Решение задачи о колебаниях жидкости в полостях вращения методом прямых Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И 1970 “

№ 3

УДК 629.76.036.063.6

621.431.37 : 534.131.2

РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О КОЛЕБАНИЯХ ЖИДКОСТИ В ПОЛОСТЯХ ВРАЩЕНИЯ МЕТОДОМ ПРЯМЫХ

И. В. Колин, В. Н. Сухое

Приводится решение задачи о колебаниях жидкости в полостях вращения методом прямых. Дается оценка точности метода и его сходимости. Приводится сравнение результатов расчета по методу прямых с результатами расчета вариационным методом.

Исследование колебаний жидкости в полостях необходимо для анализа устойчивости возмущенного движения летательных аппаратов, имеющих на борту большие массы жидкого топлива [1], [2]. Для решения этой задачи в случае произвольных полостей, частично заполненных жидкостью, широко используются вариационные методы [3] — [5]. Быстрота сходимости и, следовательно, точность решения задачи определяются рациональным выбором системы координатных функций, в ряд по которым раскладывается решение. Для каждой формы полости эта задача должна решаться особо.

«Как правило, наилучших результатов можно ожидать от системы гармонических функций, удовлетворяющей помимо условия полноты максимальному количеству граничных условий. Поэтому требование универсальности и максимальной стандартизации алгоритма счета находятся в известном противоречии с требованием максимального учета индивидуальных свойств полости» *.

В настоящей работе для решения задачи о колебаниях жидкости используется одна из разновидностей конечно-разностного метода — метод прямых. Преимуществом этого метода по сравнению с вариаци* онным является непосредственное удовлетворение граничных условий на свободной и смачиваемой поверхностях. Поэтому предлагаемый метод является универсальным, пригодным для произвольных гладких полостей вращения и полостей вращения, разделенных сплошными перегородками.

Численная реализация алгоритма конечно-разностного метода на ЭЦВМ также значительно упрощается, поскольку уравнение частот записывается в явном виде. Сравнение результатов расчета методом прямых с результатами расчета другими методами показывает высокую точность предлагаемого метода.

* Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., «Машиностроение», 1968, стр. 182.

§ 1. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОТЕНЦИАЛОВ СКОРОСТЕЙ И ЧАСТОТ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ

Задача о собственных колебаниях жидкости в полости вращения формулируется следующим образом [3]:

г2 д2<? , г&9_ і д2'? і .« д2(?

дг дг? ^ дх2

/ ^ _ ш2 ф = О

■' ОХ ‘

ду

дп

:0 В т;

на 2; на 5,

(1.1)

(1.2)

(1.3)

где ср —<р (г, 1), х) — потенциал скоростей жидкости;

г, •»), х — цилиндрические координаты (см. фигуру); т — объем, занятый жидкостью;

£ — невозмущенная свободная поверхность жидкости; 5 — смачиваемая поверхность полости; ш — собственная частота колебаний жидкости; у — напряженность поля массовых сил; п — орт нормали к смачиваемой поверхности полости.

Фиг. 1

Для полостей вращения потенциал ср можно искать в виде

9(і", "Ч, х) = соэ тт[ Ф (г, X), (1.4)

где т принимает значения т = 0, 1, 2,..., равные числу волн по окружности при колебаниях жидкости.

Уравнение Лапласа (1.1) для функции Ф (г, х) имеет вид

^ + + (1-5)

73

Условия на 2 и 5 преобразуются следующим образом:

,<?Ф

дх

дФ

~дГ

соэа-

(О2Ф=0 дФ

дх

при х — 0; на т,

(1-6)

(1.7)

где т — образующая полости,

а — угол между направлениями г и п.

Для приближенного решения задачи (1.5), (1.6), (1.7) применим метод прямых. Рассмотрим сечение т вертикальной плоскостью, проходящей через ось Ох. Пусть Я — ОА — радиус максимального поперечного сечения полости с жидкостью. Разделим /? на п + 1

равных обрезков длиной Дг = п'_^\ • Через точки гк = £Дг, 0 проведем вертикальные прямые, параллельные оси Ох. Эти прямые пересекают образующую ? в точках (гк, — хк). Значение потенциала скоростей вдоль к-й прямой обозначим Ф* = Фк(гк, х), а угол между направлением г и нормалью в точке (гк, — хк) через а*. В уравнении Лапласа (1.5) производные по г первого и второго порядков заменим разностными соотношениями

дФ

дг

= (Ф*+1 —Ф*_0(2 Д г)~

д2 Ф

(1.8)

(1.9)

Тогда (1.5) преобразуется следующим образом:

г2(Дг)-2 +

2 Дг г\ (Дг)”*

ФА_1 - [/га2 + 2 г2 (Дг)-2] Ф* + . гь '

'к

2 Дг

Ф

А+1

где

А ф*

Ф = ■- *

* ЦхГ

(1.10)

(1.11)

Условия на свободной и смачиваемой поверхностях заменяются условиями в дискретном числе точек

<ЭФА

дх

О)2 Фк = 0

при л; = 0, (1.12)

дФ„

(Ф*+1 — Ф*_1) (2 Дг)-1----------------^^“* = 0 на т-

(1.13)

В дальнейшем ограничимся рассмотрением полостей, у которых свободная поверхность совпадает с максимальным поперечным размером полости. Обобщение на случай произвольной полости не представляет труда, но сопряжено с громоздкими выкладками. Общее число неизвестных Фк, связанных п уравнениями типа (1.10), равно я+ 2. Лишние переменные можно исключить, исходя из следующих сообра-

жений. Для антисимметричных колебаний жидкости в односвязной полости, представляющих наибольший практический интерес,

Ф0(0, *) = 0. (1.14)

В точке А контакта свободной поверхности со стенкой полости должны одновременно выполняться условия (1.6) и (1.7), что эквивалентно условию

дФ ~дТ

!(й2у і<Е^а„+і при г = /?, л; = 0.

(1.15)

Если в полости есть цилиндрическая вставка, дФ

дг

= 0 при г = Н. дФ

(1.16)

Для замены производной в соотношении (1.15) можно использовать следующие конечно-разностные соотношения:

• дФ Фп+1 - Ф„

дг ~~

Д г

- 0 (Дг),

дФ

~д7

Ф

я+1

4 Л 1 Л 3 „ 3 Ф«-і

(1.17)

(1.18)

2 Дг

• 0 (Дг2).

Для расчетов с повышенной степенью точности, особенно при выполнении условия (1.16), целесообразно использовать соотношение (1.18). Принимая во внимание (1.15) и (1.17), имеем

Фп+1=®п[\-<»2ПЪП%*п+1]-\ (1.19)

Аналогичные соотношения можно использовать в случае двусвязных полостей. Исключая Ф0 и Ф„+1 , систему дифференциальных уравнений (1.10) можно записать в следующей матричной форме:

ЛФ +ВФ = 0, (1.20)

где

ф =

ф,

В=УУ,

(1.21)

V-А ■

•диагональная матрица, элементы которой равны гй; трехдиагональная матрица:

с\

Я1 СІ ^2

Чч С% й3

(1.22)

Яп-1 Сп

Здесь

тг

+ 2г<(Д г)"»

+ 2гп(Дг)"

, /= 1, 2.....................(я — 1);

+ [гл(Дг)-2 + (2ДгГ]Х

X [і — (о2;-1 &.г\%*п+1 ]-!,

йг

п

Гі+1 Ті -)- 1

(Дг)3 ' 2Дг ’ 9і (Дг)2 2 Д г '

Для двусвязных полостей

яг

Г1 (Дг)

,-2

+

Г, (Дг)-

1

2 Дг

Уравнение (1.20) удобно преобразовать к виду

Л°Ф°-(-Ф<>=0,

[1 +<в2У 1 ДМ£ал+і ]

(1.23)

где

фо = уо ф Л0= ( уо)-х А ( уо)-1 .

V0 — диагональная матрица, элементы которой равны у гк . Частное решение (1.23) будем искать в виде

Ф° = СеХх К°,

где С—произвольная константа,

X — неизвестная величина,

К° — неизвестный вектор.

Подставляя (1.24) в (1.23), получим:

(Л° + 1*Е)СК° — 0,

(1.24)

(1.25)

где Е — единичная матрица.

Нетривиальное решение однородной системы (1.25) соответствует тем >ч, которые являются корнями характеристического уравнения .

|Л°+Х2£-| = 0. (1.26)

Если все >.?>0, то общее решение ;ДЛЯ Ф° можно представить

в виде

Ф*== 2^ еХр(Х, *) + <;_( ехр(—Хг*)]/<2г ’ (1,27)

£ = 1

где *?= У*К,.

Если имеется Х2<0 (для 5 = 1, 2,..., /), то общее решение

представимо следующим образом:

г

ф* = 2 [с^п^х+с^соз^л:]/^ +

5=1

І—1

где

К=У\Ц\, К°=У>К,

(1.28)

(1.29)

Соотношение (1.25) является дискретным аналогом уравнения Бесселя, поэтому

J,

Кк

in-* 00 і

h, К

tn-ЮО

О'Х)

Ч'ЗГ)

Л

0'^)

(1.30)

где Ут Функция Бесселя первого рода т-го порядка,

а £г — корни уравнения

, / о

(1.31)

Соотношение между коэффициентами С, И С-1 можно получить из удовлетворения динамических граничных условий на свободной поверхности (1.11):

C-i со*1

Л-1

ZЧ ш3

1*7'

(1.32)

ГД ezi = ci — c_l и 2°=Сг+С_г.

