Группа характеров и мультипликативные функции на торе Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 515.17+517.545

ГРУППА ХАРАКТЕРОВ И МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫЕ ФУНКЦИИ НА ТОРЕ

Т. С. Крепицина

GROUP OF CHARACTERS AND MULTIPLICATIVE FUNCTIONS ON TORUS

T. S. Krepizina

Автор поддержан грантом ФЦП, №02.740.11.0457.

В статье дается описание группы характеров и ее некоторых подгрупп, найдена связь с многообразием Якоби. Найдены размерности и построены базисы в пространстве голоморфных мультипликативных функций и голоморфных дифференциалов Прима для любого порядка на торе.

In this article given a description for group of characters and her some subgroups. Connections their with Yaco-bi variety on torus are established. Dimensions and basics for space of holomorphic multiplicative functions and ho-lomorphic Prymdifferentials for every orders on torus are obtained.

Ключевые слова: группа характеров на торе, дифференциал Прима, дивизоры, многообразие Якоби.

Keywords: group of characters on torus, Prym differential, divisors, Yacobi variety.

Введение

Теория мультипликативных функций и дифференциалов Прима для случая специальных характеров на компактной римановой поверхности нашла приложения в теории функций, аналитической теории чисел и в уравнениях математической физики. На торе такие функции изучались в работах П. Аппеля, Е. Лакруа, А. Форсайта [1 - 4], где были получены формулы разложения в сумму и произведение элементарных мультипликативных функций, а также найден общий вид таких функций. В дальнейшем, как правило, теория таких функций строилась на компактной римановой поверхности рода д > 2 (Ф. Прим, Г. Рост, П. Аппель, Х. Фаркаш, И. Кра, Р. Ганнинг [3; 4]). Гиперэллиптические поверхности и, в частности, тор, находят даже большее приложение в современной математике, чем в случае д > 2 . Это связано с тем, что на них можно строить явно такие функции и дифференциалы Прима, в отличие от общего случая, где в основном встречаются только теоремы существования.

Цель настоящей работы - опиисать группу характеров и ее некоторые подгруппы, связь с многообразием Якоби для тора. Найти размерности и построить базис в пространстве голоморфных мультипликативных функций и дифференциалов Прима для любого порядка на торе.

§ 1. Предварительные сведения

Пусть Е будет компактная риманова поверхность рода д = 1, Е = , где Г - группа с двумя

образующими: а1(г) = г + 1, Ь1(г) = г + т,

1т т > 0. Фундаментальная группа для поверхности Б имеет следующее алгебраическое представление: р1(Е) @ Г = (а1,Ь1 : [а^^] = .В дальней-

шем будем отождествлять а1, Ь1 с петлями канонического базиса в р1 (Е). Характер р на Б это произвольный голоморфизм Г в С* = С \{0} . Он одно-

значно определяется либо вектором

(p(a1),p(b1)) е [С*]2, либо через отображение

К : C2 ^ Hom(Y,С*) по правилу C2 э (x,y) ^ pxy е Hom(G,С*), где pxy (a1) = exp 2pix, pxy (b1) = exp2py. Характер p е Hom(G,С*) называется несущественным, если существует с е C, такая, что

p(a1) = exp2pic, p(b1) = exp2pic¡i, где для канонического базиса Z1 голоморфных абелевых дифференциалов на римановой поверхности F двойственного к {a1, b1} имеем I z. = ‘, I z1 = m . Несуще-a1 b1

ственные характеры образуют подгруппу Lb которая биективно отображается на множество

Lo = {(x,У) е С2 : y = mx} [1].

Мультипликативной функцией f на F для p называется однозначная мероморфная функция w = f (z) на C, удовлетворяющая условиям:

f (z + 1) = p(a1)f (z), f (z + m) = p(b1)f (z).

Если f0 - мультипликативная функция на F без

нулей и полюсов, то dfl = d(logf0) - голоморфный

f0

абелев дифференциал на F.

df0

Отсюда — = d(log f0) = cZ1, а значит:

f0

г

fo(P) = fo(Po)exp j

(1.1)

где с е С, Р, Р0 е Е, и Р0 - фиксированная точка. Эту функцию /0 назовем мультипликативной единицей на поверхности Б для р.

Определение. q - дифференциалом Прима Ф относительно группы Г для р, т. е. (р, д) - дифференциалом, называется дифференциал Ф(г)йгд, такой, что Ф(Тх) (Т' г)д = Ф(х)р(Т), г Є С, Т Є Г.

