Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. Том 25 № 1 2019

МАТЕМАТИКА

УДК 517.956 Дата поступления статьи: 15/7/2019

Б01: 10.18287/2541-7525-2019-25-1-7-20 Дата принятия статьи: 20/Я/2019

С.А. Алдашев

КОРРЕКТНОСТЬ ЗАДАЧИ ДИРИХЛЕ ДЛЯ ВЫРОЖДАЮЩИХСЯ МНОГОМЕРНЫХ ГИПЕРБОЛО-ЭЛЛИПТИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ

@ Алдашев Серик Аймурзаевич — доктор физико-математических наук, профессор, главный научный сотрудник. Институт математики и математического моделирования КН МОН РК, 050100, Республика Казахстан, г. Алматы, ул. Пушкина, 125.

E-mail: aldash51@mail.ru. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-8223-6900

АННОТАЦИЯ

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерными вырождающимися гиперболическими уравнениями. Полагая, что в половине изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем вырождающиеся эллиптические уравнения. Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерных вырождающихся гиперболо-эллиптических уравнений. При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления исследуемых краевых задач. Автором ранее изучена задача Дирихле для многомерных гиперболо-эллиптических уравнений, где показана однозначная разрешимость этой задачи, существенно зависящей от высоты рассматриваемой цилиндрической области. Однако задача Дирихле в цилиндрической области для многомерных вырождающихся гиперболо-эллиптических уравнений ранее не изучена.

В данной статье исследована задача Дирихле для одного класса вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений. При этом существование и единственность решения зависят от высоты рассматриваемой цилиндрической области и от вырождения уравнения. Получен также критерий единственности регулярного решения.

Ключевые слова: корректность, задача Дирихле, цилиндрическая область, вырождение функции Бесселя, критерии.

Цитирование. Алдашев С. А. Корректность задачи Дирихле для вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений // Вестник Самарского университета. Естественнонаучная серия. 2019. Т. 25. № 1. С. 7-20. БО!: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-l-7-20.

This work is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License.

UDC 517.956 Submitted: 15/7/2019

DOI: 10.18287/2541-7525-2019-25-1-7-20 Accepted: 20////2019

S.A. Aldashev

THE CORRECTNESS OF A DIRICHLET TYPE PROBLEM FOR THE DEGENERATE MULTIDIMENSIONAL HYPERBOLIC-ELLIPTIC

EQUATIONS

@ Aldashev Serik Aimurzaevich — Doctor of Physical and Mathematical Sciences, full professor, chief Researcher, Institute of Mathematics and Mathematical Modeling, 125, Pushkin street, Almaty, 050010. Republic of Kazakhstan.

E-mail: aldash51@mail.ru. ORCID: http://orcid.org/0000-0002-8223-6900

ABSTRACT

Multidimensional hyperbolic-elliptic equations describe important physical, astronomical, and geometric processes. It is known that the oscillations of elastic membranes in space according to Hamilton's prism can be modeled by multidimensional degenerate hyperbolic equations. Assuming that the membrane is in equilibrium in half the bend, from Hamilton's principle we also obtain degenerate elliptic equations. Consequently, vibrations of elastic membranes in space can be modeled as multidimensional degenerate hyperbolic-elliptic equations. When studying these applications, it is necessary to obtain an explicit representation of the investigated boundary value problems. The author has previously studied the Dirichlet problem for multidimensional hyperbolic-elliptic equations, where the unique solvability of this problem is shown, which essentially depends on the height of the cylindrical domain under consideration. However, the Dirichlet problem in a cylindrical domain for multidimensional degenerate hyperbolic-elliptic equations has not been studied previously. In this paper, the Dirichlet problem is studied for a class of degenerate multidimensional hyperbolic-elliptic equations. Moreover, the existence and uniqueness of the solution depends on the height of the considered cylindrical domain and on the degeneration of the equation. A uniqueness criterion for a regular solution is also obtained.

Key words: correctness, Dirichlet problem, cylindrical domain, degeneration of Bessel function, criteria.

Citation. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle dlya vyrozhdayushchikhsya mnogomernykh giperbolo-ellipticheskikh uravnenii [The correctness of a Dirichlet type problem for the degenerate multidimensional hyperbolic-elliptic equations]. Vestnik Samarskogo universiteta. Estestvennonauchnaya seriya [Vestnik of Samara University. Natural Science Series], 2019, Vol. 25, no. 1, pp. 7-20. DOI: http://doi.org/10.18287/2541-7525-2019-25-l-7-20 [in Russian],

Введение

Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией [ )х\, ...,хт-^т ^ 3, то по принципу

Гамильтона приходим к многомерным вырождающимся гиперболическим уравнениям.

Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, то из принципа Гамильтона также получаем многомерные вырождающиеся эллиптические уравнения.

Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений.

