Колебания физического маятника, имеющего сферическую полость с вытекающей жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

Наука к Образование

МГТУ им. Н.Э. Баумана

Сетевое научное издание

Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2015. № 10. С. 141-160.

ISSN 1994-0408

Б01: 10.7463/1015.0813746

Представлена в редакцию: Исправлена:

© МГТУ им. Н.Э. Баумана

УДК 531.39

Колебания физического маятника, имеющего сферическую полость с вытекающей жидкостью

07.09.2015 23.09.2015

Нгуен Х. З. , Темнов А. Н.1

:МГТУ им. Н.Э. Баумана, Москва, Россия

Задачи о малых колебаниях несжимаемой идеальной жидкости, частично заполняющей неподвижную и подвижную полости произвольной формы при условии непротекания на смачиваемых поверхностях, рассматривалась многими авторами. В настоящей стати представлена постановка краевой задачи о собственных колебаниях жидкости в полости подвижного физического маятника, вращающего относительно произвольной точки, с граничными условиями на свободной поверхности, условиями непротекания на смачиваемых поверхностях и дополнительными динамическими условиями на поверхности с сопротивлением - поверхности слива. Особое внимание уделено нахождению собственных частот уравнений колебаний возмущенного движения осесимметричного маятника с жидкостью, частично заполняющей в его сферической полости, с наличием диссипации на граничных поверхностях.

Ключевые слова: малые колебания, возмущенное движение, диссипация, физический маятник

В течение длительного времени изучались задачи о колебаниях жидкости в полости произвольной формы. Наиболее полную библиографию работ по этому вопросу можно найти в книгах [1-6]. В предыдущих работах авторов [7,8] приведена постановка модельной задачи о малых движениях несжимаемой жидкости, вытекающей из неподвижного бака с заборными устройствами (ЗУ). В статьях [9,10] рассматривались примеры рассматриваемых задач о движении несжимаемой жидкости, вытекающей из наиболее распространенных на практике топливных полостях в виде цилиндра, конуса и сферы.

В настоящей статье представлена постановка краевой задачи о малых движениях несжимаемой жидкости, вытекающей из полости произвольной формы подвижного физического маятника (тела), приведено решение задачи о нахождении собственных частот колебаний возмущенного движения осесимметричного маятника с жидкостью, частично заполняющей в его сферической полости, с наличием диссипации на граничных поверхностях.

Постановка задачи

Пусть идеальная несжимаемая жидкость, частично заполняющая полость произвольной формы подвижного физического маятника, вытекает через ЗУ и может совершать малые движения. Проблема малых движений жидкости может быть описана уравнениями гидродинамики, линеаризованными вблизи невозмущённого состояния. Рассмотрим случай вращательного движения маятника относительно произвольной точки

Введем следующие системы координат: -инерциальную систему координат О,х,у1г1 ;

-связанную, неинерциальную Охух с осями, ориентированными некоторым определенным образом относительно маятника. В начальном состоянии оси Оххх и Ох совпадают и противоположны вектору силы тяжести £.

Обозначим смоченную жидкостью поверхность, свободную поверхность жидкости, поверхность слива и область, занятую жидкостью - S, Г, Е и т , соответственно.

Возмущенное движение маятника будем характеризовать вектором малого поворота 3(1) СК Охуг относительно СК (9,Л",>,.

За невозмущённое состояние примем состояние покоя физического маятника и установившееся движение жидкости, характеризующееся средней скоростью опускания Ког невозмущённой свободной поверхности Го и средней скоростью У01. на поверхности слива Е. Полагаем, что в невозмущенном движении свободная поверхность Г0 и

О,.

Рис.1. Основные обозначения и системы координаты.

поверхность слива Е перпендикулярны вектору gn интенсивности внешнего поля массовых сил.

