Размерности пространств дифференциалов Прима с переменным дивизором Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.545

РАЗМЕРНОСТИ ПРОСТРАНСТВ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПРИМА С ПЕРЕМЕННЫМ ДИВИЗОРОМ

М. В. Комарова

DIMENSIONS OF PRYM DIFFERENTIALS SPACES WITH VARIABLE DIVISORS

M. V. Komarova

Пространства мероморфных абелевых дифференциалов на компактной римановой поверхности с проколами находят применение в теоретической физике и в уравнениях математической физики.

В работе В. В. Чуешева найдены размерности ipk (D) пространств Wkp (D), состоящих из мероморфных k -дифференциалов Прима для характера p, кратных дивизору D на F, в случае, когда deg D = (2g — 2)k, k > 0, k Є N.

В данной работе найдены размерности ipk (D) для любых дивизоров D, как положительных, так и отрицательных переменных степеней.

Spaces of meromorphic abelian differentials on a compact Riemann surface with punctures find application in theoretical physics and in the equations of mathematical physics.

InV. V. Chuyeshev's work ipk (D) dimensions of Wkp (D) spaces, consisting of Prym meromorphic k -differentials for the character p, multiple to a divisor D on F, when deg D = (2g — 2)k, k > 0, k Є N, have been-found.

In this article dimensions ip k (D) for any divisors D for the character p, both of positive, and negative variable degrees, have been found.

Ключевые слова: компактная риманова поверхность, абелевы дифференциалы, дифференциалы Прима для характеров.

Keywords: compact Riemann surfaces, аbelian differentials, Prym differentials for characters.

Введение

Пространства мероморфных абелевых дифференциалов на компактной римановой поверхности F с проколами находят применение в теоретической физике и в уравнениях математической физики [1, 2, З].

В [4] найдены размерности ipk (D) пространств Wkp (D), состоящих из мероморфных k -дифференциалов Прима для p , кратных дивизору D на F, в случае, когда:

deg D = (2g — 2)k, k > 0, k Є N.

Цель работы - найти размерности ip k (D) для любых дивизоров D, как положительных, так и отрицательных переменных степеней.

1. Предварительные сведения

Определение 1.1. (Абстрактная) риманова поверхность есть пара (F, S), состоящая из комплексно аналитической структуры S на двумерной поверхности F. Часто для кратности вместо (F, S) пишут F.

Определение 1.2. Пусть k Є Z . Мероморфным k -дифференциалом ю на римановой поверхности F называется закон, сопоставляющий каждой локальной координате z на F мероморфную функцию f (z) такую, что выражение f(z)dzk будет инвариантно относительно замен локального параметра z на F. Для к = 1 такие дифференциалы называются абелевыми [3].

Дивизором на римановой поверхности F называется формальное произведение

D = PiUl...PkUk, P Є F, из Є Z, j = 1,..., k.

Обозначим через Div(F) группу дивизоров на F с операцией умножения дивизоров. Она является свободной коммутативной группой. Единица в Div(F) будет обозначаться 1 (пустой дивизор). Для каждого

k

дивизора D определена степень degD = ^и-.

j=1

Степень deg задает гомоморфизм из группы (Оы(Е), ) в (Т., +). Если / е М (Р), т. е. /- мероморфная

функция на Е, не являющая тождественным нулем, то определен ее дивизор (/) = п ротЛР/ е рцр).

Р еР

Отсюда получаем гомоморфизм () из М*(Е) в группу Оы0(Е) (группу дивизоров степени 0), так как число нулей равно числу полюсов для мероморфной функции (с учетом кратности). Обозначим через ОыН(Е) образ по отображению () для М*(Е). Дивизоры из ОыН(Е) называют главными, то есть дивизорами для однозначных мероморфных функций на Е. Фактор-группа Бгу(Р) / Бгюн (Р) называется группой классов дивизоров.

Определение 1.3. Два дивизора О и О1 называются линейно эквивалентными (О ~ О1), если О/О1 -главный дивизор на Е.

Для любого дивизора О на Е вводится комплексное векторное пространство

L(D) = {f е M(F) : (f) > D}.

(D) = dimc Wk (D) Его размерность r(D) будем называть размерностью

дивизора D. Также для любого D е Div(F) вводится комплексное векторное пространство Wk (D), состоящее из ю таких, что ю - абелев ^-дифференциал на F c ik (D) = dimc Wk (D) (w) > D. Его размерность ik (D) = dimC Wk (D) называется индексом специальности для дивизора D при k=1 ik (D) = dimC Wk (D).

