Задача R-линейного сопряжения для софокусного параболического кольца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 151, кн. 3

Физико-математические пауки

2009

УДК 517.53:532.546

ЗАДАЧА К-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ ДЛЯ СОФОКУСНОГО ПАРАБОЛИЧЕСКОГО КОЛЬЦА

Ю.В. Обносов, М.А. Егорова

Аннотация

В статье дается замкнутое аналитическое решение задачи К-линейного сопряжения для софокуспого параболического кольца. Полностью исследованы случаи вещественных и комплексных коэффициентов краевого условия. Решение найдено в классе кусочно-голоморфных функций, пригашающих заданное конечное значение па бесконечности в одном из компонентов среды.

Ключевые слова: гетерогенная среда, задача К-линейного сопряжения, голоморфные функции.

Настоящая статья является непосредственным продолжением серии работ [1 6]. посвященных изучению многофазных гетерогенных сред, разнородные фазы которых сопрягаются вдоль кривых второго порядка. Ниже будет приведено решение, поставленной в [7. с. 158]. задачи 2 для трехфазной среды, линиями сопряжения разнородных компонентов которой служат две софокусные параболы. В двухфазном случае задача о параболическом включении в довольно общей ситуации рассматривалась в работе [8]. Результаты последней работы были уточнены и обобщены в монографии [7. с. 50].

Исследуемая ниже проблема в терминах кусочно-голоморфной функции v(z) = = vx(x,y) — ivy(x,y), комплексно сопряженной с вектор-функцией комплексной скорости v(z) = vx(x,y) + ivy(x, y), приводится [9, с. 53], к следующей краевой задаче R-линейного сопряжения:

ур(г) = лрч(г) - Брч[г'(в)]-2уч(г), г е срч, (1)

где ур(г) - голоморфный в однородной фазе Бр компонент функции -у(г), а Сря -линия сопряжения разнородных фаз Бр и Бя. Коэффициенты краевого условия (1) в общем случае определяются по формулам:

Pp + Pq i PpPp — PqPq g = Pp — Pq ^ PpPp — PqPq

2 pP 2 Pp ' pq 2 Pp 2 Pp

в частности

л _ Рр + Ря Б _ Рр - Ря ^

Лря _ 22Рр ' Бря _ 22Рр ■ (V

Здесь параметры: Рр > 0 (коэффициент сопротивления) и вр ^ 0 (параметр Холла) - характеризуют физические свойства среды Бр. Отметим, что к задаче (1) с комплексными коэффициентами (2) сводится, например, проблема формирования электрического поля в плоской электропроводящей гетерогенной среде под воздействием перпендикулярного к ней магнитного поля.

Si 2i ai 2i a2 y S2 S3 x

Я21 _a1 \ a2V -a2 V -2i a2 0

-2i ai

Рис. 1. Двухфазное параболическое включение

1. Задача (1) для параболического кольца в случае вещественных коэффициентов

Уточняя приведенную выше постановку, рассмотрим трехфазную среду, представляющую из себя бесконечную область Si с инородными включениями S2 и S3 (см. рис. 1), ограниченными двумя софокусными параболами £i и с2, оси которых совпадают с вещественной осью плоскости z, фокусы лежат в начале координат, а вершины - в точках —ai и — a2, то есть уравнения парабол имеют вид:

y2 = 4a\(x + ak), k = 1, 2, (4)

где a1 > a2 > 0.

Краевое условие (1) перепишем в виде:

vk(t) = Akvk+i(t) — Bk[t'(s)]-2vk+i(t), t &lk, k =1, 2. (5)

Здесь для краткости записи для коэффициентов (3) введены обозначения Ak = = Akk+ь Bk = Bkk+i- В качестве дополнительного условия потребуем, чтобы функция V3(z) принимала заданное значение на бесконечности:

V3(ro) = Vo = Vox — i Voy. (6)

В [7, с. 45] было доказано, что условие (6), не приводя к противоречиям, обеспечивает единственность решения задачи (5) в случае одного параболического включения. Ниже будет показано, что аналогичное утверждение имеет место и в рассматриваемой ситуации.

В силу симметричности парабол £i, £2 относительно вещественной оси решением задачи (5) с вещественными коэффициентами Ak , Bk вместе с функцией v(z) будет и функция v(z). Следовательно, справедливо представление:

v(z) = VoxVn(z) — Voy vi (z), (7)

где

vr(z) = (v(z) + v(z))/2Vox, vi (z) = —(v(z) — ^))/2Voy (8)

являются решениями задач (5), (6), удовлетворяющими условиям

vR(z) = vR(z), vR(to) = 1;

__ . (9)

vi (z) = —vi (z), vi (то) = i.