Примем, что высота ЗУ - 8 гораздо меньше характерного размера полости маятника

- r0, 8 «т{). Тогда основной закон гидростатики и уравнение Бернулли для перепада давления на поверхности слива Е в системе координат Oxyz в невозмущенном состоянии запишутся в виде:

P°(x,t) = pa -gp(x-h), (1)

p>E ) - P) (hе ) = , (2)

где E - приведённый коэффициент гидравлического сопротивления полости маятника, отнесённый к скорости , h(t), hE - расстояния от точки O до свободной поверхности и поверхности слива, pa = const - давление над свободной поверхностью Го, p1)(hE ), p0(hЕ )

- соответственно давление жидкости перед поверхностью слива и за поверхностью.

Рассмотрим малые колебания жидкости и маятника, близкие к состоянию невозмущённого движения. Предположим, что в возмущённом движении поля абсолютного и относительного смещений, поля абсолютного и относительного скоростей частиц жидкости приобретает малые отклонения w,~wr,V,Vr от их невозмущённых значений. Их будем считать величинами первого порядка малости. Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости и выше, имеем V = w, Vr = wr. Тогда перепад давления на ЗУ в возмущенном движении принимает вид:

p°(hE ,t) + p(h е ,t) - p)(hE ,t) = EP VE+2 V E )2 Ирм X = hE . (3)

Линеаризуя условия (3), получаем:

P = [Pa-gP(K-K)] + rP-Vrz-A при x = K, (4)

где пъ внешние нормали к поверхности Е, у - обобщённый коэффициент сопротивления

поверхности слива у = EV0 .

Уравнение движения жидкости в подвижной системе координат:

dt

-V2-V-f 2 е

+ -v^ + vn = 0 (5)

Р

Представляем:

у = Г°+¥ У°=У° Г=Г+Г=Зхг + Г

а а■ а г ■ а е г г

ЗдесьУ°,УГ0- абсолютная и относительная скорости жидкости в невозмущённом

состоянии; Уа,Уг,Уе - отклонения абсолютной, относительной и переносной скорости жидкости от невозмущённого состояния.

Поставив соотношение (6) в уравнение (5), получим для возмущённого состояния уравнение движения жидкости:

dV dt

v°-(v - f)+-V2-V - V

r \ a e J О a e

+ -V^ + Vn = 0. (7)

P

2

Пренебрегая слагаемыми второго порядка малости и выше, будем иметь уравнение движения жидкости в линеаризованном виде:

дК

dt

- + V

К°-(К-К)1+~Ур+УП = о. (8)

v / J р

Возмущенное движение жидкости необходимо дополнить уравнением неразрывности V • Va = 0, условием непротекания через смачиваемую поверхность S в виде Va-n = Ve-n и начальными условиями w(x,y, х, 0) = w '(x, v, z),

^(x,y,x,0) = F°(W). dt

Проинтегрировав уравнение неразрывности по объёму, занимаемому жидкостью, для любого момента времени t, получим дополнительное интегральное условие j* Vr ■ nrdT = j" Vr ■ nxTL, которому должны подчиняться поле скоростей в рассматриваемой

Г I

задаче.

Постановка краевой задачи для потенциала абсолютных скоростей

Предполагаем возмущенное движение жидкости потенциальным (Vx^=0) и

введем потенциал абсолютной скорости - функцию Ф (x,y,z, t), который при малых

движениях связан с полем смещений w(x,y,z,t) и полем скоростей Va(x,y,z,t) очевидными формулами:

w{x,y,z,X) = ^V^x,y,z,X)dt , Vu(х,>',z,/) = V<t>(x,>',z,t). (9)

Подставив выражения (9) в уравнение (8), получим линеаризованный интеграл Коши-Лагранжа, выраженный через потенциал скоростей:

^ + + + °-Ve=c(t), (10)

dt р

где с(t) - произвольная функция времени.

