CC BY
17
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 150, кн. 4
Физико-математические пауки
2008
УДК 532.546
РЕШЕНИЕ ОДНОЙ ТРЕХФАЗНОЙ ЗАДАЧИ К-ЛИНЕЙНОГО СОПРЯЖЕНИЯ
Т. В. Никои,е? 1,кова
Аннотация
В работе построено замкнутое аналитическое решение задачи К-линейного сопряжения для бесконечной плоской гетерогенной среды, состоящей из трех различных однородных компонентов, разделенных ветвями двух софокуспых гипербол.
Ключевые слова: гетерогенная среда, задача К-линейного сопряжения, голоморфные функции.
Изучение плоских и цилиндрических гетерогенных структур, как известно [1]. сводится к следующей математической модели: требуется построить плоскопараллельное стационарное поле v(x, у) = (г>х,г>у) = \р(х,у), (ж, у) € Бр, р = 1, N, являющееся потенциальным и соленоидальным в каждой изотропной фазе Бр рассматриваемой композитной среды:
Всюду на границе контакта £ разнородных фаз Бр и нормальные составляющие предельных значений векторов \р, \ч совпадают, а касательные пропорциональны:
где рр > 0 - коэффициент сопротивления мате риала фазы Яр.
В настоящей статье будет продолжено начатое в работах [2 4] изучение среды с гиперболической линией раздела разнородных компонентов. В указанных выше работах была рассмотрена двухфазная среда в случае, когда линией контакта разнородных фаз служат одна или обе ветви гиперболы. Нами будет изучена трехфазная среда в случае, когда ее разнородные компоненты сопрягаются вдоль двух ветвей, вообще говоря, различных, но софокуспых гипербол.
В дальнейшем физическая плоскость (х, у) интерпретируется как плоскость комплексного переменного г = х +1 у, а вектор V - как комплекснозначная функция у(г) = ух + 1 ^комплексного аргу мента г = х + 1 у.
Рассмотрим трехфазную среду в предположении, что линия раздела фаз состоит из двух ветвей софокуспых гипербол, которые определены уравнениями
Введение
сИ\^р(х, у) = 0, го^р(х, у) = 0.
(1)
[Мх,у)]п = [Vq(x,У)]n, Рр[Мх,у)]т = Pqlvq(х, у)]т, (х,у) € £ (2)
1. Постановка задачи
Рис. 1. Среда с двумя гиперболическими включениями
где а ^, Ъ^ - заданные вещественные параметры, причем для удобства дальнейших выкладок будем считать, что а1 > О, Ъ1}2 > 0, а а2 < 0 .
Пусть Б\, Б2, Б3 - разнородные области, указанные на рис. 1. В силу условий (1) комплексно сопряженная с функция г'(г) = г>р(г) = 1>рх(х, у)—11>ру(х, у) голоморфна в каждом из компонентов Бр . р = 1, 2, 3. В замыкании Бр функция г>(г) непрерывна всюду, за исключением разве лишь бесконечно удаленной точки, где у нее допускается наличие особенности более слабой, чем полюс первого порядка.
Задача (1), (2) эквивалентна [1, с. 83] следующей задаче М-линейного сопряжения:
\ч(*) = А12г>2(*) - * е Си
„__(4)
^чОО = А13гф) - В 13[1'{8)]-21>3{1), * € С2
4 _ Р1 + Рд о _ Р1 ~ Рд „_9о
А1д — —7,-> в1д — —о-> 9 — (о)
2р 1 2р 1
¿(з) - функция точки контура С = С1 и С2 от натурального параметра в, производная ¿'(з) = ехр(1 а(з)) совпадает с единичным вектором касательной к С в точке £ = ¿(з) (а(з) - угол, который образует касательная к дуге С в точке £ с вещественной осыо).
