Корректность задачи Дирихле для одного класса вырождающихся многомерных эллиптико-параболических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИРЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕНАУКИ. 2018. № 2

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIIREGION. NATURAL SCIENCE. 2018. No.2

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.956 DOI 10.23683/0321-3005-2018-2-6-11

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ОДНОГО КЛАССА ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ЭЛЛИПТИКО-ПАРАБОЛИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

© 2018 г. С.А. Алдашев1

1Казахский национальный педагогический университет им. Абая, Алматы, Казахстан

THE CORRECTNESS OF THE DIRICHLET PROBLEM FOR ONECLASS OF DEGENERATE MULTIDIMENSIONAL ELLIPTIC-PARABOLIC EQUATIONS

S.A. Aldashev1

1Abay Kazakh Pedagogical National University, Almaty, Kazakhstan

Алдашев Серик Аймурзаевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и математического моделирования, Институт математики, физики и информатики, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, ул. Толе би 86, г. Алматы, 050012, Казахстан, e-mail: aldash51@mail.ru

Serik A. Aldashev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Modeling, Institute of Mathematics, Physics and Informatics, Abay Kazakh National Pedagogical University, Tole bi St., 86, Almaty, 050012, Kazakhstan, e-mail: aldash51@mail.ru

Корректность решения краевых задач на плоскости для эллиптических уравнений методом теории аналитических функций комплексного переменного хорошо изучена. При исследовании аналогичных вопросов, когда число независимых переменных больше двух, возникают трудности принципиального характера. Весьма привлекательный и удобный метод сингулярных интегральных уравнений теряет свою силу из-за отсутствия сколько-нибудь полной теории многомерных сингулярных интегральных уравнений. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка в областях с ребрами подробно изучены.

В ранее опубликованных работах автора найдены явные виды классических решений задач Дирихле в цилиндрических областях для многомерных эллиптических уравнений. В данной статье показана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрических областях для одного класса вырождающихся многомерных эллиптико-параболических уравнений.

Ключевые слова: корректность, многомерные вырождающиеся уравнения, задача Дирихле, сферические функции, функция Бесселя.

The correctness of boundary value problems on the plane for elliptic equations by the method of the theory of analytic functions of a complex variable has been well studied. When investigating similar questions, when the number of independent variables is greater than two, problems of a fundamental nature arise. A very attractive and convenient method of singular integral equations loses their validity due to the absence of any full theory of multidimensional singular integral equations. Boundary value problems for second-order elliptic equations in domains with edges have been studied in detail.

In the author's papers explicit forms of classical solutions of Dirichlet problems in cylindrical domains for multidimensional elliptic equations are found. In this paper we use the method proposed in the author's works, we show the unique solvability and obtain an explicit form of the classical solution of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for one class of degenerate multidimensional elliptic-parabolic equations.

Keywords: correctness, multidimensional degenerate equations, Dirichlet problem, spherical functions, Bessel function.

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

Постановка задачи и результат

Для общих эллиптико-параболических уравнений 2-го порядка постановку 1-й краевой задачи (или задачи Дирихле) впервые осуществил Г. Фи-кера [1]. Дальнейшее изучение этой задачи приведено в [2].

В данной работе для одного класса вырождающихся многомерных эллиптико-параболических уравнений доказана однозначная разрешимость и получен явный вид классического решения задачи Дирихле в цилиндрической области. В статье используется метод, предложенный в работах [3-6].

Пусть Qaß — цилиндрическая область евклидова пространства Em+1 точки (х1;..., xm, t), ограниченная цилиндром Г = {(x, t) : XI = 1}, плоскостями t = а> 0 и t = ß < 0, где |х| - длина вектора

X = (xi,..., xm )

Обозначим через Qa и Qß части области Qaß, а через Га, rß - части поверхности Г, лежащие в полупространствах t >0 и t < 0; с а , сß — верхнее и нижнее основания области Qß.

Пусть S - общая часть границ областей Qa и Qß , представляющая множество {t = 0, 0 <| X < 1} в Em.

В области Qaß рассмотрим вырождающиеся многомерные эллиптико-параболические уравнения

m

tqAxu — ut + Jdi(x,t)ux + e(x,t)u, t > 0,

' (1)

0 =

i=1

\t\p Axü+ utt + mai(x,t)ux + b(x,t)ut + c(x,t)u, t < 0,

i=1

u \са = У1(г,в\ u\ra = V1(t,e), '\rR = WiM u\c=Vi(,в).