Уравнение возмущённой свободной поверхности жидкости при малых колебаниях запишется в виде:

x = h + /(у, z, 0 , h(t) = h0 - V°t, (11)

где /(у, z, t) = wT (h, у, z, t) • nT - проекция вектора смещений частиц свободной поверхности на ось О1 ; h0 - глубина жидкости в начальный момент времени.

Из уравнения (10), используя выражения (11) со вниманием что, давление на свободной поверхности: р = ра, получим граничное условие на поверхности Г:

^ + • УФ + • пт - V? ■ Уе = с(/). (12)

Аналогично, подставляя (4) в (10), получаем граничное условие на поверхности

слива Е:

дФ -п дн> -п -

+ ф + =с(1). (13)

ОТ от

С учетом отношений # = м> + м> V = дм> / , перепишем:

д Ф

г

—+ Ф + Г — -Ге •иЕ-Кги-Кв=с(0. (14)

д? ^ д? ^

Используя уравнение неразрывности, условие протекания, начальные условия и

учитывая, что на Г: У°(И) = —У0Г и на Е: = получаем постановку краевой

задачи для полости произвольной формы:

АФ = 0 В г , — = х г) • п на Б,

дп

^¡--Кг-УФ + ^-пт+У(]Г-Уе=с{Г) наг, (15)

дt

дФ - ди>

— -К^-УФ + г—■Пг+(У0г-уъ)-Уе=с«) на Е,

от от

дt дt

•дФ,, ч , т <ЭФ

где = [-(/?, у, г, !:)£#, =-(Ь^у^,!:) - смещение и скорость частиц жидкости на

* дх "дх

г V д „

поверхностях Г 0 и Е соответственно, — - производная по внешней нормали к

дх ~ дх

дп

поверхности Б .

Колебания сферической ёмкости с полостью, частично заполненной

жидкостью

Рассмотрим задачу о колебаниях сферического бака, вращающегося вокруг оси 01 у1,

с полостью, частично заполненной жидкостью, вытекающей через заборные устройства из бака. В этом случае угол малого поворота $(/) = ■ е,.

В этом случае введем подвижную систему координат Охух с началом в центре сфера и следующие обозначения: Я0 - радиус бака, И - расстояние от центра бака до свободной

поверхности, г0 Щ — И2 - радиус свободной поверхности, ИЕ - расстояние от центра бака до поверхности слива, гЕ = ^Щ — ИЕ - радиус поверхности слива, Ь - координатное

расстояние ОО .

Формулировка краевой задачи:

ДФ = 0вг — = (5хг)-п на Б,

' дп

дФ дФ г дФ

——g\—&+гот-гех = 0 на г, (16)

дг дх -1 д х

дФ дФ дФ

дф—+ (К, + г)-гех = 0 на Е,

дг дх д х

Ф(л, г, /7,0 = Ф(0) при t = 0. где Уех - проекция вектора Уе на ось Ох .

Перейдем к безразмерным переменным: _ х х = Ё

к.

V =■

' л г

0 Г

г0 V ЕЛ = 0=0 |мг Ь = —, И = V к Ч' -_ У 7 М

- г г = , Ф = Ф

^ / Щ

(17)

Дальше знак « — » над безразмерными переменными будем опускать.

Используя цилиндрические координаты х ,г, ] с началом в центре сфера, получим

задачу для определения потенциала абсолютных скоростей Ф( х, г ,Т, г):

<ЗФ •

АФ = 0 в г, — = 3 ■ L ■ sin в sin 77 на S (R=1), OR

ОФ ОФ г ОФ

Vor + = 0 на Г0 (x = h),

Ot Ox J О x (18)

ОФ ОФ ОФ

1ф-+ (Г + Vz)-Vex = 0 на E (x = hE), ot ox o x

Ф( x, r, Tj, t) = Ф(0) при t = 0. Чтобы легче отыскать потенциал Ф, представим его в виде суммы трех функций:

Ф(х, г, 77,0 = Их, г, r¡) • &{t) + ^ О, г, 77) • ¿(0 + % о, Г, 77) • ДО. (19) Выберем выражение для функций F = у/ • 3 и Ф) = срх • s, Ф2 = <р2 ■ р таким образом, чтобы 1-е граничное условие удовлетворялось с помощью функции F, а 2-е и 3-е условие - с помощью суммы функций F и Ф, Ф2. Перепишем систему (18) в виде:

<ЗФ

АФ = 0 в г, — = 3 ■ L ■ sin в sin r¡ на S (R=1), dR

ОФ ОФ г ОФ OF

— - V г ' — + V0r-- = 0 на Г0 (x = h),

Of Ox J dx Ox (20)

ОФ ОФ ОФ OF

^7-V>E----^ — + (/ + Kz)- — = 0 на E (x = h,),

Ot Ox Ox Ox

Ф( x, r ,T, t) = Ф(0) при t = 0.

Тогда задача для функции i//( x, r ,j), по идее Н.Е. Жуковского, имеет вид:

А щ = 0 в г, -= L sin в sin Tj на S (R = 1),

OR

= r sin tj на Г (x=h), = r sin tj на E (x = hE ),

O x O x

а функции px(x,r,j) и p2(x,r,j)отвечают условиям:

(21)

ж

дт дт дт д^1(х,10^)

Д^ =0 в т , дт1 = 0 на Б, дт1 = 0 на Е, дт1 = (( т на Г0,-^ = 1 на Г0 (22)

дЯ дх дх дх

Я Я Я дт(х,г0, —)

Дт2 = 0 в т , дт2 = 0 на Б, дт2 = 0 на Г0, т = ( т на Е,-^ = 1 на Е (23)

дЯ дх дх дх

Здесь последние условия в (22) и (23) - условия нормировки.

Решаем задачу (21) вариационным методом. Вариационная формулировка: найти минимум функционала [11]:

у(у) = IГ(Vу)2ёг — Гу3^ёГ — Гу^dS + Гу3^dЕ . (24)

22 { ёх { % ёх

г г Ь Е

Пусть

у(x, r,r) = у/* (x, r) sinr = Ё ckUk (x, r)sinr

k=1

где

U (x, r) = RkP^(cose) - координатные функции d

PP^cosé») = sin в

d (cosé)

P(cosé) - присоединенные функции Лежандра первой

степени,

Pk (cosé) =

1

dk

(cos2 в- 1)k - полином Лежандра степени k,

2* У ё{^в)к

А - порядок приближения решений вариационных задач (24).

Поставив (25) в (24), из условия минимума функции У(^) получаем систему уравнений для определения коэффициентов с* [11]:

Ё Dmkck = dm , m =1,..., Ж

(26)

k=1

или в матричном виде: D ■ c = d, здесь

Í в

Dmk =Л

J М

dr

sin

édé + J UmY f ~U~~ 1 rdr -J UmE|

dx

/S 0

^ в ra r Л

dU

dx

rdr

(27)

dm = * L J UmS sin2 édé + J UmY r'dr-J Um,, r2dr

V во 0 0

Из уравнения (26) получаем:

c = D"1 • d. (28)

В таблице №1 представлены решения вариационного задачи (24) при rE = 0,2, N = 10 для различных значений L и h .

Таблица №1 - Коэффициенты , полученные при решении вариационной задачи (24).

L = 1, h = -0,2 L = 1, h = 0,4 L = 1,5, h = -0,3 L = 1,5, h = 0,2

c1 2,06452 1,28824 2,74316 1,99747

c2 0,48177 0,16430 0,57898 0,25221

c3 0,24358 0,07848 0,36832 0,09890

c4 0,23326 0,02116 0,42683 0,02013

c 5 0,28403 -0,00855 0,50638 -0,00034

c6 0,27157 -0,01531 0,45550 0,00811

c7 0,18685 -0,01119 0,29868 0,01677

c8 0,09134 -0,00424 0,14093 0,01630

c9 0,02967 -0,00056 0,04470 0,00900

c10 0,00545 0,00068 0,00787 0,00293

Перейдем теперь к определению функций (р1(х,г,ц)и р2(х,г,ц). Функции рх(х,Г,^) р2 (X, Гпредставляют решения вариационных задач: найти минимум функционалов [12]:

Ш) = \(VPl)2ёг-®12{(р )2 ёГ,

т г0

J2(P2) = | (УР2)2 \((2 )2 .