Решение задачи (4) отыскивается в классе функций, для которых в окрестности бесконечно удаленной точки справедлива оценка
Кг)| = о(|г|) при И > 1. (6)
2. Решение задачи (4)—(6) в случае двух разнородных софокусных гиперболических включений
С = С1 и С2
относительно действительной оси и вещественности коэффициентов (5), наряду функцией г>(г), решением задачи (4), (6) будет и функция г>(!;). Следовательно, справедливо представление
= г>д(г) + V/ (г), (7)
где г>я(г) = (г>(г) +и(г))/2 и гч(г) = (г>(г) —и(г))/2 решения рассматриваемой задачи, удовлетворяющие соответственно условиям
1'Я(г)=1'Я(г) и гч(г) =-гч(г). (8)
жеппп с помощью функции (9) (справа)
В силу (8) при построении решений г>д(г), V/(г) достаточно рассмотреть лишь верхнюю полуплоскость С+ = {г : 1т 2 > 0}. Для верхней половины С+ = СП С+ , определенной параметрическим уравнением:
£ = а,\ еИ^ + 1 Ъ\ С++1, 0 то,
£ = а2 еИ^ + 1Ъ2 0 < ^ < то,
зависимость функции ¿'(в) от £ определяется ( [3]) по формуле:
Л 9 9 / --Л-1/2
— = - с2)1'4 [совтга^л/^ - с2 - , ^' = 1,2,
где ау + 1Ъу = сехр(1 пау/2), ] = 1, 2, а1, Ъ1, Ъ2, с > 0, а2 < 0. Рассмотрим функцию
= + (9)
обратную к функции Жуковского
^(С) = § СС+1/С) - (10)
Функция (9) конформно отображает (рис. 2) полуплоскость С+ па область - верхнюю полуплоскость с выброшенным единичным полукругом. Лучи С* = = {С : ащС = пау/2, |£| > 1}, ] = 1, 2 разделяют 5* на области 5*, к = 1, 2, 3, прообразами которых являются верхние половины, облает ей £1, 52 и соответственно. Для функции [¿'(в)]-2 в плоскости £ с учетом равенств
^2-с2 = |(т-1/т), * = | (т + 1/т) справедливо представление
~ (т — \/т)со$иа.2 —\(т т — 1/т + . ^
т — 1/т т — 1/т' Р 3 '
На основании полученного соотношения и на том, что выражение С — 1/С вещественно на действительной осп и чисто мнимо на единичной окружности, относительно функции
I1
^СС) = (С - 1/С) (с + 1/с) ) (11)
придем к краевой задаче
vi(t)= ai2v2(t) - Bi2V2(T), Т GLÎ;
VI(т) = А13Уэ(т) - В!зУз(т), т е £2; (12)
1т V(0=0, е е М \ [-1,1]; Ие V(т)=0, |т| = 1, 1т т> 0.
Из (6) и определения (11) следует, что решение задачи (12) необходимо отыскивать в классе функций, удовлетворяющих условиям
IV(01 = о(К12), 1С|>> 1; V(±1) = 0. (13)
Продолжим с помощью принципа симметрии Римана - Шварца функцию V(С) из £* в полуплоскость С+ на основании последнего условия (12). Для продолженной кусочно-голоморфной функции сохраним прежнее обозначение:
V(0= №(С), 0 <агёС<п«1 /2;
VI(С), п«1/2 < ащС < П«2/2; Vз(C), па/2 < ащС < п}.