Проблема корректности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в специальных областях была объектом исследований многих авторов на плоскости [1—5] и в пространстве [6]. В данной статье показано, что задача Дирихле в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболо-эллиптических уравнений однозначно разрешима. Получен также критерий единственности регулярного решения.

1. Постановка задачи и результаты

Пусть ~ р-у — цилиндрическая область евклидова пространства Ет+\ точек )xi,хт, f4r ограниченная цилиндром [ {)iE,t+; |i| [ 2}, плоскостями t [ ¡3 >1 и ( [ -у < 1, где |:с| — длина вектора

1 [ з ? ^т-!7

Обозначим через ~ р и части области ~ р-у, а через р> -j — части поверхности , лежащие соответственно в полупространствах t > 1 я t < 1; trp — верхнее, а <т7 — нижнее основание области ~ р-у. Пусть далее S — общая часть границ областей ~ р. ~ 7 представляющее множество {t [ 1, 1 < |х| < 2}

в Ет.

В области ~ р-у рассмотрим взаимно сопряженные вырождающиеся многомерные гипербол о-эллипти-ческие уравнения

т

\t\pQ.xu- sgntuuG ctiUXi 0 t~tut 0 c)x,t^a [ 1, )2+

m

li^iia,« - sgntvu - atvXi - bvt 0 dv [ 1, )2*+

m

где p [ const >1, fia- — оператор Лапласа по переменным xi,..., хт, m ^ 3, d)x, i+[ [ с — J aiXt — bt.

i=l

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат ..., xm,t к сферическим г, 01, ...,0m_i,t, г > 1, 1 ^ вг ^ тг, i [ 2,3, ...,ш - 3, 1 ^ 6i < Зтг, в [ )0т_1,...,6'т_1 +

Задача 1 (Дирихле). Найти решение уравнения (1) в области ~ р-у при t [/ 1 из класса С)~ р-у-f) ПС1}" С2)" р U " удовлетворяющее краевым условиям

ui [ <рг)Г,е-ь и[ [ ф1 )t,0+ )3+

N

ui [ WMHt uf [ J4+

p p

Пусть }Уп*т)04 — система линейно независимых сферических функций порядка п, 2 ^ k ^ кп, )т — ЗН^п^п [ )п0 то —4-|()ЗпО ш — 3-^ в [ )9i,..., W^Ds-k I [ 1,2,... пространства Соболева.

Имеет место [7].

Лемма 1. Пусть f)r,6+E W\)S-\: Если I > т. — 2, то ряд

сю кп

f)r,0+[ f [ J5+

v=o Щ=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка р ^ I — то 0 2, сходятся абсолютно и равномерно.

Лемма 2. Для того чтобы /)г, 0+е необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4)

удовлетворяли неравенствам

оо кп

|/о)НКсь f f n2l\f*)ri2 ^ с2, ci,c2[ const.

J=1 У= 1

Через a*Jr,H )r, Н Н 4)r> Н Ф^ИгФ2П)Г+ V^JH ^обозначим коэффици-

енты разложения ряда (4), соответственно функций щ )г, в, t-{p Ь )г, в, t-\-p. с )г, в, 1Лр, d)r,0,t-{p,

р)в-\г г [ 2,..., ш, ipi)r,6-b tf2)T,6-V причем р)9+е C°°)H-k Н- единичная сфера в Ет.

Пусть Oi)r, в, Ь)г, в, t^ с)т, в, i+e W\)~ С С)~рi Ji шО 2, г [ 2,...,ш, c)r,6,t-K 1, V)r; 0, i-HE Тогда справедливы

Теорема 1. Если бЦ^^б+Е Й^),5Ч 4>i)t,e+e ^^ Ио) 7"Н ^г и имеет место

bs~"l ^ Ы s [ 2,3,..., )6+

то задача 1 однозначно разрешима, где /is,n — положительные нули функций Бесселя Jn, (m—2> [

L 2+рР 2 3 7 [ 2+р I ■

Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (5). Отметим, что эти теоремы при р [ 1 получены в [8].

2. Разрешимость задачи 1

В сферических координатах уравнение (1) в области р имеет вид

т — 2 ¿и П = Г игг 0 -Пг--

ии

III

Ч:

ш—1

& = -

и

и 93

2 3 9

¡)г,0,0 Ъ)т, в, (Ны( 0 с)г,МНк[ 1,

,51 [ 2

)7+

Известно [7]. что спектр оператора 5 состоит из собственных чисел А^, [ 71)71 0 771 — 71 [ 1,2,..., каждому из которых соответствует кп ортонормированных собственных функций У^ш)в-\г Искомое решение задачи 1 в области ~ ^ будем искать в виде

оо кп

и)г, в, *+[

1=01=1

)8+

где — функции, подлежащие определению.

