Дивизоры дифференциалов Прима на римановой поверхности Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

КОМПЛЕКСНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 515.17 + 517.545

ДИВИЗОРЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛОВ ПРИМА НА РИМАНОВОЙ ПОВЕРХНОСТИ

М. И. Головина

DIVISORS THE PRYM DIFFERENTIALS ON RIEMANN SURFACE

M. I. Golovina

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима на компактной римановой поверхности нашла многочисленные приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики [1-4]. Цель работы — получить новые свойства мероморфных дифференциалов Прима и абелевых дифференциалов на переменной компактной римановой поверхности и для переменных характеров, в связи с дивизорами.

The theory of multiplicative functions and Prym differentials on a compact Riemann surface has found numerous applications in function theory, analytic number theory and equations of mathematical physics [14]. The work purpose — to receive new properties of meromorphic Prym differentials and abelians differentials on variable compact Riemann surfaces and variable character, in connection with divisors.

Ключевые слова: дифференциал Прима, дивизоры, абелевы дифференциалы, переменная рима-нова поверхность, переменные характеры, мероморфные дифференциалы.

Keywords: Prym differential, divisors, abelians differentials, variable Riemann surfaces, variable characters, meromorphic differentials.

Работа поддержана грантами: АВЦП, 2.1.1.3707; ФЦП, №-02.740.11.0457; РФФИ 11 - 01 - 90709.

1. Предварительные сведения

Пусть Г — фиксированная гладкая компактная ориентированная поверхность рода д > 2, с от-мечанием {о,к,Ъь}9к=1, т. е. упорядоченным набором образующих для п1(Г), а Г0 — рима-нова поверхность с фиксированной комплексноаналитической структурой на Г По теореме уни-формизации существует конечно порожденная фуксова группа Г первого рода, инвариантно действующая на единичном круге

и = {г е С : \г\ < 1},

такая, что и/Г конформно эквивалентна Г0, Г изоморфна п1(Г), и эта группа имеет представ-

9

ление Г = {Л1,..,Л9,В1,...,В9 : П С- = I), где

з=1

Сз = ,Bj] = ЛзВЛ- В- ,3 = 1,...,д, а 1

тождественное отображение [5].

Любая другая комплексно-аналитическая структура на Г задается некоторым дифференциалом Бельтрами м на Го, т. е. выражением вида ц(х)ІЇх/д,х, которое инвариантно относительно выбора локального параметра на Г0, где м(г) — комплекснозначная функция на Г0 и ||мІІьте(ґ0) < 1 Эту структуру на Г будем обозначать через Гр. Ясно, что м = 0 соответствует Го. Пусть М(Г) — множество всех комплексно-аналитических структур на Г с топологией Ссходимости на Го, Diff0(Г) — группа сохраняющих ориентацию гладких диффеоморфизмов поверхности Г на се-

бя, состоящая из всех диффеоморфизмов гомотопных тождественному диффеоморфизму на Г0. Группа Diff0(Г) действует на М(Г) по правилу М ^ f*М, где f е Diffо(Г),м е М(Г). Тогда пространство Тейхмюллера Т9(Г) = Т9 (Г0) есть фактор-пространство М(Г)/Diff0(Г) [5].

Так как отображение и ^ Г0 = и/Г

локальный диффеоморфизм, то любой дифференциал Бельтрами м на Г0 поднимается до Г—дифференциала Бельтрами м на и, т. е. М е Ьж(и), ||м||то = езззирхеи \м(г)\ < 1, и

М(Т(х))Т(г)/Т'(г) = м(г),г е и,Т е Г.

Если Г—дифференциал м на и продолжить на С\и, положив м = 0, то существует единственный квазиконформный гомеоморфизм : С ^ С с неподвижными точками +1, —1,і, который является решением уравнения Бельтрами = м(г)тг. Отображение Т ^ Тм = трТ(тр)-1 задает изоморфизм группы Г на квазифуксову группу

9

Г^ = т»Г(т»)-1 = {ЛЧ,...,В£ : , В»] = I).

