Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

www.volsu.ru

МАТЕМАТИКА И МЕХАНИКА

DOI: https://doi.Org/10.15688/mpcm.jvolsu.2018.4.1

УДК 517.956 ББК 22.161

КРИТЕРИЙ ОДНОЗНАЧНОЙ РАЗРЕШИМОСТИ СПЕКТРАЛЬНОЙ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ

__О

УРАВНЕНИЙ 1

Серик Аймурзаевич Алдашев

Доктор физико-математических наук, профессор кафедры математики и математического моделирования,

Казахский национальный педагогический университет им. Абая [email protected]

ул. Толе би, 86, 0500012 г. Алматы, Казахстан

Аннотация. В цилиндрической области евклидова пространства для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений рассматривается спектральная задача Дирихле. Решение ищется в виде разложения по многомерным сферическим функциям. Доказаны теоремы существования и единственности решения. Получены условия однозначной разрешимости поставленной задачи, которые существенно зависят от высоты цилиндра.

Ключевые слова: критерий, разрешимость, спектральная задача, уравнения, многомерная область.

аэ Введение

о

сч

., Двумерные спектральные задачи для уравнений гиперболо-эллиптического типа

и интенсивно изучаются [7; 11-14], однако, насколько нам известно, их многомерные ана-

™ логи исследованы мало [1-3; 5].

§ В работе получен критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических

@ уравнений.

1. Постановка задачи и результат

Пусть Пар — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+1 точек (х\, ...,хт,Ь), ограниченная цилиндром Г = {(х,£) : |ж| = 1}, плоскостями Ь = а > 0 и Ь = р < 0, где |ж| — длина вектора х = (х\, ...,хт).

Обозначим через Па и Пр части области Пар, а через Га, Гр — части поверхности Г, лежащие соответственно в полупространствах Ь > 0 и Ь < 0; аа — верхнее, а ар — нижнее основание области Пар.

Пусть далее Б — общая часть границ областей Па, Пр, представляющее множество {Ъ = 0, 0 < |ж| < 1} в Ет.

В области Пар рассмотрим многомерные смешанно гиперболо-эллиптические уравнения со спектральным действительным параметром у

Ахи — sgn tutt + Е a-i(x, t)uXi + Ъ(х, t)ut + с(х, t)u = уи

(1)

г=1

где Дх — оператор Лапласа по переменным х1,.. .хт, т > 2.

В качестве многомерной спектральной задачи Дирихле рассмотрим следующую задачу.

Задача V. Найти решение уравнения (1) в области Пар при Ь = 0 из класса С(Пар) П С 1(Пар) П С2(Па и Пр), удовлетворяющее краевым условиям

и

и

0,

и

0, и

0,

0.

(2)

(3)

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат х1,...,хт,1 к сферическим г, 01,...,0т-1, где г > 0, 0 < 01 < 2п, 0 < 0» < п, г = 2, 3, ...,т — 1.

Пусть {^т(0)} — система линейно независимых сферических функций порядка п, 1 < к < кп, (т — 2)\п\кп = (п+т — 2)!(2и+т — 2), Ш12(В0), I = 0,1,... — пространства Соболева.

Имеют место следующие утверждения [10]. Лемма 1. Пусть /(г, 0) е (в). Если I > т — 1, то ряд

оо кп

f (г, 0) = ЕЕ ft (r)Ynkm(Q)

(4)

n=0 k=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р < I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно, при этом

fk (r)= f (г, e)YnkJQ)dH,

н

где Н — единичная сфера в Ет.

Лемма 2. Для того чтобы f (г, 0) е W2(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

<х кп

l/oV)l< С1, ЕЕ П"1 \fk (Of < ^ Ci,C2 = const.

n=1 k=1

Г

и

«

«

Г

a

P

P

Через al^n(r,t), al^n(r,t), b^(r,t), сП(г,Ь), d!^{r,t), p^ обозначим коэффициенты разложения ряда (4) соответственно функций ai(r, 0,í)p(0), а^p, b(r, 0,t)p, c(r, 0,t)p, d(r, 0,¿)p, p(0), i = 1,...,rn, причем p(0) G C™(H). _ Г

Пусть ai(r, 0,t), b(r, 0,t), c(r, 0,t) G С С (D aP), l > m + l, i = 1,...,m.

Тогда справедлив критерий.