Подставив (7) в (6), умножив затем полученное выражение на р)в-1-[/ 1 и проинтегрировав по единичной сфере Н, для получим [9; 10]

^рЬКгг РЬКп 0

'Ь о ^ <4

Чг 0 Шг 0

оо кп

и*(£йкпгт-Р*й*ао У—Рр

=1

£ о ^ <4

{¿^ о

£ га г /

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

ш — 2

- Рс.^.э« 0 -гГр^Ъг [ 1,

г

^ЛКг - РКА о — МЧ, - [

2 \

— ^ ^ а-01'ог 0 0 'ю*«о

, п[ 2, к [ 2,41,

)9+

): +

)21+

Л т

1.0 ]с£_10

0 )ч1п-2 ->-

1^-1 (,

к[ 2,кп, п[ 3,4,....

)22+

Суммируя уравнение (10) от 1 до ¿1, а уравнение (11) от 1 до а затем сложив полученные выражения с (9), приходим к уравнению (8).

Отсюда следует, что если , к [ 2, п [ 1,2,.... — решение системы (9)-(11), то оно является решением уравнения (8).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (9)-(11) можно представить в виде

о —_-йк - —йк

1 1ипгги т ипг г2ип

—кк.

Ки I

_£ _1

где /„)г, 4+ определяются из иредыдущих уравнений этой системы, при этом /0)г, 1.

Далее, из краевого условия (2) в силу (7) с учетом леммы 1 будем иметь

0+1 |£)2,Н фк1п)Нк[ п \ 1,2,....

)23+

)24+

В (12), (13) произведя замену (+[ —получим

—- ^

Ькп)г,р+[ ^я)гНг 1^)2,*+[ 1, к[ 2, кп. п [ 1,2,...,

А „¿Р

)25+ )26+

Произведя замену £-|-[ г( з гг*)г,(+ и положив затем г [ г, Ху [ г+р*^^» задачу (14), (15) приведем к следующей задаче:

Т * _ „Ь _ " * о — ы* [ ** V жп4-

где

г Р „„ т г ])т — 2-04 — т-| БЛ^с 1 < а [ - — < 2, Л„

)27+ )28+

30 р

\ 30

) 1а,п)Г,х0+[

\_Xo_ У 2 а

Г —2а \ Г 1-Я [

•/ п

Г")2-а - 1

Решение задачи (16), (17) ищем в виде где :соН— решение задачи

[ /а,п)г'х0 +

1#Д)г,ДЧ{ 1, <1„)2,хо+[ 1,

а оН— решение задачи

^)НГ^;2„)2,хо+[ 1. в виде

Решение вышеуказанных задач рассмотрим при этом пусть

у Дя)т-£Га>

Ь1

Подставляя (23) в (19), (20), с учетом (24) получим задачу

Л,гг0 /хД8 [ 1, 1 <г <2,

1, |Д8)14<ОО,

МаТа,3 = Та^юхо 0 -Та^Хо 0 /АТа[ -Оа,в)хо+ 1 < < /?',

хо

Тй;3)/?'+[ 1.

Ограниченным решением задачи (25), (26) является ([11])

где у [ "+<™-2\ р. [

Наряду' с уравнением )38+ рассмотрим уравнение

МоГо,в = То^хо 0 [ -а0>5)х0-1г 1 < х0 <

Как доказано в [9; 10]. существует следующая функциональная связь между решениями задачи Коши для уравнения )38+и )38*+

)29+

)2: + )31+

)32+ )33+

)34+ )35+

)36+ )37+ )38+

)39+ )3: +

)38*+

0x1

ï^o+f

-г-2

)42+

хо

)44+

Утверждение 1. Если Xjjв)згоН--решение задачи Коши для уравнения удовлетворяющее

условиям

T^Jl-H rs, Tl^Jl+l 1, )41+

то функция

о+[ 7« TIJM2 - ее З^«

при а > 1 является решением уравнения )38-|-с данными (30).

Утверждение 2. Если Т§s)io+~ решение задачи Коши для уравнения )38*-^- удовлетворяющее условиям

то при 1 < а < 2 функция

является решением уравнения )38-|-с начальными данными

1 I

где y/ïr [7а [ 3 ^тН [, )z-1— гамма-функция. оператор Римана — Лиувилля )]23е^ a q ^ 1—

наименьшее целое число, удовлетворяющее неравенству 3-аО 3q J; m — 2.

При этом функции itQ,s)ïo+n «о,я ) хо+связины формулами (31) в случае утверждения 1 и формулами (33) в случае утверждения 2.

В силу (31), (33) и учитывая обратимость оператора _Dq()]23(% из условия (28) получим условие

T0,s)ß'+[ 1. )45+

Теперь будем решать задачу )38*-^ (34).