Граничные условия на смачиваемой поверхности (1.12), записанные в матричной форме, имеют следующий вид:

NZ0 — (в2 у-1 М Л-1 Z0 = 0. (1.33)

Здесь Л — диагональная матрица с элементами, равными Хг> а элементы матриц Ж и Л/ соответственно равны:

(Kk+i s — Км-1,) (2 Дг)-1 sin Xf xk + ls Kks tg *k cos X, xk

'k — \, 2,..., n .8=1, 2,..., I (Kk+is — Kft-10 (2 Д/-)-1 shX^-f-Xj/t^tgc^chX,.** (1.34)

' i = (/ 1),..., n; \ _

VA = 1, 2,..., n J ’

Kft+i j — AT*-ii) (2 Дг)-1 cosX5x* -X^tga^sinX^*

/s = l, 2, ..., l\ n/’

ttki~

(Kk+i і — Kk-1 г) (2 Дг)-1 ch Хг -f- X; Kki tg at ch Хг xk (1.35)

/* = (/ + 1),..., Я;\ U=l, 2,..., n J'

Из условия существования нетривиального решения системы (1.33) получаем уравнение частот:

| N—ш2/-1 М Л-1 | = 0. (1.36)

Приведенный выше алгоритм решения непосредственно можно использовать ТОЛЬКО для полостей, у которых ал+1 = 0. В противном случае элементы матрицы А (1.22) являются функциями неиз-

ш2 ■

вестного параметра -у- и для получения решения используется

метод последовательных приближений. Для определения элемен-

(О2

тов матрицы А задаемся величиной у-. Решая уравнение (1.25),

определяем Х(°) и Используя эти значения, можно составить

уравнение частот (1.36), решая которое, находим первое приближе-(1)^

ние • Снова определяем элементы матрицы А и, повторяя процесс вычислений последовательно, получаем величины М1', К^}

и .

У

Если последовательность (при & = 0, 1, 2) является сходящейся, то предел, к которому сходится эта последовательность, есть решение задачи. Численные примеры расчета полостей различной формы показывают, что приведенный выше метод последовательных приближений обладает быстрой сходимостью и требует для своей реализации практически 2—3 приближения.

§ 2. СРАВНЕНИЕ МЕТОДА ПРЯМЫХ И ВАРИАЦИОННОГО

МЕТОДА

Вариационные методы в настоящее время широко используются для решения задачи о колебаниях жидкости в полостях [3] — [5]. Поэтому представляет интерес сравнение решений, получаемых методом прямых и вариационным методом. Прежде чем перейти непосредственно к сравнению, получим решение задачи методом, который в дальнейшем будем называть модифицированным методом прямых. Для определенности рассмотрим полость, у которой ап+1 = 0. Будем разыскивать решение в виде:

. (2-1)

где Ь1 есть корни уравнения Ут(у.

Постоянные с1 и с--, находим из удовлетворения условий (1.6), (1.7) — динамического условия на свободной поверхности и условия непротекания на смачиваемой поверхности в дискретном числе точек с координатами (г*, — хк), которые используются в методе прямых. Принимая во внимание (1.30), можно утверждать, что решения, полученные методом прямых и модифицированным методом прямых, близки друг к другу при достаточно большом N.

В вариационном методе задача о колебаниях жидкости (1.1), (1.2), (1.3) эквивалентна задаче о минимуме функционала:

(2.2)

Выражения для потенциала скоростей <р будем разыскивать в виде

<р = Ф (г, х) cos тч\, (2.3)

где Ф(г, л:) задается в форме (2.1).

Используя выражение (2.3), можно показать, что задача о колебаниях жидкости эквивалентна задаче о минимуме функционала:

и'=$^ГФгаТ + $ф(г’ °)Г

дФ_

дх

J

ф (Г, 0)

dr, (2.4)

где у — образующая полости, а й у — дифференциал дуги образующей.

Таким образом, в вариационном методе и модифицированном методе прямых решение ищется в одной и той же форме. Граничные условия в методе прямых удовлетворяются в дискретном числе точек на свободной и смачиваемой поверхности. В вариационном методе граничные условия удовлетворяются в среднем с весом Ф г на тех же поверхностях. При больших значениях N оба решения должны приводить к одним и тем же результатам, если решение для Ф в вариационном методе искать в форме (2.1).