т Е

Предполагаем функций р1(х, г,^) и р2(х, г,^) в видах:

((х, г,^) = р*( х, г ) • sin^,

(29)

(30)

р2( х, г,ц) =р2( х, г) • sin^. Используя метод Трефтца, находим решения поставленных вариационных задач

(29):

от х ^ А Л

р(хГ,Л) = Xрп(x,Г,Л) = X Xап*и*(x,Г)

И=1 ^ *=1

п=1

Г А

Р2(x, Г= Х(2п (X, Г,Л) = X XЬп*и* (X, Г)

п=1

• Sin^

• Sin^ .

(31)

(32)

п=1 V *=1

Для удовлетворения условиям нормировки перепишем функций р (х, г, и р2( х, г, в видах:

^ А ^

X ап*и* (x, Г)

(1( х г,л)=X

п=1

*=1

А

X

*=1

а

аи* (х, г )

п*

дх

sin^ = Xр2n (х, Г) • ^^^^^

п=1

р2( хГ = ^

п=1

(х=Уц,Г=Г0) у

X № (х, г )

(33)

А

*=1

А

X ь

*=1

п*

дик (х, г ) дх

^т 77 = X (*« (х, г ) • sin 77.

п=1

(х=ъе ,г=ге ) у

В таблице №2 представлены решения вариационных задач (29) при гъ = 0,2, п = 1, А = 10, й = 0,1.

Таблица №2 - Коэффициенты а^, Ьпк и собственные частоты первого и второго тона колебаний жидкости со(0 в сферической емкости, полученные при решении вариационных задач (29).

ап 0,81602 Ьц 0,01469 а21 -0,91530 Ь21 0,20185

Я12 0,44365 Ь12 0,07193 а22 -1,60699 Ь22 0,41963

а13 0,21012 Ь13 0,13618 а23 -2,09595 Ь23 0,91046

а14 0,07703 Ь14 0,23365 а24 -2,14245 Ь24 1,39487

а15 0,02442 ¿15 0,29316 а25 -1,77138 Ь25 1,81710

а16 0,01403 Ь16 0,31604 а26 -1,19383 Ь26 1,85151

а17 0,01382 Ь17 0,25991 а27 -0,64801 Ь27 1,55360

а18 0,01026 Ь18 0,17867 а28 -0,27310 2ь 8 1,00441

а19 0,00479 Ь19 0,08324 а29 -0,08211 Ь29 0,48072

а110 0,00104 Ь110 0,03022 а210 -0,01391 Ь210 0,15151

са(0) = 1,29012 = 2,31517

Теперь разложим функцию у в ряды по функциям < на свободной поверхности Г и <р2п на поверхности слива Е:

X,',]) = £ВпКп на г0, ¥(X,',]) = XВ2„<2„ на Е. (34)

п=1 п=1

В формулах (34) коэффициенты В1п и В2п определяются так:

'0 'Е

)г гйт \ гйт

В1п = 7

В,_ = -0-

(35)

| (<< )г | (« ^ '

0 0 Подставив выражение (19) с учетом (25), (33) и (34) во 2-е и 3-е граничные условия задачи (20), получим:

кА-Кг

гд(р[п + д(р[л

дк дх

д(Рш ^

о г

дк

Рп +

с

<Рг„Р„

дх дх

д<Р2„ , (1Т , _ д . . „

эт ] = 0.