Общее решение уравнения )38*+ представимо в виде [11|

Ci„ hs~^Sj„x00 c2s ~lo ßs nxoO ^s>nX° do^ii+lo ß3° ao>s)£-fhs ~fiB,n£d£, )46+

0 0 где eis, C23— произвольные постоянные. Удовлетворив условию (34), будем иметь

Ьз ~ ' 1 ' cisis~fiStnß'0 c\s ~lo fis,nß' 0 —S:"- ao,s)£+~l° --° —s'n- eo,s)£-lb~/ia5„£iif [ 1. )47+

0 0

Подставляя (29) в (24), получим

oo ОС

г~*/£,п)г>хо~Н J г-т<Лп)тЛ{ £ baJ„)fianT+ )48+

Ряды (37) — разложение в ряды Фурье — Бесселя [13]. если

0

1

к

2

bs [ 3]

е-ие, )49+

где tis,n,s [ 2,3,... — положительные нули функций Бесселя расположенные в порядка возраста-

ния их величины.

Далее, подставляя (23) в (21), (22), с учетом (24) получим задачу

____i г

Мата е ее TasXoXo 0 —Ta sXo 0 fiTa.s [ 1, 1 < lo < /3', )4: +

Та,в)рЛ\ ь„,

которая в силу (33), (34) переходит к задаче

М0Г0,Я = Т0^оХо О /хТ0,8 [ 1, 1 < х0 < /3', )4: *+

Т0;3)/?'+[ ь„, )51+

где Ь3 находится из (38).

Общее решение уравнения )4: *+записывается в виде

То,я)хо+[ </1вЪБ~(1в^хо0 (^Й~1о(1в1Пх0. )52+

Удовлетворив условию (40), получим

с'1з1ъ>31„/3'0 с'2зЛор3^' [ Ья. )53+

Теперь рассмотрим в области ~ 7 первую краевую задачу для уравнения

т_2 ии.

0 ии0 ^ щ)т,в^Х1 0 Ь)г,МНы4 0 с)г,б,Мы[ 1 )54+

¿2« = )—*-р ^ Игг 0 -иг - —

ди

2

с условием

[ <р2)г,в-Ь «К [ ф2%в+

Решение задачи (43), (43*) будем искать в виде (7). Подставляя (7) в (43), будем иметь

о р№ои о

7П- 2

0 ^ я?о

оо кп

т - 2

о

'=1 г/=1

Нг 0 0

тп

I:

1к 'иг

■ккк О

п п!

Л,

1.

Теперь рассмотрим бесконечную систему дифференциальных уравнений

га — 2

о ^о-1,

г

2 \

-— j ^ «ш^Ог 0 0 Со^о

, п[ 2, 4 [ 2,41,

)54*+

)Б5+

)56+

)57+

Л т

'/Л

-2

1-И4-1 ^

И 2,к„, 71 [ 3,4,....

)58+

Суммируя уравнение (46) от 1 до ¿1, а уравнение (47) от 1 до а затем сложив полученные выражения с (45), приходим к уравнению (44).

Отсюда следует, что если , к [ 2, кп, п [ 1, 2,.... — решение системы (45)-(47), то оно является решением уравнения (44).

Нетрудно заметить, что каждое уравнение системы (45)-(47) можно представить в виде

0 14л

где д„)г, определяются из предыдущих уравнений этой системы, при этом ¿/5)7-, £-Н= 1.

Далее, из краевого условия (3) получим

{4)Г,7+[ Ькп)2^+[ фк2п)Нк[ ХК; п [ 1,2,....

В (48), (49) произведя замену А^)г,(+[ )'г, Н—Ф2пУ~Ь будем иметь

О ¿,*и [ дкп)т,Н

7~К 4^)2,И 1, к[ 2,кп, п[ 1,2,...,

А

9п)т,Ь+\ \)п)тЛ^фк2пи 0 " '2 Фк2п, Ап)г+[ фап)ГН Ф*п)т+

)61+ )62+

Произведя замену г 2 положив затем г [ г, хо [ ¿р)—^ 2 > заДачУ (50), (51)

приведем к следующей задаче:

X

<>,7'+[ «4У-к <я)2,х0-Н 1,

г к к п к г\ ^ к г\ ^ ^ г & \

^0^(1,11 = ипгг 0 ша,1и»10 0 —^а.пха 0 I 9а,п)гт х0~к

I

)63+ )64+

О

30 р

-хо

1 —а

, (тп —1) ,

Ч&п)гЛ{ т 2 <р*п)т+ Решение задачи (52), (53) ищем в виде

й££)г,Хо+

где 1оН— решение задачи

ь^пКУ-Н 1, ^п)2,хо+[ 1,

а оН— решение задачи

[ 1)

%Уп+[ «&>+ 1.