-=1

Классический результат Л. Альфорса, Л. Берса [5] утверждает, что пространство Тейхмюллера Т9 (Г) является комплексно аналитическим многообразием размерности 3д — 3 при д > 2. В работе Л. Берса [5, с. 99] построен канонический базис голоморфных дифференциалов

С1 = СМ, №,..,С9 = С9 (Мик

для поверхности Гр, двойственный к каноническому гомотопическому базису {ар,Ър}к=1 на Гр.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Указанный базис голоморфно зависит от модулей [м] отмеченной компактной римановой поверхности Fp. Кроме того, матрица b—периодов &(м) = = (njk [м\)9п к=1 на Fp состоит из комплексных чи-

сел

П]к[м\

j([p\,w)d,w, С Є wp(U)

S1

{z Є C : \z\ = І}

j=1

МЫ, P) = exP 2niJ2Cj ^.pKj ([м])

Pg[m]

j=1

D на F и любого характера p верно равенство rp(D-r) = deg D — g + 1 + ip-i (D).

Теорема Абеля для характеров. [2;

4]. Пусть D — дивизор на отмеченной переменной компактной римановой поверхности

1 , ... , ag

'g,bt, ...Ж}] рода g > І и p

харак-

и голоморфно зависит от [р].

Характером р для Гр называется любой гомоморфизм р : (п\(Гр), ■) ^ (С*, ■), С* = С \ {0}. Характер единственным образом задается упорядоченным набором (р(а^), р(Ъ^),..., р(а^),р(Ъд)) & (С*)2д. Характер называется нормированным, если все его значения лежат на окружности

тер на п1(Бр). Тогда Б будет дивизором мультипликативной функции / на Бр для характера р, если и только если deg Б = 0 и

І

p(d) = log p^^^h

j=1

— l0g p(aJ)n(j) [м](= ^(p, [м]))

Определение 1.1. т—дифференциалом Прима для р, относительно фуксовой группы Г, или (р, т) —дифференциалом, называется дифференциал ф = ф(z)dzm, такой, что

ф(Тг)(Т^)т = р(Т)ф^)^ е и,Т е Г,р :Г ^ С*.

В частности, при т = 0, это мультипликативная функция для р относительно Г.

Если /о — мультипликативная функция на Гр для р без нулей и полюсов, то

00 = 2жі ^ Сі ([^],р)Сз ([И]) и

j=1

в С9 по модулю целочисленной решетки Ь(Гр), порожденной столбцами е(1)[р],е(9)[р], п(1)[р], ...,п(9)[р] матрицы ар —периодов и Ьм — периодов на Бр, где р[р] - отображение Якоби из Бр в многообразие Якоби Т(Бр) = С9/Ь(Бр).

Для любых фиксированных [р] € Т9 и

£о € ) определим классическое отображе-

ние Якоби р : ,ш^(и) ^ С9 по правилу:

е

(С)

Zj([p\,w)dw,j = І,..., g.

Є0

где Ро[р] = /вМ(Ро) € Бр, сз([р],р) € С,з = 1,..., д, 0^ зависят голоморфно от [р] и от р. При этом интегрирование ведется от фиксированной точки Ро[р] до текущей точки Р на переменной поверхности Бр, и в[р] — сечение К. Эрла [6] над и ([р0]) С Т9. Отсюда получаем, что характер р для /о имеет вид: р(а^) = ехр2пгск([р],р), р(Ь%) =

9

= ехр(2пг^2 сз([р],р)пзк([р])),к = 1, ...,д.

3=1

Будем называть такие характеры р несущественными, а /о (с таким характером) - единицей. Характеры, которые не являются несущественными, будем называть существенными на п1(Бр). Обозначим через Нот (Г, С*) группу всех характеров на Г с естественным умножением. Несущественные характеры образуют подгруппу Ь9 в группе Нот(Г, С*).

Дивизором на Бр назовем формальное произведение Б = РП ...Р£к, Рз € Бр, п € Z, у = 1,.., к.

Теорема Римана-Роха для характеров.

[2; 4]. Пусть Б — компактная риманова поверхность рода д > 1. Тогда для любого дивизора

Тогда р индуцирует послойное голоморфное вложение из Fp в J(Fp). Универсальное многообразие Якоби рода g есть расслоенное пространство над Т9, слой которого над [р] G Т9 есть якобиан J(Fp) для поверхности Fp [6].

