Решение задачи о распределении фильтрационных полей в бесконечном пористом массиве с двумя круговыми включениями Текст научной статьи по специальности «Математика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

Том 148, кн. 2

Физико-математические пауки

2006

УДК 532.546

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О РАСПРЕДЕЛЕНИИ ФИЛЬТРАЦИОННЫХ ПОЛЕЙ В БЕСКОНЕЧНОМ ПОРИСТОМ МАССИВЕ С ДВУМЯ КРУГОВЫМИ ВКЛЮЧЕНИЯМИ

Ю.В. Обносов

Аннотация

В работе дается замкнутое решение задачи о распределении двумерного фильтрационного поля в гетерогенной трехкомпопептпой среде, представляющей из себя однородный бесконечный пористый массив с двумя изотропными круговыми включениями, расположенными внутренним или внешним по отношению друг к другу образом. Рассматриваются случаи внутреннего и внешнего касания включений и случай вырождения одного из кругов в полуплоскость. Для всех таких структур решение получено в виде бесконечных рядов, для каждого из которых исследован вопрос о скорости его сходимости и найдена оценка остаточного члена. В некоторых случаях, когда проводимость круговых включений достигает своих предельных значений (0, то), соответствующие ряды просуммированы и решение выражено через элементарные функции.

В монографии П.Я. Полубариновой-Кочиной [1] задачи теории фильтрации в плоскопараллелыгом установившемся случае ставятся и решаются на языке комплексного анализа. Так. задача о распределении поля скоростей фильтрации в кусочно-однородной пористой среде с учетом закона Дарси сводится [1. с. 50] к построению голоморфной в каждом изотропном компоненте Б^ рассматриваемой среды функции -(г) = -х — 1-у = Vj(г) (-(г) = &-т(г)/Аг, где т(г) = у + 1 ф -комплексный потенциал течения и, следовательно, функция -(г) комплексно сопряжена с вектором скорости V = (-х,-у), если последний интерпретировать как комплекснозначную функцию V = Vх + 1Vу ). На линиях контакта разнородных компонентов нормальные компоненты скорости непрерывны (Vjn = vmn), а касательные — пропорциональны (kmVjT = kjvmт, ^ — постоянный в компоненте Бj коэффициент фильтрации).

В настоящей работе описанная выше проблема решается для трехфазных гетерогенных бесконечных сред, компонентами которых являются части, на которые вся плоскость разбивается двумя непересекающимися окружностями (в частности, окружностью и прямой). Различные частные случаи таких кусочно-однородных структур изучались в работах [3 12]. Г.А. Голузин [13. 14] предложил метод, позволяющий свести исследуемую краевую задачу к системе функциональных уравнений. Идеи и методика Голузина были развиты и обобщены в работах [15 17] на случай произвольного числа граничных окружностей, расположенных произвольным образом относительно друг друга (исключается лишь возможность их пересечения).

Используемый в работе метод исследования состоит в приведении поставленной задачи к однородной задаче М-линейного сопряжения ( [18])

= А,-тг>т(*) - * € дБ'э П дБпг, (0.1)

Рис. 1. Среда с двумя круговыми включениями (а) и круговое включение в одной из двух разнородных полуплоскостей (Ь)

где ¿'(в) - производная функции точки контура ЗБ^ П дБт по натуральному параметру.

Ajm = (кт + к^ )/(2кт), = (кт — к^ )/(2кт). (0-2)

Несколько обобщая постановку, с учетом междисциплинарных аналогий, будем считать, что коэффициенты краевого условия (0.1) имеют вид

I С'т . Рт ^т ^ _ Рт . Рт Л/

2Р:, 1 ' ~ 2рэ 1

Именно к задаче (0.1). (0.3) сводится в электродинамике проблема расчета вектора плотности электрического тока в среде с коэффициентом сопротивления р(г) = = Pj = 1/кj > 0 для г € Sj при учете влияния однородного электромагнитного поля (в(г) = в; ^ параметр Холла компонента Б.,-).

Краевая задача (0.1). (0.3) с помощью методов симметрии и аналитического продолжения приводится к функциональному уравнению. Последнее, в отличие от работ [13. 14]. удается решить явным, а не приближенным образом.

Сначала исследуется случай, когда окружности, разделяющие разнородные компоненты, расположены друг относительно друга внешним образом. При этом впервые решение в касательном случае и при вырождении одного из круговых включений в полуплоскость будет получено соответствующим предельным переходом.

1. Задача о двух круговых включениях

Не уменьшая общности, можно считать, что центры обеих окружностей лежат на оси х, один из них - в начале координат, а другой - на положительной полуоси: Б1 = {г : \г\ < п}, = {г : \г - Н\ < Г2} и Бз = {г : \г\ > Г1 \г - Н\ > Г2}. Пусть сначала г1 + г2 < Н, то есть окружности 71 = ОБ^ 72 = дБ2 не касаются (рис. 1,

Ясно, что ¿'(в) = 1 ¿/г1 дая £ € 71 и ¿'(в) = 1 (¿-Н)/г2 при £ € 72. Следовательно, в силу (0.1), функция у(г) удовлетворяет граничным условиям вида

г'з(*) = Ази'ф) + Взгп^гф), * € 71,

_ (1-1)

г'з(^) = А321'2(г) + в32г%(г - н)~21>2(г), * е 72.