к,2

Решение вышеуказанных задач рассмотрим [в виде

^»У^о-Н

,3)10+

при этом пусть

сю сю

йа>п)г>;со+[ J <1а:3)х0-\К3)г-Ь <Р2п)г+[ у евД8)г+ Подставляя (59) в (55), (56), с учетом (60) получим задачу

РаУа,в = Уа яХох0 0 -Уа,яхо ~ пУа,а [ ¿а.з^оНг 1 < < 1,

Наряду' с уравнением )72+рассмотрим уравнение

РоУо^ = ^¿КЕПХО - [ 7' < ^о < 1.

)65+

)66+ )67+

)68+ )69+

)6: + )71+

)72+ )73+

)72*+

для которых справедливы утверждения 1 и 2, при этом функции (¿С1^)хо+и (¿о,а)^о+связаны формулами (31) и (33).

В силу (31), (33) из (62) получим условие

Общее решение уравнения )72*+представимо в виде [11|

~0 ~0 1^8, П 1^8,П

удовлетворив условию (63), будем иметь

оД! ря>„7'0 с2з1 —- (£о1в)£+1 (1в>п£(Ц; - 1 - [ 1. )76+

[ 7' 7'

Подставляя (29) в (60), получим

ос оо

которые являются рядами Фурье — Бесселя, если

1 _

3]Л-ц)^а,яНе~2

1 _

Далее, подставляя (59) в (57), (58), с учетом (60) получим задачу

Так как искомое решение и Е С)

lin х%ТаяХа [ än ioVaaXo [ v„, s [ 2,3....

XQ—"

Отсюда и из утверждений 1, 2 получим

TèJl+l V^Jl-K ТВ, TlSXo)l+{ V0)SXo)l+[ 1,

v^Ji-K iî=; " - - —

Далее из (35), (64), (71) вытекает, что

)77+

PaVa,s = Va,exoXa 0 -Va e3!o - fi^ nVa s [ 1, 7' < < 1,

2Г0

ya,BWM es, которая в силу (31), (33) переходит к задаче

P0V0,S = V0,SXoXo - p%nV0ift [ 1, i < xo < 1, )78+

V0,BW+[ es, )79+

где es находится из (66).

Общее решение уравнения )78+имеет вид

Vo,s)ÏO+[ q'ieli /Ч«3*0 ¿2a~î )7: +

Удовлетворив условию (68), получим

^Îsli ^пУО fis,i.7'[ es- )81+

С1)- то из (7), (23), (59) следует, что Ta,s) 1+[ К,я)1+[ тЙ,

-J3' 1 L U,S/ - 1 L ' / 1 L ' U,SaTo / 1 L ' \QO_l_

г02,я)1+[ v*s)i+[ (1_aK3_^;..(ag+1_a)1 г0%)1+[ У0^о)1+[ i.

eis [ eis [ 7"s, C2s [ C2s [ -—.

Аналогично из (41), (69), (71) c'is [ с'\s, c'2s [ d2s-

Таким образом, для определения неизвестных коэффициентов cis, C2S, c'is, c'2s из (36), (42), (65), (70) получим системы алгебраических уравнений

I Р' Р'

Г Рз,п)си hs fis,nß' о c2s То fis,nß'+[ )Тоfia,n£d£ - )hs

* о о

/ cishs">s>n/3'0 c'2s~\oy,Sinß' [ bs I с'1яК fis^Y 0 c'2s~\ /*в,„У [ ея,

которые однозначно разрешимы, если выполняется условие (5).

Следовательно, решения задач )38*+ (34)и )4:* + (40) определяются по формулам (35) и (41). Аналогичным образом по формулам (64), (69) находятся решения задач )72*+ (63) и )78+ (68).

Далее, используя утверждения 1 и 2, сначала решив задачу (9), (13) )п [ 1+ а затем (10), (13) )п [ 2+найдем все vkn)г,xo+wз (18).

Аналогично определяются все „)г,1о+из (54). Итак, в областях ~ р и ~ 7 есть

p)64£iu(ffl" [ 1,

н

p)e^2udH [ 1. )83+

н

Пусть f)r,0,t+[ R)r-причем В)г+ Е У0, V0— плотна в Ь2))1,2-\^р)в+е С°°)Н+-плотна в L2)H+ T)t+E Vu V\- плотна в Ь2)) 1,/3-Нг Тогда f)r,0,t+e V, V [ [ V0®Я(g)^ плотна в Ь2)~ ?+)]25с+ Отсюда и из (72), следует, что \У)г, в, t-\Liud~ р [ 1 и L\u [ 1, V)r, в, i+E ~ р,

IP

Пв

Г)г,в,г-[ 1 и ь2и [ 1. -у.