Для краткости будем писать Q1 (D) = Q(D) и i1 (D) = /(D).

Определение 1.4. Отображение Якоби ф : F ^ J(F) определяется по формуле:

p p р

ф( P) = \С=‘ ( jC„..;\Cg ) 6 C ,

р0 р0 р0

где Ро - фиксированная точка на F и пути интегрирования берутся одинаковыми для всех координат, а ,---Cg ~ базис голоморфных 1-дифференциалов на F, и J(F)~ многообразие Якоби для F [3,5].

Теорема (Римана-Роха) [3,4]. Пусть F - компактная риманова поверхность рода g, g>0. Тогда верно равенство r (D-1) = deg D — g +1 + i (D).

Теорема (Г. Абеля) [3]. Пусть D 6 Div(F). Тогда D - главный дивизор на компактной римановой поверхности F рода g > 1, если и только если degD=0 и f(D) = 0 , где ф - отображение Якоби для F.

Определение 1.5. Характером р на фундаментальной группе p-y(F) для компактной римановой поверхности F называется любой гомоморфизм из группы px(F) в мультипликативную группу C* = C \{0} ,

поля комплексных чисел C.

Опишем, прежде всего, мультипликативные функции f не имеющие ни нулей, ни полюсов. Если

f - мультипликативная функция на F без нулей и полюсов, то f - голоморфный абелев дифференциал.

df g

Отсюда — = ^о-, а значит

f j=i

f (Р ) = f (Po)exP

Po j =1

cj 6 C, j =1,..., g.

Учитывая выбор канонического базиса }*=1, для канонического гомологического базиса

ag, bi,..., bg петель на F [3], получим, что характер р для f имеет вид:

g f

P(ak) = exPck,P(bk) = exP(Z!cjK]kXk = V.^g,где Л]к = jCj,j,к = 1,...,g. Будем называть такие

]=1 bk

характеры p несущественными, а f (с таким характером) - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на ТГ1 (F).

Для любого дивизора Б обозначим через гр(Б ') и 1рк ( Б) и размерности векторных пространств, состоящих из функций/и (р, к) - дифференциалов ш для р таких, что (/) > Б 1 и (а) > Б на Е соответственно.

Теорема (Римана - Роха для характеров) [3]. Пусть Б - компактная риманова поверхность рода g > 1. Тогда для любого дивизора Б на Е и любого характера р, рФ 1, верно равенство:

тр (Б 1) = deg Б-g +1 + р, (Б).

Определение 1.6. Мероморфным (р, к)-дифференциалом Прима на Е для р называется однозначная ме-роморфная дифференциальная к -форма р - р(I)й!гк на круге и такая, что

ср(Т2)^Т1)к - р(Т)р(I)й!к, Т е Г, I е и, к е I, где Г - фуксова группа первого рода инвариантно действующая в круге и и униформизирующая Е в и, т. е. и/Г=Е.

Теорема (Римана-Роха для (р, к)-дифференциалов и характеров) [4]. Для любых g>0 и к е I верно равенство

р (Б) = (g - 1)(2к -1) - deg Б +1((/)1к / Б) - (g - 1)(2к -1) - deg Б + г((/)1к1 / к

при любом характере р на компактной римановой поверхности Е рода g, где /- любая мультипликативная функция для р, /ф0, I- канонический класс дивизоров абелевых дифференциалов на Е.

Предложение 1.1 [3]. Если degБ>в, то г(Б)=в.

В частности, если Б=1 и р - несущественный характер, т. е. существует мультипликативная единица / для р, где /)=1, то при к > 1 и g > 2 верно равенство

'р,к (1) = (g- 1)(2к -1) + г (1к-1) - (2к -1)( g -1),

так как deg 1к 1 - (к -1)(2g - 2) > 0.

Предложение 1.2 [3]. ЕслиdegБ - 0, то г(Б)=1, если Б главный и г(Б)=в, если Б неглавный.

2. Нахождение размерности 1р к (Б) для переменного дивизора Б

Случай degБ<0 рассмотрим отдельно.

Предложение 2.1. Для любого дивизора Б, - n=degD<0 верно равенство 1р к (Б) - (2к -1)(g -1) + п > 0, для любых характеров р, к > 1 и g > 2.

Доказательство. По теореме Римана-Роха для (р, к)-дифференциалов верно равенство:

>Р,к (Б) = (л - 1)(2к -1) - deg Б+г((/ )1к-1 / Б) - & - 1)(2к -1)+п > 0.