(3)

При этом (p1 (1, в) = v1 (а, в), р2 (1,в) = V2 (ß, в), у1(0,в) = у2(0,в).

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Пусть (Р)} — система линейно независимых сферических функций порядка п; 1 < к < кп; (т — 2)!п\кп = (п + т — 3)!(2п + т — 2). Имеет место [7]

Лемма 1. Пусть f (г,в)е (Б). Если I > т — 1, то ряд

f(r,e)= TTfnk (r)Ykm (в)

(4)

а также ряды, полученные из него дифференцированием до порядка р < I — т +1, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы f (г,в)е^2 (Б), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

2

f (r

r )< ^ EI n

2l

n=1k=1

где p, q = const; q > 0; p > 0; Ax - оператор Лапласа по переменным xl5..., xm, m > 2 .

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат Xi,..., xm,t к сферическим т,в1,...,вт_1, t, r > 0; 0 <в <ж, i = 2,3,...,m-2;

0 <в„_1 < 2*, в = (01,...,вт-1) .

Задача 1 (Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области Q.ap при t Ф 0 из класса с(па/з)п С2 (p^), удовлетворяющее краевым условиям

(2)

fn (r) < Ci, С1, Ci = const;

Wl(S), l = 0,1,.. . - пространства Соболева.

Через dkn(r,t), dkn(r,t), ~1П(r,t) , (r,t), pi ,

pkn (r ), p2kn (r) , V\n (r), v1„ (t) обозначим коэффициенты разложения функций di (т,в, t )p ,

p, e(r^,t)p, d(т,в,t)p, р(в), i = 1,...,m, (1M) , (2 (т,в) , V1(tß) , V2M) ряда (4) в р(в) е С(Н); Н - единичная сфера в Em.

Пусть di (rß, t), e(r, в, t)eW2 (iQjc с(Оа), a(т,в,t),Ь(т,в,t), с(г,0,t)eW2(Qß), i = 1,...,m, l >m + 1,e(r^,t)< 0,у(гдt)е qa , с(г,0,t)< 0, У(г,0, t )eQß.

Тогда справедлива

Теорема.Еслир1 (т,в), р2(r,6)eWrP(S),

V1 (t, в) е W2p (Га), V2 (t, в) е W2p (rß), p > ^, то задача 1 однозначно разрешима.

Разрешимость задачи 1

Сначала покажем разрешимость задачи (1), (3). В сферических координатах уравнение (1) в области Qß имеет вид

L1u = tp f urr + m—1 ur —-1 <5u ^ — ut +

m

+ E dt (т,в, t)ux + e(r,в, t )u = 0,

i=1

m—1

j=1 gj smm——1в] дв]

■ m—j —1 ^

sm

дв

j

k

n=0k=1

1

д

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

= 1, gj ^т^.^т^ )2, ] > 1. Известно, что спектр оператора 8 состоит из собственных чисел Хп = п(п + т — 2), п = 0,1,..., каждому из которых соответствует ки ортонорми-

рованных собственных функций Укт (в) [7].

Искомое решение задачи 1 в области Ор будем искать в виде

q _k , (m —!)-к _ ^-k 1 -к

]-uknt = flk(r,t), (11)

то kn

U (r,e, t)= E E^ (r, t)Ynkm (в),

n=0 k=1

(6)

где иПк (г, t) - функции, подлежащие определению.

Подставив (6) в (5), умножив полученное выражение на р(в) ^ 0 и проинтегрировав по сфере Н,

«Пгт +<г | — =

где /П(г, t) определяются из предыдущих уравнений этой системы, причем /0) (г, () = 0.

Далее из краевого условия (2) в силу (6) ик(г,а) = (г), ик (1,0 = укпЦ), (12)

к = 1,кп, п = 0,1,...

Произведём замену й^ (г, £) =ик (г, () — укп () в (11), (12). Получим

для иП получим [8, 9]

V

tq I оПкгг + ^ - *„k I - vk = fk (r, t), (13)

(14)

nk(r,a) =^kn(t), okk(1,t) = 0,

1—1 1—1 I m — 1 ^ m ^ \—l --'1—1 tqp^u^rr — P0u0t + I tqPo + E Iu0r + ~0U0 +

k = 1,kn, n = 0,1,...

