Нелокальная краевая задача в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева - Бицадзе Текст научной статьи по специальности «Математика»

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ PHYSICAL AND MATHEMATICAL SCIENCES

УДК 517.956 DOI 10.23683/0321-3005-2019-1-4-9

НЕЛОКАЛЬНАЯ КРАЕВАЯ ЗАДАЧА В ЦИЛИНДРИЧЕСКОЙ ОБЛАСТИ ДЛЯ МНОГОМЕРНОГО УРАВНЕНИЯ ЛАВРЕНТЬЕВА - БИЦАДЗЕ

© 2019 г. С.А. Алдашев1

1Казахский национальный педагогический университет им. Абая, г. Алматы, Казахстан

NON-LOCAL BOUNDARY VALUE PROBLEM IN CYLINDRICAL DOMAIN FOR THE LAVRENTIEV-BITSADZE MULTIDIMENSIONAL EQUATION

S.A. Aldashev1

1Abay Kazakh National Pedagogical University, Almaty, Kazakhstan

Алдашев Серик Аймурзаевич - доктор физико-математических наук, профессор, кафедра математики и математического моделирования, Институт математики, физики и информатики, Казахский национальный педагогический университет им. Абая, ул. Толе би 86, г. Алматы, 050012, Казахстан, e-mail: aldash51@mail.ru

Serik A. Aldashev - Doctor of Physics and Mathematics, Professor, Department of Mathematics and Mathematical Modeling, Institute of Mathematics, Physics and Informatics, Abay Kazakh National Pedagogical University, Tole bi St., 86, Almaty, 050012, Kazakhstan, e-mail: al-dash51@mail. ru

Многомерные гиперболо-эллиптические уравнения описывают важные физические, астрономические и геометрические процессы. Известно, что колебания упругих мембран в пространстве по принципу Гамильтона можно моделировать многомерным волновым уравнением. Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа. Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать в качестве многомерного уравнения Лаврентьева - Бицадзе.

При изучении этих приложений возникает необходимость получения явного представления исследуемых краевых задач.

Локальные краевые задачи для гиперболо-эллиптичеких уравнений в специальных областях на плоскости и в пространстве достаточно хорошо изучены. Связанные с ними нелокальные задачи еще не изучены. В данной работе для многомерного уравнения Лаврентьева - Бицадзе доказана разрешимость и получены явный вид классического решения нелокальной краевой задачи в цилиндрической области и критерий единственности решения. В статье используется метод, предложенный в работах автора.

Ключевые слова: многомерное уравнение, нелокальная задача, цилиндрическая область, критерий.

Multidimensional hyperbolic-elliptic equations describe important physical, astronomical, and geometric processes. It is known that the oscillations of elastic membranes in space according to the Hamilton principle can be modeled by multidimensional wave equation. Assuming that the membrane is in equilibrium in the bending position, Hamilton's principle also yields the Laplace multidimensional equation. Consequently, oscillations of elastic membranes in space can be modeled as a La-vrentiev-Bitsadze multidimensional equation.

When studying these applications, it is necessary to obtain an explicit representation of the investigated boundary value problems.

Local boundary-value problems for hyperbolic-elliptic equations in special domains on the plane and in space have been well studied. As far as we know, the non-local tasks associated with them have not yet been studied.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

In this paper, for Lavrentiev-Bitsadze multidimensional equation, solvability is proved and an explicit form of the classical solution of a nonlocal boundary value problem in a cylindrical domain is obtained. A criterion for the uniqueness of the solution was also obtained. The article uses the method proposed in the works of the author.

Keywords: multidimensional equation, non-local problem, cylindrical domain, criterion.

Введение

Известно, что колебания упругих мембран в пространстве моделируются уравнениями в частных производных. Если прогиб мембраны считать функцией u(x, 0, х = ^1, ..., Xm), m > 2, по принципу Гамильтона приходим к многомерному волновому уравнению.