Дивизором Б называется выражение вида Б = Р'^...Ра , где Р“1,..., Ра - точки на Р, а а1,...,ат являются целыми числами. Обозначим через гр(Б-1) и і -(Б) пространства функций для р кратных дивизору Б-1 и 1-дифференциалов для р-1 кратных дивизору Б соответственно. Также степень deg Б = а1 + ... + ат.

Теорема (Римана-Роха для характеров) [1; 3]. Пусть Р - компактная риманова поверхность рода один. Тогда для любого характера р, р ^ 1 верно

равенство гр(Б ^ = degБ + ір_1(Б).

Теорема (Римана-Роха для д - дифференциалов и характеров) [1]. Для любого д Є Z верно

(D) = deg D + i((^Z~) = - deg D + r((f ^Z

q-I

)

f (P) = exp

m s

Eaj ITPjPo -Eßj I TQjPo + 2pic11Z1

j=1 Qo

j=1 Qo

Qo

P al P a D = Pl " m

lßl nßs

і , a-ß- Є N степени нуль на

торе F будет дивизором для мультипликативной функции:

f(z) = f(zo)exp

m s

EajITPjPo -EßjITQPo

j=1 z j=1 z

exp2mcz =

Н) •’ ¿‘(г)

для некоторого нормированного характера

р(а>1) = ехр2тс, р(Ь1) = ехр‘рі(ст + і), і , не принадлежит Z, и Ф( г) - эллиптическая функция для Г, а Н(г)а(г) - классические функции Вейер-штрасса на Р.

§ 2. Группа характеров для тора Теорема 1. Отображение

1

y(p) = — (logp(bi) - logp(ai)m) Є J(F) =

= С1

2pi

L(1; m)

задает

изоморфизм Hom(Г, СО/ @ j (F ).

при любом характере r на римановой поверхности

F рода g = 1, где f - любая мультипликативная функция для p, f ^ 0 и Z - канонический класс

дивизоров абелевых дифференциалов на F .

Многообразие Якоби для поверхности F есть

фактор пространство J (F ) = F/(i ), где L(1; m) -

/ L(L m)

целочисленная решетка, порожденная 1, m .

Теорема (Абеля для характеров на торе) [1; З]. Пусть [F ;{aL,bL}] - отмеченная компактная римано-ва поверхность рода 1, p - характер на F и

P “i p am

D = —-------дивизор степени нуль на F. Тогда

Qißl..-Qßs

существует мультипликативная функция f для p с

m s

(f) = D & E ajzj- E ßkwk = j=1 к =1

= 7T~- (logp(bi) - logP(al)m),

2рі

где j(Pj ) = zj, j(Qk ) = Wk и j - отображение Якоби на F со значениями в J (F ). При этом

Доказательство. Докажем, что У будет корректно определенный групповой гомоморфизм из Нот(Г,С*) на J(Е). Если для р существует

fi, f2 ^ 0 мультипликативные функции, то f =

I J2

- однозначная мероморфная функция на компактной римановой поверхности F. Следовательно, дивизор (f) - линейно эквивалентен дивизору (f2), и по

теореме Абеля имеем: y(p) = j((f1)) = j((f2)),

y(PlP2) = jitflf)) = j(fl)) + ЧІШ) = y(Pl) + y(P2)

и ф(р)-1 = —y(p), p1,p2 и p î Hom(T,C*).

Покажем, что У отображение «на». По теореме Якоби для любого a î J (F ) существует Da î F , такой, что jP (Da ) = a. Таким образом,

jPo

D

P1 Po

D

= a и дивизор —- степени нуль является

P1 J- п

дивизором мультипликативной функции f с некоторым pa . Отсюда:

D

y(pa) = j((fa)) = jP0

P1

Po

= a .

где т0Р - нормированный абелев дифференциал

Чз о

третьего рода на Е с простыми полюсами в Р,0 на Е.

Следствие. [1 - 3] Каждый дивизор

Из теоремы Абеля для характеров имеем, что р Е Квгф тогда и только тогда, когда р - несущественный характер, то есть р Е Ь1. Теорема доказана.