На бесконечности течение равномерно поступательное, то есть

г>з(го) = Уо.

(1.2)

Задача (1.1), (1.2) в эллиптическом случае (|A3j | > |B3j|) имеет [19, теорема 4.1.2] единственное решение при произвольных комплексных коэффициентах , B3j. Мы ограничимся коэффициентами вида (0.3), полагая для краткости

1; Bj = B3j, A^Bj/Aj, j = 1,2. (1.3)

Пусть сначала pj = 0, ж, тогда коэффициенты (1.3) удовлетворяют условию эллиптичности задачи (1.1). Некоторые частные случаи обращения pj в нуль или бесконечность будут изучены в качестве предельных. Пусть

Z = T-1(z) = (z - a)/(z - b), z = T(Z) = (bZ - a)/(C - 1), (1.4)

где точки a, b симметричны относительно обеих окружностей 71, 72 одновременно. Следовательно, ab = r2, (h - a)(h - b) = r2 и

a, b = (h2 + rj - rj T \J(h2 -rj -rj)2 -4rpj^j /(2h). (1.5)

Первая из функций (1.4) отображает асимметричное «кольцо» S3 на концентрическое S3 = {Z : r < |Z| < R}, при этом круги Si, S2 переходят, соответственно, в S* = {Z : |Z| < r} и SI = {Z : |Z| > Д}. Радиусы окружностей 7 = {Z : |Z| = r} и Г = {Z : |Z| = R} на основании (1.4), (1.5) определяются равенствами

r = a/r1 = r1/b, R = (h - a)/r2 = r2/(h - b), (0 <r< 1 < R). (1.6)

С учетом равенств (1.6) преобразование T (Z ), определяемое вторым соотношением (1.4), и преобразование T (Z ) - h удобно записать в виде

Z - r2 Z - R2

т(О = = Ш), Т(С) - h = (ъ- /0^-у- = (Ь - h)T2(C). (1.7)

Новая неизвестная кусочно-голоморфная функция

V(Z) = Vj(Z) = Vj(T(Z)), Z G S*, j = 1, 2, 3, (1.8)

на основании (1.1), (1.2), (1.6), (1.7) будет удовлетворять условиям

Уз(г)=41У1(т)+В1г2[Т1(гГ2Щ, r G 7,

__(1-9)

V3(T) = A2V2(t) + B2R2[T2(T)}-2V2(T), тег,

V3(1) = Vo. (1.10)

Решение задачи (1.9), (1.10) следует отыскивать в классе функций, ограниченных на бесконечности, так как V(ж) = V2(œ) = v2(b).

В силу (1.10) и теоремы Лорана голоморфная в кольце S* функция V3 (Z) единственным образом представима в виде

V3(Z)= V3+(Z)+ V-(Z), V3-(1) = 0, V+(1) = Vo, (1.11)

где функции = V3+(Z)и V—(Z) голоморфны при |Z| < R и |Z| > r соответственно. Введем функции:

V+(Z) - AiVi(Z), |Z|< r,

*(o = < _(i.i2)

Bir2[Ti(cr2VHr70-rç-(0, ICI > r,

v+(Ç) - B2R2[T2(0} -v2(R2/0, ici < R, , ^

A2V2(Z) - v-(Z), 1Сl> R.

Функция (1.12) голоморфна в области S*. Ввиду (1.6), (1.7) она голоморфна и в области {с : |с| > >"}• из (1.9), (1.11) вытекает непрерывность Ф(£) при |z| = г. Следовательно, исследуемая функция голоморфна в расширенной плоскости C. На основании теоремы Лиувилля, (1.7) и (1.11) Ф(с) = Ф(1) = Vj~(l) = О-

Аналогично, Ф(с) G W(C), и из теоремы Лиувилля и представлений (1.7), (1.11), (1.13) следует Ф(С) = Ф(1) = V+(1) = V,. Итак.

V+(Z ) - Al Vi (С ) = 0, |С| < r,

V- (Z) - Bir2 [Ti(Z)] Vi(r2/Z) = 0, |Z| > r,

(1.14)

v3+(c) - в2д2[т2(сг2^(д2/с) = Va, ici < R, A2V2 (Z) - V- (Z) = Vo, |Z|> r.

Исключая из первой пары уравнений (1.14) функцию V (Z), а из второй - функцию V2 (Z)

Т2(Г\ -—

- УЦг2/0 = о,

v+(c)-a2

r2

PMZ)]:

7V3-(RyC)=Va + A2

д2

[T2(Z )]■

IZI < r, т%, ici<r-

(1.15)

При выводе последних соотношений и в последующем полезно учитывать вытекающие из (1.7) тождества

•'•2[t\(r2/z)r2 = r-2[ti(z)]2, R2[T2(R2/Ç)}-2 = д-2рж)]2.

