Дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.54

Дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности

Анна Н.Чичкакова* Виктор В.Чуешев^

*

Кемеровский государственный университет, ул. Красная 6, Кемерово, 650043,

Россия

Получена 15.03.2008, окончательный вариант 25.05.2008, принята 25.06.2008

В [1] построена общая теория мультипликативных (многозначных) функций и дифференциалов Прима на компактных римановых поверхностях. В данной работе начато построение теории дифференциалов Прима на конечной римановой поверхности. Построены все виды элементарных дифференциалов Прима для любых характеров. Доказана конечномерность и найдены размерности двух важных видов фактор-пространств. Как следствие находится размерность первой голоморфной группы когомологий де Рама для несущественных характеров. Во всех этих фактор-пространствах построены явные базисы. Кроме того, получены формулы для мультипликативных функций и мультипликативных единиц для любых характеров на конечной римановой поверхности.

Ключевые слова: мультипликативная функция, дифференциал Прима.

1. Предварительные сведения

Пусть Г' = Г\j-Pi,..., Рп} — поверхность типа (д, п), п ^ 1 д ^ 2. Тогда она имеет алгебраи-

д

ческое представление Г = п (Г', О) =< а1,..., ад, 61,..., Ьд, 71,..., 7П : П [а3- ,63 ] • 71 • • • 7П =

3=1

1 >, где Г' — фуксова группа первого рода, инвариантно действующая в V и уни-формизирующая поверхность Г', т.е. Г' = и/Г'. Характер р на Г' — это любой гомоморфизм из группы Г' в мультипликативную группу С*. Тогда группа всех характеров Нот (Г', С*) = [С*]2®+п-1 и её подгруппа Нот (Г, С*) = [С*]2®, где операция задается обычным умножением, а в группе [С*]2д задана операция с помощью покоординатного умножения строк и Г = и/Г.

Определение 1.1. Мультипликативным дифференциалом ((р, ц) — дифференциалом Прима) и порядка ц ^ 0 на Г' для р называется однозначный дифференциал на V, удовлетворяющий условию и(Т£)Т'(¿)9 = р(Т)и(£), Т € Г', £ € V, ц € N и {0}. Теорема (Абеля для характеров, [2,с.134]). Пусть Б — дивизор на отмеченной компактной римановой поверхности [Г, {а1,...,ад ,61,...,Ьд}] рода д ^ 1 и р — характер на П1 (Г). Тогда Б будет дивизором мультипликативной функции / на Г для характера р deg Б = 0 и

*

* e-mail: [email protected] t e-mail: [email protected] © Siberian Federal University. All rights reserved

в Сд по модулю целочисленной решетки Ь(Г), порожденной столбцами

матрицы а-периодов и Ь-периодов канонического базиса ^1, ... ,Сд для канонического гомологического базиса на Г, где — отображение Якоби для Г.

Характер р называется несущественным на П1(Г), если р(ак) = ехр е^, р(Ьк) = д

ехр( С] П]к ),ек € С, к = 1,...,д. Множество таких характеров образуют подгруппу Ьд

3=1

в группе Нот (Г, С*). Характер называется существенным, если р € Нот (Г, С*)\Ьв.

Определение 1.2. Характер р на Г' называется существенным, если р(ак) = ехр2пге^, д

р(Ьк) = ехр2пг( ^ С]П]к + ¿к), к = 1,.. ., д, р(^) = 1,1 = 1,. .. , п. При ¿к € Ъ, к = 1,.. ., д,

3=1

характер называется несущественным на Г'.

Определение 1.3. Дифференциал Прима ш на Г' для характера р называется мультипликативно точным, если существует мультипликативная функция / для р такая, что ш = сС/ на Г'.

Аналогично, как для абелевых дифференциалов, вводятся дифференциалы Прима первого, второго и третьего родов на Г'. При аналитическом продолжении этих дифференциалов на Г в проколах могут быть либо устранимые точки (у.о.т.), либо полюса, либо существенно особые точки (с.о.т.). Введем два класса дифференциалов Прима на Г' для р.

Пространство А^(р) состоит из дифференциалов Прима для р на Г', которые имеют конечное число полюсов на Г' и допускают мероморфное продолжение на Г.

Пространство А^(р) состоит из дифференциалов для р, имеющих конечное число полюсов на Г 'и в проколах при аналитическом продолжении могут быть изолированные существенно особые точки. Например, к этому классу принадлежит одноточечная функция Бейкера-Ахиезера на Г.

2. Элементарные дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности

В этом параграфе будет найден общий вид элементарных (р, ч)-дифференциалов Прима на Г' класса А^(р) первого, второго и третьего рода.

Предложение 2.1. Дивизор Б степени (2д — 2)ч является дивизором мероморфного (р, ч) — дифференциала ш на Г рода д ^ 2, ч ^ 1 для характера р, если и только если <^>(Б) = —2Кч + Ф(р), где вектор констант Римана К зависит от отмечания на Г и от базисной точки Ро.