Известно, что Нот(Г,С*) @ [51] х Ь1 (прямое произведение групп), где Я1 = {г Е С :\ г = 1} и

определены проекции: j0 : Hom(G,С*) ^ [51];

j0 : Hom(G,С*) ^ L1, где по теореме Фаркаша-Кра любой характер p = p0p1, p0 - нормированный, p1 - несущественный характеры и j0(p) = p0,

j1(p) = p1. Приведем формулировку и доказательство теоремы Фаркаша-Кра. Используемые при этом обозначения будут нужны нам в дальнейшем.

Теорема (Фаркаш-Кра) [3].Для любого

p е Hom(G,С*) существует и единственно представление в виде p = p0 p1 где p0 е [51]2, p1 е L1. Доказательство. Положим,

p(a1) = exp(s + it), s, t е M , p(b1) = exp(u + iv), u, v е M .

Построим несущественный характер r1 , такой, что | p1(T) = | p(T)|, T е G. Выберем константы с = a + ib, a, (3 е M, из представления несущественного характера

p1 (a1) = exp c, p1 b) = exp Wc, Wc = mc следующим образом:

I p^a^ |=| exp c1 |= exp a1 = exp S1 = | p(a^ | . Отсюда a = s + 2pin, n е Z . Но так как a, s е M, то n = 0 и a = s. Затем

I p1(b1) |=| exp(mc) |= expRe(mc) = exp u =| p(b1) |, или Re(mc) = u (1.2)

Покажем, что такой выбор c действительно возможен и единственный. Матрицу b - периодов W = (m), состоящую только из одного элемента, можем записать в виде W = X + iY, где Y - положительное число. Из (1.2) получаем Re[(X + iY)(a + ib)] = u , где a,b,u е M . Так как уже выбрали a = s, то требуется решить уравнение

Re[(X + iY )(a + i b)] = u или Y b = —u + Xs,

для которого b = Y—1 (—u + Xs) - единственное решение. Таким образом, несущественный характер r1 будет единственно определен. Теорема доказана.

Теорема 2. Проекции j0 и j1 являются комплексно-гармоническими, но не комплексноаналитическими отображениями относительно координатных карт на Hom(G,С*).

Доказательство. Возьмем терминологию из доказательства теоремы Фаркаша-Кра. Начнем с проекции j1 , так как ее явный вид найден в указанной

выше теореме. Пусть р - произвольный характер и

р(а1) = ехр(8 + гЬ) = ехр2ргс, р(Ь1) = ехр(и + гу) = ехр(2р%тс + 2тй),

8, Ь, и, у Е М .

В терминах отображения К : С2 ^ Нот(Г,С*) характер р имеет комплексные координаты с, (I,

или X = с, у = ( + тс . Построим р1 - единственный несущественный характер по разложению

р : р1(а1) = ехр2ргс, р^х) = ехр2ргтс,

где 2ргтс = а + г3, а, Ь Е М . Имеем: а = 8 ,

3 = Y-1 (-и + Х8), где а,8,и Е М , П = X + гY ; или 2ргтс = 8 + г(—Y-1и + Y-1Х8), с Е С. Число с есть координата р1 по отображению К. Последнее равенство можно переписать в виде:

2рг1с = 1п \ р(а1) \ +г(—^1(Ь \ р(Ь1) \) +

+^1х(1п \ р(а1)

Положим, р(а1) = г1, р(Ь1) = т1. Компоненты вектора (г1, т1) представляют собой координаты характера р в карте У1 : Нот(Г,С*) ^ [С*]2. Поэтому равенство (1.3) дает вид функций ^ в указанных координатах:

У 31 к

[С*]2 э ^р^р-1 ^с,

где р Е Нот(Г,С*), р1 Е Ь1 и

2пгтс = 1п \ г1 \ +г(—Y-1(1n \ т1 \) + Y-1X(1п \ г1 \)).

Следовательно, координаты а и 3 будут вещественными гармоническими функциями от комплексных переменных г1 и т1. Таким образом,

2ргтс комплексно-гармонически зависит от г1, т1,

но не будет, очевидно, комплексно-аналитически зависеть от них. Утверждение теоремы относительно проекции 31 доказано.