Далее, для любого натурального числа п > 1 существует расслоенное пространство над Т9, у которого слой над [р] G Т9 есть пространство всех целых дивизоров степени n на компактной римановой поверхности Fp. Голоморфные сечения этого расслоения определяют на каждой Fp целый дивизор Dp степени п, который голоморфно зависит от [р]. Также существует голоморфное отображение рп из этого расслоения на универсальное расслоение Якоби, п > 1, ограничение которого на слои является продолжением классического отображения Якоби р : Fp ^ J (Fp). Известно, что для п = g отображение р : F9 [p]\F9[p] ^ W9 [p]\W9[p] является аналитическим изоморфизмом, где F9 [р]

— g—кратное симметрическое произведение поверхности Fp и W9[p] = p(F^[p]) имеет комплексную размерность, не превышающую g — 2 [2; 4]. Локальные голоморфные сечения этих расслоений над окрестностью U ([po]) С Т9 можно получить (для любого п > 1) из локальных голоморфных сечений К. Эрла s для Ф : M(F) ^ Т9 над U([p0]) [6]. Отметим, что, по теореме Л. Берса [5, с. 99], отображение ф зависит локально голоморфно от Р и [p}.

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

2. Элементарные дифференциалы Прима

Для построения общей теории однозначных и мультипликативных дифференциалов большую роль играют так называемые элементарные дифференциалы [2; 4; 5] любого порядка, которые имеют минимальное количество полюсов, т. е. либо один полюс порядка > 2, либо два простых полюса и голоморфно зависящие от характеров р и от модулей [^\ римановых поверхностей.

Теорема 2.1. 1) Для любого существенного характера р, точки Qi G Fp, натурального числа q > 1 и несущественного характера р, точки Qi G Fp, натурального числа q > 1 существует элементарный (p,q)-дифференциал Tp,q;Q1 третьего рода с единственным простым полюсом Qi = Qi[n] на Fp, локально голоморфно зависящий от р и [^];

2) Для любого несущественного характера р, точки Qi G Fp при q = 1 не существует элементарный (р, 1)-дифференциал tpq1 третьего рода с единственным простым полюсом Qi на Fp.

Доказательство. 1) Если р — существенный характер и q =1, то, по теореме Римана-Роха, для характеров имеем равенство:

V (~^) = — 1 + g + 1 + rp-1 (Qi),

Qi

ip(Q) = 9 и ip(1) = g — 1. Отсюда следует, что ip(Q) = ip(1) + 1. Поэтому существует дифференциал Прима tpq1 для р на Fp с единственным полюсом в Qi точно порядка один.

Если р — произвольный характер и q > 1, то, по теореме Римана-Роха, для

(р, q)—дифференциалов [4, с. 43] имеем:

z q-i

ip,q(D) = (2q — 1)(g —1) — deg D + r((f )^~)

и ip, q(1) = (2q — 1)(g — 1), где f — мультипликативная функция для р и Z — канонический класс для абелевых дифференциалов на Fp. Поэтому

ip,q ( Q-)= ip,q (1) + 1+ r((f )Z q-iQi).

Qi

Таким образом, имеем равенство:

ip,q (7^) = iP,q(1) + 1,

Qi

так как deg((f )Zq-iQi) = 0 + (q — 1)(2g — 2) + 1 > 0. Следовательно, существует (р, q)—дифференциал Прима Tp,q;Q1 для р на Fp с единственным полюсом в Qi точно порядка один.

Построим конструктивно такие дифференциалы, локально голоморфно зависящие от р и [р] :

а) такой (р, q)—дифференциал Прима Tp,q;Q1 можно задать в следующем виде Tp,qQ1 = fu0,

где f — мультипликативная функция для существенного характера р на Fp, q > 1 и ш0 — любой голоморфный абелев дифференциал на Fp. Дивизор

I \ _ Ri...RN, \q

(Tp,q; Q1) = К)qQi (^о) , где N = q(2g — 2) + 1 и точка Qi не принадлежит дивизору (и>о). Отсюда получаем равенство:

<f(Ri...Rg ) = —2Kq + P(Qi)—p(Rg+i...RN ) + "Ф(р) = a

W

в многообразии Якоби J(Fp) для Fp;

b) в случае р =1 или р — несущественный характер при q > 1 такой дифференциал ищем в следующем виде ТрЛ-Q1 = fofiuq, где fi — однозначная мероморфная функция с дивизором (fi) = (шо'.'Ог и fo — мультипликативная единица для р на Fp. Здесь ф(р) =0 и, по теореме Абеля, имеем равенство:

<f(Ri...Rg ) = —2Kq + ^(Qi) — <f(Rg+i...RN ) = а.