Теорема 1. При у = — задача V имеет только тривиальное решение, тогда и только тогда, когда выполняется условие

cos а^ц sh = sin а^ц ch |3^ц, ц = у + > 0, (5)

или

ch ау^|ц| sin ру^|ц| = sh ау^|ц| cos |3у^|ц|, ц = у + ц^ < 0, (6)

где цзп — положительные нули функций Бесселя первого рода J (т-2) (z), s = ' n+ 2 = 1, 2,...

Отметим, что при ai(x,t) = b(x,t) = c(x,t) = 0,i = 1,...,m эта теорема получена

в [3].

2. Доказательство теоремы

В сферических координатах уравнение (1) в области имеет вид

т 11 т L\u = urr +--ur--- bu — utt + / ai(r, 0, t)uXi + b(r, 0, t)ut + c(r, 0, t)u = yu, (7)

i=l

5 = - v 1 A --i

^ g3 sin™--1 0, дQj \ д0 3 J>

m—1

^ sin™--1 0 д0

9i = 1, 9j = (sin 01... sin 8¿_i)2, j > 1.

Известно (см. [10]), что спектр оператора 6 состоит из собственных чисел Лп = = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций ^Пт(0).

Искомое решение задачи V в области будем искать в виде

оо к„

u(r, 0,í) = EE < МЖ^), (8)

п=0 к=1

где й*(г,£) — функции, подлежащие определению.

Подставив (8) в (7), умножив полученное выражение на р(0) = 0 и проинтегрировав по единичной сфере Н для й'Ц, получим [4]

/ т — 1 т \

Р^Огг - Р^й + ( - Р1 + Е а1о) йог + Ь0+ С°- ГР0й0 +

те кп ( / ^ _ 1 т \ _

+ Е Е ) рп,йпгг — рпйпы + ( рп + Е агп) йпг + Ьпип1 + (9)

п=1к=1 I \ Г г=1 /

¡)к т С-п — ^п^П + Е(^то-1 — Пап)

Г2 Í=1

~к д рп i

К - урп«п| = о.

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

1—1 1—1 ^^ 1 1—1 1—1 р0«0г г — р0«0й + р0 «0г = Ур0«0,

(10)

к—к к—к ^^ 1 к—к Л1 к—к

р1 «1гг — р1 «Ш + ~ р1 «1Г — Р1 Щ

1

к к 1 1 1 1

= УР к Щ — ^ V аг0«0г + »0«0* +

к!

,1=1

0"0 I

п =1, к = 1, к1, (11)

к—к к—к ^ 1 к—к Лп к—к к — к

Рп«пгг Р'п«пЫ + _ Рп«пт ^2 Рп«п Урп«п

1

к

п—1 ( т

1 У "у \ акп-1ип-1г + Кп к=1 1»=1

«

п 1 п 1

+

^га-1 + 1)акп-1)

=1

«к

«п 1

}

к — 1, кп, ^ — 2, 3

(12)

Суммируя уравнения (11) от 1 до к1, а уравнение (12) — от 1 до кп, а затем сложив полученные выражения с (10), приходим к уравнению (9).

Отсюда следует, что если {икп}, к = 1,кп, п = 0,1,... — решение системы (10)-(12), то оно является и решением уравнения (9).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (10)-(12) можно представить в

виде

ик ик п п

+

т— 1

и

— Ц«кп = т«п + Л (г, *)

(13)

где ¡п(г, Ь) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом /д(г, Ь) = 0.

Далее из краевого условия (2), в силу (8), будем иметь

«п( Г, а) = 0, «п(1, ¿) = 0, к = ТГ^п, П = 0,1....

В (13), (14), произведя замену и!п(г, = г( 2 ) «п(г, ¿), получим

ь«п = «п„ — «пы + п«п = т«п + (г,

икп( г, а) = 0, «п (1, г) = 0, к=1, кп, п = 0,1,...

Л„ = "т— 1)(34-П) — '4Л"',... Л (г,,.) = й (г,,.).

Решение задачи (15), (16) будем искать в виде

те

«п(г, *) = Ея.(г)т. (г),

при этом пусть

(14)

(15)

(16)

«=1

Л (г, 1) = ^акп3(1)К3(т).

(17)

(18)

«=1

Подставляя (17) в (15), (16), с учетом (18), получим

Rsrr + -2Rs + (ц - Y)RS = 0, 0 < г < 1,

(19)

Rs(1) = 0, \RS(0)\ < то, Tstt + цЗД) = —aks(t), 0 <t< a, T.(a) = (0).