ш

Доказательство. Пусть ш0 — абелев ч-дифференциал на Г. Тогда / = — — муль-

ш0

типликативная функция на Г для р. По теореме Абеля для характеров имеем равенство

Ф(р) = Ч>((/)) = ^((ш)) — ^((шо)) = ¥>(Б) + 2Кч.

Обратно, если ^>(Б) = —2Кд + Ф(р), deg Б = (2д — 2)ч, то, учитывая равенство у((шо)) =

—2Кч на Г [2], имеем ^р(Б) = у((шо)) + Ф(р). Поэтому —г ) = Ф(р), и по теореме Абеля

\(шо)/

существует мультипликативная функция / для р на Г такая, что (/) = -—-. Отсюда

(ш0)

ш = /шо будет (р, ч)-дифференциалом Прима на Г с условием (ш) = Б. □

/(//(/ Здесь г -—- = 0, так как deg -—- > 0 при наших условиях. Действитель-

Найдем общий вид (р, ц)-дифференциалов второго рода с единственным полюсом порядка т ^ 2 на Г', где ц ^ 1.

По теореме Римана-Роха для (р, ц)-дифференциалов на Г [1] найдем размерность

гр'"(д—р^...^-) = dimc°9р(д—Р^ТТГР^) ,где ^0,€ 3 = 1,...,п. Имеем

гр,ч(Б) = (д — 1)(29 — 1) — degБ + г (^Б"") , где Б = .. — кано-

нический класс дивизоров (ц — 1)-дифференциалов на Г, / — любая мультипликативная

функция для р на Г. Отсюда «р,^ I ———-- = (д — 1)(2ц — 1) + т + к1 + ... + к„ > 3.

у д—р1 ... р„п у

, А/4 V Б у ---------М

но, deg(/) = 0, degZ4-1 = (ц — 1)(2д — 2) > 0 и deg > т > 0. От противно-

го, если существует функция д для р на Г с условием (д) ^ д—Р^1 ...Р^п(/9-1, то 0 = deg(д) > deg(д—Р-^1 ... Р*" (/)£9-1) > 3. Противоречие.

Ясно, что гр„ | -;-;— | = гр„ I -;-¡— | + 1. Следовательно, суще-

д—Рк1...р«- у Vд—-1 р...р«)

ствует (р, ц)-дифференциал т^—'(р) с полюсом точно порядка т в точке д на Г', т.е.

/ (—)г \\ — 1 ... —N 7-1 П / ^ ■ 1 ЛГ / (— )г \\ — 1 ... —N

(т( )(Р)) = д—рк-р*П на ^ —3 = д,з = ^ ..., ^ а значит, (т( '(Р)) = д— на Г'.

Такие (р, ц)-дифференциалы и = Тд— '(р) из А^(р) на Г' определяются неединственно на Г из-за своих нулей и полюсов, т.е. (и) = —1—~-^—-=—, к3 > 0, 3 = 1,..., п. За-

-3 IV/ д— рр' 3 ^ ' ' '

фиксируем к1,..., кп, как порядки возможных полюсов в точках Р1,..., Рп соответственно. Причем степень deg(u) = (2д — 2)ц на Г. Отсюда следует, что N = (2д — 2)ц+т + к1 +... + кп. По предложению 2.1 получаем уравнение

№ (—1 ... —N) — т (д—) — т (Рк1 ... р«кп) = —2Кц + ^(р)

в многообразии Якоби J(Г). Следовательно,

^(—1 . .. —N) = —2Кц + ^(д—) + к1^(Р1) + ... + к„^(Р„) + ^(р) = а

или

<£>(—1 . . . —д ) = а — у(— д+1 . . . —N).

Таким образом, для определения нулей имеем N — д = т + (2д — 2)ц — д + к1 + ... + кп ^ 2 свободных параметров, которые можно выбирать произвольно на Г'. Решая проблему обращения Якоби, найдем дивизор —1 . . . —д, который будет единственным решением уравнения, если правая сторона не принадлежит ^д1 [2]. Поэтому дивизор (тд—'(р)) = —1 ——- —д+-будет иметь наиболее общий вид дивизоров для

д Р1 1 ... Рп п

(р, ц)-дифференциалов т^— '(р) класса А^(р) с единственным полюсом порядка т ^ 2 на Г' = Г\{Р1,..., Рп} для точки д € Г'. Следовательно, доказано

Предложение 2.2. Для любой точки д и любого характера р на Г' типа (д, п), д ^ 2, п ^ 1, и любых т ^ 2, ц ^ 1 существует элементарный (р, ц) — дифференциал т^—'(р) второго

рода класса А^(р), у которого общий вид дивизора

< (тЬ \\ ... Ям (т( )(р)) = --

рК1 рк„ ' Р1 . . . Рп

где

...Яд) = —2Кч + ^(дт) — ^(Дд+1 ...Ям) + ^(р—1) +... + ^(РПп) + Ф(р),

к] ^ 0, = 1, .. ., п, при этом точки Яд+1, .. ., Ям выбираются произвольно на Г', и N = (2д — 2)ч + т + к1 + ... + кп.