Полагая, что в положении изгиба мембрана находится в равновесии, из принципа Гамильтона также получаем многомерное уравнение Лапласа.

Следовательно, колебания упругих мембран в пространстве можно моделировать многомерным уравнением Лаврентьева - Бицадзе.

Корректность краевых задач для гиперболо-эллиптических уравнений в специальных областях была объектом исследований на плоскости [1-5] и в пространстве [5-9]. Насколько нам известно, связанные с ними нелокальные задачи еще не изучены.

Более полную библиографию работ, посвященных этой тематике, можно найти в монографиях [5, 6].

В данной работе для многомерного уравнения Лаврентьева - Бицадзе доказана однозначная разрешимость, получены явный вид классического решения нелокальной краевой задачи в цилиндрической области и критерий единственности решения. В статье используется метод, предложенный в работах [7-9].

Постановка задачи и результаты

Пусть Оаъ - цилиндрическая область евклидова пространства Ет+1 точек (х^...,xm,ограниченная цилиндром Г = {(х,t): |х| = 1}, плоскостями t = a > 0 и t = Ъ < 0; |х| - длина вектора

X = (х1,..., хт)

Обозначим через Оа и Оъ части области Оаъ, лежащие в полупространствах t >0 и t < 0.

Пусть 8 - общая часть границ областей Оа и

Оъ , представляющая множество { = 0, 0 <|х| < 1} в

Е

В области Оаъ рассмотрим многомерное уравнение Лаврентьева - Бицадзе

где А х - оператор Лапласа по переменным Х1,...,хт, т > 2.

В дальнейшем нам удобно перейти от декартовых координат Х1,..., хт, t к сферическим

г,е1,...,ет-1, t, г>0, 0<е1 <2л, 0<е, <л, I = 2,з,...,т-1, е = (е1,...,ет-1).

Рассмотрим следующую нелокальную краевую задачу.

Задача 1. Найти решение уравнения (1) в области Оаъ при t Ф 0 из класса

Cpab)nc!(Qap)nC2(na uQb),

удовлетворяющее

(2) (3)

краевым условиям:

[р1м(г, е, а) = у1м(г, е, Ъ)+ф1 (г, е), (Ри (г, е, а) = у2щ (г, е, Ъ)+ф2 (г, е),

м| г= v(t, е),

где ру, уу = сопь^, р2 + у22 Ф 0,] = 1,2.

Пусть |уПт (е)| - система линейно независимых сферических функций порядка п,

1 <к<кп,(т-2)!п! кп = (п + т-3)! (2п + т-3)!,

W21 (Б), I = 0,1,... - пространство Соболева. Имеет место [10]

Лемма 1. Пусть /(г, е) е w2 (Б). Если I > т -1, то ряд

f (r, 6) = s Sf ОL (6),

(4)

n=1k=1

а также ряды, полученные из него дифференцированием порядка p < l - m + 1, сходятся абсолютно и равномерно, при этом

/« (r) = J f(r, Wnk,m (0)dH,

H

где H - единичная сфера в Em.

Лемма 2. Для того чтобы f (r,0) е W2l(S), необходимо и достаточно, чтобы коэффициенты ряда (4) удовлетворяли неравенствам

/¿(фCb S„=1 Sl"=ln2!

fn

к (r)

< C2, Ci C2 = const.

Через фП (г), ф^ (г), ^П (t) обозначим коэффициенты ряда (4) функций ф1(г, е), ф2(г, е), е). Пусть

(sgn t)A хи - Utt= 0,

(1)

Ф1 (r, 6), Ф2 (r, 6) е W2 (S); y(t, 6) е wj (Г), l >

3m 2 .

2

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Теорема 1. Если имеет место соотношение

(Р1У2 -У1Р2)(СО!3Мз,па)скц,,пЪ + + (Р1У2 + У1Р2цз,па)ь,кЦз,пЪ ^У1У2-Р1Р2, ( )

то задача 1 однозначно разрешима, здесь ц-положительные нули функции Бесселя первого рода J (т - 2) (расположенные в порядке возрас-

п+---

2

тания их величины.