(**)

При наших условиях в обоих случаях а) и b) верно неравенство N — g > g — 1 и dim < g — 2. Шевелением дивизоров Rg+i...RN можно добиться, что а не принадлежит W^ и уравнения (*) и (**), в многообразии Якоби, имеют единственные решения Ri...Rg.

Выбирая локально голоморфное сечение по [р] и р дивизоров Rg+i...RN над Tg, получим дивизор Ri...Rg (как единственное решение предыдущих уравнений в J (Fp)) тоже голоморфно зависящий от р и [р]. Причем малым шевелением дивизоров Rg+i...RN можно добиться, чтобы точка Qi не совпадала с точками Ri,..., RN.

2) Если существует дифференциал tp;q1 для несущественного характера р с вычетом resQ1 tp;q1 = cq1 = 0 для некоторой его ветви, то f-iTP;Q1 — абелев дифференциал с единственным простым полюсом в Qi и fo — мультипликативная функция для р на Fp. По теореме о вычетах f-i(Qi)cQ1 = 0, где Qi = Qi. Противоречие.

Это утверждение также следует из теоремы Римана-Роха так как ip(Q-i) = g = iP(1) для несущественного характера р. Действительно,

0 = Гр-1 (Qi) = deg( -1) — g + 1 + ip( -Q-) =

Qi Qi

= —1 — g + 1 + ip( QQ-).

Qi

Теорема 2.1 доказана.

3. Однозначные мероморфные дифференциалы на переменной компактной римановой поверхности

Обозначим через Q2(Fp) пространство однозначных (абелевых) дифференциалов второго рода с

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

конечным числом полюсов на Ем, а через &2,е(рм) — подпространство всех точных дифференциалов второго рода на переменной поверхности Ем.

Рассмотрим Е1 = [^И2(¥м)/И2е(рм), векторИ

ное расслоение у которого над точкой [у] из базы Т лежит слой ^2(Гр)/0,2,в(Рр).

Теорема 3.1. Векторное расслоение Е\ является голоморфным векторным расслоением ранга 2д над базой Тд при д > 2. При этом наборы классов смежности дифференциалов

Cl,...,C

("i+l)

Cl,...,Cg,T

(2)

T("g+l),

Pi ’

(2)

(*)

(**)

штрасса в pl на FM и r(-

-) = І на Fp.

df,

Осталось равенство С1^1 + ... + Сд(д = $. Теперь рассмотрим коэффициенты С1,...,Сд. Так как ^1,...,Сд — канонический базис, то аз —период левой части будет равен С3, а для правой части все периоды равны нулю. Отсюда

Cl

Cg = О.

задают базис локально голоморфных сечений этого расслоения, где п1,...,пд — пробелы Вейер-

Таким образом, доказали линейную независимость классов смежности дифференциалов из набора (*).

Рассмотрим набор (**). Если существует линейная комбинация

С1<С1 + ... + СдСд + <Е1т(51) + ... + Сдтр ^ = $

то все коэффициенты С3 =0, 2 = 1, ...,д, так как в противном случае функция / будет иметь диви-

зор (f) У

Pi... Pg

, что противоречит выбору точек

'Р1... Рд

Доказательство. Зададим отображение Ф1 из пространства ^2(Гм)/П2,е(Гм) на С2д по правилу: сопоставляем ш его базисные периоды, т. е.

Ф1 : ш ^ ш, ...^ ш, ! ш,.. , ! ш) € С2д.

Ядро отображения Ф1 совпадает с Q2,e(FM). Действительно, если все указанные периоды для дифференциала ш равны нулю, то и все остальные периоды тоже равны нулю. Поэтому дифференциал ш будет точным на FM, а значит, принадлежит пространству Q2,e(FM). Ясно также, что если дифференциал принадлежит пространству Q2,e(FM), то все его периоды равны нулю. Так как отображение Фі взаимнооднозначно и линейно на фактор пространстве, то dime ^(F^/^eF) < 2g.

Докажем обратное неравенство

dime ^2(Fp)/^2,e(Fp) > 2g

и построим базис этого фактор пространства.