Ограниченным решением задачи (19), (20) является [9]

Rs (г) = y/fJy(y.8,nr),

, (т— 2) 2 I

где v = п + (т-2), ц = ц8П + у.

Общее решение уравнения (21) представимо в виде [9]

cos t у/ц t к

Cis cos tу/ц + C2s sin tу/ц +

V^ 0

siní д/ц 1 .

г- J апз(ч cos ^у/ЦаВ,, ц > 0 ц0

t

Tsn(t)=l Си + C2st -f (t - K)akns(K)dB, ц = 0,

0

f aks(B) sin В^цйВ-

ch¿A/Iml t

Cu chtуТЙ + C2s shíу^Щ +-рр J akns(B) sh

V\H о

(20) (21) (22)

(23)

(24)

faksWch В^Ш, ц < 0, VIH o

где Cis, c2s — произвольные постоянные. Откуда, учитывая условие (22), получим следующее

sin а—ц а к / \ i

Cis cos а^ + c2s sin а^ =-J a^d) cos

Vц o

TS,n(t)

cos <Хл/ц а , . . ,

--^J aks(B) sin в^ц^В, ц > 0,

ц0

а

eis + C2Sa = /(а - B)aks(B)dB, ц = 0, о

___ sh ^Сл/ ц а

си ch ^vTm + c2ä sh a vim =-7= f aks(B) ch f^df,-

VH о

ch а>/й jaks(B)sh в^цк ц < 0.

(25)

. vTH о

Подставляя (23) в (18), получим

Г-1 fn(г, t) = ^^aks(t)Jy(^,nr), 0 < г < 1. (26)

s=i

Ряд (26) — разложение в ряд Фурье — Бесселя ([6]), если

1

(*) = г г (2 )12 / ^(4, (27)

ГЛ+ЦЦ^п)]2 7 о

где ц8>п, 5=1, 2,... — положительные нули функций Бесселя Зу(г), расположенные в порядке возрастания их величины.

Из (23), (24) получим решение задачи (15), (16)

ип

(г, t) = ^ VfTs>n(t)M^s,пГ), (28)

8=1

где а^(¿) находится из (26).

Следовательно, сначала решив задачу (10)-(12) (п = 0), а затем (11), (12) с (п = 1) и т. д., найдем последовательно всех г, из (28), к = 1, кп, . . . п = 0,1,... Итак, в области имеет место равенство

p(0)(Li - у)иdH = 0. (29)

н

Пусть f(г, 0, t) = R(r)p(0)T(t), причем R(r) G V0, V0 - плотна в L2((0,1)), р(0) G G Сте(Н) - плотна в L2(H), T(t) Е Vi, Vi - плотна в L2((0, а)). Тогда f(r, 0, t) G V, V = V0 0 H 0 V1 — плотна в L2(Qa) [8]. Отсюда и из (29) следует, что

J f( г, 0, t)(Li - y)u dQa = 0

Q a

и

L1u = yu, V(r, 0, t) G Па. Теперь переходим в области Пр к первой краевой задаче для уравнения

т — 1 1 т

L2u = игг +--иг--- Ьи + utt + / аЛ г, 0, t)ux. + b( г, 0, t)ut + с( г, 0, t)u = уи (30)

2 ^

=1

с условием (3).

Решение задачи (30), (3) будем искать в виде (7). Подставляя (8) в (30), будем иметь

т -1 p1 + YA ^ ' ^ ' ^

p0U0rг + pOUOtt + ^ - р0 + ^^ «10^ и0г + ^0U0t + С0и0 Ур0и0 +

те к„ f / 1 т \

v ^ v ^ I к — к к —к t т1 1 к \ Л к \

+ / у / у ^ рпипгг + pnuntt + I ~ рп + / у ат I п=1 к=1 I V г=1 /

]

пипгг ++ Рпипй ++ ( т Рп ++ / ^кп J ипг ++ ^пип ++

ип - урпип^ = 0. (31)