4q k-k k-k I m — 1

n 1/ —n и

i ^ ^ ич k ^k—k .

+ EErPkUkrr —PkU nt +

n=1k=1

( m — 1 ^ m £ Л £

- tqp,k + E ^k JUnr + ^ (r) = 4\n (r) — ^ (a).

- j tq

flk (r, t) = fnk (r, t) + rfn,

r

+

1 4tq +E fe-1 — ^n )

r ¿=1

~nk — 4 ^ +E(~k

(1—m)

= 0. (7)

Рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

^ Ррй^гг — р^, + — = 0, (8)

г

+ Ц „к—1 ,^к—к . т — 1 .а „к—к \ .а к—к

и1гг —Р1 иИ +-t Р1 и1г — 4^Р1 и1 =

г

Произведя замену й (г, t) = г 2 икп (г, £), задачу (13), (14) приведем к виду

г — \

Lok - tq

k

К

k ,4 k 0nrr 9 0n

r

— vi = fnk (r, t), (15)

о

(r,a) =i~1kn(r), vkn (1, t) = 0,

1 i m

= —IEdk)U®r + ~0°U0 j n =1, k = 1,k1,

tqrku1 nkTik i m—1tqnkTik ^n tqnkiik-

' pnUmr —pnUkt +-' pnUm —-Цг pnUn =

r

(9)

1п = (т —1)(3 —4 т) — 4^п Л (г, t )= г п (г, t) ,

(т— 1)

(г )=г ~ д\кп (г).

Решение задачи (15) ищем в виде

,kl

1 kn—1 I m

=E\Edhu11Г + kn k=1 L/=1

(10)

+

~nk—1 + E (dL2 — (n — 1)d1kn—1 Unk—1

¿=1

йп ^t )=йкп г t )+й2кп (r, t ^

где и\п (г, t)—решение задачи

й = ~ (г, t)

окы (г,а) = 0, ик (1, t) = 0 ;

V2n (r, t)— решение задачи

к = 1, кп, п = 2,3,...

Суммируя уравнение (9) от 1 до к, (10) -от 1 до кп, затем сложив полученные выражения вместе с (8), приходим к уравнению (7).

,a

k (r, t )— LvVn = 0,

vL(r,a

(r,a) = ^(r), v2kn(1,t) = 0.

(16)

(17)

(18)

(19)

(20)

—k

Отсюда следует, что если ип к = 1, кп,

п = 0,1,.... — решение системы (8)-(10), то оно является решением уравнения (7).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (8)—(10) можно представить в виде

Решение вышеуказанных задач представим в виде

ад

й (г, ')=! Л, (гТ (г); (21)

я=1

I (г, 0 = £ (^ (г), г" (г, $ = ± е„ № (г),

5=1 5=1

ад

% (г, ^ = (г) (22)

s=1

k

U

n

r

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. Подставляя (21) в (17), (18), с учетом (22) получим

I

Rsrr +-nRs + R = 0, 0 < r < 1, r

NATURAL SCIENCE. 2018. No.2

(23) определяются из (31) и (33).

(24) Итак, в области имеет место равенство

Rs (1) = 0, \RS (0)<о>.

Tst +vtqTs (t) = 0, 0, < t <a, Ts(a) = 0. (25) Jp(e)Lyu dH = 0.

Ограниченным решением задачи (23) является [10] Rs (r ) = yfTjv(ps,nr), (26)

Следовательно, решив сначала задачу (8), (12) (п=0), а затем (9), (12) (п=1) и т.д., найдем последо-

к (г, г) из (16), где икп (г, г), икп (г, г)

вательно все v

H

рода Jv{z), = .