Здесь г

- 0.

так как

ук-1

deg(/)~б~ = 0 + (к -1)(2g - 2) - deg Б - (к -1)(2g - 2) + п > 0.

Предложение доказано.

В дальнейшем будем рассматривать любые дивизоры степеней п = deg Б > 0.

Случай к=1. Составим таблицу из 1р 1 (Б) для deg Б = п.

Пусть п > 2g—2, тогда имеем 1р 1 (Б) - 0 при deg Б=2g-2+m, т=1,2,.... Действительно, если существует а Ф 0 такой, что (а) > Б, то deg(0) > deg Б. Отсюда получаем, что верно неравенство 2g - 2 > 2g - 2 + т. Противоречие. Следовательно, в этом случае 1р 1 (Б) - 0 .

Случай п = 2g — 2 рассмотрен в таблице 3.1 в [4].

Пусть 0< п <2g — 2, тогда используя теорему Римана-Роха получим, что

В) =(g -1) -п+г

Если р - несущественный характер, то

Р(О) =і(О) = (8 —!) - п + г ^ ^ ^,

где !0 = (/) = 1 и/- мультипликативная единица для р на Е

Если р - существенный характер, то ір 1 (к) = 8 — 1 — п + г

где !0 = (/) Ф 1, / — мультипликативная функция для р на Е.

Таким образом, с учетом [4], доказана теорема о размерности /р1(!), которую удобно сформулировать в виде таблицы 1.

Таблица 1

Для размерности ір,1 (Б)

§>2 deg Б = п Несущественный характер Существенный характер

п > 2g - 2 0

0 < п < 2g - 2 8—1—п+г ( І) 8—1—п+г (О)

п = 2g - 2 о+г Б~Б02 0 + Вй1

1 г (ъ 8+1 1 г( ! )—8+1

Случай к=2. Составим таблицу из размерностей 1р 2 (Б).

Пусть Б = П > (2g — 2)2, тогда имеем 1р 2(Б) = 0 при deg Б = (2g- 2)2 + т, т = 1, 2, ....

Так как, если существует ю^0 такое, что (ю) > Б, то deg(ю) > deg Б и (2g - 2)2 > (2g - 2)2 + т. Противоречие. Следовательно, в этом случае 1р2(П) = 0 .

Пусть 0 < п < 2g — 2, тогда используя теорему Римана-Роха для (р, к)-дифференциалов, получим, что верно равенство

(

72—1 Л

р2(І) = (2•2 —1)(8 —1) — йе%В+г СО-!- = 3(8 —1)—п+г V О )

О у

= 38 — 3 — п,

так как

= 0 + (28 — 2) — п > 0 и г

При п = 28 - 2 имеем

(

ёее

1 Л

= 0 + 2 8 — 2 + п = 0, а значит верно равенство г

= 0.

= 0 , когда Б не эквивалентно

= 1, когда Б эквивалентно О07 .

Случай п = (2g — 2)2 имеется в таблице 3.1 в [4]. Пусть 2g — 2 < п< (2g -2)2, тогда имеем равенство

Бо 7 \

О

Здесь deg

= 0 + 2 8 — 2 — п < 0, и если существует Г (/) >

Б 21 Б 21

то 0 = deg(/) > deg—0—, deg—0;— < 0 и нет противоречия. Следовательно, в этом случае имеем толь-

Б Б

ко: для несущественного характера р

Ір,2(Б) = 3£ - 3 - П + Г

а для существенного характера р

ірА Б) = 38 -3 - п+г

Г Ц—_ 1

V Б ,

Таким образом, доказана теорема о размерности ір 2 (Б), которую сформулируем в виде таблицы 2.

Таблица 2

Для размерности ір,2 (Б)

8>2 deg Б = п Несущественный характер Существенный характер

n>4g-4 0

0<n<2g-2 3g-3 -п

2g-2<n<4g-4 со 1 со Г—1 - п + г I — I V Б ) 1 со 1 8 со Г Б0 — 1 п + г| —I V Б )

п = 2g-2 и+г Б~Б02 и +

g g-l g g-l

п = 4g-4 Б~г2 Б+г2 Б~ Б022 в + в^2

1 г ( Б 8+1 1 г( Б—)-8 + ■

Рассмотрим общий случай к > 3 . Составим таблицу из 1р к (Б).

Пусть п > (28 - 2)к, тогда имеем 1р к (Б) = 0 при deg Б = (28 - 2)к + т, т = 1,2,..., так как, если существует о Ф 0 такое, что (ю) > Б, то deg(ю) > deg Б и (28 - 2)к > (28 - 2)к + т. Противоречие. Следователь-1рк (Б) = 0

но при этих условиях.