тг

Таким образом, решением задачи 1 в областях р и 7 являются функции

ы)г,м-+{ / / UiJHO

n=0 fc=l}

«М,Н f f j^Ji-Ю г^К„)г,Н0 O^V^JHKl.

n=0Jt=l J

Учитывая формулу 3J,',)г+[ J,,_i )гН—Л'+l)г+ [13], оценки, приведенные в работах [7; 15] l^l^cm—2, cant-i+i, j [ 2, m — 2, g[ 1,2,...,

)84+

)85+

а также леммы и ограничения на коэффициенты уравнения (1) и функции <^1)1", 1р2)г,9-\т

аналогично ]: =21=27с можно доказать, что полученное решение (73) принадлежит искомому классу С)* £7-Ю С1)" ^7-Ю С2)" ^ и " 7+ Разрешимость задачи 1 показана.

3. Единственность решения задачи 1

Для этого сначала построим решения задач Дирихле в области ~ р для уравнения

т

= - ии - у а^и^ - 0 ¿и [ 1 )7*+

с данными

Ч.игП М 2Л,. »[ 1,2,..., )86+

а также в области для уравнения^

т

= )—¿"РПа-и - ии - у - 0 (¿и [ 1 )54**+

с условиями

ш|ТигТ[ И «[ 1,2,..., )87+

где С, (2— множество функций т)г+из класса С1 )]1, 2сНЛ С2 ))1, 2+Ь Очевидно,что С— плотна в

Ьг))1, 2-Н)]25о|г Решение задачи ) 7*+) 8 6+будем искать в виде (7), где функции Ъ^)г, убудут определены ниже. Тогда, аналогично п.З, функции Ьк)г, £-(-удовлетворяют систему уравнений (9)-(11). где акп, ,

заменены соответственно на — —— на г [ 2,то, & [ 2, п [ 1,2,____

Далее, из краевого условия (75), в силу (7), получим

^п)2}£+[ 1, ^)г,1+[ к [ 2Х, п[ 1,2,.... )88+

Как замечено, ранее что каждое уравнение системы (9) (11) представимо в виде (12). В работе [16] показано, что задача (12), (77) имеет единственное решение.

Таким образом, решение задачи )7*+ (75) в виде ряда (7) построено, которое, как доказано [16], в силу (74) принадлежит классу С1)^ р-Ю С2)-р-\г

Аналогичным образом в виде (7) строится решение задачи )54**+ (76). Из определения сопряженных операторов Ь*, ] [ 2,3)]28с-|-имеем

— [ —ыР^м-Н) —uvQl,

шЬ2и — иЬ2и> [ -шР2)и-{{} иР2)си-\— иъ'(^2,

т т

и

а внутренние нормали к границам д р, д

Далее, по формуле Грина получим

ЪЬ2и - т [ ^ - Ш2 о и^2 {«Ь,

)89+

д д г . _ . . г . г д

— [ е^ ЬГ — [ ЬГ ЛГ2Х,Х,[0 ЬГ

ш

м3 [ №у ьг лг/,*[, ¿[ 2,3.

Из (78), принимая во внимание однородные граничные условия (2), (3), а также условия (75), (76), будем иметь ~ ~

)ущ — 1ш( 0 ЬпуМв [ О Ш( 0 Ьиш-\3з [ 1

Б Б

или ~

и)и( О ш^НЙв [ 1. )8: +

Поскольку VI и_0 У —к_0 и линейная оболочка системы функций {\/гЗг,)¡ь вгт)плотна ¿2)^'+ t [ 1 [14], то из \{79) заключаем, что и)х71+[ 1, Уз; Е Я. Стало быть, по принципу Хопфа [18] и [ 1 в

7"

Отсюда, и()х, 1+[ 1, Ух Е в.

В силу единственности решения задачи Коши в области ~ р ; Ь1 и [ 1, и)х, 1+[ щ)х, 1+[ 1, Ух Е Б [17] вытекает, что и [ 1 в ~ р.

Теорема 1 доказана полностью.

4. Доказательство теоремы 2

Если выполняется условие (5), то из теоремы 1 вытекает, что решение задачи 1 единственно. Пусть теперь условие (5) нарушено хотя бы для одного а [ I.

Тогда, если решение однородной задачи, соответствующей задаче 1, будем искать в виде ряда (7), то приходим к краевым задачам

М0Т0^ = Г0;г:го;Ео О ^„То,. [ -ао;г)хо+ 1 < ^о < Го,*)/?+[ 1,

РоУо,1 = Уа^ХоХо - [ <4>,г)хо-1г 7' < х0 < 1,

Ч(Ь'+[ 1В силу (35), (64) их решениями являются функции

До . з?о

, V „ <Г )91+

Уо,г)^о+[ Ы о 0 1 ^пх0 0 ^"^ЭмР

Хо Хо

Далее, из (31), (79) следует, что задачи (19), (20) и (55), (56) имеют ненулевые решения

у (

)~1 (

Следовательно, нетривиальным решением однородной задачи 1 являются функции

оо кп

к)г,М+[ у у п-гу^О^о-Г^Н« > 1,

оо кп

Г [ < 1.

17=1 1

При этом из (74) следует, что они принадлежат искомому классу, если р> ^р.