Ввиду вещественности коэффициентов первых двух граничных условий (12) придем к краевой задаче
V1(t) = A12V2(т) - B12V2(т), т е L = (С : argC = n«i/2}, Vi (г)=А13У3(г)-В1зЩ ге4={С:агёС = тга2/2}, (14)
Im V(0=0, е е R \(0},
с дополнительными условиями (13). и кроме них должны еще выполняться следующие два:
ИС)1=о(|СГ2), ICI«1; V(\/Q = -V(Ç). (15)
Рассмотрим фиксированную в полуплоскости C+ ту ветвь функции w(Z) = = С7 с действительным показателем 7, которая вещественна (положительна) па положительной полуоси. Для выбранной ветви справедливо тождество w(1/Z) = 1/w(Z), и поэтому, как легко видеть, функция
[Vi(C) = сц(е'- e-i), nai/2 < argZ < W2, V(Z) = < V2(Z) = ci2(Z7 - Z-7), 0 < argZ < nai/2, (16)
Ivs(Z) = ci3(e-in7Z7 - ein7Z-7), n«2/2 < argZ < n
удовлетворяет при произвольных вещественных cii, ci2, ci3, ^ G (-1/2,1/2) и 7 G е (0, 2) всем условиям (13)—(15), за исключением первых двух граничных условий (14). Подставляя в последние функцию (16), с учетом справедливых па Lj равенств w(t) = r7ein7aj/2 получим, приравнивая коэффициенты при г±7, относительно неопределенных констант 7, сц, С12 и С13 систему вида
cii cos[n(^ + Y«i/2)] - (A12 - B12)ci2 cos[n7ai/2] = 0, cii sin[n(^ + Y«i/2)] - (A12 + B12)ci2 sin[n7«i/2] = 0, cii cos[n(^ + y«2/2)] - (A13 - Bi3)ci3 COS[^y(1 - «2/2)] = 0, ^cii sin[n(^ + y«2/2)] + (A13 + B13)ci3 sin[nY(1 - «2/2)] = 0,
где 0 < «i, 2 - «2 < 1 •
Заметим, что данную систему можно разбить на две однородные подсистемы линейных уравнений относительно ец, С12 и ец, С13 соответственно. Эти подсистемы. как известно, имеют нетривиальные решения лишь в случае, когда их определители обращаются в нуль. Таким образом, приходим к следующей системе уравнений относительно 7 и у:
{вт[пу] — Д1 вт[п(у + 7«1)] = 0,
(18)
вт[п(7 + у)] — Д2 вт[п(у + 7(«2 — 1))] = 0,
где Д1 = В12/А12, Д2 = В13/А13. Уравнения системы (18) можно переписать в эквивалентной форме
{(1 — Д1 со8[п7а1]) 8ш[пу] — Д1 в1п[п7«1] сов[пу] =0,
(19)
(соя[п7] — Д2 соя[п7(о2 — 1)]) 8ш[пу] + (вш[п7] — Д2вт[п7(о2 — 1)])сов[пу] =0.
Система (19) является также линейно-однородной относительно 8ш[пу], сов[пу], и для ее нетривиальной разрешимости необходимо выполнение условия
Д1Д2 8т[п7(о2 — 1 — а1)] — (Д1 вт[п7(1 — а1)] + Д2 вт[п7(о2 — 1)])+вт[п7] = 0. (20)
Решение уравнения (20) необходимо отыскивать на интервале (0, 2), при этом надо учитывать, что параметры «1 и 2 — «2 принимают значения в интервале (0,1), а Д | < 1, поскольку A1j > |Бу ] = 2, 3.