Возьмем мероморфные дифференциалы из набора (*) на поверхности FM. Покажем, что классы смежности с такими дифференциалами будут линейно независимы над C на FM. От противного. Предположим, что существует линейная комбинация, у которой не все коэффициенты нули, равная нулевому классу, тогда верно равенство

р1,..., Pg на FM. Аналогично, как для набора (*), показывается, что Ck = О, k = І,..., g.

Поэтому dime ^(FM)/Q2,e(F^) = 2g.

Известно, что дифференциалы tP"3+l) можно

Pi

выбрать голоморфно зависящими от [у] [5]. Теорема 3.1 доказана.

Следствие 3.1. Расслоение El является голоморфным (глобально) тривиальным над пространством Тейхмюллера и существуют глобальные сечения для El над Tg, т.е. существуют 2g абелевых дифференциалов первого и второго рода, которые являются глобальными функциями от [у] на Tg.

Доказательство. Это следует из теоремы Грауэрта, в силу односвязности базы Tg, о том, что над такой базой расслоение становится глобально тривиальным или комплексно аналитически эквивалентным Tg x C2g. Следствие 3.1 доказано.

Обозначим через П( qi 1 q , Fm) пространство

абелевых дифференциалов с дивизорами кратны-l

.ш ц1 д-, где Q1...Qs — локально голоморфное сечение в пространстве дивизоров степени в над Тд, где в > 2.

Пусть Е = и°( д11-д- ,Рм) — векторное

[м]

расслоение над Тд. По теореме Римана-Роха, г^1..^8) = —в — д + 1 + г( д1.1.д-). Отсюда *( д1.1.д-) = в + д — 1, так как г^1..^8) = 0. Рассмотрим набор дифференциалов

С1С1 + ... + Сд (д + СЕ1гР’^1+1) + ... + Сд тР’°+1) где $ — точный дифференциал второго рода, а / - однозначная мероморфная функция на Ем.

Выберем среди коэффициентов Сз = 0 коэффициент с максимальным номером, например 2 = ]§. Тогда / будет иметь в качестве особенностей только один полюс Р1 порядка пз0. Это противоречит выбору пробелов в точке Р1 на Ем. Поэтому С = ... = Сд =0.

Съ ...,Cg ,TQ2Qi ,...,TQ-Qi,

(1)

которые, по теореме Берса и по классическим результатам, локально голоморфно зависят от [у].

Этот набор линейно независим над С. Если сіСі + ...+СдСд+сітд2Яі +...+Cs-lтQsQ1 =0 на Гр,

то CCl

Cs-l = О, так как нет особенностей

в правой части. Коэффициенты С1 = ... = Сд = 0 в силу независимости ^1,..., Сд над С на Ем. Таким образом, доказано предложение.

и

g

l

l

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

Предложение 3.1. Векторное расслоение Е2 ранга g + s — 1 при s У 2 является голоморфным векторным расслоением над Tg, а набор дифференциалов (1) дает базис локально голоморфных сечений этого расслоения.

Следствие 3.2. Векторное расслоение Е2 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению Tg x Cg+s-i и существуют g + s — 1 глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Tg.

Обозначим через Е3 = 1М ,Fm )№1,F»)

[м]

векторное расслоение над Tg, s У 2, где Q(1,FM)

— пространство голоморфных абелевых дифференциалов на FM.

По теореме Римана-Роха, i( q1 1 q ) = g + s — 1 и i(1) = g, поэтому

dime ^(7;—Цт,Fm)/^(1,Fm) = s — 1.

Q1...Qs

Докажем, что набор классов смежности дифференциалов

TQ2Q1 ,...,TQsQ1 (2)

будет линейно независим над C на FM. Если ClTQ2Q1 + ... + Cs-lTQsQ1 = ш, где ш — голо-

морфный дифференциал, то все коэффициенты Ci = ... = Cs-i = 0, так как особые точки правой и левой сторон различны. Таким образом, доказали предложение.

Предложение 3.2. Векторное расслоение Е3 будет голоморфным векторным расслоением ранга s — 1 над Tg и классы смежности дифференциалов набора (2) образуют базис локально голоморфных сечений этого расслоения. Кроме того, Е3 комплексно аналитически эквивалентно прямому произведению Tg x Cs-i и существуют s — 1 глобальных голоморфных сечений этого расслоения над Tg.