Аналогично по теореме Римана-Роха для (р, ч)-дифференциалов точно с двумя про-

стыми полюсами в ^1,^2 на Г имеем -—-= (д — 1)(2ч — 1) + 2 +

\ ^1^2Р11 ... Рп" /

1

»— 1

к1 + ... + кп > 3, так как deg((/^"^^Р—1 ...Р-") > 2 > 0. Поэтому существуют (р, ч)—дифференциалы т класса А^(р) с условием (т) ^ на Г'. Ввиду того, что

Я 1 ^ • Я 1 ^+1

д2Р1-1 ...Р—Ч Р—1 ...Р,

Р,П д1Р-1 ...Р„М Р,Ч Р—1 ...Р„-

+ 1

при к1 > 0, существует (р, ч)-дифференциал тц2 (р) на Г' точно с единственным простым полюсом в точке ^2 и существует (р, ч)-дифференциал тц1 (р) точно с единственным простым полюсом в точке на Г' соответственно. Наконец, взяв дифференциал тд1(2 (р) = С1т((1 (р) + С2тц2 (р), С1 = 0, С2 =0 на Г', получим, что существует дифференциал тд1д2 (р) с простыми полюсами только в точках ^1, ^2 на Г'.

Найдем общий вид (р, ч)-дифференциала третьего рода ш = тц1ц2 (р) точно с двумя

простыми полюсами в точках и ^2 для класса А^(р) на Г' : (ш) =

Я1 ... Ям 1 ^1^2 Р—1 . . . Р-" ,

где N = (2д — 2)ч + к1 + ... + кп + 2. Следовательно, общий дивизор для ш имеет вид

( ) = Я1 ... Яд Яд+1... Ям

(ш)= р—1 ...р„—-,

где

^(Я1... Яд) = —2Кч + ^(^1^2) — ^(Яд+1... Ям) + к1^(Р1) + ... + кп^(Рп) + Ф(р).

Дивизор Я1 ... Яд будет единственным решением уравнения, если правая сторона не принадлежит ^д1. Таким образом, доказано

Предложение 2.3. Для любых различных точек ^1, ^2 на Г' типа (д, п), д ^ 2, п ^ 1, ч ^ 1 и любого характера р на Г' существует элементарный (р, ч)-дифференциал тц1ц2 (р) третьего рода класса А.1(р), у которого общий вид дивизора

Я1 . . . Ям 1

(Т(1(2 (р)) =

^1^2 Р—1 ...Р„-

1

и

1

1

где

^(Й! ...Яд) = —2Кд + ) - <р(Ед+1 ...Ем) + ^(Р'1) + ... + ) + ф(р),

к] ^ 0, ] = 1,...,п, при этом точки Ед+1,...,Ем выбираются произвольно на Я', и N = (2д - 2)д + 2 + к1 + ... + Лп.

Замечание 2.1. При д ^ 1 для описания голоморфных (р, д) —дифференциалов на Я' класса А1(р) необходимо убрать слагаемые у>(ф) или 1) и <£>(^2), которые участвуют в записи уравнений.

3. Дифференциалы Прима на конечной римановой поверхности

Обозначим через ) пространство голоморфных (р, д)-дифференциалов на Я. Пусть с!

— размерность ). Из [1, с.60] следует, что с! = (2д — 1)(д — 1) при любом характере р и д > 1; с! = д при д =1 и р — несущественный; с! = д — 1 при д =1 и р — существенный. Предложение 3.1. На Я' типа (д,п),п ^ 1,д ^ 2 образ пространства ) по отображению вложения г : ) —> Пр(Я') будет !-мерным подпространством в бесконечномерном пространстве ').

Доказательство. По теореме Римана-Роха для характеров на компактной поверхности Я пространство ) будет мерным комплексным векторным пространством.

Вложение г будет линейным инъективным отображением, а значит, )) будет

мерным подпространством. Для доказательства бесконечномерности пространства Пр(Я') применим предложения 2.2 и 2.3 о виде (р, д)-дифференциалов из пространства '). По замечанию 2.1, оно бесконечномерно даже для голоморфных (р, д)-дифференциалов из класса А1(р), так как можно выбирать произвольно натуральные числа &1,..., кп, как порядки полюсов в проколах Р1,... ,Рп. □ Теорема 3.1. На конечной римановой поверхности Я' типа (д,п),п ^ 1,д ^ 2, = 2д + п — 1, где ^(Я') — пространство однозначных дифференциалов второго рода с конечным числом полюсов на Я', которое факторизовано по подпространству всех точных дифференциалов второго рода на Я'.

Доказательство 1. Зададим отображение Ф из пространства 02(Я')/п2 ') на С2д+п-1 по правилу: сопоставим ш его базисные периоды, т.е.