Если 7 есть решение уравнения (20), то величина у € ( — 1/2,1/2) определяется из системы (19) следующим образом:
. 1 Д1 в1п[п7«1]
у = у 1(7) = — аг^ап----:-т. (21
^ п 1 — Д1 сов[п7«1] у '
Построение функции V/(г), удовлетворяющей второму условию (8), приводит к представлению
'У1(С) = 1 С21(в;— е-1 ^С7), п«1/2 < агёС < ПО2/2,
V (ОН у2(с )=1 С22(С7 — С-7), 0 <ащС < п«1/2, (22)
^з(С) = 1 С2з(е-1 ^С7 — е1 ^С-7), п«2/2 < агёС < п,
вместо (16) отсюда, в свою очередь, следует, что
С21 соя[п(у + 70:1/2)] — (А12 + Б12)С22 сов[п701 /2] = 0, С21 я1п[п(у + 701/2)] — (А12 — Б12)с22 в1п[п701/2] = 0, С21 соя[п(у + 702/2)] — (А13 + Б13)С23 соя[п7(1 — 02/2)] = 0, С21 я1п[п(у + 702/2)] + (А13 — Б13)С23 8т[п7(1 — 02/2)] = 0,
(23)
(24)
|(1 + Д1 соя[п7о1]) я1п[пу] + Д1 81п[п7о1] соя[пу] =0,
Цсов[п7] + Д2 соя[п7(о2 — 1)]) я1п[пу] + (я1п[п7] + Д2вт[п7(о2 — 1)]) соя[пу] =0,
Д1Д2 я1п[п7(о2 — 1 — о1)] + Д1 я1п[п7(1 — о1)] + Д2 вт[п7(о2 — 1)] + вт[п7] = 0 (25)
Уравнения (20) и (25) отличаются лишь знаком перед вторым и третьим слагаемым. Величина у € ( — 1/2,1/2) определяется в данном случае из соотношения
( \ 1 Д181п[п7«1] ,ойч
у = у2(7) =--аг^ап ----:-т, (26
^ п 1 + Д1 соя[п7о1] у '
где 0 < 7 < 2 - решение уравнения (25).
Уравнения (20) и (25) в общем случае допускают лишь численное решение. Проведенный численный анализ показал, что при всех допустимых значениях параметров «1,2 и Д 1,2 каждое из этих уравнений имеет на интервале (0, 2) от одного до двух корней, то есть в совокупности оба уравнения имеют не менее двух, но не более четырех корней.
Рассмотрим некоторые предельные случаи уравнений (20) и (25). Пусть Д1, Д2 ^ 1, то ееть р2, рз ^ 0 или р1 ^ то, тогда уравнения (20) и (25) преобразуются соответственно к виду:
8т[п7(а2 — а1 )](сов[п7(2 + а1 — а2)/2] ^ сов[п7(2 — а1 — а2)/2]) = 0,
где 0 < 7 < 2, 0 < «1, 2 — «2 < 1. Заметим, что при Д1, Д2 ^ —1 (р1 ^ 0 или Р2, Рз ^ то) последние уравнения меняются местами. Первое из рассматриваемых уравнений, соответствующее уравнению (20), имеет на интересующем нас интервале лишь один корень 7 = 2/(а — «1) при 1 < «2 — «1 < 2. Решение второго уравнения, соответствующего уравнению (25), в зависимости от величин «1, «2 определяется по следующим формулам:
причем только два из приведенных выше условий могут выполняться одновременно.
В случае Д1 ^ Д2 ^ ±1 (р2 ^ то & рз ^ 0 или р2 ^ 0 & рз ^ то) уравнения (20), (25) приводятся к виду:
сов[п7(а2 — а1)/2](в1п[п7(2 + а1 — а2)/2] ^ 8ш[п7(2 — а1 — а2)/2]) = 0.
Решения последних уравнений выписываются по формулам, аналогичным приведенным выше.
Покажем теперь, что если 1 — «1 = ^1/^1, «2 — 1 = Р2/® _ рациональные числа (р1,2/^1,2 > 0 - правильные дроби), то уравнения (20), (25) приводятся к алгебраическим. Действительно, пусть / = НОд2}, тогда 1 — а1 = р1/^1 = = в!//, «2 — 1 = Р2/® = ^2/1, «2 — 1—«1 = (в!+в2—/)// иотносительно х = соб(п7//) приходим к алгебраическому уравнению следующего вида:
7 = 2/(а2 — а1), если 1 < а2 — а1 < 2, 7 = 1/(2 — а2), если 1 < а2 < 3/2, 7 = 1/«1, если 1/2 < а1 < 1,
т=0
+
Здесь £ ^ — 1 — «1), = в1 + в2 — I, а квадратные скобки означают
целую часть числа. Это уравнение разрешимо при 1 < 5, ив следующих наиболее простых случаях оно имеет вид:
2х ± (Д1 + Д2) = 0 («1 = 2 — «2 = 1/2);
4х2 ± 2(Д1 + Д2)х + Д1Д2 — 1=0 («1 =2 — «2 = 1/3);
4х2 ± (Д1 + Д2) — Д1Д2 — 1 = 0 («1 =2 — «2 = 2/3);
4х2 ± (Д1 + 2Д2х) — 1=0 (1 — а = 2 — а2 = 1/3);
4х2 ± (2Д1х + Д2) — 1=0 (1 — а = 2 — а2 = 2/3).