Исключая V— 113 (1-15), получим

Г> 2 / 1 _ А

v3+(z) = vi + vi д2 ttttttvPt +9S1

(1.16)

[T2(Z )]2

izi < R, (1.17)

где

g = r2/R2 < 1; ¿=Д1Д2, |<5| < 1.

(1.18)

Последовательно заменяя в (1.17) ^ на д^ ^ ] = 1, 2,..., придем к бесконечной системе, исключая из которой V!+(gZ), ), • • •, после N шагов найдем

N

V+(Z) = (1 - Z)2Е

j=0

Vo

A2R2VO

(1 - 9jz)2 (gjz - r2)2

rN (z),

(1.19)

где rw(z) = (g£)N+1[(1 - Z)/(1 - gN+1Z)]2V3+(gN+1Z) стремится к нулю при N ^ ^ ж, а сумма дает в пределе ряд, равномерно и абсолютно сходящийся, так как в силу (1.18) абсолютно сходится мажорирующий его ряд с общим членом

|Vo| ((1 - gR)-2 + |Д2|(Д - g)-2)2 ).

Таким образом, при N ^ то из (1.19) следует

V+(Z) = Vo +

A2R2VO

m z)]2

+ (W)2£ W

j=1

V0

+

A2R2VO

(1 - gj Z)2 (gj Z-R2)2

(1.20)

Из первого уравнения (1.15), (1Л6) и (1.20) находим

У0 , Агг2%

(1.21)

.(С - д*)2 (С - г2д*)2.

С помощью (1.20). (1.21) решение задачи (1.9). (1.10) выписывается по формулам

VI(О = У+(С)Мь у>(с) = (V + у3-(С))/А, Уэ(0 = v3+(C) + У-(С),

вытекающим из (1.11), (1.14). Справедлива

Теорема 1. Задача (1.1), (1.2) безусловно разрешим а, если р* = 0, ж и р* = рт при ] = т, = 1, 2, 3. Ее единственное решение «(г) = V* (г), г € Б*, имеет вид

гф) = (1 + ДО (У0 +Ш2г^-11Г2 +

гф) = (1 + Д2) (У0 + У0Агг2ф2 + аф)), (1.22)

гф) = У0 +%(Агг2^-2 + Афф-1г)-2) + аф) + аф),

аф) = (Ь-а)2^{У0А^/(г-Ь])2 + А2У0А*у/(г-Ь2)2), *=1

(1.23)

аф) = (Ъ-а)2]Г^ (УЛу/^-а})2 + Д^Лщ/^-а2)2), *=1

где 6 = Д1Д2, д = г2 /К1,

а] = Т (д*), а2 = Т (г 2д*), б] = Т (д-*), б2 = Т (Д2д-*), (1.24)

Ли- = х(д*), Л2* = х(г2д*), Л2* = х(Д-2д*), = х/(1 - х)2, (1.25) о остальные параметры определяются по формулам (1.4)-(1.6).

Доказательство. Доказательство теоремы сводится к простому счету по формулам (1.20), (1.21), (1.4). При этом последовательно показывается, что

д*(1 - С)2 д* (Ь - а)2

(1 - д*С)2 (1 - д*)2 (г - Т(д-*))2 :

д3'(1-С)2= д3' (Ь-«)2 (С-^)2 (1-^)2(^-Т(^))2'

Д2д*(1 - С)2 _ Д2д-* (Ь -

а)2

(Д2 - д*С)2 (1 - Д2д-*)2 (г - Т(Д2д-*))2 '

гУ( 1-С)2 _ гУ (6 - а)2

(С-гУО2 ~ (1-гУ)2 (^-Т(гУ))2'

Ввиду (1.4), (1.7) имеем Д2/[Т2(С)]2 = »•§/(* - /г)2, / (С)]2 = г2/^2, что и приводит к формулам (1.22) (1.25). □

Замечание 1. Решение задачи (1.1), (1.2) с вещественными коэффициентами (0.2) выписывается по формулам (1.23) (1.25), над всеми элементами которых (кроме Уо) надо убрать знак комплексного сопряжения.

Замечание 2. В вырожденной ситуации (р\ = р2 = рз) из (1.23) следует ) = = Уо.

Замечание 3. При р2 = р3, в2 = в3 го (1-3), (1.18) следует Д2 = 0, 3 = 0, А2 = 1. Соответствующий предельный переход в формулах (1.23) приводит к хорошо известному решению задачи о круговом включении.

Замечание 4. Из (1.18). (1.24) и свойства сохранения симметричных точек следует, что, во-первых, точка а является предельной для последовательностей {а1,2 , а к точке Ь сходятся обе последовательности {Ь1'2}^; во-вторых, первые две последовательности являются монотонно возрастающими, а две другие монотонно убывающими, причем а1 < а?, Ь1 > Ь2; в-третьих, точки четырех перечисленных семейств симметричны друг с другом относительно окружностей 71, 72 . Именно.

(а])1 = Ь2_ 1, (а1)2 = Ь2, (а*)! = Ь], (а2)! = Ь^, где введено обозначение (с)^ для точки, симметричной с точкой с относительно окружности 7^. Последние соотношения с учетом равенств а^ = <, а" = 0, Ьд = = Ь2 = Н дают а1 = г2/Н, а2 = Нг2/(Н2 — г2), Ь1 = (к2 —г2)/Н, Ь2 = Н —Нг2/(Н2 — -г2),...