Пусть f (г, 6, г) = Я(г)р(6)Т(г), причем Я(г ) = ¥0 ;

(т-2); /„ — нули функций Бесселя 1-го функция У0 плотна в ¿2 ((0,1)) , р(б)еС™(И) - в

¿2 ((0,а)) Тогда

i —

Решение задачи (24), (25)

Í ( 2 f . .2 П

Ts,n {t) =

exp

Ms,n ^q+1

q +1

í 4 ®

j)

2 A

, n q +1

V v

Подставляя (26) в (22), получим

да

!=У. a

exp—n £

q +1

d£. (27)

r "V/ {r, t) = I al„ J^r),

s=1

r {r) = I bin {t )JV fas} 0 < r < 1. (28)

"0 плотна в ¿2\ ¿2(И), Т(г)е¥1, ¥1 — в f (г, 6, г) е V, V = ¥0 ® (0,2 ж) ® ¥1 плотна в

¿2 [12].

Отсюда и из (13) следует, что / f (г,6,гУ^Па = 0 , Ь1ы = 0, У(г,6,г)ейа.

Таким образом, решением задач (1), (2) в области является функция

u(rß,t)=

{1-m)

(34)

Соотношения (28) - разложения в ряды Фурье - = ^ ^ J (t)

+ r

Бесселя, если aSn (t) = 2[J,+1 )]"2 } Ш (§, t J fajh (29)

n=0 к=11

vi {r, t)+V2kn {r, tfcm 0

где и(П (r, t), v2„ (r, t) находятся из (31), (33). j Учитывая формулу 2 J'v (z) = J v_i (z) — J v+i (z)

bS„(t)= 2[JV+1 (jusnf2¡^ñkn(Jfan&f, (30) [11], оценки [7, 13], получим

0 tí \ 2 ( л л\ ( 1 } n

где Ms,n,s = 1,2,... — положительные нули функций JV(z) = J— cosí z_"jV_— J + v>0, (35)

Бесселя JV(z), расположенные в порядке возрастания их величины [11].

Из (21), (26), (27) получим решение задачи (17), (18)

ы < c

cn

„m-2

д -ук {0)

l у n,m 0 )

se'j

< c2 n 2

-1+1

V\n {r, t )=£VTTs,n {t )jv^s,nr } (31)

s=1

где ак!!п (г) определяется из (29).

Далее, подставляя (21) в (19), (20), с учетом (22) получим уравнение Т^ + /пгцТ = 0, 0 < г < а,

(а) = Ъ^к , п ,решение которого

( 2 , Л

Т,(г) = Ъ,,пехр (а<?+1 — г01+1 ). (32)

ц +1

У

(33)

] = 1,т — 1, I = 0,1,...,

а также леммы, ограничения на коэффициенты уравнения (1) и на заданные функции щ(г,б), ^(г,б), можно доказать [4], что полученное решение (34) принадлежит классу С (оа )п С2 (оа )

Далее из (31), (33), (34) при г ^ +0 имеем

'"n

u{r,a,o)=r{r,a)=]T^ rk {r )Ykm (0).

t {r ) =

k {r)Yk 0,

n \ / n,m \ /'

=0 k=1

Из (26), (32) получим

vVn {r, t) =

{2 - m)

да ^-

= ¥1 {0)+I r 2

s=1

да

= I bs,n^r

s=1

2 Л

exp ^ (aq+1 - tq+1 )jy{ps,nr ) q + P '

ч )

u

í *k, n {£)

f

+bk

bksn {t) находятся из (30).

№s,n q+1

exp —— aq q +1

Ms,n i-q+1

exp ——

q +1

ч

j m-2){vs,nr).

+

(36)

2

n

2

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2018. No. 2

Из (29)—(31), (33), а также из леммы 2 вытекает, что т(г,в)еЖ^ (£), / > ^.

Таким образом, учитывая краевые условия (3) и (36), приходим к задаче Дирихле для эллиптического уравнения в области О.р

Ь2и = А хи + ии +

т

+ Еаг (г,в,t)их + Ь(г,в,t)ut + с(г,в,t)и = 0 , (37)

¿=1 '

и Ь = "(г,в) и 1Гр=^2 и Ц = %2 М,

имеющего единственное решение [4].

Следовательно, разрешимость задачи 1 доказана.