У H n+

S+ i af

2 i af S2+ r+__ n+

i a2 <2

п 1 1 S ~au ~a2! 2 i a2 S3+ x n+

0

Рис. 2. Верхняя полуплоскость плоскости г и её образ на плоскости £ при отображении с помощью функции (10)

Итак, достаточно построить частные решения ^д(г) и V/(г), причем лишь для верхней полуплоскости С+ = {г : 1т г > 0}. Чтобы найти частное решение г>д(г) задачи (5), удовлетворяющее соответствующим условиям (9), рассмотрим конформное отображение С+ та первый квадрант плоскости £ = £ + 1 п с помощью функции

С(г) = (Ю)

обратной к г(£) = С2 ■ Ветвь радикала С = фиксированная в С+ условием С > 0 при г > 0, отображает верхнюю полуплоскость на пер вый квадрант С+ = = {г :1т г> 0, Ие г> 0} плоское ти £ с соответствием областей 5+ ^ П+, ] = 1, 2, 3 (рис. 2). Полупараболы С+ переходят в лучи

1+ = {С :1тС = а*, ИеС> 0}. (И)

Чтобы найти вид граничных условий на 1+, в которые перейдут условия (5), используем найденную в [7, с. 44] зависимость от г производной функции точки ¿(в) £ С* то натуральному параметру в:

<и Г2 ^-21а* У = т, £ £С+, т е 1+. (12)

ds У Vt yjt

Ha основании (5). (9) и (12) относительно кусочно-голоморфной в первом квадранте C+ функции

V (Z) = C*r(C2) (13)

придем к краевой задаче:

Vk (т)= Ak Vk+l (т) - BfcVfc+1(r), т G k = 1, 2, (14)

Im Vs(£)=0, e> 0, Re V(i n) = 0, n > 0

(15)

с дополнительными условиями:

lim [VsCO/C] = 1, Vs(0) = 0, (16)

z—

вытекающими из соответствующих условий (9) и представления (13). Функция (13) в силу последнего условия (15) допускает аналитическое продолжение по непрерывности из C+ во второй квадрант C-.

Компоненты продолженной по принципу симметрии функции

(V(С), С е с+,

V(0 = { __

[-V(-о, С е с+,

голоморфны в соответствующих областях Пк = : ак—1 < 1т £ < ак}, к = 1, 2, 3 (ао = го, а3 = 0), удовлетворяют условиям (14) на прямых 1к = {£ : 1т £ = ак}, к = 1, 2, и в силу второго условия (15) функция Уз(С) вещественна на вещественной оси. Ясно также, что продолженная функция удовлетворяет условиям (16) и условию симметрии: V(С) = —V(—С) - Таким образом, пришли к краевой задаче:

Уй(т)= ЛкVfc+l(т) — Бк Ук+ГЙ, т е 4, к =1, 2; (17)

1т Vз(e)=0, С е К; (18)

с дополнительными условиями:

11т [Уэ(0/С] = 1, Vз(0) = 0, V(С) = —V(—С). (19)

^—

Прежде чем переходить к решению последней задачи, докажем следующее утверждение.

Лемма 1. Пусть и Бп+1 - тлуплоскости: = {г : 1тг > Н^, £п+1 = {г : 1тг < Нп}; Бк - полосы: Бк = {г : Нк < 1тг < Нк—1}, к = = 2,..., п. Кусочно голоморфная функция «(г) = «к(г к = 1,2,..., п +1, удовлетворяет, граничным условиям

«к+1(*)= Лк«к (г) — Бк^ккЙ, г е 4 = {г :1т г = Нк} к = 1, 2,...,п, (20)

с комплексными коэффициентами (2): Л'к = Лк+1 к, Б' = Бк+1 к, о на бесконечности справедлива оценка

К*)| =с(|г|т+1) для |г|>> 1, (21)

где т - целое неотрицательное число. Тогда каждый из компонентов г>к(г) (к = = 1, 2,..., п + 1) является полиномом степени не выше т, причем степени всех полиномов равны между собой.