4. Мультипликативные функции и единицы на переменной римановой поверхности

Пусть на FM рода g У 2 задана мультипликативная мероморфная функция f для любого характе-

Ra 1 Ram

ра p. Тогда дивизор (f ) = D = V'' m на Fp, где

Q1 Qs

Rj, Qi Є Fp, aj Є N,j = 1,..., т, ві Є N, i = 1,..., s,

m s

и 0 = deg D = 22 aj — 22 Pj.

j=i j=i

Рассмотрим однозначный абелев дифференциал ш(z)dz = fz)dz третьего рода на FM с простыми полюсами в точках Ri,..., Rm, Qi,..., Qs и выче-

тами ai,am, —fti,—fis соответственно. Тогда

m s g

u{z)dz = ^2 aj тп^ p0 -Y^ Pj TQj Po +J22nicJ , j=i j=i j=i

W

где Cj € C,j = , и Po не принадлежит

suppD = {Ri,..., Rm, Qi,..., Qs}. Отсюда

p

f (P) = exp J u(z)dz

po

на F^.

Пусть f — мультипликативная функция на F^ рода g > 2. Предположим дополнитель-

но, что в окрестности U (Pj) функция f (P) ~ еЧз(kj)(p),kj(Pj) = tt,qj — некоторые многочлены от kj, j = 1,..., l, а в точках Pi+i,..., Pn возможны либо полюса, либо нули порядков rl+1, ...,rn соответственно. Положим g(P) = fpp (p) на Fp, где

XPi,... ,Pi (P) будет l—точечная функция Бейкера-Ахиезера на Fp с теми же асимптотиками в точках P1,...,Pl, как у функции f [3, с. 82]. Тогда

m s n

0 = deg(g) =22 aj — Е fjj + Е rj. Диффе-

j=1 j=1 j=i+i

ренциал uj(z)d,z = dz будет абелевым дифференциалом третьего рода с простыми полюсами Ri,..., Rm,Qi, ...,Qs,Pi+i, ...,Pn, где функция g имеет дивизор (g) = D = .' ' QZ P++1 ...Pnn,

Q1 . . . Qs

rj € Z, j = l +l,..,n на Fp, и

ms

Z)(z)dz = ^ ajTRjPo —Y^ ejTQj Po +

j=i j=i

ng

+ rjTPj Po+E2nczj, (tt)

j=l + i j = i

где Cj € C,j = 1,..., g. Таким образом доказана

Теорема 4.1. Мультипликативные функции f на Fp рода g > 2 для любого характера р, с указанными выше условиями, имеют следующие представления :

P

1) f (P) = exp f w(z)dz, где u(z)dz задана фор-

Po

мулой (*) на Fp;

P

2) f (P) = XPi,.. ,Pl (P) exp f g(z)dz, где u(z)dz

Po

задается формулой (**) на Fp и 1 < l < n, n > 1, которая имеет асимптотики вида

eqj)(P - в U (Pj ),j = l,...,l. Здесь XPu..,Pi (P)

— l-точечная функция Бейкера-Ахиезера на Fp с указанной асимптотикой в точках Pi, ...,Pl. Эти функции локально голоморфно зависят от [р] и р.

Предложение 4.1. Если f — мультипликативная функция для несущественного характера р на F рода g > 2 имеет единственный полюс

Вестник КемГУ № 3/1 2011 Комплексный анализ

точно второго порядка в точке Q, то F — гипе-рэллиптическая.

Доказательство. Если такую функцию f разделить на fo, то получится j — однозначная функция на F, с единственным полюсом точно порядка 2, и по классической теореме [5] получаем, что F - гиперэллиптическая риманова поверхность. Предложение 4.1 доказано.

Предложение 4.2. Если р — несущественный характер на F рода g > 2 ив точке Q первый мультипликативный непробел Вейерштрасса равен 2, то F — гиперэллиптическая.

Если дана функция f для любого р, то дивизор D = (f) степени нуль, состоящий из ее нулей и полюсов с учетом кратности, определяется единственно на F. Выясним будет ли верным утверждение, что функция f для некоторого характера по заданному дивизору D, deg D = 0, определяется с точностью до умножения на ненулевую константу.