Теорема 2. Решение задачи 1 единственно тогда и только тогда, когда выполняется условие (5).

Доказательство теоремы 1. В сферических координатах уравнение (1) в области 0.а имеет вид

Цркп = «tr - «L +h U = fn r t)

«n (1, t) = 0, к - 1, kn, n - 0,1,.

(11)

-

(m -1)(3 - m) - 4-„ Л

(m-1)

4

fk (r, t) - r 2 fk (r, t)

Решение задачи (11) ищем в виде

4 (г, г) = Е Я (г)Тз (г).

з=1

При этом пусть

1п (г, г) = Е акПз (г)(г).

з=1

(12)

(13)

m -1 1 я п

--ur —-öu -utt - 0,

r r2

(6)

5 = -У m_-1_1__

У j-1 g¡ sinm-j-10j 59j

sinm-j 0,

oö,

y / J

91 = 1, 9j =(sin Q1...sin Qj _1 j2, j > 1. Известно [10], что спектр оператора 8 состоит из собственных чисел Xn = n(n + m _ 2),n = 0,1..., каждому из которых соответствует kn ортонормиро-ванных собственных функции Y¡km (Q).

Так как искомое решение задачи 1 в области Qa

принадлежит классу C(Qa) ^ C2 (Qa), то его можно искать в виде

Подставляя (12) в (11), с учетом (13) получим

(14)

Я (1) = 0,|Я3 (0)| <х, (15)

Тгы + ц2яТ (г) = -а1 (г), о < г < а. (16)

Ограниченным решением задачи (14), (15) является [11] (г) =

-

Rsrr + (-n + |M)Rs - 0,0 < r < 1,

(17)

m _ 2 2 где v = n + , ц = ц,,п.

Общее решение (16) имеет вид [11]

u(r, 0, t) - У 2Xk (r, t)Ykkmm (0),

n-0 к-1

Ts,n (t) - c1s cos Ms,nt + c2s sin Ms,nt +

cos ms nt

(7)

M

x j am sin m s, n 0 t ,

sin M s,nt

s, n

где ип(г,г) - функции, подлежащие определению.

Подставляя (7) в (6) и используя Х1 апз ©СО8 ц ортогональность сферических функций Укт (9)

M

(18)

s,n

[10], будем иметь _k m _ 1_k —k

unrr + unr Uvitt

r

n = 0,1,...,

k -nuk - 0,к -1,k„

(8)

где qs, C2s - произвольные постоянные.

Подставляя (17) в (13), получим уравнение

г 2 (r, t) = Í akns (t) Jv ),0 < r < 1,

s=1

при этом краевое условие (3) с учетом леммы 1 за- которое является рядом Фурье - Бесселя [12], если

пишется в виде

u¡k (1, t) = у n (t), k = й", n = 0,1,

(9)

_k

Производя замену uk(r,t) = и^(r,t)n(t) в (8), (9), получим

—k m _ 1_k —k ^n — k Т-k/ ч Unrr + Unr _ Untt = Jn (r,t),

«k(1,t) - 0, к - 1,kn, n - 0,1,...,

_ Л

ff (r, t) ntt+-n v n (t).

(10)

Произведя замену u^ (r, t) = r 2 u^j (r, t), задачу (10) приведем к следующей:

1-m

(г) = 2[Л+1(Цз,п)]-21(^г)Jv(19) о

Из (17), (18) получим решение задачи (11) в виде

^п (г,г) = Е 4Гт^п (г)Jv (цз,пг), (20)

з=1

где (г) определяется из (19).