Пусть 0< п < ^ - 2)(к - 1), тогда по теореме Римана-Роха для (р, к)-дифференциалов получим, что

*р,к (Б) = (2к -1)(8 -1) - ^ Б + г (/) ^Б~ = (2к -1)(8 -1) - П

V Б )

так как

^ (/)-— = 0 + (к-1)(2^-2)-п > 0.

V Б )

Г — к-1 )

Пусть п = de8 Б = (28 - 2)(к - 1), тогда имеем deg (/)- = 0 + (28 - 2)(к -1) - п = 0. Поэтому вер-

V Б )

но г

Г Б0—к -1 )

V-

= 0, когда Б не эквивалентно Бо — и г

Г Б0—к-1 )

V Б ,

= 1, когда Б эквивалентно Б0—к 1.

Случай п = (28 - 2)крассмотрен в таблице 3.1 в [4].

Пусть (28 - 2)(к- 1)< п < (28 - 2)к, тогда имеем равенство

ір к (Б) = (2к -1)( 8 -1) - п + г

Г Б0—к-1 ) )

Здесь deg

Б-

к-1

Б

= 0 +(к -1)(2 8 - 2) - п < 0 , и если существует Г, (/) >

Б-

к-1

Б

то

— 7к-1 — 7к-1

0 = deg(/) > deg ,ёев- 0

< 0

в в

и нет противоречия. Следовательно, только получаем: для несущественного характера р

ір,к (-) = (2к -1)( £ -1 - п + г

а для существенного характера p

ip,k(D) =(2k -1)( g -1) - n+r

Таким образом, с учетом предложения 2.1 доказана теорема о размерности їрк(П), которую сформулируем в виде таблицы 3.

Таблица З

Для размерности ip,k (D)

g>2 deg D=n>0 Несущественный характер Существенный характер

n>(2g-2)k 0

0<n<(2g-2)(k-1) (2k-1)(g-1)-n

(2g-2)(k-1)<n<(2g-2)k (2k - 1)(g -1) - n + r ' Zk-1 1 v D J (D Zk-1 ^ (2k - 1)(g -1) - n + r -0-— VDJ

n=(2g-2)(k-1) D~Zk-1 D+ Zfc“1 D~D0Zk-1 D+ D0Zk~1

g g-1 g g-1

n=(2g-2)k D~Zk D+Zk D~D0Zk D+ Dt)Zk

1 f Zk-1 л r V D, - g+1 1 f D0 Zk-1 '1 1 r —0 - g +1 D VJ

deg D=-n<0 (2k-1)(g-1)+n

Таким образом, в данной работе получены размерности ip к (D) для любых дивизоров D, как положительных, так и отрицательных переменных степеней degD. Отметим, что случаи n = (2g - 2)к, к > 0, к е N найдены были в работе [4].

Замечание 2.1. Размерности получены для фиксированной поверхности F рода g, g > 2. Используя методы, развитые в [4], и свойства пространства Тейхмюлера можно получить аналогичные результаты для любых переменных характеров р на переменной поверхности FМ.

М

Замечание 2.2. При р=1 эти таблицы дают размерности пространств абелевых k-дифференциалов, кратных D, относительно переменной deg D на компактной римановой поверхности рода g, g > 2.

Литература

1. Dick, R. Holomorphic differentials on punctures Riemann surfaces / R. Dick // Differential Geometric Methods

in Theoretical Physics: Physics and Geometry, Proc. NATO Advanced Research Workshop and XVIII International Conference, Davis, Calif. 1988, 2 - 8 June. - N. - Y.: London, 1990.

2. Dick, R. Krichever - Novikov - like Bases on Punctured Riemann Surfaces / R. Dick // Notkestrasse 85,

2 Hamburg 52. Deutsches Elektronen - synchrotron (DESY) 89-059, May 1989.

3. Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - New-York: Springer, 1992. -Vol. 71.

4. Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. - Ч. 2. / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

5. Чуешев, В. В. Геометрическая теория функций на компактной римановой поверхности / В. В. Чуешев. -

Кемерово: КемГУ, 2005.

Информация об авторе:

Комарова Марина Владимировна - магистр 2 курса математического факультета,

КемГУ, т. 8-908-942-10-89, marishaignat@bk.ru.

Komarova Marina Vladimirovna - Master’s Programme student at the Mathematical Faculty of KemSU.