Доказательство. Рассмотрим интеграл Коши по границе полосы Як с плотностью в виде исчезающей на бесконечности и голоморфной в этой полосе функции (г — г0)-т-1«к (г), где г0 - любая внешняя то отношению к полосе Як точка. Разбивая этот интеграл на два по компонентам границы 4-1 > 4, получим представление для «к(г) в виде суммы «к(г) = «+(г) + «—(г), слагаемые которой голоморфны в полуплоскостях 1т г > Нк и 1т г < Н к— 1 соответственно и удовлетворяют условию (21). Перепишем краевые условия (20) в виде

V ++!(*) + V —+1 (г) = л к (V + (г) + V — (г)) — Б ' (V + (г +21Н к) + V — (г +21Н к)),

где V— (г) = 0, г>+(г) = г>1(.г), г>++1(г) = 0, V—+ 1(г) = г>п+1(г). Следовательно, голоморфная в полуплоскостях 1т г > Нк, 1т г < Нк функция

++1(г) — ЛкV +(г) + Б 'V —(г + 21 Н к^ 1т г > Н k, Рк(г) = ^ __(22)

1Л'к^ —(г) — ^ —+1(г) — Б'^ + 21 Н к), 1т г < Н к

непрерывна на прямой ■ По теореме о непрерывном аналитическом продолжении функция Рк(г) голоморфна в плоскости С. На бесконечности для нее, очевидно, справедлива оценка (21). в силу обобщенной теоремы Лиувилля рд (г) является полиномом степени не выше ш. Отсюда, в частности, следует, что функции «+(г) и V-+1(,г) допускают аналитическое продолжение соответственно в полуплоскости 1т г > кк — ¿и 1т г < кк + где г! = тт1^к^п-1 ¿к, а ¿к = кк — кк+1 - ширина полосы £к+1. Дифференцируя ш + 1 раз левые и правые части соотношений (22) получим

/++!(*) = А к/+(г) — В'/-(г + 21 к к), 1т г > к к,

__к = 1,2,..., п, (23)

/-+1(г) = А/-(г) — В '/+(г + 21 кк), 1т г < кк,

где/±(г) = [« ±±(г)](т+1).

Из (23) с учетом / (г) = 0 последовательно получим:

/+(г)= А1/+(г), /—(г) = —В1 /+(г + 21 к1) при к = 1,

/з+(г) = А2А1/+(г) + В2 В[/+(г + 21 ¿1),

___ при к = 2.

/3-(г) = — А2В1 /+(г + 21 к1) — В2 А1/+(г + 21 к2)

Продолжая этот процесс, получим представление для /± через /+ для к = = 2, ...,п. Так как /++1(г) = 0, го (23) при к = п следует: АП/+(г) — — В/ (г + 21 кп) = 0. Отсюда методом полной математической индукции несложно получить следующее функциональное уравнение относительно /+(г):

п — 1

/+(г)=^ /(г + 21 Дк), (24)

|к| = 1

где к — упорядоченный мультииндекс, то есть если |к| = /, то к = (^1, ^2,..., ^г) и 1 ^ Л < .72 < • • • < Л ^ п — 1, ^к = Г?! + + • • • + и |^к| < 1 • Интегрируя ш + 1 раз уравнение (24), придем отпосительпо «1(2) к уравнению вида

п-1

«1(3)=^ 5к«1(г + 21 £к) + Р(г), (25)

| к| =1

где Р(г) - полином степени ш. Функция «1(г) голоморфна в полуплоскости 1т г > > к1, значит, правая часть равенства (25), а вместе с ней и функция «1(г) голоморфны в полуплоскости 1т г > к1 — ¿и удовлетворяют там оценке (21). Отсюда следует голоморфность обеих частей равенства (25) и справедливость оценки (21) в любой из полуплоскостей 1т г > к1 — Жй для произвольного натурального N. Следовательно, поскольку й = тт^ к^п-1 ¿к > 0, функция «1(г) голоморфна в С

щенной теореме Лиувилля «1 (г) — полином степени не выше ш. Следовательно, /+(г) = 0, а значит, и все /±(г) = 0, к = 2,..., п +1, то есть Vк (г) - полино-

ш

вытекает из граничных условий (20). Тем самым лемма полностью доказана. □

Возвращаясь к решению задачи (14) (16), с помощью условия (15) продолжим функцию У3(С) по симметрии до функции У3(С), голоморфной в полосе П3 = = (С : —а2 < 1т ( < а2 }, и определим функции У3(С) = Ук (С), к =1, 2, голоморфные в полуплоскости = (С : 1т £ < — «1} и в полосе = (С : —«1 < 1т£ < —«2}