Теперь переходим в области 0.ъ к краевой задаче для уравнения

1

(21)

m-1 1 с л

u„. +--ur--—on + utt - 0

r

r

с условием (3).

r

5

x

r

r

r

r

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

Решение задачи (3), (21) будем искать в виде (7). Подставляя (7) в (21), получим уравнение

1 л _

uir + m-- ut + uktt —n uk = 0, к = 1, kn, n = 0,1,..., (22) r r2

при этом краевое условие (3) запишется в виде (9). Производя замену ®Пк (г, 0 = й^ (г, ^-укп (0, а за-

1—m

тем ®k (r,t) = r 2 юП (r,t), задачу (9), (22) приведем к следующей:

I t сйцs nt Vs,n (t) = clsch^s,nt + c2ssh№s,nt--— x

0

x J bns s, n^ +

h s, nt 0, к

s, n 0

J bns s,n^d^.

t ц ,, п t

Подставляя (17) в (25), получим уравнение

г 2 ёП (г, t) = £ ъПкь (t)(ц, пг),0 < г < 1, ,=1

которое является рядом Фурье - Бесселя, если

bknS (t) = 2[Jv+1(Ks,n)]—& t)Jv (28)

Из (17), (27) получим решение задачи (23) Ю(r,t) = XVrv-(t(Ц, „r), (29)

4 (r, t) = SvTVs,n (t) J (Ц s,nr),

s= 1

где Ъп, ^) находится из (28).

Так как искомое решение и е С(Оаъ) о С1(Оаъ), то из (7), (20), (29) вытекает, что

/ г

Т (0) = V (0),Т (0) = V, (0).

Отсюда из (18), (27), а также из краевого условия (2) для неизвестных коэффициентов 1 1

с1,, c2s, С1,, с2, получим следующие соотношения:

c1s = c1s, c2s = c2s,

ßTs,n (a) = nVs,n (b) + ei t t ;

ß2^s,n (a) = nVs,n (b) + 4

(30)

где

к к к ^n к к /

L2ron =юптт + №ntt +~Гюп = gn (r,t),

и>п(1,t) = 0, к = 1,кп, п = 0,1,..., (23)

т-1

__Л

ёп(г,^ = г 2 [-укпП +-2Г^п(0].

г 2

Решение задачи (23) будем искать в виде

, от

^ (г, 0 =£ Л, (г V (0, (24)

ь=1

при этом пусть

(г, о =£ Ъкт тз (г). (25)

Подставляя (24) в (23), с учетом (25) приходим к задаче (15), (16) и к уравнению

-Ц^ = ъкш (0, Ъ < * < 0. (26)

Обшее решение уравнения (25) имеет вид [11]

(27)

4s = 2[Л+1(Цs,n)] ^ J л/^ФЬ? ©Л (Цs,nOd5, 4s = ^ 0

= 2[Л+1(Цs,n )]-21^Ф2п (5) J (Цs,nl)d|, 0

m—1

Ф1п(r) = r 2 [ф1П(r) +У1уП(b) — ß^n(a)], ф2п(r) =

m —1

= r 2 [Ф21п (r) + У2Vknt (b) — ß2Vknt (a)].

Далее из общих уравнений (18), (27), учитывая (30), получим систему алгебраических уравнений

Цs,n (ß1cOS Цs,na — У1<^Цs,nb)c1s + + Цs,n (ß1SinЦs,«a + У15ЙЦs,nb)c2s =

a к

= ß1(sin Ц s,„a J ans (?)cos Ц s,n^ — 0

a

— cOS Цs na 1 ans (5)sin Ц s,n£d?) + У1 x

0 0

x (hs,nb 1 bns (?)chЦs,n?d? — b 0

— s,nb 1 bnsh s,n?d|) + Ц s, nes, n,

b

Цs,n (—ß2 sinЦs,na — y 2якцs,nb)c1s +

+ Цs,n (ß2 cOs Цs,na + У2^Цs,nb)c2s =

a

= ß2(sin Ц s,na J ans (5) sin Ц s, n + 0

a

+ cos Ц s, na J ans

s, n +

0

0

+ y2 О^Цs,nb Jbns s,n5d| —

b

0

— hs,nb Jbns s,n?d5) + ds,n.

b

(31)

A =

Вычислим её определитель.