/

Ф : ш 1—>

6 с2д+п-1

\01 ад Ь1 Ьд 71 7п— 1

Ядро отображения Ф совпадает с П2,еж(Я'). Действительно, если все указанные периоды равны нулю, то и

/ ш = °-

а значит, и все остальные периоды тоже равны нулю. Поэтому дифференциал ш будет точным на Я' и принадлежит пространству П2,еж(Я'). Так как отображение Ф взаимнооднозначно и линейно на фактор-пространстве, то ')/ех(р') ^ 2д + п — 1.

ш

ш

ш

ш

ш

ш

Докажем обратное неравенство <41ш^2(Р')/ех(_р/) ^ 2$ + п — 1 и построим базис этого пространства.

Возьмем мероморфные дифференциалы следующего вида:

А А ("1 + 1) ("я + 1)

на поверхности Р, где числа п1,п2,...,пд — пробелы Вейерштрасса в точке Р1 на Р и Р1 € Р'.

Покажем, что классы смежности с такими дифференциалами будут линейно-независимыми над С на Р/. От противного. Предположим, что существует линейная комбинация с ненулевыми комплексными коэффициентами, равная нулевому классу, тогда верно равенство С1С1 + ... + СдСд + ^тр"1+1) + ... + СдтР"8+1) + С1ГР2Р1 + ... + с^тр^ = с/, где с/ — точный дифференциал второго рода на Р/ и при аналитическом продолжении с Р/ на Р в проколах он может иметь либо у.о.т., либо полюса, либо с.о.т.

Пусть С1 = 0, обойдем точку Р2 по малой петле, но тогда выражение слева будет иметь период С1, а для правой стороны этот период равен нулю. По-другому, сразу считаем периоды по малым петлям, обходящим отдельно вокруг точек Р2,..., Рп, и получаем, что они равны С1,... ,сп-1 соответственно, но для правой части эти периоды равны нулю. Таким образом, С1 = ... = сп-1 = 0.

Рассмотрим коэффициент сд. Если у функции / в точке Р1 при продолжении на Р будет единственный полюс порядка пд на Р, то это невозможно из-за пробелов Вейерштрасса в точке Р1, и сд = 0.

Если с/ при продолжении с Р/ на Р имеет в одном проколе полюс или с.о.т., например, в проколе Р1 , то в Р1 слева и справа различные особые точки и получаем противоречие. Таким образом доказали, что с1 = . . . = сд = 0.

Теперь рассмотрим коэффициенты С1,..., сд. Если при аналитическом продолжении с/

д

в проколах имеем полюса или с.о.т., то их нет у комбинации ^ на Р. Поэтому / будет

¿=1

голоморфна на Р и, значит, / будет константой, с/ = 0. Получили противоречие с линейной независимостью С1,..., Сд на Р. Отсюда С1 = ... = ед =0. Таким образом доказали, что дифференциалы £1,..., £д, т~"1 + 1),..., тРпд+1), тр2р1,..., трпр1 представляют линейно независимые классы смежности над С нашего фактор-пространства на Р/, и его размерность > 2$ + п — 1.

Следовательно, размерность нашего пространства равна 2$ + п — 1 и построен явный базис в фактор-пространстве. □

Доказательство 2. Обозначим через Р1,...,Рп проколы; они фиксированы. Выберем точки Р1,...,Рд с условием ¿(Р1 ... Рд) = 0 или это равносильно тому, что не существует мероморфной функции / на Р с такими простыми полюсами. По сравнению с первым доказательством нам нужно только установить нижнюю оценку, т.е. ё1ш^2(Р/)/п2 ех(р') ^ 2$ + п — 1. Рассмотрим набор классов смежности дифференциалов [С1],..., [Сд], [т-2)],..., [т-2)], [тр2р1 ],..., [трпр1 ], для которого надо показать линейную неза-

Р1 рд П

висимость над С. Возможно, что точки Р1,..., Рд попадут на проколы Р1,..., Рп. Тогда придется из списка тР2),..., тР2) удалить часть этих дифференциалов и, значит, не наберет-

Р1 -Рд

ся нужное для нашей оценки число линейно независимых классов.

Применим технику шевеления дивизоров степени $, сделаем так, чтобы эти точки Р1,..., Рд ушли с проколов, но при этом по-прежнему составляли неспециальный дивизор.

Известно, что в пространстве Рд (всех целых дивизоров степени д на Р) множество всех специальных дивизоров образуют замкнутое подмногообразие положительной комплексной коразмерности. В частности, множество всех неспециальных дивизоров будет открыто и плотно в Рд [2].

Пусть все Р1,..., Рд попали в проколы, обозначим их Р1 = Р1,..., Рд = Рд. Рассмотрим малые фиксированные диски, содержащие эти точки и не пересекающиеся друг с другом, а также не содержащие остальные проколы. Возьмем в этих окрестностях близкие точки Р1,..., Рд, отличные от Р1,..., Рд соответственно. Если оказалось, что ¿(Р1 ... Рд) = 0, то возьмем фиксированные окрестности этих точек, не содержащие точки Р1,..., Рд и лежащие в тех же окрестностях. Тогда, учитывая открытость множества неспециальных дивизоров Рд, возьмем точки Р{,..., Рд близкие к Р1,..., Рд соответственно, для которых уже »(Л' ...Рд/ ) = 0.