р

Рассмотрим проекцию з0, найдя р0 = — в ко-

р1

ординатах. Имеем:

Р0(°\) = ^ = ехр(г(і + (У 1и) - (У 1Хз))) =

ехр(а + г/З) 2-г

Р0(Ьі) =

Л^+2-(У-1(1п IЧ |)) - 2-(У-Іх(іп 1211)) 2— 2— 2—

ехр(и + гу)

= ехр ехр(и + гу)

ехр(2—гтс) ехр((Х + гУ)(з + г(-У-1и + У-1Хй))) ехр[г(ХУ-1Хз + Уй - ХУ-1и]

= ехр(2'кр)] ехр(гу)

= ехр

2-г

Лтдч1

2—

+ — (ХУ-1(\п | ЩІ) - (ХУ-1Х + У)(1п I 21 |)) 2—

= ехр(2—).

Из последних равенств следует, что вещественные координаты ху, у1 для р0 в картах К и ф1 будут вещественными гармоническими функциями от 21 и ч1 , но не будут комплексно-

аналитическими относительно этих координат. Теорема доказана.

Предложение 1. (і) Множество Ь1 П Ь1 есть

изоморфный образ при отображении К дискретной решетки в С, порожденной линейно независимыми

над Ж комплексными числами

гт

-г

21т ц 21т т (И) Ь1 П Ь1 @ Ъ2 и является подгруппой в группе Нот(Г,С*).

Доказательство. (1) Ясно, что 1 е Ь П Ь1. Найдем все пресечение Ь1 П Ь1. Пусть р е Ь1 П Ь1, то есть р = р1, где р1 - некоторый несущественный характер. Имеем

ехр(2ргс) = Ру(ау) = ехр2тс1 = ехр(—2те1),

ехр(2ттс) = р1(Ь1) = р1(Ь1) = ехр{—2р1су'т)-

Эти равенства эквивалентны двум равенствам с = —Су + к, Пс = — + п, к,п е Ъ. Из первого

следует, что су явно выражается через с е С и к е Ъ. Из второго найдем общий вид для с: По = П(с — к) + п, или

(П — П)с = —Пк + п,

с = —(—У— Пк + У—1п) = -(к + г(У—1Хк — у-1п)). 2р 2

Координаты для (—У—1П; У—у) линейно неза-

висимы над Ж , так как У - положительное число и координаты (—П;I-) линейно независимы над Ж .

Последнее утверждение есть классический факт из теории компактных римановых поверхностей и их многообразий Якоби.

(И) Это утверждение следует из того, что К есть голоморфный изоморфизм из Ь0 в Ьу и из пункта (1) доказываемой теоремы. Так, если бы существовала последовательность различных р ^ 1, п ^ ж

в Ьу П Ьу, то существовала бы и последовательность различных (сп, Псп), сходящаяся к (0,0), но

это противоречит дискретности решетки из утверждения (1). Предложение доказано.

§ 3. Голоморфные мультипликативные

функции и дифференциалы Прима на торе

Если р - несущественный характер, то единица

/0 для р имеет вид /0(х) = М(г0)ехр2тсг на

. Если р - существенный характер, то нетривиальная мультипликативная функция /для р должна

иметь полюса на торе.

Теорема 3. Пусть р - любой характер на торе Е. Тогда для любого д е Ъ размерность пространства голоморфных (р, д) -дифференциалов на Е равна:

11, при р е Ь

0, при р е Нот(Г, С*)\ Ь1.

Причем пространство Пд (1; Е) порождено дифференциалом вида М(х0)(ехр2тсг)(йх)д на торе Е.

Доказательство. Пусть сначала д = 0. В случае р = 1, д = 0 это утверждение является классическим фактом [3] и уже знаем, что г(1) = 1(1) = д = 1. По теореме Римана-Роха для характеров р ^ 1 имеем:

Гр-1(1) = (1.4)

По определению 1р (1) > 0 . Затем 1р (1) < 1, так как гр(1) = г((/)—^ = г((/)) — deg(f)—1 < 1 ввиду того, что г((/)) < 1 при deg(/) = 0 , где / - отличная от тождественного нуля мультипликативная функция на Е для р. Кроме того,

(1) = 1 гр—1 (1) = 1 ^ существует отличная от тождественного нуля мультипликативная голоморфная функция /0 е Ьр—1 (1). Здесь /0 не может быть постоянной, так как постоянные функции не принадлежат нетривиальному характеру. Затем /0

и

не имеет нулей из-за того, что deg(/0) = 0 и /0 не

имеет полюсов. Следовательно, /0 - единица (т.е. мультипликативная функция для несущественного характера р—). Поэтому гр (1) = 1, если и только если - несущественный характер.