к т

к Л рп , V" /~к ^ _к \

Сп ^п ^2 + / у (агп-1 Пат) =1

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

т — 1

PqMQ + P0«0ii +

-pQ^Qr = yp1uQ,

(32)

h_h h—h ^^ 1 h—h h—h 1 h p h^ + p 1 «Iii + -phщг - -2 PT< = Yp^

1

, I / . a;QUQr + bQUQi + ^Q ^Q

ч1=1

1*11

0U0 I

n = 1, fc = 1, fc1, (33)

pnUnrr + pnUntt +

^^ 1 h —h ^n k—h h —h

pnUnv 2 pnUn YpnUn

h

1 hra-1 f m m

— ^3 < ain-1Un-1r + bn-1Un-1i + [cn-1 + 53 (ain-2 — (n — 1)ain-l)]Un-

Kn h=1 U=1 i=1

}

к =1,кп, п = 2, 3,... (34)

Суммируя уравнения (33) от 1 до к1, а уравнения (34) — от 1 до кп, а затем сложив полученные выражения с (32), приходим к уравнению (31).

Отсюда следует, что если {«кп}, к = 1,кп, п = 0,1,... — решение системы (32)-(34), то оно является и решением уравнения (31).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (32)-(34) можно представить в

виде

^^ 1 — к —к Лп — к —к —к/_1_\ /ог\

; «пг + «па 2«п = У«п + 9п(r, (35)

uknrr +

где дп(г, ¿) определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом дКг, ¿) = 0.

Далее из краевого условия (3) в силу (8) будем иметь

«п(г, р) = 0, «п(1, г) = 0, к = Мп п = 0,1,

(36)

В (35) и (36), произведя замену «п(г, Ь) = г( 2 ) «п(г, Ь), получим

Л п

LUn — Unrг + Untt + Un YUn + Qn(t),

«п(г, р) = 0, «п(1, ¿) = 0, к=1,кп, п = 0,1,

к/ ,\ (т~1) к/ £(^ ¿) = г 2 9п(^

Решение задачи (37), (38) будем искать по формуле

те

«п(г, *) = ^адт

при этом пусть

(37)

(38)

S=1

уП (г , *) = Е bns (t)Rs(r).

(17')

(39)

S=1

Подставляя (17') в (37), (38), с учетом (39), получим задачу (19), (20), решение которой имеет вид (23), и задачу

vstt — hV = bknS(t), в <t< 0,

с условием

Vs(P) = 0.

Общее решение уравнения (40) представимо в виде ([10])

du ch t /ц + 4 s sh t/ц + / bknS(Q sh 4 /W—

л/ц t

sh//H J bknS(4)ch 4^4, ц > 0, л/ц t

Va,n(t) = < + <2st — I bknsШ — 4)dl, ц =0,

t

___ cost\/Щ 0 /_

dls costуТШ + c2s sinivTm +--Гтт— / ^(4) sin

VH t

sin^H J^(4) cos 4^4, ц < 0,

VH t

Принимая во внимание условие (41), будем иметь

sh в /ц 0

с'и ch (3 /ц + с2s sh в /ц =-/ bt(4) ch 4/pc¿4—

Уц 3

— сЬ//ц о ^(4) sh 4/^4, ц > 0, V ц 3

CÍ. + 4 в3 = IbknS(4)(3 — 4)d4, ц =0, в

Vs,n(t) = <

¿ís cos в уДЩ + 4 в sin вУ|ц!

sin С (4) cos 4^ 4—

°Jbns(4) sin4^4, ц < 0.

vH в

в

Подставляя (23) в (39), получим

Г-1 дкп(г, t) = £ bkns(t) Jy(Hs,nT), 0 < г < 1,

«=1

которая является рядом Фурье — Бесселя, если

1

bL (t) =

2

/4дn (4, t) Jy(H8 ,n 4) d4.

ГЛ+^Ц^п)]2 } о

Из (23), (42) получим решение задачи (37), (38)

те

;(г, г) = ^ \/гУ3,п(Ь) г),

Ury

(40)

(41)

(42)

(43)

(44)

(45)

=Í

где bks(t) определяется из (44). Следовательно, сначала решив задачу (32), (36) (п = 0),

.к/

а затем (33), (36) (п = 1) и т. д., найдем последовательно все «п(г, ¿) из (45), к = 1, кп, п = 0,1,...