Рассмотрим снова наш список, уже с условием, что Р1,..., Рд не попадают ни в один из

проколов. Предположим, что линейная комбинация классов смежности С1 [^1] + ... + сд [£д] +

(2) (2)

С1[тр )] +.. .+Сд [тр )] + С1[тр2р1 ] + .. . + Сп-1[трпр1 ] = [0] = [с/], где не все коэффициенты равны

р1 рд

нулю. Тогда аналогично, как в первом доказательстве, получим, что с3- = 0, 3 = 1,..., п — 1.

Теперь рассмотрим коэффициенты 03, 3 = 1,..., д. Напомним, что точки Р1,..., Рд лежат внутри Р/. Если сС/ имеет у.о.т. во всех проколах, то из этого равенства на Р следует, что существует мероморфная функция с простыми полюсами в Р1,... ,Рд, но по выбору точек это невозможно.

Если сС/ при продолжении на Р имеет хотя бы один полюс или с.о.т., то для комбинации слева эта точка (прокол) не будет особой, а для сС/ она особая. Противоречие. Таким образом, С = 0, 3 = 1,..., д. Аналогично, как в первом доказательстве, получается, что все = 0, 3 = 1, . . . , д. Таким образом, доказали оценку снизу. □

Пространство Н[ог(Р/), равное {пространству голоморфных 1—дифференциалов на Р/}/{ по подпространству голоморфных точных дифференциалов на Р/}, называется первой голоморфной группой когомологий де Рама на Р/.

Следствие 3.1 [2]. На Р/ типа (д,п),п ^ 1,д ^ 2 размерность ё1шН[ог(Р/) = 2д + п — 1, и существует явный базис классов смежности дифференциалов из этого пространства.

Обозначим через ^2,р(Р/) пространство мероморфных дифференциалов второго рода для характера р на Р/, а через Пе р(Р/) — подпространство всех мультипликативно точных дифференциалов Прима для р на Р/.

Теорема 3.2. Пусть Р/ — конечная риманова поверхность типа

(д, п), п > 1, д > 2 и р — несущественный характер на Р/,р(7з) = 1,3 = 1, .. . ,п. Тогда

аш^^РО/пе^ 0 = 2д + п — 1. Причем существуют базисы дифференциалов Прима для р :

ЛСь . . . , /оСд, /0трп 1 + 1), . . . , /0тРпд + ^ Л^р! , . . . , /0тР„Р1 ,

или

МЪ . . . , УоСд, /0тр;)2), . . . , /0тр2), /0тР2Р! , . . . , У"отр„р!,

где fo — мультипликативная единица для р, а числа ni, .. ., ng — пробелы Вейерштрасса в точке Pi на F и i(Pi .. . Pg) =0 на F.

Доказательство. Пусть р — несущественный характер, тогда существует мультипликативная функция fo без нулей и полюсов (мультипликативная единица) для этого характера р на F.

Зададим отображение Ф из ^,p(F/) в H 1(Г/, р), сопоставляя дифференциалу ш его класс периодов [ш]. При р =1 dime H 1(Г/, р) = 2g — 2 + n[1]. Дифференциал ш имеет класс периодов [ш] = 0 в H 1(Г/,р), если и только если ш G Hi,p(F/). Следовательно, это отображение корректно определено на фактор-пространстве и Ф взаимно-однозначно и линейно. Отсюда dime H^»/^(F/) < 2g — 2 + n.

Явный базис пространства ^,P(F/)/ne p(f') имеет следующий вид. Дифференциалы foZi,..., foZg, foT~2),..., for~2), foтр2p1,..., forp^pj представляют линейно независимые над

P1 Pg

C классы смежности в нашем фактор-пространстве. Здесь т~2) — абелев дифференциал

второго рода на F точно с единственным полюсом второго порядка в точке Pj, j = 1,..., g, с нулевыми а-периодами. Точки Pi,..., Pg выбираются из условия i(Pi ... Pg) = 0 или

r (PTbg) = 1.

Другой базис в нашем фактор-пространстве для несущественного характера р можно выбрать следующим способом в виде

fo^i, . . . , ioCg, foтp™1 + 1), . . . , foTp"S + 1), foTP2Pi, . . . , foTP„Pi,

где ni,..., ng — пробелы Вейерштрасса на F в точке Pi. □

Теорема 3.3. Пусть

Qi, Q2,..., Qs, s > 1,

попарно различные точки на поверхности F/ типа (g, n),g ^ 2,n ^ 1 и р — несущественный характер. Тогда

dime ^р ^-^; FМ /ад(1; F/) = 2g + n — 1 + s,

1

Я... Яв

причем существует базис классов смежности дифференциалов

Р1, . . . , /0ТР„Р1, /0ТЧ1Р1, . . . , /0тЗаР1

этого фактор-пространства, где числа п1,...,пд — пробелы Вейерштрасса в точке Р1 на Р.