Замечание 5. Из всех предельных возможностей (р^- ^ ^юш <) рассмотрим лишь две: идеально проводящее «кольцо» $3 и случай абсолютно непроводящих включений $1, $2 для вещественных коэффициентов (1.3) (в = 0, = 1, 2,3).

р2 = 0 р1 = р2 = < А1 = А2 = < Д1 = Д2 = —3 = — 1. Ввиду (1.22), (1.23) ^(г) = у2(г) = 0, а соответствующая функция -3(г) дает решение задачи об обтекании двух непроницаемых круговых цилиндров.

Замечание 6. На практике при вычислении функций (1.22) приходится ограничиваться отрезками из первых N — 1 членов рядов (1.23). Пусть (г) — соответствующее приближенное решение, а г^(г) = у-(г) — (г), тогда

|,Г1ЛгМ| < ,|Агдг-1г2 Ш г22/г-2+д|А2|

<г» (1-26)

|А21 (1 — |3|з)(Н — Г2 — а)2

1 — |3|g V(1 - g)2 (b - a)2

Первые две оценки (1.26) являются следствием неравенств

min |z — b1,2| > b — ri, min |z — a1,2| > h — r2 — a, (1-27)

zeSi j zeS2 j

^ Л2^ ^ ^ ± ¿W^jS' (L28)

справедливых в связи с замечанием 4 (см. рис. 1, а) и соотношений (1.6), (1.18), (1.25). Чтобы получить оценку для |r3N (z)|, надо доказать, что

( 1 1 A 8gj

М} = Л у max ( --— + --— ) <

j y\z-а)|2 (1-<?)2(Ь-а)2'

М2 max f 4- <r g3H|Al|+rj|A2|)3

Mi S I - a212 + - b212 J < |3| (b - a,r

Стандартным образом доказывается, что максимум

(С Б \ (С + Б)3 ,

Ма = тах ( --^ + 1-ш = —'— 1.29

^ейз \ |г - а|2 |г - в|2/ СБ(в - а)2

при выполнении условий С > О, Б > 0, 0 < а < а, Ь < в < Н, достигается в точке х0 = (Св + Ба)/(С + Б), (а < х0 < в). Остается лишь учесть, что Ь] — а] > (Ь - а)) и Ь2 — а2 > Ь - а для всех у > 1.

Рассмотрим задачу (1.1), (1.2) для структуры, изображенной на рис. 1, Ь. Здесь Б2 = {г : Ие г > с > г1} , Б3 = {г : |г| > г1, Ие г < с}, а, Б1 - круг радиуса г1 с центром в нуле. Дополнительное условие (1.2) в данном случае задается на линии раздела компонентов Б2, Бз, этот факт требует внесения некоторых изменений в ранее проделанной цепочке построений. Именно, если положить Н = с + Г2 и рассмотреть предел при г2 ^ то (при таком предельном переходе изученная выше структура переходит в рассматриваемую), то вместо второго условия (1.1) получится

гф) = А2гф) + В2гф), * € 72 = {* : 11е* = с}. Из соотношений (1.5), (1.6), (1.7) при этом следует

а,Ь = с ту с2 - г2 , г = ^с -у/ с2 - г2^ /гъ Е = 1, Т2(С) = 1.

С учетом последних равенств доказывается справедливость представления ф(с) = = ^2^2(1) = Уо ~ В2У2(1) для функции (1.13), а значит УЬ(1) = (А2У~о — —ВоУо)/(\Ао\2 — ¡Во]2)- Таким образом, в силу (1.3), (0.3) имеем

ф(0 = А2(А23У0 + В23Щ. (1.30)

Учитывая то, что д = г2 , в силу определения (1.18), из (1-24), (1.25) при Н = с + г2 и Г2 ^ то найдем

а1 = а2-1 = Т (г-2° ) = 0,3, Ь] = ь2 = Т (г-2° )= Ьц, ^ = (^-1)! = (Ьц У2,

Лц = Л23-1 = Л2з = г23(1 - г23)-2 = Лц < г2г2Ц-1)/[4(с2 - г2)].

С помощью последних двух групп соотношений требуемое решение может быть выписано по формулам (1.22), (1.23), в которых надо заменить \а на выражение, стоящее в правой части тождества (1.30). При этом сумма У) + Д2К3 должна заменяться па У0. Тем самым доказана

Теорема 2. Для гетерогенной структуры, изображенной на рис. 1, Ь, решение задачи (1.1), (1.2) при рц = 0, то и рц = рт (] = т) имеет вид

г'1 - = -1-У.*3-,-

А1 А1 (г - Ьз)2

_4(с2 _г2) 00 д . гф) = А23У0 + В23У0 + У0 - ^ ¿У —(1.31)

У ^ , Л о Ло

,з(,) = Уо + 4(с2 —г2)< £ Е^Т-Ь + У^те

Д2 (г-ац)2 (г-Ьц)2

Для остаточных членов рядов (1.31) справедливы оценки

mW r2(N-1)

|Vo|r2 _ |Vo|r2 „ _ |Vo|r2 (1 + |Д2|)3

(1.32)

С1 ШР-п)*' °2 |В2|(с2-г2)' Сз (С2-Г2) |Д2|2 •

Неравенства (1.32) легко устанавливаются с помощью (1.29).