Единственность решения задачи 1

Рассмотрим задачу (1), (2) в области и докажем единственность решения. Для этого построим решение первой краевой задачи для уравнения

L*v - tpAxv — vt — Edvx + dv = 0

¿=1

с краевым условием

TO kn

v\s =r(r,в) = E E ^ (r)Ykm (в),

(*) (38)

n=0 k=1

множество

Lvk - tq

k

К

vk vk

nrr о n

r

+ окм = Jk (r, t), (40)

(m—1)

а и\п(г,t)— решение задачи для уравнения (19) с условием

йкп (г,0) = " (г), ийп (1, t) = 0. (42)

Решения задач (17), (41) и (19), (42) имеют вид

( (2 \\ а+1

а+1

vkn (r, t )=^л/Т

s=1

exp

V V

t

'■Kn (")

if 2 M

H-s,n gq+1

q +1

exp

V

d"

J (m—2) (№s,nr),

й2кп (г

(r, t )=

s=1

i ( 2 ^

№s,n ^q+1

q +1 1

s,n /J ^ " " n

exp

V V

J

(m—2)

(Ms,nr i

//

где *S,n (t)= 2[Jv+1 (ws,n )]—2 ^ni (m—2)(^s,nr

0 2

Таким образом, решение задачи (*), (38) в виде

й (г, t) + йкп (г, t^ (в)

рядаu(r,e, t)= E E

kn

где <(х, t) = е — Е <'х, т^ (г) е О, О — ¿=1 '

функций "(г) из класса С([0,1])п С1 ((0,1)) Множество О плотно всюду в ¿2 (0,1) [12]. Решение задачи

(*), (38) будем искать в виде (6), где функции и^ (г, 0

будут определены ниже. Тогда функции и(г, t) удовлетворяют системе уравнений вида (8)—(10), где <~кп, <1п заменены соответственно на — <~кп, — \ , а

~пк на <~п, ' = 1,..., т , к = 1,кп , п = 0,1,...

Далее из краевого условия (38) в силу (6) получим

йк(г,0) = "¡к(г), йк(1,0 = 0, к = 1кп, п = 0,1,... (39) Каждое уравнение системы (8)—(10) представимо в виде (11). Задачу (11), (39) приведем к виду

Г — Л

п=0 к=1

построено. В силу (35) оно принадлежит классу

ф^Ь С2 (па)

В результате интегрирования по области О.р тождества иЦи — и£1и = —иР(и)+иР(и)—ий2 [14],

где Р(и) = ^ £и С08^, хг),

¿=1

внутрен-

й(г,0) =" (г), икп (1,t) = 0, й (г,0 = г 2 й (г, О,

~ 1 (т—1) (т—1)

/к (г, t) = г—¡к (г, t), ткп (г) = г(г) Решение задачи (40) будем искать в виде (16), где и\п(г,t)— решение задачи для уравнения (17) с условиями

икп (г,0) = 0, икп (1, t) = 0, (41)

Q = соз(^1, t)— £ <' С08^1, X') , а N1

'=1

няя нормаль к границе, по формуле Грина получим

|г(г,в)и(г,в,0< = 0. (43)

Поскольку линейная оболочка системы функций "к (г ^ (в)} плотна ¿2(5) [12], то из (43) заключаем, что и(г,в,0) = 0, У(г,в)е 5. Стало быть, по принципу экстремума для параболического уравнения (5) и = 0 в О.а [15].

Из принципа Хопфа и = 0 в О,р [16].

В (4) приводится явный вид решения задачи (37), поэтому можно записать представление решения и для задачи 1.

Отметим, что в случае, когда а' (х,0 = Ь(х,t) = с(х,0 = <' (х,t) = е(х,t) = 0, для задачи 1 теорема получена в [17].

Литература

1. Фикера Г. К единой теории краевых задач для эл-липтико-параболических уравнений второго порядка // Математика. 1963. Т. 7, № 6. С. 99—121.

0

2

2

ISSN 0321-3005IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

2. Олейник О.А., Радкевич Е. В. Уравнения с неотрицательной характеристической формой. М.: Изд-во Моск. ун-та, 2010. 360 с.

3. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных эллиптических уравнений // Вестн. НГУ. Сер. мат., мех., инф. 2012. Т. 12, вып. 1. С. 7-13.

4. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных эллиптических уравнений // Мат. заметки. 2013. Т. 94, вып. 6. С. 936-939.

5. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного эллиптико-параболического уравнения // Изв. Сарат. ун-та. Сер. мат., мех., инф. 2014. Т. 14, вып. 1. С. 5-10.

6. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле для одного класса многомерных эллиптико-параболиче-ских уравнений // Изв. Сарат. ун-та. Сер. мат., мех., инф. 2016. Т. 16, вып. 2. С. 125-132.

7. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

8. Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.

9. Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. Орал: ЗКАТУ, 2007. 139 с.

10. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.

11. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции : в 2 т. Т. 2. М.: Наука, 1974. 297 с.

12. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

14. Смирнов В.И. Курс высшей математики. Т. 4. М.: Наука, 1981. 550 с.

15. Фридман А. Уравнения с частными производными параболического типа. М.: Мир, 1968. 527 с.

16. Берс Л., Джон Ф., ШехтерМ. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. 352 с.

17. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для вырождающегося многомерного эллиптико-параболического уравнения // Журн. вычисл. и прикл. математики. КНУим. Т. Шевченко. 2014. № 3 (117). С.17-22.

References

1. Fikera G. K edinoi teorii kraevykh zadach dlya el-liptiko-parabolicheskikh uravnenii vtorogo poryadka [On a unified theory of boundary-value problems for second-order elliptic-parabolic equations]. Matematika. 1963, vol. 7, No. 6, pp. 99-121.

2. Oleinik O.A., Radkevich E.V. Uravneniya s neotritsatel'-noi kharakteristicheskoi formoi [Equations with a nonnegative characteristic form]. Moscow: Mosk. un-ta, 2010, 360 p.

3. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya odnogo klassa mnogomernykh ellipticheskikh uravnenii [Correctness of the Dirichlet

Поступила в редакцию /Received_

NATURAL SCIENCE. 2018. No.2

problem in a cylindrical domain for a class of multidimensional elliptic equations]. Vestn. NGU. Ser. mat., mekh., inf. 2012, vol. 12, iss. 1, pp. 7-13.

4. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya vyrozhdayushchikhsya mnogomernykh ellipticheskikh uravnenii [Correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for degenerate multidimensional elliptic equations]. Mat. zametki. 2013, vol. 94, iss. 6, pp. 936-939.

5. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya mnogomernogo elliptiko-par-abolicheskogo uravneniya [Correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for a multidimensional elliptic-parabolic equation]. Izv. Sarat. un-ta. Ser. mat., mekh., inf. 2014, vol. 14, iss. 1, pp. 5-10.

6. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle dlya od-nogo klassa mnogomernykh elliptiko-parabolicheskikh uravnenii [Correctness of the Dirichlet problem for a class of multidimensional elliptic-parabolic equations]. Izv. Sarat. unta. Ser. mat., mekh., inf. 2016, vol. 16, iss. 2, pp. 125-132.

7. Mikhlin S.G. Mnogomernye singulyarnye integraly i in-tegral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p.

8. Aldashev S.A. Kraevye zadachi dlya mnogomernykh giperbolicheskikh i smeshannykh uravnenii [Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations]. Almaty: Gylym, 1994, 170 p.

9. Aldashev S.A. Vyrozhdayushchiesya mnogomernye giperbolicheskie uravneniya [Degenerate multidimensional hyperbolic equations]. Oral: ZKATU, 2007, 139 p.

10. Kamke E. Spravochnikpo obyknovennym different-sial'nym uravneniyam [Handbook of ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1965, 703 p.

11. Beitmen G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]: in 2 vol. Moscow: Nauka, 1974, vol. 2, 297 p.

12. Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktsional'nogo analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. Moscow: Nauka, 1976, 543 p.

13. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya ma-tematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1966, 724 p.

14. Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki [The course of higher mathematics]. Moscow: Nauka, 1981, vol. 4, 550 p.

15. Fridman A. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi parabolicheskogo tipa [Partial differential equations of parabolic type]. Moscow: Mir, 1968, 527 p.

16. Bers L., Dzhon F., Shekhter M. Uravneniya s chast-nymi proizvodnymi [Partial differential equations]. Moscow: Mir, 1966, 352 p.

17. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya vyrozhdayushchegosya mnogomernogo elliptiko-parabolicheskogo uravneniya [Correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for a degenerate multidimensional elliptic-parabolic equation]. Zhurn. vychisl. iprikl. matematiki. KNUim. T. Shevchenko. 2014, No. 3 (117), pp. 17-22.

_26 октября 2017 г. / October 26, 2017