Доказательство. Если р — несущественный характер на Р', то существует мультипликативная единица /о для р на Р'. Тогда имеются изоморфизмы

&А-1-; Р^ = п(-1-; Р'

и Пе,р(1; Р') = Пе(1; Р') По [3] получаем, что размерность этого фактор-пространства будет равна 2д + п — 1 + е.

Явный базис нашего фактор-пространства имеет следующий вид:

Мъ . . . , УоСд, ./отр11 + 1), . . . , /огР18 + 1\ /0ТР2Р1, . . . , ЛТР„Р1, /0ТЧ1Р1, . . . , /о^ЗеР!,

где числа ni,..., ng — пробелы Вейерштрасса в точке Pi на F. Аналогично, как в теореме 3.1, доказывается, что этот набор представляет линейно независимые классы смежности в нашем фактор-пространстве. □

Обозначим через р(F') фактор-пространство пространства голоморфных дифференциалов Прима для р на F', факторизованное по подпространству мультипликативно точных голоморфных дифференциалов Прима для р на F'. Это есть первая голоморфная группа когомологий де Рама на F' для характера р.

Следствие 3.1. Для F' типа (g,n),n ^ 1,g ^ 2, и несущественного характера р верно, что dime #LljP(F') = 2g + n - 1.

Зададим отображение х из пространства П(1; F') на по правилу:

Следствие 3.2 [3]. На поверхности Р/ типа (д, п),д ^ 2,п ^ 1, для несущественного характера р пространство Пр(1; Р/) = /0 кег хф/з!ш х, где ядро кег х — бесконечномерно, а 1шх — Н^о1(Р/) будет (2д + п — 1)-мерным подпространством, и кегх = ^е(1; Р/).

4. Мультипликативные функции и единицы на конечной римановой поверхности Г'

На конечной римановой поверхности Р/ типа (д, п), д ^ 2, п ^ 1 рассмотрим последовательность

д1,д2,...,дт,... (1)

и соответствующую ей последовательность дивизоров — = 1, -¿+1 = —^¿+1,3' =0,1,.... Пусть р - такой, что р(73-) = 1,3 = 1, ..,п. Поставим последовательность задач.

Задача "3"(3 = 1, 2,...): существует ли мероморфная функция / для р на Р/, удовлетворяющая условиям (/) ^ —— и (/) ^ —-? Эквивалентная постановка для задачи "3" :

существует ли непостоянная мероморфная функция / € Ьр -=— \Ьр —- , где — —

дивизор и Ьр(Р) состоит из всех мероморфных функций для р на Р, которые кратны —.

На компактной римановой поверхности Р рода д ^ 1 рассмотрим последовательность вида

Р1,Р1,...,Р1 ,д1,д2,...,дт,.... (2)

Для неё можно поставить задачу Нётера о мультипликативных пробелах на Р. Теорема 4.1. На поверхности Р/ типа (д, п), д ^ 2, п ^ 1 зададим любую фиксированную последовательность (1). Тогда для любого натурального числа в ^ 1 и любого характера

р на Р/ существует мероморфная функция / для р на Р/, такая что (/) ^ —-—— и

. ..

(/С) ^ —-—-, т. е. в будет мультипликативным непробелом Нётера для последова-

У1... Уя-1 тельности (1) на Р/ для р.

Доказательство. В последовательности (2) можно взять к1 точек Р1, где к1 ^ 2д. В частности, можно взять равным пд (для несущественного характера) и пд-1 (для существенного характера), которое является последним мультипликативным пробелом Нётера

для последовательности (2) на ¥. Следовательно, любое число в ^ 1 будет непробелом Нё-тера для последовательности (1) на ¥', так как существует мероморфная функция / для р,

такая что (/) ^ -^ и (/) ^ -^ на ¥. Поэтому существует мероморф-

ная функция / для р, такая что (/) > —-— и (/) ^ —--- на ¥'. □

У1 ... Уя У1 ... Уя-1

Отсюда следует, что теорема Нётера о мультипликативных пробелах неверна для ¥'.

Следствие 4.1. На поверхности ¥' типа (д, п), д ^ 2, п ^ 1, для любой фиксированной

точки У на ¥', (9ля любого характера р и (9ля любого натурального числа I ^ 1 существует

голоморфная функция / для р на ¥такая что (/) ^ —у, но (/) ^ ^ 1 на ¥'.

Таким образом, теорема Вейерштрасса о мультипликативных пробелах не имеет места для римановой поверхности с проколами.

Для частного случая р = 1 эти теоремы являются аналогами теорем Миттаг-Леффлера и Вейерштрасса для открытой поверхности ¥'. Эти теоремы доказываются с помощью когомологической техники (см., например, [4]) довольно трудно. С помощью нашей техники работы с дивизорами эти теоремы доказываются просто и даже элементарно.