По теореме 1.1.3 [4, с. 23], [2, с. 130] каждый дивизор D = 1 степени 0 на компактной римановой поверхности F рода g > 1 будет дивизором единственной (с точностью до умножения на ненулевую константу) мультипликативной функции на F, принадлежащей единственному нормированному характеру.

Теорема 4.2. Пусть D — дивизор, deg D = 0, на компактной римановой поверхности F рода g > 2, тогда:

1) если существуют две функции f\ и f2, (fi) = (f2) = D, для одного и того же характера р, то fi = cf2, где c = const = 0 на F;

2) если существуют две функции fi и f2, (fi) = (f2) = D, для различных характеров р1 и р2, р1 = р2, то fi = f2g, где g — мультипликативная единица для несущественного характера ро на F и pi = Р2Р0;

3) если существуют две функции fi и f2, (fi) = (f2) = D, для нормированных характеров fji и р2, то р1 = р2 и fi = cf2, где c = const = 0 на F;

4) Для любого несущественного характера р не существует функции f для р с дивизором

(f) = Q,Pi = Qi, на F.

Доказательство. 1) Рассмотрим частное g = j. Дивизор (g) = 1 и характер Р = 1, поэтому g = c = 0 на F, так как g — однозначная аналитическая функция на F;

2) Также рассмотрим g = j. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = р2 должен быть несущественным. Таким образом, fi = f2g, где g — мультипликативная единица для ро;

3) Снова рассмотрим g = j. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = ^ должен быть несущественным. Отсюда ро одновременно будет несущественным и нормированным. По теореме [2, с. 130], р0 = 1. Поэтому р1 = р2 и по утвер-

ждению 1) имеем fi = cf2, c = 0 на F.

4) Действительно, если существует такая функция для несущественного характера р, то рассмотрим функцию g = f, где f0 — мультипликативная единица для р. Функция g будет однозначной функцией с одним простым полюсом на F. Противоречие. Теорема 4.2 доказана.

Замечание 4.1. В частности, существует функция f с заданным дивизором (f) = Q для нормированного характера р = 1, а значит, р будет существенным характером [2, с. 130].

Следствие 4.1. Для любого фиксированного характера функция f на компактной римановой поверхности F рода g > 2 восстанавливается по своему дивизору с точностью до умножения на ненулевую константу.

Ясно, что (р, т) — дифференциал ш имеет единственный дивизор D = (ш) из своих нулей и полюсов, с учетом кратности, на F рода g > 2, и deg D = (2g — 2)т, т > 1.

Выясним, будет ли по заданному дивизору D на F рода g > 2, deg D = (2g — 2)m определяться (р, m)— дифференциал ш с точностью до умножения на ненулевую константу на F.

Известно из [4, с. 23], что любой дивизор D на F рода g > 2 степени (2g — 2)т, g > 1,

т > 1 есть дивизор единственного (с точностью до умножения на ненулевую константу) (р, т)— дифференциала, принадлежащего к единственному нормированному характеру р.

Теорема 4.3. Пусть D — дивизор,

degD = (2g — 2)т, т > 1,

на компактной римановой поверхности F рода g > 2, тогда:

1) если существуют два дифференциала ш1 и ш2, (ш1) = (ш2) = D, для одного и того же характера р, то ш1 = ош2, где c = const = 0 на F;

2) если существуют два дифференциала ш1 и ш2, (ш1) = (ш2) = D, для различных характеров р1 и р2, р1 = р2, то ш1 = ш2g, где g — мультипликативная единица для несущественного характера р0 на F, где р1 = р2р0;

3) если существуют два дифференциала ш1 и ш2, (ш1) = (ш2) = D, для нормированных характеров р1 и р2, то р1 = р2 и ш1 = cw2, где c = const = 0 на F.

Доказательство. 1) Рассмотрим частное g = . Дивизор (g) = 1 и характер Р = 1, по-

этому g = c = 0 на F, так как g — однозначная аналитическая функция на F.

2) Также рассмотрим g = ^. Для этой функции (g) = 1, а значит, ее характер р0 = должен быть несущественным. Таким образом, Ш1 = Ш2g, где g — мультипликативная единица для р0, и

р1 = р2 р0.