(36)

зт^ = 0. (37)

Умножив уравнения (36) на дри1/дх, (37) на дри2/дх и проинтегрировав по поверхностей Г0 и Е соответственно, имеем:

+ о^Ъ + Уоге™р„ + У0Г3^„ + соЪп + а^З + е^Я = О,

п п -Г п и! п ± п 1)1 п п п п пи/ пи/ ?

р + <Л' +КПГЛ +[упг5{2) + (упт + г)сг ~\р +а{2)3 = О, (п = 1,2,3...).

ГЦ Н 11 01 11 11 01 11 V 01 / / 11 _\-Г 11 11ЦГ 5 4 5 5 у.

(38)

где

'0 I 11

а

(1)

дР2 дх

(2п

гёг

'0

-I

2 Л

дРп дР*п

0

I

дР*

дх

* л

(1пГ

Б(1)

оЧ дх дк у

гййг

'0 I

I

г 0

ёг

уг„

0 11

др* дх

* л *

Р дР2

дх дх

2

гёг

Г0

гёг

' 0 I

-I

(1) _ 0

д(п д(2

дх дк

0 2 п

д(1) =

п

I ' 0

гёг -1

Уг„ 0

дРп д(1п

2

0 V дх дх Уг„

уГ„

гёг

0

I

др дх

1п

гёг

Уг„

а(2) =

0

11

0 V

' е ( !(р*

дР

1п

дх

дР

Р1п

2 Л

а(1) = Я , е(1) = Я с2,

п^ 1п5 1п п 5

гёг

Уг„

2п

дх

гёг

Уе

' е i

-I

дР*п дР1

2

¿(2)

е

/I

0

е

-I

дР* п

дх

(2)= 0 V дх дк Уе

, п Гт / „ * \

гёг

Р2 п 2

гёг

Уе

I

дР* п дх

дР2п дР2п дх дк

гёг

Уе

е

■I

Р2 п

У:

2

гёг

Уе

дР2п Р дх дх

гёг

II

дР

2п

дх

Р2п

Уе

гёг

II

дР

2п

дх

Р2п

а(2) = В

В2п.

гёг

Уе

(39)

(40)

0 V Уе 0

Теперь напишем уравнение возмущенного вращения бака относительно оси Охух.

Предположим, что за время одного периода колебаний жидкости и бака глубина жидкости меняется мало. Тогда уравнение движения бака может быть записать в виде [11]:

-т§хс3 + XЛ«Х + XС А + X+ XО, = М,

п / 1 Л)п ЛГ п

п=1 п=1

ОУ1*

(41)

где У01 = Уд0) + ^о!), ^о0) и Уо1) - момент инерции сухого бака и момент инерции

присоединенной массы жидкости относительно оси Охух, Л^Л^Ли'',^2

0

0

0

0

п=1

п=1

коэффициенты при соответственно, хс,т - координата центра массы

жидкости относительно точки О и масса жидкости. Введем безразмерные коэффициенты:

(1)

т ;(1) ;(2)

У J 01 2 (1^ Л0П 2 (2^ — Л0П 2 (1) = '

J01 n5 ' 'on n5 ' 'on n5 ' 'n n4

p^o pR0 PgR

(2)

w =

M„

"(2)_ ^ _ m x =M =

m =

pgRo4^' pRo3' c Ro

4

°1Л PgR

Дальше знак « — » над безразмерными коэффициентами также будем опускать.

Перепишем уравнение движения бака в безразмерной форме:

ОО ОО ОО СО

^ _ тхз + £ ^Х + X Л™р„ + X + X = .

Все гидродинамические коэффициенты определяются по формулам:

)г г2dr + l) (у*)s sin2 ddd - )£ r2dr

•C = [J = ж

TvjSvjY.

<Plr.