Предельная ситуация, когда расстояние I = Н — г 1 — г2 ^ 0, приводит к случаю касающихся круговых включений Б 1, $2 (рис. 1, а), или кругового включения $1, примыкающего к полуплоскости Б2 (рис. 1,6).

Имеет место

Теорема 3. Задача (1.1), (1.2) в случае касающихся круговых включении (Н = = г1 +г2) имеет при р^ =0, то и р^ = рт при ] = т, у, т =1, 2,3, единственное решение у(г) = (г), г € Б^, ] = 1, 2, 3:

гф) = (1 + Дх) (У0 + %А2г2ф - И,)-2 + аф)) ,

гф) = (1 + Д2) (У0 + УДгф-2 +а2(г)) , (1-33)

гф) = У0 + У (Дггр-2 + ~К2гф - К)~2) + аф) + аф),

22

ж

„ _ ПЧ V ÖJ / ^о , д Vofaj

( Уо I Т Vobj \

h2 j2 \(z-a)r + ^-a2)2 у

(1.34)

где6 = А1А2, T(Q = гф + 1)/(C - 1), g, = 2j(ri/r2 + 1),

Ajj = f ri+?'2 / У, ф=( ri+?'2 / У, (1.35)

\Г2 + ri + Г2/^ Vr2 + Г1 + ri/j /

a] = T(1 - gj), a2 = T(-1 - gj), 6] = T(1+ gj), 62 = Tj - 1). (1.36)

Доказательство. Решение (1.33), (1.34) проще всего получить предельным переходом при h ^ r1 + r2 (/ ^ 0) в формулах (1.22)—(1.25). При этом из (1.5), (1.6), (1.18) следует: a, 6 ^ ri, r, R ^ 1 и g ^ 1. Далее, с учетом (1.6) можно установить, что

lim а] = lim —-— = lim (b-\--:-- ] = ?'i — 1

i^o j i^o gj - 1 i^o \ gj - 1j j(r1 + r2)

lim b] = lim-— = lim (a-\--г ) = ri + 1

i^o j i^o 1 - gj i^o\ 1 - gj / j(r1 + r2)'

Аналогично

lim о2 = ri —---—, lim b2 = ri + —--г—.

i^o j j(r1 + r2 + r2/j) i^o j j(r1 + r2 + r1/j)

С помощью найденных четырех пределов после элементарных преобразований нетрудно прийти к представлениям (1.36). а также к следующим равенствам:

Ипо[(Ь - а)2 Л у ] = .-2 [Г1Г2/(Г1 + Г2)]2, иш[(ь - а)2Л2у] = [Г1Г2/(Г1 + Г2 + Г2/.)]2,

11ш[(6 - а)2Л2у] = .-2 [Г1Г2/(Г1 + Г2 + Г1/.)]2.

Последним завершается доказательство теоремы, так как формулы (1.33) (1.36) с очевидностью теперь вытекают из (1.22) (1.25). □

Теорема 4. Если круговое включение расположено на границе сопряжения двух полуплоскостей, то единственное решение задачи (1.1), (1.2) имеет вид

V) . V) А ^

¿1 ' ¿1 .2 (г - Ьу)2'

т г ОО -¡0 9

— У0 д Г1

ЪЫ = + + =- ^ -_1—, (1.37)

V 00 ,,2 00 М ,„2

- ч ЛТ ^0 " Г1 тг " Г1

^ ^ + А; § ? (7^)2 + Е "2 (ГЗ^

где 6 = А1Д2, о,- = - /ч/^', = + »ч/:/.

Доказательство. Справедливость представления (1.37) устанавливается путем предельного перехода при г2 ^ ж в формулах (1.33)—(1.36). При этом точно так же, как и при получении решения (1.33) из (1.22), надо заменить V) та константу, стоящую в правой части равенства (1.30), а \а + Ао\о па \а. Заметим, что к решению (1-37) можно также прийти, если устремить к Г1 величину с в формулах (1.31). □

Ясно, что первые четыре замечания к теореме 1 в полной мере относятся и к теоремам 2 4. Отмстим также

Замечание 1. Остаточные члены рядов (1.33), (1.37) оцениваются просто, так как, очевидно, каждое слагаемое этих рядов достигает своего максимума (по модулю) в точке z = Г1. С учетом (1.35), (1.36) получим оценки

,|ДГ|Уо| (1 + |А2|) „ шДг|Уо| (1 + |А!|)

Ы(*)1 < \srhn ' ш . < Н

I¿11 (1 -И) ' 14 л- 11 |в2| (1 -

|ЛГ|1Л|2 + |Д1| + |Д2|

(1.38)

(1 -И)

для решения (1.33) и

N , , |V)|

для решения (1.37).