Пусть на ¥' типа (д, п) задана мультипликативная функция / для любого характера р класса А1(р). Тогда она имеет мероморфное продолжение / для р на ¥ с дивизором

/ = ° = Л ... ^ •-к1 ... Л' е Ъ13 = 1,..., п на ¥, где Щ, € ¥'^ = 1,..., т, к = Ув1... Уя

т п я

1,..., в, и 0 = deg Р = £ а + £ к- - £ в.

5=1 5=1 5=1

Рассмотрим однозначный абелев дифференциал

((¿Ыг = /,( ) ¿г /(*)

третьего рода на ¥ с простыми полюсами Д1,..., Дт, ^1,..., Уя, Р1,..., Рп и вычетами «1,..., ат, —вь ..., —вя, &1,..., кп соответственно. Тогда

т я п д

= Тд;Ро — вРо + ТР;Ро + X) С., (3)

5=1 5=1 5 = 1 5 = 1

где е. € С, = 1,..., д, Ро не принадлежит виррБ [1;2]. Отсюда

р

/(Р) = ехр J

Ро

на ¥.

Пусть мультипликативная функция / € А^(р) на ¥' типа (д, п),п ^ 1, т.е. она имеет аналитическое продолжение / на ¥, у которого в проколах Р1,..., Р;, 1 ^ I ^ п, будут с.о.т., и предположим, что в окрестности и(Р.) функция /(Р) ~ в® )(Р), к. (Р.,) = то, д. - некоторые многочлены, = 1,..., I, а в проколах Р;+1,..., Рп возможны либо полюса, либо нули

/(Р)

порядков г;+1,...,гп соответственно. Положим д(Р) = -—— на ¥', где хр1 р(Р)

ХРЬ...,Р (Р)

будет I—точечная функция Бейкера-Ахиезера на ¥ с теми же асимптотиками в точках Р1,..., Р;, как у функции / [5]. Она будет мультипликативной функцией класса А.1(р), и

её мероморфное продолжение д имеет дивизор (д) = Р = —в-• Р;Г++1 .. . РПп, г. €

.. .

Z,j = I + 1,...,п на Р. Тогда 0 = degБ = ^ ау — ^ в?' + . Дифференциал

¿=1 ¿=1 ¿=¡+1

(^(¿Ыг = ) ¿г будет абелевым дифференциалом третьего рода с простыми полюсами

Ф)

Й1,..., Дт, ^1,..., Р;+1,..., Рп, и

те п д

= X Тд; Ро — X вРо + X ^Ро + X &, (4)

¿=1 ¿=1 ¿=¡+1 ¿=1

где е^- € С,з = 1,..., д. Таким образом, доказано утверждение.

Теорема 4.2. Мультипликативная функция / на Р' типа (д, п),д ^ 2, п ^ 1 для любого

характера р, р(7^) = 1, 3 = 1,. .., п, имеет представление: _ Р

1) /"(Р) = ехр ^ где задана формулой (3) для / из класса А^(р) на Р';

Ро

_ Р

2) /"(Р) = ХР\,...,Р1 (Р) ехр / где задается формулой (4) для / из класса

Ро

А2(р) на Р', где 1 ^ I ^ п, которая имеет асимптотики вида е®)(Р ) в и (Р.,-), з = 1, .. ., I. Здесь / — мероморфное продолжение / с Р' на Р и Хр^...,Р (Р) — 1-точечная функция Бейкера-Ахиезера на Р.

Построим мультипликативные единицы на Р' типа (д, п), п ^ 2 для р € Нот (Г', С*). Для искомой мультипликативной единицы / с некоторым характером р на Р' можно проколы Р1,..., Р8 объявить «нулями», а остальные проколы Р8+1,..., Рп «полюсами» при п ^ в ^

2. Например, для п = 2, наряду с дивизором —1, связанным с проколами, можно брать

Р2

Рт

дивизоры , т > 2. Р2

Рт1 Р т3 я

Возьмем общий дивизор Б = —тт+-я т , т^- € N,3 = 1,. .., п, с условием ^ т^ =

п

т-й, т.е. degБ = 0, и построим мультипликативную функцию / на Р вида

й=я + 1

Р ( 8. п д

/ = ехр/ ^^ Ро — ^ ^ Ро ^

Ро у^1 ¿=8+1 ¿=1

для некоторого характера и (/) = Б на Р, где Ро не принадлежит виррБ.

После выкалывания проколов Р1,..., Рп мультипликативная функция на Р' будет мультипликативной единицей, где характер определяется по формуле

р/(а-й) = ехр2пгей,р/ (6Й) = ехр

3 / 8 Р'

2П ^ е^-эт^ + 2П I ^ т^- / Сй —

¿к I I ^

¿=1 Ь=1

Ро

¿=8 + 1 Ро

Р,

, к = 1,...,д, р/ (7;) = ехр(±2пгтг) = 1,1 = 1,...,п, (5)

т.е. р = р/ € Нот (Г, С*). По теореме Абеля для характеров ^(р/) = ^>ро (Б) в J(Р).