Литература

[1] Шабат Б.В. Примеры решения задачи Дирихле для уравнения смешанного типа // ДАН СССР. 1957. Т. 112. № 3. С. 386-389. URL: http : // www. mathnet.ru/ php/aichive.phtml?wshow=paperfcjrnid=dan&;paperid= =21542&optkm_lang=rus.

[2] Бицадзе A.B. Некорректность задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в смешанных областях // ДАН СССР. 1958. Т. 122. № 2. С. 167-170. URL: http : //www. mathnet. ru / php / archive.phtml?wshow = paper fcjrnid = dan & paper id = 23413 & opt ion _ lang=r us.

[3] Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева — Бицадзе // Докл. РАН. 1993. Т. 332. № 6. С. 696-698. Т. 333. № 1. С. 396-407.

[4] Нахушев A.M. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с. URL: https://ehbrary.ru/item.asp?id= 17962288.

[5] Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2007. Т. 413. № 1. С. 23-26. URL: http://naukarus.com/zadacha-dirihle-dlya-uravneniy-smeshannogo-tipa-v-pryamougolnoy-oblas ti.

[6] Нахушев A.M. Критерий единственности задачи Дирихле для уравнений смешанного типа в цилиндрической области / / Дифференц. уравнения. 1970. Т. 6. № 1. С. 190-191. URL: http://wrwrwr.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=de&paperid=908fcoption_lang=Tus.

[7] Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с. URL: http://bookre.org/reader?file=578442.

[8] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений // Нелинейные колебания. 2013. Т. 16. № 4. С. 435-451. URL: http: // www.irbis-nbuv.gov.ua/ cgi-bin /' irbis_nbuv /' cgiirbis_64.exe?I21DBN = L IN K&P 21D В N = U J RN&Z 21 ID = =&S2ÎREF=10&S21CNR=20&S21STN=lfcS21FMT=ASP_meta&C21COM=S&2_S21P03=FILA=&2_S21STR= =NeKo_2013_16_4_3.

[9] Алдашев С.А. Краевые задачи для многомерных гиперболических и смешанных уравнений. Алматы: Гылым, 1994. 170 с.

[10] Алдашев С.А. Вырождающиеся многомерные гиперболические уравнения. Орал: ЗКАТУ, 2007. 139 с.

[11] Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с. URL: http://bookfi.net/book/543082.

[12] Нахушев A.M. Уравнения математической биологии. М.: Высшая школа, 1985. 301 с. URL: http://bookre.org/reader?file=469279.

[13] Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 295 с. URL: http://ega-raath.narod.Tu/Books/Bateman.htin.

[14] Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1976. 543 с. URL: http://bookre.org/reader?file=566839.

[15] Тихонов А.H., Самарский A.A. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с. URL: http://bookfi.net/book/542871.

[16] Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле и Пуанкаре в цилиндрической области для вырождающихся многомерных гиперболических уравнений с оператором Геллерстедта // Нелинейные колебания. 2015. Т. 18. № 1. С. 10-19. URL: https://www.imath.kiev.ua/ nose/admin/ private/published_ files /1002/NOSC10022015181998.pdf.

[17] Смирнов В.И. Курс высшей математики. ГЛ.: Наука, 1981. Т. 4. Ч. 2. 550 с. URL: https://alleng.Org/d/ mat h- s t ud/ mat h- s1900. htm.

[18] Вере Л., Джон Ф., Шехтер M. Уравнения с частными производными. М.: Мир, 1966. URL: http: //bookre.org/reader ?flle=793673.

References

[1] Shabat B.V. Primery resheniya zadachi Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa [Examples of solving the Dirichlet problem for equations of mixed-type]. DAN SSSR [Dokl. Akad. Nauk SSSR], 1957, Vol. 112, no. 3, pp. 386-389. Available at: http : //www. mathnet. ru / php / archive. phtml?wshow = paper & jrnid = dan fe paperid = 21542 & option _ lang=rus [in Russian).

[2] Bitsadze A.V. Nekorrektnost ' zadachi Dirikhle dlya uravnenii smeshannogo tipa v smeshannykh oblastyakh [Incorrectness of Dirichlet ;s problem for the mixed type of equations in mixed regions]. DAN SSSR [Dokl. Akad. Nauk SSSR], 1958, Vol. 122, no. 2, pp. 167-170. Available at: http : //www. mathnet. ru / php / archive. phtml?wshow = paper & jrnid = dan fe paperid = 23413 & option _ lang=rus [in Russian).

[3] Soldatov A.P. Zadachi tipa Dirikhle dlya uravneniya Laurent:eva-Bitsadze [Problems of Dirichlet type for the LavTentiev-Bitsadze equation], Dokl. RAN [Doklady Mathematics], 1993, Vol. 332, no. 6, pp. 696-698; Vol. 333, no. 1, pp. 396-407 [in Russian).