(1.39)

Замечание 2. Рассмотрим решение (1.33), предварительно заменив в нем г на г + гх, в вещественном сл у чае (в = 0, з = 1, 2, 3), тогда рх = р2 = го. На основании соотношений (1.33) (1.36) решением задачи об обтекании двух непроницаемых цилиндров, касающихся друг друга в начале координат, будет

j

где в = r2/(ri + r2).

К решению (1.40) можно прийти и другим путем. Ясно, что в рассматриваемой ситуации граница области S3 будет линией тока: ^(z) = c = const, (w(z) = y(z) + i^(z) - комплексный потенциал равномерного на бесконечности потока с заданной главной частью, равной V0z). Искомый комплексный потенциал может быть получен с помощью соответствующего конформного отображения:

< \ 7г6>Г1 / sin[7r6>(ri/z + l)] — sin^n/z) М-2) = --п v0-. , „-1—,--Ь Vo-

siny sin(n0ri/z) sin[n0(ri/z + 1)]

Соответственно,

,3(z) = Mil = f^l)2 ___^_) . (1.41)

V ' dz \ Z J Vsin2(7Tвп/z) вт2[пв{Г1/г + 1)])

Отсюда, в частности, при r1 = r2 = r получим

v3{z) = (yrr/(2z))2 (Vo cosec2\kv/{2z)\ - %sec2[7rr/(2z)]) .

В силу теоремы единственности решения (1.40) и (1.41) совпадают. Из (1.41) следует, что при z ^ 0 го области £3 предел функции v3(z) существует и равен нулю.

Для идеально проводящих включений (pi = p2 = 0) соответствующие решения в области й'з будут отличаться лишь знаком перед Vo от тех, что выписаны выше, так как здесь Д31 = Д32 = 1. Так, например, когда внешний поток ориентирован перпендикулярно оси, проходящей через центры включений (Vo ~ i Vo, Im Vo = 0), соответствующий комплексный потенциал выглядит особенно просто

w(z) = inrVO cosec(nr/z).

Последний результат совпадет (если развернуть плоскость z на угол п/2) с полученным в [22].

Замечание 3. Рассмотрим аналогичную предельную ситуацию для структуры, отличающуюся от изображенной на рис. 1, Ь поворотом системы координат на угол —п/2 и переносом точки касания областей £1, S2 в начало координат. Соответствующим образом видоизмененные формулы (1.39) в этом случае дадут решение задачи гидродинамики об обтекании круглого непроницаемого цилиндра, лежащего па непроницаемом основании. Именно, после замены z — ri на i z, Vo на i V0, v(z) na iv(z), из (1.37) в пределе при p1;p2 ^ те и в = 0, j = 1, 2, 3, получим

V3(z) = Vo — Vor2^ [(zj — iГ1)-2 + (zj + in)-2], (1.42)

j=1

Vo

ствеииой.

ь

Ь - Г 2 1 Ь 0 Уг1

72^- Г1

Рис. 2. Асимметричпое кольцо

Точно так же, как и выше, к решению (1.42) можно прийти, построив комплексный потенциал соответствующего течения [20, с. 173]

ад(^) = Уопгх соШ (пгх/г).

Отсюда

«з(г) =

ёш(^)

(Ь

= V)

■ БшЬ

ПГ1

ПГ1

(1.45).

В том, что решения (1.42), (1.43) совпадают, легко убедиться с помощью известного [21, с. 392] представления функции соШ г в виде суммы простых дробей.

Начало координат, как следует из (1.42) и (1.43), является точкой сгущения полюсов, а значит, предел «3 (г) при г ^ 0, вообще говоря, неопределен. Однако, если устремить точку г к нулю из области £3, то есть по путям, касающимся вещественной оси, то па основании представления (1.43) находится «з (0) = 0.

Следует отметить, что в работе [22] ошибочно утверждается, что приведенный в этом замечании комплексный потенциал соответствует случаю обтекания двух круговых цилиндров.

8

3

8

2. Задача об асимметричном кольце

В этом разделе будет получено решение задачи (1.1), (1.2) для внутреннего расположения окружностей 71, 72 как в некасательном (рис. 2, о), так и в касательном (рис. 2, Ь) случаях. Пусть для определенности, как и раньше, £1 = {г : |г| < г1|, а во = {г : — 1г\ > /'2}, причем здесь 1г < 0, Ь + го > г 1, й'з асимметричное кольцо си^и^з}. В данном случае задача (1.1) будет решаться при дополнительном условии

V) (2.1)

вместо (1.2). Справедливо следующее утверждение

(1.1) (2.1)

раженной на рис. 2, а, в непредельных ситуациях может быть записано в виде

где величины aj = a2, bj = bj и Ay, À2j- определяются соотношениями (1.4), (1.24) и (1.25) соответственно.