Цs, n (ß1cOs Цs, na — y1cVs, nb) Цs,n (ß1sin Цs,na — УlshЦs,nb) Цs, n (—ß2 sin Цs, na — У 2hs, nb) Цs,n (ß2cOs Цs,na + y 2^Цs,nb)

2

= Цs, n (ß1cOs Цs, na — y1cVs, nb) x x (ß2cOs Ц s,na + y 2c^ s, nb) —

— Ц2,n (—ß2 sin Цs,na — У 2hs,nb) x

x (ß1sin Цs,na + УlshЦs,nb) = 2 2 = Цs,n[ß1ß2 cOs Цs,na — ß1y2 (cOs Цs,na)c^s,nb —

— y1ß2(cOs Цs,na)c^s,nb -

2 2

— У1У2ch Цs,nb + ß1ß2 sin Цs,na +

+ ß2 y1(sin Ц s, na)sV s, nb +

2

+ ß1y2 (sin Цs,na)sVs,nb + У1У2sh Цs,nb] =

r

ISSN 0321-3005 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИИ РЕГИОН._ЕСТЕСТВЕННЫЕ НАУКИ. 2019. № 1

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION. NATURAL SCIENCE. 2019. No. 1

= ц2 [ßiß2 - Y1Y2 + ем' чт0 полученное решение (32) принадлежит

+ (ßiY2 -Yiß2)(cosЦs,na)chVs,nb + классу C(Uab)оCX(QаЪ)оC2(Qa uQj).

+ (ßiY 2 +ß2 Yi)(sin Ц s ,na)shц s,nb]. Теорема 1 доказана.

Änee (ßiY2 -Yiß2)(cosцs,na)chH-s,nb + Доказательство теоремы 2. Если выполняется

+ (ßiY 2 +ß2 Yi)(sin Ц s ,na)shH-s,nb] ф YiY2 ßiß2, условие (5), то из теоремы 1 вытекает, ЧТо реШение

то А ф 0. задачи 1 единственно.

Таким образом, при выполнении условия (5) си- Пусть теперь условие (5) нарушено хотя бы для

стема алгебраических уравнений (31) однозначно одного s = l, т.е. существует s = l такое, что

разрешима. (ßiY2 -Yiß2)(cosm>na)chm>nb +

Следовательно, из (20), (29) получим един- + (ßiY2 +Yiß2)(sinщ na)shm nb =

ственное решение задачи 1 в виде ряда = YiY2 - ßiß2 ö (ßi cos |^l,na - Yich|il, nb) x

u(r,6,t) = x (ß2 cos M-l,na + Y2chM-l, n

b) + ^

l'k (i-m) + (ßisin Ц1, na + YlshЦl, nb) x

= £ £ [^n (t) + r 2 Vkn (r, twkm (6),t > 0, X (ß2 sin Ш,na + Y2shm,nb) = 0.

n=0 k=i Qj^ Тогда, если решение однородной задачи, соот-

u(r,6,t) = ветствующей задаче 1, будем искать в виде (7),

х k (i-m) приходим к краевым задачам при t > 0

v u''n О 1 ' "Jn (',l)JYn,m ( ~ Lии

- У У [vJ (t) + r 2 ^ (r, tw^m (0),t < 0, L «к - 0

n - 0 к-1

где неизвестные коэффициенты c^, c2s, c^, c2 s при / < 0

«n (1,t) - 0,к -1,ки,n - 0,1, ... ,

определяются из (30), (31). ^ юк =0

Учтем свойства нулей функций Бесселя [12] и £ Л_п } "т=Г' _П1

формулы из [12, 13]: Юп (1, г) = 0, к =1 кп, п = 0Л".