соответственно. Ясно, что введенные таким образом функции удовлетворяют краевым условиям (17) на прямых 1*к, симметричных относительно вещественной оси с соответствующими прямыми lk. Таким образом, пришли к задаче (20) при n = = 4 и m = 1, компоненты решения которой, в силу доказанной леммы, являются полиномами первого порядка. Учитывая условия (18), (19), решение задачи (17) следует отыскивать в следующем виде:

ÍVi(C) = aiiC + i«12, ImZ > «i,

V2(Z) = «22Z + i«22, 02 < ImZ < ai, (26)

V3(Z) = Z, 0 < ImZ < «2.

Здесь «kj — вещественные коэффициенты, подлежащие определению. Требуя, чтобы функция (26) удовлетворяла условиям (17), с учетом справедливых на соответствующих прямых п = «к равенств: т = т — i2«k, k = 1, 2, получим систему:

«11Т + i «12 = Ai(«2iT + i «22) — Bi(«2i(t — i 2«i) — i «22), «21т + i «22 = A2T — B2 (т — i2«2).

т

енты однозначно определим по формулам:

«11 = 0102, «12 = «2(1 + #2)+ «102(1 — 0i), «21 = 02, «22 = «2(1 — #2),

0k = pk+i/pk, k =1, 2. (27)

Возвращаясь в плоскость комплексного переменного z, с учетом (10), (13) получим:

VRi(z) = 0102 + i [«2(1 — 02) + «102(1 — 0i)]/v/I,

VR2(z) = 02 + i «2(1 — 02)/VZ, (28)

VR3(z) = 1.

Аналогично находится частное решение v/(z) задачи (5), удовлетворяющее соответствующим условиям (9). Опуская элементарные выкладки, запишем окончательный результат:

vn(z) = i + [«201 (1 — 02) + «i(1 — 0i)]/vz,

vi2(z) = i+ «2(1 — 02)/VI, (29)

v/3(z) = i.

На основании (7), (28), (29) искомое решение задачи (5), (6) получим в виде: vi(z) = 0102 Vox —i Voy +i[«2(1 — 02)(Vox +i 0iVoy) + «i(1 — 0i)(02Vox +i V0y)]/Vz, v2(z) = 02Vox — i Voy + i «2(1 — 02)Vb/Vz, v3(z) = Vo.

(30)

Замечание 1. В случае вырождения рассмотренной трехфазной структуры в

p1 = p2 p2 = p3

p1 =

= p2 = p3 Vo

должно быть.

На рис. 3 приведены примеры распределения линий тока и эквипотеициалей для рассмотренной структуры. Вершины парабол лежат в точках: — 1 и —4. Слева коэффициенты сопротивления принимают значения: рх = 1, р2 = Ю, рз = 20, V = 1 +1, а справа - рх = 1, р2 = 0.5, р3 = 50, = 1 — 21.

2. Решение задачи (5), (6) в случае комплексных коэффициентов (2)

В силу доказанной в предыдущем разделе леммы и в случае комплексных коэффициентов (2) структура решения задачи (5), (6) остается такой же, как и в вещественном, рассмотренном выше, случае, а именно:

VI (г) = С +1А/^,

«2(*)= С2 +1 Дг/^, (31)

г>з(г) = V),

где С/, Б/ - некоторые постоянные, в данном случае комплексные коэффициенты. Подставив (31) в (13) и получившийся результат в краевое условие (17), имеем

Сх(е + 1 ах)+1 Бх = АхС2(е + 1 ах)+1 — ^ЩС — 1 ах)+1

С2(е + 1 Я2) + 1 ^2 = А2(е + 1 Я2)Ро — В2(£ — 1 а2)Р).

Отсюда, сравнивая коэффициенты при £ и свободные члены, придем к системе уравнений:

Сх = А1С2 — В1С2, С2 = А^И} — В2р0, ахСх + Бх = ах А1С2 + + а^С^ + В1Д2,

Я2С2 + ^2 = а2^2Ро + а2^2Ро.

Решая её, найдем:

С1 = (А1А2 + В1В2)Ро — (А1В2 + В1А2)Ро, С2 = А2Ро — В2Ро, = (2аАхВ2 + 26В1А2) + (26В1В2 — 2аВ1ВЖ, Б2 = 21 аВ2РЪ.