Пусть - несущественный характер на Е, р ^ 1. Тогда по теореме Римана-Роха для дифференциалов имеем:

1. Если д > 1, то грд (1) = г(Ид—^ .

2. Если д = 1, то гр, д (1) = г(1) = 1.

3. Если д = 0, то гр0(1) = г(И—1') = 1(1) = д = 1.

4. Если д < 0 , то гр (1) = г(Ид—1).

Но

г(И—) = гр л(1) = (д — 1)(2д — 1) + г(Ид~1) = г(Ид—1),

а значит, г(И—д) = г(Ид—^ . Затем на торе есть голоморфный, отличный от нулевого, абелев дифференциал, например, йх, где (йх) = 1 на Е. Умножение на него дает равенство гр (1) = гр +1(1; Е). Из

г(1) = 1 следует г(Ид—^ = 1 для любого д .

Пусть р - существенный характер на торе Е.

Тогда при д > 1 имеем г рд(1) = г((/)Ид ^ < 1 , так

как deg((/)Zд—1) = 0. Но, если существует ф - голоморфный т - дифференциал Прима (ф ^ 0) для существенного характера р на торе Е, т. е.

ф = /(х)йхд для р на Е, то функция = / бу-

йхд

дет голоморфной мультипликативной на торе для существенного характера р, где йх - голоморфный

абелев дифференциал на Е = . У этой функции

нет полюсов, так как йх не имеет нулей на торе, а значит, нет нулей, ввиду того, что deg(/) = 0. Следовательно, / будет единицей для существенного характера р. Противоречие. Поэтому гр (1) = 0 при д > 1 и существенном характере р .

Рассмотрим случай д < 0 . Если существует нетривиальный голоморфный дифференциал Прима ф = /(х)йх—т, т = —д > 0 для существенного характера р на компактной римановой поверхности

Е , то умножая на йхт - нетривиальный голоморфный абелев дифференциал, получим, что /(х) единица для . Противоречие.

Теорема доказана.

Следствие 1. Для любого существенного характера р на торе Е существует мультипликативная функция / для , имеющая точно один простой полюс в любой точке на Е . При этом:

f (P) = exp

5 p - 5 tqp + iogp(ai)5 zi

где рр) = <р(д1) + ф(р) в /(Е) и ф(р) ^ 0.

Теорема 4. Для любого несущественного характера р и любой точки Q1 на торе Е не существует мультипликативной функции для с единственным простым полюсом Q1 на Е.

Доказательство 1. Для р = 1 это утверждение есть известный классический факт [3].

Пусть р - любой несущественный характер на торе Е и р ^ 1. Предположим, что существует

р

функция к0 для р, такая, что (к) = — = Б, где

Ql

deg Б = 0. Для такого дивизора Б существует функция 1 для некоторого нормированного характера р1 на торе Е и (1) = Б. Рассмотрим функцию д = —. Так как (д) = 1, то д будет мультип-

к

ликативной единицей для некоторого несущественного характера р0 = -Р- . Отсюда р1 = -Р-, а зна-

i

Ро

Р

чит, — = р1 = 1 на F [3]. Следовательно, f1 бу-

о

дет однозначной функцией с единственным и простым полюсом в Q1 на F . Противоречие.

Доказательство 2. Докажем от противного. Ес-

р

ли существует функция f для р с (f) = — на торе

Qi

P1

F, то для дивизора Б = — имеем два условия:

Qi

deg Б = О. и j(D) = y(р) = О в J(F). По классической теореме Абеля [3] существует fi - однозначная функция на торе F с единственным простым полюсом в Qi на F . Противоречие.

Теорема доказана.

Литература

1. Чуешев, В. В. Мультипликативные функции дифференциала Прима на переменной компактной римановой поверхности. Ч. 2. / В. В. Чуешев. - Кемерово: Кузбассвузиздат, 2003.

2. Appell, P. Principes de la theorie des fonction-selliptiqueset applications / P. Appell, E. Lacour. -Paris: Gauthier-Villars, 1897.

3. Farkas, H. M. Riemann surfaces, Grad. Texts in Math., 71 /H. M. Farkas, I. Kra. - New-York: Springer-Verlag, 1992.

4. Gunning, R. C. On the period classes of Prym differentials / R. C. Gunning // J. ReineAngew. Math. -1980. - № 319. - 153 - 171.