Доказательство. Доказательство высказанного утверждения в целом повторяет доказательство теоремы 1. Остановимся лишь на отличиях. Для точек a G Si, b G S2 , симметричных относительно обеих окружностей 71, 72 , в рассматриваемом случае получим то же представление (1.5), но здесь следует брать знак «плюс» пе-ab S3

ляемыми по формулам (1.5), (1.6). В отличие от предыдущего, эти радиусы будут связаны соотношениями 0 < r < R < 1. При переходе к задаче (1.9) вместо дополнительного условия (1.10) получается V2(1) = V0. Представление (1-11) для функции V3 (Z) берется со старой нормировкой V—(1) = 0 (естественно, что теперь значение К+(1) выбранной нормировкой не определяется, можно лишь сказать, что оно ограничено). Рассматривая функции (1.12), (1.13), можно доказать, что Ф(С) = 0, а Ф(С) - полином второго порядка относительно (С — R2)-1. Чтобы определить коэффициенты этого полинома, надо переписать второе условие (1.9) в эквивалентной форме

V2(t) = A23V3{T) + B23R2[T2{T)]-2Vf7), теГ.

С помощью последнего равенства, теоремы о непрерывном аналитическом продолжении и обобщенной теоремы Лиувилля легко доказать, что функция

г A23v+(0 + B23R2[T2(0]-2v3-(R2/0, |с|<д,

W(z) = { _

{ v2(C) - a23v3-(о - b23r2[t2(C)]-2v+(r2/c), ici > R

голоморфна в расширенной плоскости и с учетом (1.7), (2.1) тождественно равна V2 (1) = Vo. Если исключить го двух полученных таким об разом тождеств V+ , то с учетом второго тождества (1.16), обозначений (1.3), (0.3) можно получить

Ф(0 = a2v2(C) - Vf (С) = a2v0 - b2r2[t2(Ç)]-2vô.

Vo

ние, стоящее в правой части последнего равенства) функции V1, V2 , Vf , относительно V3+ придем к функциональному уравнению

К+(С) = V0A-31 + g3 [(1 — с)/(1 — gZ)]2 V3+(gC), 1СI < R. Решение выписанного уравнения имеет вид

сю

V+(C) = (V0/A23) $>g)j [(1 — С)/(1 — gjС)]2,

j=0

где для g сохранены старые обозначения (1.18). Далее, с учетом соответствующим образом видоизмененной системы (1.14), последовательно находятся V3-, V1, V2 и V3. Возврат в плоскость комплексного переменного z приводит к решению (2.2). □

Замечание 1. Для остаточных членов рядов (2.2) справедливы оценки

И* дм-1

1 1^231^(6-Г1)2' 2 И2з|(г2 + /г-а)2 '

(2.3)

|УИ (1 + |А!|)3

'3 (с2 -г1) (1 -з)|А1|'

При получении последней из этих трех оценок используется очевидное неравенство

Л2ц = г2дц/(1 - г2дц)2 < д3/(1 - д3)2 = Лу < д3/(1 - д)2 и соотношение (1.29).

Замечание 2. Можно показать, что при Н = с - г2 и фиксирован ном с решение (2.2) в пределе при Г2 ^ то дает решение (1.37), если предварительно, в соответствии с разницей в нормировке (1.2) и (2.1), заменить Уо на А23У0.

Для структуры, изображенной на рис. 2, Ь, имеет место

Теорема 6. Задача (1.1), (2.1) для рц = 0, то и рц = рт при ] = те случае внутреннего касания окружностей 7ь 72 имеет единственное решение вида

= -ПГ- \ ! +

A1Ä23\ (Г2 - ri)2 j2 (z - bj)2

VpA^A^ VQ A.31 ri rH f^ A3

2,„2 00

^ л ^ V0A31 r2 r2r2 ^ j

где T(Z)= ri(Z +1)/(Z - 1) «

Лд = [(r2 - ri)/(r2 - ri + r2/j)]2 , (2.5)

aj = ri9j/(2 + 9j), bj = ri(2 + 9j)/9j, 9j = 2j(1 - ri/r2). (2^

Доказательство. При l = h + r2 - r1 ^ 0 в пределе получим a, b = r1, r, R = 1 и 9 =1.C учетом соотношений (1.6), (1.25) последовательно доказываются равенства

(b - a) 2 9j 1 b - a 2 1 ri r2

lim[(6 - а) Лу] = lim ^-= — lim ' * - '

1^0 J 1^0 (1 - 9j)2 j2 1^0 \ 1 - 9) j2 \r2 - r1

1 • т b - a9j у ( . b - aA . rir2 lim = lim —-— = lim ( а + --- ) =r 1 + —

г^0 j г^0 1 - 9j 1^0 \ 1 - 9^ j(r2 - r1)'

lim[(6 - o)2Aoj] = lim (ib^f = -I f-'-H-V

br29j - a о 1 - 9j rir2 lim a,j = lim —г—:- = r{ lim --г = ri —

1^0 j 1^0 r2 9j - 1 1 1^0 b - a9j j (r2 - r1)'

Утверждение теоремы устанавливается предельным переходом в формулах (2.2) с помощью найденных соотношений. □

Замечание. Из (2.5). (2.6) следует

Л3 < 1 V? > 1, Г1 - а = Ъ^ - Г1 = Г1Г2/Ь'(Г2 - Г1)]

и для остаточных членов решения (2.4). максимум которых, очевидно, достигается в точке Г1, имеет место оценка

где ¿з - символ Кроппекера.