Итак, в области Пр имеет место

p(0)(¿2 - у)иdH = 0. (46)

н

Пусть /(г, 0, г) = П(г)р(0)т(г), причем Я(г) е К), V — плотна в ¿2((0,1)), р(0) е е Сте(Н) — плотна в Ь2(Н), Т(¿) е V — плотна в ¿2((р, 0)). Тогда /(г, 0, {) е V, V = V ® Н ® V — плотна в ¿2(Пр). Отсюда и из (46) следует, что

I /(г, 0, ¿)(Ь2 — у)«dПр = 0

¿2« = 0, У(г,0,г) е Пр. Таким образом, решением задачи V в областях Па и Пр являются функции

те кп те (2-т)т ^ / ч, гк

ЕЕЕ (¿u (ц,,пг )Ynkm(e),t> 0

и(г, 0, t) = { n=0>i=ls=l "" 2 (47)

V ' ' / » те кп те (2_m) v '

ЕЕЕ r^FS)ra(í)Jra+^ (ц^г )i;fcm(0),í < о,

ra=0fc=lí¡=l 2

где Ts,n(t), Vs,n(t) определяются из (24), (42).

Так как искомое решение и Е С(Йар) ПС 1(Йар), то из (8), (17) и (17') следует, что Ts>„(0) = Vs>ra(0), T¿>ra(0) = T;j0), то есть = du, С2, = c'2s.

Отсюда и из (25), (43) для неизвестных коэффициентов cls, c2s получим систему алгебраических уравнений

а

—ц(ClS cos а—ц + С2 s sin а—ц) = sin а—ц / aks(В) cos В—ц^В-

ns v

0

а

к

ns \

0

0

- cos а—ц / akns(В) sin В—ЩВ, o

o

—ц(си ch в—ц + С2 s sh в—ц) = sh в —Щ bks(В) ch В—ц^В-

- ch в—ц / C^sh В—цdВ, при ц = у + ц^ > 0. Для ц = y + ц2„ < 0 система будет иметь вид

_______ а _

Vl"H(си ch ^vim + c2 s sh ад/Щ) = sh а^/Щ/ aks(В) ch ВvЩdВ-

o

_ а _

- ch ауЩ/ aks(В) sh Вv1^dВ, o

o

VTH(Cl s cos в^Н + C2 s sin вл/Н) = sin влАЩ В^/ЩdВ-

o

- cos вуШ I bns(В) sin В\4ЦídВ.

(48)

(49)

и

Если у = — ц2п и выполняется условие (5) или (6), то из (27), (48) и (49) вытекает, что с1з = с2в = 0, 5 = 1, 2,...

Следовательно, из (24), (28), (42), (45) получим, что Т3,п(¿) = К,п(£) = 0 и икп (г, ¿) = 0, 5=1, 2,... ,к = 1,кп, п = 0,1,... ' '

Далее из (47), в свою очередь, получим и = 0 в

Пусть теперь условие (5) или (6) нарушено хотя бы для одного = .

Тогда из (24), (42), (48), (49) следует, что нетривиальными решениями задачи V при ц = у + ц2п > 0 являются функции

и( г, 0, г)

и( г, 0, г)

_ (2-т)

Е Е п рг 2

п=1к=1

Си сов Ь^ц + С21 в1п

сов £ у/ц * ^ 0

+--I а'кп(1) в1п 4^цо!4—

в1п £ у/Ц

-^ } Щп(4) сов 4^«4

Л/Ц 0

■1п+т-и (ц,пг)Yпк)m(0), г> 0,

¿^ - (2-т)

Е Е п РГ 2

п=1к=1

(50)

сц сЬ г^ц + С21 вЬ

сЬ Ь у/Ц * 0

^ /&кп(4) сЬ 4^4 уц о

^п+ (т—) (ц,пГ)^пкт(0), 0.

В случае ц = у + ц2п < 0 решения задачи V имеют вид

и( г, 0, г)

и( г, 0, г)

(2-т)

Си сЫу|ц| + С21 вЫу/\ц\ +

те кп

Е Е п~рг

п=1к=1

У|ц о

/<(4)сЬ уИ о

1п+ (т-) ,пГ)Yпк^(0), г> 0,

(2-т)

Си сов г д/Щ + С21 81П ь уТШ+

те к

Е Е п~рг

п=1к=1

+ о &кп(4)81п

уН *

(51)

I Ькп(4)со8

^п+(т-) (ц,пГ)^пкт(0), * < 0.

Здесь и выше константы си = 0, с2 = 0.

Учитывая формулу 2 Л^(г) = Зу-1(г) — (г) (см. [6]) и оценки [10; 15],

= сов (г — ¡V — 4) +0 , V > 0, |кп| < йп™"2,

(0)

д0ч 1 п,т(0 ) ]

с1, с2 = сош^ ] =

< С2п 2

т -1+9

, т — 1, 4 = 0,1,

а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1), как в [8], можно показать, что если р > Щт, то функции (50), (51) принадлежит необходимому классу гладкости С(Пар) П С1 (Пар) П С2(Па и Пр).