[4] Nakhushev A.M. Zadachi so smeshcheniem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Tasks with an offset for partial differential equation]. M.: Nauka, 2006, 287 p. Available at: https://elibrary.ru/item.asp?id= 17962288 [in Russian).

[5] Sabitov K.B. Zadacha Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa v pryamougol'noi oblasti [Dirichlet problem for a mixed-type equation in a rectangular domain]. Dokl. RAN [Doklady Mathematics], 2007, Vol. 413, no. 1, pp. 23-26. Available at: http://naukarus.com/zadacha-dirihle-dlya-uravneniy-smeshannogo-tipa-v-ргуamougolnov-oblasti [in Russian].

[6] Nakhushev A.M. Kriterii edinstvennosti zadachi Dirikhle dlya uravnenii smeshannogo tipa v tsilindricheskoi oblasti [A uniqueness condition of the Dirichlet problem for an equation of mixed type in a cylindrical domain]. Différents, uravneniya [Differential equations], 1970, Vol. 6, no. 1, pp. 190-191. Available at: http://www.mathnet.ru/php/archive.phtml?wshow=paper&jrnid=de&paperid=908fcoption_lang=rus [in Russian].

[7] Mikhlin S.G. Mnogomemye singulyamye integraly i integral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations). M.: Fizmatgiz, 1962, 254 p. Available at: http:/7bookre.org/reader?fLle= 578442 [in Russian).

[8] Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya odnogo klassa mnogomemykh giperbolo-ellipticheskikh uravnenu [Correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations]. Nelineinye kolebaniya [Nonlinear oscillations], Kiev: IM NAN Ukrainy, 2013, Vol. 16, no. 4, pp. 435-451. Available at: http: // www.irbis-nbuv.gov.ua/ cgi-bin / irbis_nbuv / cgiirbis_64.exe?I21DBN = L IN K&P 21D В N = U J RN&Z 21 ID = =&S21REF=10&S21CNR=20&S21STN=lfcS21FMT=ASP_meta&C21COM=S&2_S21P03=FILA=&2_S21STR= =NeKo_2013_16_4_3 [in Russian],

[9] Aldashev S.A. Kraevye zadachi dlya mnogomemykh giperbolicheskikh i smeshannykh uravnenii [Boundary value problems for multidimensional hyperbolic and mixed equations). Almaty: Gylym, 1994, 170 p. [in Russian].

[10] Aldashev S.A. Vyrozhdayushchiesya mnogomemye giperbolicheskie uravneniya [Degenerate multidimensional hyperbolic equations]. Oral: ZKATU, 2007, 139 p. [in Russian].

[11] Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differentsial'nym. uravneniyam [Handbook of ordinary differential equations]. M.: Nauka, 1965, 703 p. Available at: http://bookfi.net/book/543082 [in Russian).

[12] Nakhushev A.M. Uravneniya matemattcheskot biologii [Equations of mathematical biology). M.: Vysshaya shkola, 1985, 301 p. Available at: http://bookre.org/reader?file=469279 [in Russian],

[13] Bateman H., Erdelyi A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher Transcendental Functions). M.: Nauka, 1974, Vol. 2, 295 p. Available at: http://ega-math.narod.ru/Books/Bateman.htm [in Russian].

[14] Kolmogorov A.N., Fomin S.V. Elementy teorii funktsii i funktstonal 'nogо analiza [Elements of the theory of functions and functional analysis]. M.: Nauka, 1976, 543 p. Available at: http://bookre.oTg/reader?file= 566839 [in Russian).

[15] Tikhonov A.N., Samarskn A.A. Uravneniya matematichcskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. M.: Nauka, 1966, 724 p. Available at: http://bookfi.net/book/542871 [in Russian],

[16] Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle i Puankare v tsilindrichcskoi oblasti dlya vyrozhdayushchikhsya mnogomemykh giperbolicheskikh uravnenii s operatorom Gellerstedta [Correctness of the Dirichlet and Poincare problems in a cylindrical domain for degenerate multidimensional hyperbolic equations with the Gellerstedt operator).Nclineinyc kolebaniya [Nonlinear oscillations). Kiev: IM NAN Ukrainy, 2015, Vol. 18, no. 1, pp. 10-19. Available at: https://www.ima th.kiev.ua/ nosc/admin/private/published_files/1002/NOSC 10022015181998.pdf [in Russian).

[17] Smirnov V.I. Kurs vysshei matematiki [The course of higher mathematics]. M.: Nauka, 1981, Vol. 4, no. 2, 550 p. Available at: https://alleng.Org/d/math-stud/inath-st900.htm [in Russian).

[18] Bers L., John F., Schechter M. Uravneniya s chastnymi proizvodnymi [Partial Differential Equations). M.: Mir, 1966. Available at: http://bookre.org/reader?file= 793673 [in Russian].