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (проект Л- 06-01-81019-Бел-а).

Summary

Yu. V. Obnosov. Solution of a problem of a seepage fields distribution into infinite porous massif with two circular inclusions.

A closed solution to the problem on 2-D seepage flow in a heterogeneous three-component, porous medium is presented. The medium is composed of an infinite matrix and two isotropic circular inclusions, placed in the medium without intersections of the corresponding circumferences. The limiting cases of touching circumferences as well as the degeneration of one circumference into a straight line are studied. The solutions are obtained in the form of infinite series, whose convergence is investigated and the truncated terms are estimated. Summation of the series is carried out in the form of elementary functions for the limiting cases when the inclusion hydraulic conductivity is 0 or to .

Литература

1. Полубарииооа-Кочииа П.Я. Теория движения грунтовых вод. М.: Наука, 1977. 664 с.

2. Budiansky В., Carrier G.F. High shear stress in stiff-fiber composites // J. Appl. Meeli. 1984. V. 51. P. 733 735.

3. Goree J.G., Wilson H.B. Transverse shear loading in an elastic matrix containing two circular cylindrical inclusions // J. Appl. Meek. 1967. June. P. 511 513.

4. Dhondt G., Kühl M. On the force between a dielectric cylinder in a constant electric field and a conducting half space // Quart. Appl. Math. 1997. V. 55, No 2. P. 337 359.

5. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Электрическое поле в слоистом круговом включении с эффектом Холла // Техн. электродинамика. АН Укр. 1987. Л' 3. С. 3 8.

6. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Взаимное влияние неоднородных включений в полевых задачах дисперсных сред // Докл. АН УкрССР. Сер. А. 1988. Л' 2. С. 74 78.

7. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Краевая задача для слоистого пекопцептрического кругового включения при анизотропной проводимости среды // Техп. электродинамика. АН Укр. 1988. Л» 1. С. 3 7.

8. Емец Ю.П., Обносов Ю.В. Точно разрешимая задача о взаимном влиянии включений в теории гетерогенных сред // ПМТФ. 1990. Л' 1. С. 20 29.

9. Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Оиофрийчук Ю.П. Взаимодействие между касающимися круговыми диэлектрическими цилипдрами в однородном электрическом поле // ЖТФ. 1993. Т. 63, 12. С. 12 24.

10. Емец Ю.П., Обносов Ю.В., Оиофрийчук Ю.П. Электрические силы в диэлектрическом двухслойном цилиндре с пекопцептрическим расположением слоев // ПМТФ. 1996. Т. 37, Л» 1. С. 3 14.

11. Kacimov A.R., Obnosov Yu. V. Minimization of ground water contamination by lining of a waste repository // Proc. Indian Nat. Sci. Acad. A. 1994. V. 60, No 6. P. 783 792.

12. Steif Paul S. Shear stress concentration between holes // J. Appl. Mecli. 1989. V. 56. P. 719 721.

13. Ролузuu P.M. Решение основных плоских задач математической физики для случая уравнения Laplace'a и мпогосвязпых областей, ограниченных окружностями (метод функциональных уравнений) // Матем. сб. 1934. Т. 41, Л' 2. С. 236 276.

14. Голувии Г. A4. Решение плоской задачи теплопроводности для мпогосвязпых областей, ограниченных окружностями, в случае наличия изолирующего слоя // Матем. сб. 1935. Т. 42, № 2. С. 191 198.

15. Мштошеа В.В. О решении общей краевой задачи линейного сопряжения для нескольких концентрических окружностей // Рукопись предст. ред. журп. «Весц! АН БССР». Деп. в ВИНИТИ 29.04.83, № 2279-83.

16. Mityushev V. V. Plane problem for the steady lieat. conduction of material wit.li circular inclusions // Arch. Mech. 1993. V. 45, No 2. P. 201 215.

17. Mityushev V.V. Transport properties of double-periodic arrays of circular cylinders // Z. angew. Math. Mech. 1997. V. 77, No 2. P. 115 120.

18. Обиосов Ю.В. Фильтрационная рефракция па полукруговой литое, сопряженной с двумя пористыми массивами // ПММ. 1998. Т. 62, Вып. 5. С. 810 824.

19. Михайлов JI.P. Новый класс особых интегральных уравнений и его приложение к дифференциальным уравнениям с сингулярными коэффициентами. Душанбе, 1963. 183 с.

20. Милн-Томпсон JI.M. Теоретическая гидродинамика. М.: Мир, 1964. 655 с.

21. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного. М.: Наука, 1987. 688 с.

22. Ярлшцклт А.Г. Фильтрационная теорема о двух окружностях // Изв. АН СССР. МЖГ. 1986. 4. С. 76 82.

Поступила в редакцию 14.04.06

Обносов Юрий Викторович доктор физико-математических паук, профессор, заведующий кафедрой дифференциальных уравнений: ведущий научный сотрудник отдела математического анализа НИИ математики и механики им. Н.Г. Чеботарева Казанского государственного университета.

Е-шаП: Уигп.ObnosovQksu.ru