Рассмотрим два случая: а) ^(р) = ^Ро(Б) = 0 в 7(Р); б) ^(р) = ^Ро(Б) =0 в 7(Р) для

Р. о о

а) Если ^(р) = 0 = ^>_р0 (Р) в J(Р), то р = р^ - несущественный характер на Р',

я п

определенный по формуле (5). Это означает, что ^>(Р) = т^^(Р^) — ^(Рг) =

¿=1 ¿ = 8 + 1

Я Р3 п

{(т^ / Сй — т^ / Сй) : к = 1,..., $} € 23 и числа т1,..., тп € N уже выбра-

¿ = 1 Ро ¿ = 8+1 Ро

ны с условием deg Р = 0. По теореме Абеля эти два условия равносильны тому, что Р —

дивизор некоторой однозначной мероморфной функции /о на Р, т.е. (/о) = Р. Функция

~ / ~ (/)

/"о = — будет иметь несущественный характер р на Р, так как (/"о) = , , = 1. Поэтому

/о (/о)

/"о — мультипликативная единица на Р для несущественного р. Таким образом, доказано утверждение.

Предложение 4.1. На Р' = Р\{Р1,...,Рп} типа ($,п),п ^ в ^ 2 для любого дивизора

р т1 р га,

Р = —¿+1-(ассоциированного с проколами) такого, что deg Р = 0, (Р) = 0 су-

Р8+\ ... Рп п

ществует мультипликативная единица / для несущественного характера р на Р', ^(р) = <£>_Р0(Р) = 0 в J(Р), которая представляется в виде / = /о • /"о, где /"о — мультипликативная единица для р на Р, и /о — однозначная мероморфная функция с дивизором (/о) = Р на Р.

в п

б) Если ^>(Р) = т^) — т^-) не принадлежит Zs для натуральных чисел

¿=1 й=я + 1

т1,..., тп с условием т-1 + ... + тя — тЯ+1 — ... — тп = 0, то характер р, удовлетворяющий (5), будет существенным на Р.

По теореме Абеля для характеров из 0 = (Р) = ^(р) следует, что существует /о — мультипликативная функция для существенного характера р на Р с (/о) = Р. Поэтому существует мультипликативная единица /о на Р' для р. Если / — другая такая мульти-

/

пликативная единица на Р', то /"о = — будет однозначной голоморфной функцией на Р.

/о

Поэтому / = с/о на Р', с = 0. Таким образом, доказано утверждение.

Предложение 4.2. На Р' = Р\{Р1,...,Рп} типа ($, п),п ^ 2 для любого дивизора

Рт1 р т,

Р = —т,+1-ят такого, что deg Р = 0, (Р) = 0, существует мультипликатив-

Ря+,1 . .. Рп п

ная единица /о на Р' с существенным характером р, 0 = (Р) = ^(р) в J(Р), и (/о) = Р на Р, которая определяется с точностью до умножения на ненулевую константу.

Р т

Замечание 4.1. Мультипликативные функции /т с дивизорами Р = —т при различ-

Р2т

ных т имеют разные порядки полюсов в точке Р2. Следовательно, получаем бесконечное семейство мультипликативных единиц /т, линейно независимых над С, но, возможно, имеющих различные характеры на Р'.

Первый автор был поддержан грантом РФФИ, проект 07-01-90810-моб.ст.; второй автор был поддержан грантом СФУ по НМ проект №45.2007

Список литературы

[1] В.В.Чуешев, Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности, Часть 2, Кемерово, КемГУ, 2003.

[2] H.M.Farkas, I.Kra, Riemann Surfaces. Graduate Texts in Mathematics, 71(1992), Springer-

Verlag.

[3] А.Н.Чичкакова, В.В.Чуешев, Мероморфные дифференциалы и функции на конечной римановой поверхности, Международная конференция «Дифференциальные уравнения, теория функций и приложения», Новосибирск, НГУ, 2007, 11.

[4] О.Форстер, Римановы поверхности, М., Мир, 1980.

[5] Б.А.Дубровин, Римановы поверхности и нелинейные уравнения, Москва-Ижевск, РХД, 2001.

Prym Differentials on a Finite Riemann Surface

Anna N.Chichkakova Viktor V.Chueshev

V.V.Chueshev has constructed a general theory of multiplicative (multi-valued) functions and Prym differentials on a compact Riemann surface. In this article we begin to construct the theory of Prym differentials on a finite Riemann surface. Explicit forms of all elementary Prym differentials for every characters are given.We find the dimensions of two important factor spaces of Prym differentials and the dimension of the first holomorphic de Rham cohomology group of Prym differentials for unessential characters. Moreover we give explicit bases in these factor spaces. We also give formulae for multiplicative functions and multiplicative units for every characters on finite Riemann surfaces. Keywords: multiplicative function, Prym differential