Следовательно, критерий для задачи V установлен.

ПРИМЕЧАНИЕ

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект № 16-01-00197).

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Алдашев, С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе / С. А. Алдашев // Известия НАН РК. Серия физико-математическая. — 2014. — № 3 (295). — C. 136-142.

2. Алдашев, С. А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений / С. А. Алдашев // Нелинейные колебания. — 2013. — Т. 16, № 4. — C. 435-451.

3. Алдашев, С. А. Критерий однозначной разрешимости спектральной задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе / С. А. Ал-дашев // Известия вузов. Математика. — 2011. — № 4. — C. 3-7.

4. Алдашев, С. А. О задачах Дарбу для одного класса многомерных гиперболических уравнений / С. А. Алдашев // Дифференциальные уравнения. — 1998. — Т. 34, № 1. — C. 64-68.

5. Алдашев, С. А. Спектральная задача Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева — Бицадзе / С. А. Алдашев // Известия НАН РК. Серия физико-математическая. — 2010. — № 6. — C. 3-6.

6. Бейтмен, Г. Высшие трансцендентные функции / Г. Бейтмен, А. Эрдейи. — М. : Наука, 1974. — Т. 2. — 295 с.

7. Кальменов, Т. Ш. О регулярных краевых задачах и их спектре для уравнений гиперболического и смешанного типа : автореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук / Кальменов Тынысбек Шарипович. — М., 1982. — 28 с.

8. Колмогоров, А. Н. Элементы теории функций и функционального анализа / А. Н. Колмогоров, С. В. Фомин. — М. : Наука, 1976. — 543 с.

9. Камке, Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям / Э. Камке. — М. : Наука, 1965. — 703 с.

10. Михлин, С. Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения / С. Г. Михлин. — М. : Физматгиз, 1962. — 254 с.

11. Моисеев, Е. И. Уравнения смешанного типа со спектральным параметром / Е. И. Моисеев. — М. : Изд-во МГУ, 1998. — 150 с.

12. Пономарев, С. М. К задаче на собственные значения для уравнения Лаврентьева — Бицадзе / С. М. Пономарев // ДАН СССР. — 1977. — Т. 233. — C. 39-40.

13. Сабитов, К. Б. О задаче Трикоми для уравнения Лаврентьева — Бицадзе со спектральным параметром / К. Б. Сабитов // Дифференциальные уравнения. — 1986. — Т. 22, № 11. — C. 1977-1984.

14. Салахитдинов, М. С. Краевые задачи для уравнения смешанного типа со спектральным параметром / М. С. Салахитдинов, А. К. Уринов. — Ташкент : ФАН, 1997. — 165 с.

15. Тихонов, А. Н. Уравнения математической физики / А. Н. Тихонов, А. А. Самарский. — М. : Наука, 1966. — 724 с.

REFERENCES

1. Aldashev S.A. Korrektnost zadachi Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrentyeva — Bitsadze [Well-Posedness of the Dirichlet Problem in a Cylindrical Domain for the Multidimensional Lavrentiev — Bitsadze Equation]. Izvestiya NAN Rk. Seriya fiziko-matematicheskaya, 2014, no. 3 (295), pp. 136-142.

2. Aldashev S.A. Korrektnost zadachi Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya odnogo klassa mnogomernykh giperbolo-ellipticheskikh uravneniy [Well-Posedness of the Dirichlet Problem in a Cylindrical Domain for One Class of Multidimensional Hyperbolic-Elliptic Equations]. Nelineynye kolebaniya [Journal of Mathematical Sciences], 2013, vol. 16, no. 4, pp. 435-451.

3. Aldashev S.A. Kriteriy odnoznachnoy razreshimosti spektralnoy zadachi Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrentyeva — Bitsadze [A Criterion for the Unique Solvability of the Dirichlet Spectral Problem in a Cylindrical Domain for a Multidimensional Lavrent'ev — Bitsadze Equation]. Izvestiya vuzov. Matematika [Russian Mathematics], 2011, no. 4, pp. 3-7.