§ 3. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Для оценки точности метода прямых были проведены расчеты полостей различной формы, собственные частоты которых достаточно точно определены вариационным и экспериментальным методами. В качестве таких полостей были выбраны сферическая, тороидальная и коническая (с углом полураствора 31°).

Таблица 1

Метод прямых

фп+1 = фп ф„+1=4-ф«- - 4- ф«-

п 4 6 8 10 12 14 16 18 10

2,045 1,983 1,950 1,929 1,915 1,901 1,896 1,893 1,842 1,841

В табл. 1 приведены результаты вычисления 1-го собственного значения Х1 # матрицы Л° (1.25) при а„+1=0, когда для исключения переменной Ф„+1 используется соотношение (1.17). При я->оо Х^ должно стремиться к ?! = 1,841, т. е. к корню уравнения У](1г)==0.

Более точные результаты могут быть получены, если для исключения Ф„+1 использовать формулу (1.18). В этом случае уже при я=Ю приближенное значение х1 # = ^ = 1,842.

В: табл. 2 дано сравнение результатов расчета методом прямых и вариационным методом частоты колебаний в сферической полости с радиусом /?с. Между этими результатами наблюдается хорошее соответствие. Для-о-=1 сравнение проводится с результа-

С

тами работы [6], которые получены путем приближенного решения интегрального уравнения.

Таблица 2

л Вариаци- онный метод, 0)2 т*. Метод последовательных приближений, 0)2 -*с Н Ж Вариаци- онный метод, -*с Метод последовательных приближений, 0)2 -*с

N= 10 УУ= 16 10 N= 16

0,1 1,036 1,0361 1,036 0,6 1,262 1,2687 _

0,2 1,072 1,0733 1,073 0,7 1,324 1,3356 —

0,3 1,113 1,1149 1,115 0,8 1,394 1,3586 —

0,4 1,158 1,1607 1,161 0,9 1,470 1,4460 —

0,5 1,208 1,2114 — 1,0 1,565 [6] 1,5832 —

Таблица 3

А

Сфера, га=10, -д- =0,5

к 0)2 тя с >4 Я

0 1,18015 1,92899

1 1,21122 1,51783

2 1,21145 1,48899

3 1,21143 1,49118

4 1,21143 1,49119

Таблица 4

А

Тор, я = 10, ^ = 0,5

£

J

0 0,08336 1,42402

1 0,078091 1,33659

2 0,078443 1,33699

3 0,078420 1,33619

4 0,078420 1,33619

Таблица 5

Конус, а = 31°, И = 6

к 0)2 Т* Я

0 0,94303 1,9229

1 1,23763 1,39807

2 1,30582 1,10009

3 1,31987 1,013803

4 1,32269 0,994829

5 1,323256 0,990973

6 1,323364 0,99020

7 1,323386 0,99005

8 1,323394 0,99001

Результаты, приведенные в табл. 3, 4, 5, характеризуют сходимость процесса последовательных приближений для сферической полости при -~ = 0,5, для тороидальной полости ^отноше-

#2

ние -тэ=- внутреннего и внешнего радиусов в максимальном попереч-

‘М

\ к { /?____________________/? \

ном сечении равно 0,3641 при -^-=0,5 (Я=——~) и для кони_

ш2 /?

ческой полости. Величина —^— по расчету вариационным методом 80

равна 0,078935 для тороидальной полости и 1,30 для конической полости (угол полураствора равен 30°).

Приведенные результаты показывают, что метод прямых обеспечивает достаточную точность решения задачи о колебаниях жидкости в полостях вращения.

* *

*

ЛИТЕРАТУРА

1. Колесников К- С. Жидкостная ракета как объект регулирования. М., «Машиностроение», 1968.

2. Ми кишев Г. Н„ Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., «Машиностроение», 1968.

3. Вариационные методы в задачах о колебаниях жидкости и тела с жидкостью. Сб. статей под ред. Н. Н. Моисеева. ВЦ АН СССР, 1962.

4. Lawerence М. R., Wang С. J., Reddy R. В. Variational solution of fuel sloshing models. Jet Propulsion, v. 28, № 11, 1958.

5. Abramson H. N., Ransleben G. F. Simulation of fuel sloshing characteristics in missile tanks by use of small models. ARS J. № 7, 1960.

6. Budiansky B. Sloshing of liquids in circular canals and spherical tanks. J. of the Aerospace Sciences, v. 27, 1960, № 3.

7. Докучаев JI. В. Решение краевой задачи о колебаниях жидкости в конических полостях. ПММ, т. XVIII, вып. 1, 1964.

Рукопись поступила 8/VII 1969 г.