10. Если ц,д, ц,,2,... - положительные нули и к усл°вию

функции Jv(z), упорядоченные по возрастанию Р1ип(г а) = у1юп (г^,р2«пг(г, а) = (36)

= У?ю„г(г,Ъ), £ = 1,к„,п = 0,1.... значений, то 2 пг п

0 <ц, 1 < ц^1 <ц, 2 < ц^2 < ^ 3 <...,V > -1. Решениями этих задач, удовлегворяющих аютно

, , , , , шениям (35), (36), являются соответственно функции

2°. Если ц.., ц„, и,, являются наименьшими по-

vrv г' = (СО^ , пг)" (т

п+— 2

соответственно, то Ю (г,г) = ^^ + ^п»„ + (т-2) (ц1,пг),г < 0

20. Если Mv,Mv,Mv являются наименьшими по- «n(r,t) - (cosMl,nt-sinMl,nt)J (m-2)(M/,nt),t >0, ложительными нулями функций Jv (z), Jv(z), Jv(z)

,jv(v + 2) < Mv <д/2(v + 1)(v + 3), v > 0,

>/v(v -1) < M^ <-J(v2-1),v > 1.

2

____Следовательно, нетривиальные решения одно-

^(у + 2) < ц^, < 2v(v +1),V > 0, родной задачи 1 записываются в виде

' к (1-т)

х кп -

и (г, 9, г) =Е Щп'Рг 2 «п (г, г )У„т (9), г > 0,

п=1кГ1 (1-т) , (37)

х ки ^-

и(г,9,г) = Е 2 п~Рг 2 юп(г,г)У£т(9),г < 0.

п=1к=1

Из формул (33), (34) следует, что решения (38)

v

да

sin z - z(1 z У (4n 2 -1)-1[ Jn (nz)]2),

n-1

2Jv (z) - Jv-1(z) - Jv+1(z),

Л Яч „, 1

(33)

Jv (= Л— соз(г- ^ V- ^) + 0(-1т), V > 0. 3т ^

V лг 2 4 ^ принадлежат искомому классу, если р >—. Тео-

2 2 Применяя признак Даламбера, доказываем, что рема 2 доказана. ряды (20), (21) и их продифференцированные ряды сходятся абсолютно и равномерно.

Далее, используя формулы (33) и оценки [10]

к j ¿ c1nm-2,

-- Yn,m (0)

o0q ,

m ,

--i+q

г2 1. Шабат Б.В. Примеры решения Дирихле для

(34) уравнения смешанного типа // Докл. АН СССР. 1957.

. , , А1 Т. 112, № 3. С. 386-389.

/ = 1,т-1, а = 0,1,..., „ _ . . _ тт _

2. Ьицадзе А.В. Некорректность задачи Дирихле

а также леммы и ограничения на заданные функции для уравнений в смешанных областях // Докл. АН

Ф!(г, 9), ф2 (г, 9), у(г, 9), аналогично [7-9] показыва- СССР. 1958. Т. 112, № 2. С. 167-170.

ISSN 0321-3005 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKII REGION.

NATURAL SCIENCE.

2019. No. 1

3. Солдатов А.П. Задачи типа Дирихле для уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Докл. РАН. 1993. Т. 332, № 6. С. 696-698; Т. 333, № 1. C. 16-18.

4. Сабитов К.Б. Задача Дирихле для уравнения смешанного типа в прямоугольной области // Докл. РАН. 2007. Т. 413, № 1. C. 23-26.

5. Нахушев А.М. Задачи со смещением для уравнения в частных производных. М.: Наука, 2006. 287 с.

6. Хачев М.М. Задача Дирихле для линейных уравнений смешанного типа в канонических областях : ав-тореф. дис. ... д-ра физ.-мат. наук. Минск, 1999. 42 с.

7. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для многомерного уравнения Лаврентьева - Бицадзе // Изв. НАН РК. Сер. физико-математическая. 2014. № 3. С. 136-143.

8. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле в цилиндрической области для одного класса многомерных гиперболо-эллиптических уравнений // Нелинейные колебания. Киев, 2013. Т. 16, № 4. C. 435-451.

