) = ?(^(«) - *(й?))'•

і=0

і=0

Аналогично в окрестности точки д = в? имеем:

Хо(д)А+(*,д) = VЪ^)(Ф) - ф?))\

2пгХ+(*) ^ ^ а ^ V ^ ,

Хо(уя (д))А1(^ (д)) = V0 ¿..(¿)(^(д) - ф? ))\

2пгХ+ (¿) ¿о ^ Д ^ ^ ^

В силу этих разложений равенство (15) равносильно следующей системе линейных алгебраических уравнений:

10 р

^(“Чк - ?)ск = - ^(а(^))(7?г(¿) - ^¿(¿)), У = 1, 2,. .., т, г = 0, 1, 2, .. . (21)

к=1 Полагая

и

( «101 — Ьіоі «102 — Ь102

«201 — &201 «202 — &202

«т01 Ьт01 «т02 Ьт02

«111 — &111 «112 — &112

«211 — &211 «212 — &212

«т11 Ьт11 «т12 Ьт12

«121 — &121 «122 — &122

«221 — &221 «222 — &222

«т21 Ьт21 «т22

22

\

«101о — Ьюіо \ «201о — ^2 01 о

«т01о Ьт01о

«111о — Ьцго «211о — ^211о

«т11о Ьт11о

«121о — Ь121 о «221о — ^22!о

«т21о Ьт21о

: /

в'і — —(7^ї — ^¿¿)°« , в — (в10, в20, . . . , вт0, вп, в21, • • • , вт1, в12, в22, • • • , вт2, ... )* —

= : (вь в2, вз, • • • )*, с — (с1, С2, • • -, с/о)*, перепишем систему (21) в виде

Г

о

Обозначим через г ранг матрицы и. Пусть V - невырожденная квадратная матрица порядка г, составленная го элементов матрицы и, стоящих на пересечении строк с номерами *1, *2, • • •, *г (*1 < *2 < • • • < *г) и столбцов с номерами &1, к2,... , кг (к1 < к2 < • • • < кг), V _ квадратная матрица порядка г + 1, со-

Р“" ~ (и' 15в)' ™ “

строк с номерами *1, *2,..., *г, * и столбцов с номерами к1, к2,..., кг, 10 + 1 • Тогда

det V* = J дА*: г

г

Аі = 53

п= 1

- алгебраическое дополнение элемента J дв? матрицы V*, У*,* = det V, А* =0

г

при * = *1, *2,..., *г • Условия разрешимости системы (22) имеют вид

^ дА* = 0? * ^ ^7 * = *1? *2? , *г. (23)

г

При выполнении условий (23) величииы ,..., е&г выражаются линейно чеМ ! = *Ь !2....................................!г- “ “ТЬ фу„кц„-

г

оналами от функции д в пространстве Нм л(Г, Т), а остальные чпела ек остаются произвольными.

Условия (18) перепишем в виде

^ о а 1 , ,

д%-------л =0, 3 = 1, 2,...,10. (24)

Хо о а 1

г

Если функция д удовлетворяет условиям (23) и (24), то функция В0, задаваемая соотношением (20), определяет решение В задачи (1) по формуле

(Во(а-1(д)), q е В,

В ^) = { (25)

[ВоЫ, ¿ы = q € В \ В, р е Я \ Во.

Полученные результаты сформулируем в виде следующей теоремы.

Теорема 4. Для разрешимости задачи Римана (1) необходимо и достаточно выполнения условий (23) и (24). При их выполнении решение задачи определяется равенствами (20) и (25), причем в равенстве (20) г величины среди ек являются линейными ограниченными функционалами от д € Нм,л(Г, Т), а остальные -произвольными. Однородная задача Римана (1) имеет 10 — г линейно независимых решений.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л*1' 09-01-12188-офи_м).

Summary

N.A. Barieva, I.A. Bikchantaev. Riemauu Problem on a Two-slieeted Surface of a Class Oaob .

Solvability conditions and explicit solution of the Riemann boundary value problem were derived by I.A. Bikchantaev 011 the case of ult.rahyperellipt.ic surface (Riemann problem 011 ult.rahyperellipt.ic surface // Russian Math. 2000. V. 44. No 2. P. 17 29). The present, paper generalizes the last result on the case of two-sheeted Riemann surface of the class Oaob .

Key words: boundary value problems, Riemann surfaces.

Литература

1. Sariu L., Nakai M. Classification theory of open Riemann surfaces. Berlin-Heidelberg-

New York: Springer-Verlag, 1970. 446 p.

2. Солдатов А.П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций. М.: Высш. шк.. 1991. 208 с.

3. Бикчаитшш И.А. Задача Римана па ультрагиперэллиптическойповерхности // Изв.

вузов. Матем. 2000. Л'! 2. С. 19 31.

4. Зоерооич Э.И, Краевые задачи теории аналитических функций в гельдеровских классах па римаповых поверхностях // Усп. матем. паук. 1971. Т. 26, Л'! 1. С. 113 179.

Поступила в редакцию 30.01.09

Вариева Наиля Ахмедовна кандидат физико-математических паук, доцепт кафедры высшей математики Казанского государственного энергетического университета.

Викчантаев Ильдар Ахмедович доктор физико-математических паук, профессор кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. Е-шаП: ШксЬап Qksu.ru