К решению кубических уравнений сводятся случаи 1 — «1 = 2 — «2 = 1/4(3/4); а1 =2 — а2 = 3/4(1/4); а1 = 3/4, 2 — а2 = 1/2(1/2, 3/4); а1 = 1/2, 2 — а2 = = 1/4(1/4,1/2). Для других значений «1, «2 получаются уравнения более высоких порядков.
Решая систему (17) с учетом соотношения (18), найдем
С11 = С1, С12 = С1Л1(7, ^1(7)), С13 = ^2(7,^1(7)), (27)
где 7 определяется из уравнения (20).
Решение системы (23) может быть записано в виде
С21 = С2, С22 = — С2Л1(7, ^2(7)), С23 = —С2Л2(7, ^2(7))- (28)
Здесь 7 - решение уравнения (25). В (27), (28) с1 и с2 — произвольные действительные параметры,
А1 = д - г г Л2 =- ^ 1П (29)
Б12 81п[п7а1] Б13 81п[п7(2 — а2)]
Таким образом, можно сформулировать следующий результат.
Теорема 1. В невырожденных и во всех непредельных случаях 0 < |Д^-1| = = |Бу|/Ау < 1 (] = 2,3) задача (4) для двух гиперболических включении (3) при а1/2 = (а1 + 1Ь1) € (0,1/2), а2/2 = (а2 + 1Ь2) € (1/2,1) имеет
решение вида
22
«1(*0 = ^ С^Х^г; 71&; ^1(71й)) + 1 С2кХ1(г; 72Й; <^2(72к)), г € 51,
к=1 к=1
22 «2(г) = ^С1кЛ1(71к; ¥>1(71к))Х2(г;71к) — 1 ^С2кЛ1(72к; ^2(72/))Х2(г;72к), г € 52, к=1 к=1 22 «з(¿0 = ^С1кЛ2(71к; ^1(71к))Х2(—г;71к)—:1 ^С2кЛ2(72к; ^2(72к))Х2(—г;72к), г € 5з, к=1 к=1
где 71к, к = 1, 2, - корни уравнения (20), а 72к, к = 1, 2, - корни уравнения (25); однозначные ветви функций
Х1(г; 7; <¿0 =
е17Пф + V7-2 -с2)7 - - V7-2 - с2)7
2^2 - с2
Х2(-;7) =-_ с2-, Х2(с;7)=7с7 ,
фиксированы в соответствующих областях Si, S2, а х2( —z;7) - в S3 и принимают вещественные значения на действительной оси; константы Л1, Л2 определяются соотношениями (29); ¥j (7), j = 1,2, - соотношениями (21), (26). Наконец, C1k, C2k k =1, 2, - произвольные вещественные параметры, причем если уравнение (20) (уравненме (25)) имеет лишь один корень на интервале (0, 2), то параметр C12 (C22) надо положить равным нулю.
Утверждения теоремы вытекают из представлений (22), (16), (11), (9) и (8).
Замечание 1. В частном случае, когда а1 =2 — а2, р2 = р3 должны выполняться дополнительные условия симметрии относительно мнимой оси:
а) Vo(-C) = -V3(C), Vi(-0 = -Vi(0,npH V(0 = (c-i/0fñ(|(c + i/c)),
б) V2(-C) = Va(C), Vi(-C) = Vi(C), при V(C) = (C - 1/0 ^ (l (c + 1/c)) •
Эти условия и представления (16), (22) приводят к равенствам ¥ = (1 — y)/2, С12 = — С13, С22 = —C23 и, соответственно, к решению полученному в работе [4].