4. Aldashev S.A. O zadachakh Darbu dlya odnogo klassa mnogomernykh giperbolicheskikh uravneniy [On the Darboux Problems for a Class of Many-Dimensional Hyperbolic Equations]. Differentsialnye uravneniya [Differential Equations], 1998, vol. 34, no. 1, pp. 64-68.

5. Aldashev S.A. Spektralnaya zadacha Dirikhle v tsilindricheskoy oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrentyeva — Bitsadze [The Dirichlet Spectral Problem in a Cylindrical Domain for a Multidimensional Lavrent'ev — Bitsadze Equation]. Izvestiya NAN RK. Seriya fiziko-matematicheskaya, 2010, no. 6, pp. 3-6.

6. Beytmen G., Erdeyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher Transcendental Functions]. Moscow, Nauka Publ., 1974, vol. 2. 295 p.

7. Kalmenov T.Sh. O regulyarnykh kraevykh zadachakh i ikh spektre dlya uravneniy giperbolicheskogo i smeshannogo tipa: avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [On Regular Boundary Value Problems and Their Spectrum for Hyperbolic and Mixed Type Equations. Doctor Dissertation]. Moscow, 1982. 28 p.

8. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsiy i funktsionalnogo analiza [Elements of the Theory of Functions and Functional Analysis]. Moscow, Nauka Publ., 1976. 543 p.

9. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsialnym uravneniyam [Handbook of Ordinary Differential Equations]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 703 p.

10. Mikhlin S.G. Mnogomernye singulyarnye integraly i integralnye uravneniya [Multidimensional Singular Integrals and Integral Equations]. Moscow, Fizmatgiz Publ., 1962. 254 p.

11. Moiseev E.I. Uravneniya smeshannogo tipa so spektralnym parametrom [Equations of Mixed Type with Spectral Parameter]. Moscow, Izd-vo MGU Publ., 1998. 150 p.

12. Ponomarev S.M. K zadache na sobstvennye znacheniya dlya uravneniya Lavrentyeva — Bitsadze [On the Eigenvalue Problem for the Lavrentiev — Bitsadze Equation]. DAN SSSR [Doklady Mathematics], 1977, vol. 233, pp. 39-40.

13. Sabitov K.B. O zadache Trikomi dlya uravneniya Lavrentyeva — Bitsadze so spektralnym parametrom [On the Tricomi Problem of the Lavrentiev — Bitsadze Equation with a Spectral Parameter]. Differentsialnye uravneniya [Differential Equations], 1986, vol. 22, no. 11, pp. 1977-1984.

14. Salakhitdinov M.S., Urinov A.K. Kraevye zadachi dlya uravneniya smeshannogo tipa so spektralnym parametrom [Boundary Value Problems for a Mixed-Type Equation with a Spectral Parameter]. Tashkent, FAN Publ., 1997. 165 p.

15. Tikhonov A.N., Samarskiy A.A. Uravneniya matematicheskoy fiziki [Equations of Mathematical Physics]. Moscow, Nauka Publ., 1966. 724 p.

THE CRITERION OF UNIQUE SOLVABILITY OF THE DIRICHLET SPECTRAL PROBLEM IN THE CYLINDRICAL DOMAIN FOR A CLASS OF MULTI-DIMENSIONAL HYPERBOLIC-ELLIPTIC EQUATIONS

Serik Aymurzaevich Aldashev

Doctor of Physical and Mathematical Sciences, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Modeling, Abay Kazakh National Pedagogical University [email protected]

Tole bi St., 86, 0500012 Almaty, Republic of Kazakhstan

Abstract. Multidimensional hyperbolic-elliptic equations describe important physical, astronomical, and geometric processes. It is known that the oscillations of elastic membranes in space according to the Hamilton principle can be modeled by multidimensional hyperbolic equations. Assuming that the membrane is in equilibrium in the bending position, Hamilton's principle also yields multidimensional elliptic equations.

Consequently, oscillations of elastic membranes in space can be modeled by multidimensional hyperbolic-elliptic equations.

The author has previously studied the Dirichlet problem for multidimensional hyperbolic-elliptic equations, where the unique solvability of this problem is shown, essentially depends on the height of the entire cylindrical region under consideration.

Two-dimensional spectral problems for equations of the hyperbolic-elliptic type are intensively studied, however, as far as is known, their multidimensional analogs are poorly studied.

In this paper, we obtain a criterion for the unique solvability of the Dirichlet spectral problem in a cylindrical domain for a class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations.

Key words: criterion, solvability, spectral problem, equations, multidimensional domain.