Рис. 4. Распределение лилий тока и эквипотепциалей в параболическом кольце при учете эффекта Холла

На основании (31) единственное решение задачи (5). (6) с комплексными коэффициентами (2) имеет вид:

Комплексной скорости (32) соответствует комплексный потенциал ш(г) _ ш (г) при г е Як:

Ш1(г) _ [(Л1Л2 + Б1Б2)Уо - (Л1Б2 + Б^Щг + а2)+

+41 [(а^Л^ + а^Л^УЪ - Б{32(0,1 - а2)Уо](^^ - 1 аД

_ _ (33)

Ш2(г) _ (Л2У0 - Б2Уо)(г + а?) - 41 а2Б2Уо(\/~г - 101),

шз(г) _ Уо(г + а2) + 0-1Кеш2(-а2) + Ишш2(-а2).

Здесь константы интегрирования подобраны таким образом, чтобы обеспечить при переходе через линии сопряжения разнородных фаз непрерывность функции тока ф(г) _ 1ш ш(г) и требуемую пропорциональность потенциала у>(г) _ Ие ш(г):

Рк^к(г) _ Рк+1фк+1(г), г е ск, к _ 1,2.

Примеры расчета распределения линий тока и эквипотепциалей по формулам (32) и (33) приведены на рис. 4 (слева и справа соответственно). В первом случае

Р1 _ 1

Р2 _ 10, Рз _ 20, в1 _ 8, в2 _ 4, вз _ 2, Уо _ 1+1, а во втором - Р1 _ 1, Р2 _ 0.5, Рз _50, в1 _ 0.9, в2 _ -0.1, вз _0.3, Уо _1 -12.

Работа выполнена при финансовой поддержке Федерального агентства по науке и инновациям (госконтракт Л*1' 02.740.11.0193) и Российского фонда фундаментальных исследований (проекты Л*1' 09-01-97008-р_поволжьо_а и 09-01-12188-офи_м).

«1(г) _ (Л1Л2 + Б1Б2)Уо - (Л1Б2 + Б1Л2)Уо+

+21 [(а2Л1Б2 + а^Л^УЪ - Б1Б2(а1 - а2)Уо]/у^, г е 5Ь

(32)

«2(г) _ Л2Уо - Б2Уо(1 - 21 а2/^1), г>з(г) _ Уо,

г е 52, г е 5з.

Summary

Yu.V. Obnosov, М.А. Egorova. R-linear Conjugation Problem for a Confocal Parabolic Annulus.

The article presents an analytical closed-form solution derived for an R-linear conjugation problem for a confocal parabolic annulus. The cases of real and complex coefficients of boundary conditions are comprehensively studied. The solution is found in the class of piece-wise liolomorphic functions with fixed finite value at infinity in one of the media components.

R

Литература

1. Обносов Ю.В. Решение задачи R-лилейного сопряжения в случае гиперболической линии разделения разнородных фаз // Изв. вузов. Матем. 2004. Л' 7. С. 53 62.

2. Обносов Ю.В. Решение задачи о распределении фильтрационных полей в бесконечном пористом массиве с двумя круговыми включениями// Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 2. С. 109 123.

3. Мальцева A.M., Обносов Ю.В., Рогозин С.В. Обобщение теоремы Милп-Томсопа па случай концентрического кольца // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2006. Т. 148, кп. 4. С. 35 50.

4. Obnosov Yu. V. A generalized Milne-Thomson theorem for the case of parabolic inclusion // Appl. Math. Model. 2009. V. 33. P. 1970 1981.

R

case of hyperbolic interface // Lithuanian Math. J. 2008. V. 48, No 3. P. 322 331.

R

кольца // Учен. зап. Казап. уп-та. Сер. Физ.-матем. пауки. 2008. Т. 150, кп. 4. С. 137 1146.

7. Обносов Ю.В. Краевые задачи теории гетерогенных сред. (Многофазные среды, разделенные кривыми второго порядка). Казань: Изд-во Казап. уп-та, 2009. 205 с.

8. Голубева О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах с прерывно изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка// Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. 2. С. 174 179.

9. Емец Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наукова думка, 1987. 254 с.

Поступила в редакцию 12.05.09

Обносов Юрий Викторович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений Казанского государственного университета.

Е mail: yobnosovQksu.ru

Егорова Мария Александровна студент мехапико-математического факультета Казанского государственного университета.