Замечание 2. Если р1 = р3, то трехфазная среда вырождается в двухфазную с линией раздела, состоящей только из одной ветки гиперболы (3). Из (5) тогда следует, что Д2 =0, и па основании (18) и (24) придем к решению, ранее полученному в работе [3].
Замечание 3. Построенное выше решение задачи (4) справедливо и в том случае, когда обе ветви гипербол (3) находятся в одной полуплоскости, то есть 0 < Я2 < а!.
Замечание 4. Приведенное в теореме 1 решение является в общем случае че-тырехиараметрическим. Возникает естественный вопрос о дополнительных условиях, позволяющих выделить единственное решение. Этого можно добиться, если, например, взять только наименьшие из решений уравнений (20) и (25) и, кроме того, задать значение скорости в точке z = 0:
V1(0) = Vo = Vox — i Voy. (30)
При сделанных ограничениях исследуемая задача для всех возможных параметров будет иметь единственное решение:
V1(z) = VoxC1X1(z; 71; ¥>1(71)) — i VoyC2X1(z; 72; ¥>2(72)),
v2(z) = VoxC^1(71; ¥1(Y1))X2(z; 71) + i Voy C2Лl(72; ¥2(72))X2(z; 72), (31)
v3(z) = VoxC^2(71; ¥1(Y1))X2(—z; 71) +i Voy C2Л2(72; ¥2(72))X2( —z; 72), где 71, 72 — наименьшие решения ypавнений (20), (25) соответственно, а Ck = c1-Yk/ sin[n(¥k(7fc) — 7k/2)], k =1, 2.
В заключение рассмотрим следующий пример.
Пример. Пусть ветви гиперболы (3) определяются следующими параметрами: а1 = 2,12, а2 = —3, 8, c =5. Коэффициенты сопротивления, характеризующие фазы S1, S2 , S3 равны р1 = 10, р2 = 0.1, рз = 1, 6 соответственно . Тогда уравнение (20) имеет та интересующем нас интервале (0, 2) единственное решение 71 = 0.4, а наименьшим корнем уравнения (25) является 72 = 1.38. Решение поставленной
(31)
Рис. 3. Р1 = 0.1, Р2 = 1.6, рз = 10
уп = 0.049-0.03661
V=-0.03051851
у0 = 0.0748296
Рис. 4. Р1 = 10, р2 = 0.1, рз = 1.6
Рис. 5. р1 = 1, р2 = 10, рз = 0.1
На рис. 3 5 изображены эквипотенциали и линии тока, определяемые полученным решением для трех различных направлений вектора скорости (30).
Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 09-01-97008-р_поволжьо_а ).
Summary
Т. V. Nikonenkova. Solution of a Three-phase Problem of R-linear Conjugation.
An explicit analytical solution is presented for the R-linear conjugation problem in a heterogeneous infinite planar medium consisting of three dissimilar homogeneous components with branches of two confocal hyperbolas as an interface.
R
Литература
1. Еме.ц Ю.П. Краевые задачи электродинамики анизотропно проводящих сред. Киев: Наук, думка. 1987. 254 с.
2. Голубева О.В., Шпилевой А.Я. О плоской фильтрации в средах с пепрепывпо изменяющейся проницаемостью вдоль кривых второго порядка // Изв. АН СССР. МЖГ. 1967. 2. С. 174 179.
3. Обносов Ю.В. Решение задачи R-линейного сопряжения в случае гиперболической липли разделения разнородных фаз // Изв. вузов. Математика. 2004. Л' 7. С. 53 62.
R
case of hyperbolic interface // Lithuanian Math. J. 2008. V. 48, No 3. P. 322 331.
Поступила в редакцию 28.11.08
Никоненкова Татьяна Владимировна аспирант кафедры дифференциальных уравнений Казанского государственного университета. E-mail: nikaatvOrwinbler.ru