3) Рассмотрим g = ^. Для этой функции

(g) = 1, а значит, ее характер р0 = — должен быть

Вестник КемГУ № 3Д 2011 Комплексный анализ

несущественным. Отсюда характер р0 одновременно будет несущественным и нормированным. По теореме [2, с. 130], ро = 1. Поэтому pi = р2 и по утверждению 1) имеем wi = cw2, c = 0 на F. Теорема 4.3 доказана.

Литература

[1] Gunning, R. C. On the period classes of Prym differentials / R. C. Gunning // J. Reine Angew. Math. - 1980. - Vol. 319. - P. 153 - 171.

[2] Farkas, H. M. Riemann surfaces / H. M. Farkas, I. Kra // Grad. Text’s Math. - New-York: Springer, 1992.-Vol. 71.

[3] Дубровин, Б. А. Римановы поверхности и нелинейные уравнения. Ч.1 / Б. А. Дубровин - М.: МГУ, 1986.

[4] Чуешев, В. В. Мультипликативные функции и дифференциалы Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч.2 / В. В. Чуешев. - Кемерово: КемГУ, 2003.

[5] Альфорс, Л. В. Пространства римановых поверхностей и квазиконформные отображения / Л. В. Альфорс, Л. Берс. - М.: ИЛ, 1961.

[6] Earle, C. J. Families of Riemann surfaces and Jacobi varieties/ C. J. Earle // Annals of Mathematics. - 1978. - Vol. 107. - P. 255 - 286.

УДК 517.55

О СХОДИМОСТИ ИНТЕГРАЛА МЕЛЛИНА-БАРНСА НА ГРАНИЦЕ ЕГО ОБЛАСТИ СХОДИМОСТИ

Т. В. Зыкова

ON THE CONVERGENCE OF MELLIN-BARNES INTEGRAL ON THE BOUNDARY OF ITS DOMAIN OF CONVERGENCE T. V. Zykova

В работе исследуется множество сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравнения.

In the present paper we give the description of the set of convergence for Mellin-Barnes integral representing solution to the general algebraic equation.

Ключевые слова: интеграл Меллина-Барнса, общее алгебраическое уравнение.

Keywords: Mellin-Barnes integral, general algebraic equation.

Работа выполнена при поддержке гранта Президента РФ для ведущих научных школ (НШ-7347.2010.1).

1. История вопроса

В самом общем виде объект исследования многомерный интеграл Меллина-Барнса

это

Ф7 (x)

(2пі)

p

Пг ((Aj;z) + cj) j, Пг ((Bk j z) + dk ) k

■ xp Zp dz,

(1)

здесь Аз, Бк € Мр, оз, € М, = йг1 ■ ■ ■ dzp. Век-

тор 7 € Мр, участвующий в определении множества интегрирования, выбран так, чтобы оно не пересекало полюсы гамма-функций Эйлера в числителе.

Области сходимости интегралов Меллина-Барнса (1) являются секториальными: они определяются лишь условиями на аргументы параметров х1,...,хр, причем, если область сходимости непустая, то преобразование Меллина интеграла (1) равно его подынтегральному выражению, деленному на (2п*)р (см. [1]). Секториальные области рассматриваются в множестве 6 = М+ х Мр,

которое представляет собой область наложения над комплексным алгебраическим тором Тр = (С\{0})р. Далее обозначим через д = (в1,...,вр) вектор (а^ Ж1,..., а^ хр) . Тогда каждая точка х = (г, д) € 6 (г € М+,д € Мр) проектируется в точку (г1 в101,... ,грв1вр) € Тр. На Тр обращение этой проекции может быть многозначным.

Интегралы Меллина-Барнса явились четвертым подходом к изучению гипергеометрических функций: первые два реализованы Гауссом как решения гипергеометрических дифференциальных уравнений и как суммы гипергеометриче-ских рядов. Третий подход основан на интегральном представлении Эйлера, обобщающем бета-функцию (см. [2]).

Проблема сходимости данных интегралов привлекала внимание ряда специалистов на протяжении последнего столетия. Шаги к ее решению в многомерном случае были сделаны Х. Меллином [3], Р. Бушманом и Х. Сриваставой [4], А. К. Ци-хом и др. ([5]). Часть (максимальной) области сходимости интеграла Меллина-Барнса, представляющего решение общего алгебраического уравне-

1