9. Алдашев С.А. Корректность задачи Дирихле для вырождающегося многомерного уравнения смешанного типа // Нелинейные колебания. Киев, 2017. Т. 20, № 1. C. 20-31.

10. Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. М.: Физматгиз, 1962. 254 с.

11. Камке Э. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: Наука, 1965. 703 с.

12. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. М.: Наука, 1974. Т. 2. 295 с.

13. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1966. 724 с.

References

1. Shabat B.V. Primery resheniya Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa [Examples of solutions to the Dirichlet problem for equations of mixed type]. Dokl. AN SSSR. 1957, vol. 112, No. 3, pp. 386-389.

2. Bitsadze A.V. Nekorrektnost' zadachi Dirikhle dlya uravnenii v smeshannykh oblastyakh [Incorrectness of the Dirichlet problem for equations in mixed domains]. Dokl. AN SSSR. 1958, vol. 112, No. 2, pp. 167-170.

3. Soldatov A.P. Zadachi tipa Dirikhle dlya uravneniya Lavrent'eva - Bitsadze [Dirichlet-type problems for the Lavrentiev-Bitsadze equation]. Dokl. RAN.

1993, vol. 332, No. 6, pp. 696-698; vol. 333, No. 1, pp. 16-18.

4. Sabitov K.B. Zadacha Dirikhle dlya uravneniya smeshannogo tipa v pryamougol'noi oblasti [Dirichlet problem for a mixed-type equation in a rectangular region]. Dokl. RAN. 2007, vol. 413, No. 1, pp. 23-26.

5. Nakhushev A.M. Zadachi so smeshcheniem dlya uravneniya v chastnykh proizvodnykh [Displacement problems for the partial differential equation]. Moscow: Nauka, 2006, 287 p.

6. Khachev M.M. Zadacha Dirikhle dlya lineinykh uravnenii smeshannogo tipa v kanonicheskikh oblastyakh : avtoref. dis. ... d-ra fiz.-mat. nauk [Dirichlet problem for linear equations of mixed type in canonical domains]. Minsk, 1999, 42 p.

7. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya mnogomernogo uravneniya Lavrent'eva - Bitsadze [The correctness of the Dirichlet problem in a cylindrical domain for a Lavrentiev-Bitsadze multidimensional equation]. Izv. NAN RK. Ser. fiziko-matematicheskaya. 2014, No. 3, pp. 136-143.

8. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle v tsilindricheskoi oblasti dlya odnogo klassa mnogom-ernykh giperbolo-ellipticheskikh uravnenii [Correctness of the Dirichlet problem in the cylindrical domain for one class of multidimensional hyperbolic-elliptic equations]. Nelineinye kolebaniya. 2013, vol. 16, No. 4, pp. 435-451.

9. Aldashev S.A. Korrektnost' zadachi Dirikhle dlya vyrozhdayushchegosya mnogomernogo uravneniya sme-shannogo tipa [Correctness of the Dirichlet problem for a degenerate multidimensional equation of mixed type]. Nelineinye kolebaniya. 2017, vol. 20, No. 1, pp. 20-31.

10. Mikhlin S.G. Mnogomernye singulyarnye inte-graly i integral'nye uravneniya [Multidimensional singular integrals and integral equations]. Moscow: Fizmatgiz, 1962, 254 p.

11. Kamke E. Spravochnik po obyknovennym differ-entsial'nym uravneniyam [Reference book on ordinary differential equations]. Moscow: Nauka, 1965, 703 p.

12. Beitmen G., Erdeii A. Vysshie transtsendentnye funktsii [Higher transcendental functions]. Moscow: Nauka, 1974, vol. 2, 295 p.

13. Tikhonov A.N., Samarskii A.A. Uravneniya ma-tematicheskoi fiziki [Equations of mathematical physics]. Moscow: Nauka, 1966, 724 p.

Поступила в редакцию /Received

14 сентября 2018 г. /September 14, 2018