Ги5 uE

ду/ dn

dS = ж

Ги5 uE

[J <P2„^S = ;г

J en

)(ф*) r2dr + L) (ф* l sin2 ddd - )(ф* \ r2dr

o o e0 o

{Ф)r r2dr + L) ф^ sin2 - )(фя)E r2dr

Л0) = Гф= ^ '2) = №n^ds = ж)

J Яи Fm J Яг J Яя Fu J

ro í ^ * Л

дфй

dn dn

o V dx Уг

dn dn

дх

r2 dr,

УЕ

З(л+h) (2 - h - h) 2

x =---, x = x - L, m = — ж(к - h ),

co 4 з - h - hh - h c co , 3 ( E),

Jof = m(x2 - x2o) + ж

h-h h -h 3(h -h

6

2o

(42)

(43)

(44)

Зависимости величин ./¿1, Лл, Лл , Л1, Л\ от глубины жидкости И иллюстрированы рис.3,4 и 5.

n=1

n=1

n=1

n=1

1-Я----ЯП

Рис.4 - Зависимости коэффициентов Я^1, А^1 от глубины жидкости.

0.015 0.01 0.005 0

-0.005 -0.01 -0.015 -0.02 -0.025 -0.03 -0.035

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

_~Л>1 ;---Ai

Рис.5 - Зависимости коэффициентов A2, A? от глубины жидкости. Итого, получим систему уравнений поперечных колебаний системы бака - жидкости:

I + КАХ + + а?Рп + Кг е?Рп + + = 0,

+ Кг^Х + рп + [vorS^ + (Voz + г)стя]ря + а%Э = 0, {п = 1,2,3...), (45)

оо оо оо оо

Y Л' + УЯг(2)р +У À(1)s +У 1{2)р + J()3-mx & = M .

/ 1 On п / 1 On гп / 1 m п / 1 "п гп U[ с о1у\

n=1 n=1 n=1 n=1

Рассмотрим собственное движение рассматриваемой механической системы т.е. M = 0. Для сравнения результатов расчета системы (45) рассмотрим два случаи:

1.Определение собственных частот колебаний системы при учете только главного тона (n = 1) .

Положим sl = s^e^', p = p°eQ' ,9 = 9°eQ'. Из системы уравнений (45), получим:

._ — — — ----- ---- _ ---- ---- ---- --- — -

о2+ког

а^П2 + Ког

(!)Г

а(2)о2 + ког^(2)о о2+[Ког3(2) + (КЕ + /)&! ] о

Л(()о2 +л(1) Л(2)о2+Л(2)

[50 р0 30 ] - собственный вектор амплитуд.

Из уравнения (46) следуем характеристическое уравнение:

о2 + Кг ¿1(1)о+с2 а(1)о2 + Кг ^(1)о

<Я2 + <

а>(?02 /0 о2 — тхс

0

*

0

Р(

3°

= 0,

(46)

а(2)о2 + Кг^о о2 + [К0г^1(2) + (К0Е + у)^ ] о

Л01)о2+ Л

(1)

Л0(12)о2 + Л

(2)

а^о2 + а,(?о2

/ о2 — тх„

= 0.

(47)

2.Определение собственных частот колебаний системы при учете двух первых тонов (п = 1,2).

Л 0 о/ 0 о/ 0 о/ 0 о/ П п0 о/

Аналогично, положив ^ = $1в , р1 = ре , ^ = , р2 = р2е , 3 = 3 е , получим характеристическое уравнение:

о2+^ ^"о+с2

0

а'^о2 + Кг ^'о 0

а(1)о2 + е(1)

а2^;о2 + а<2»о2

= 0

0 а1(1)о2 + Кг

0 о2 + Кг ^()о+®22 0

а(2)о2+Кг ^(2)о 0 о2 + [к г^(2) + (Кг + г)^ ] о

0 а<2)о2 + Кг г(2)о 0 о2 + [Кг ^22) + (Кг а<2'о2

Л01'о2 +Л1((1) Л02'о2 + Л2 Л02)о2 +Л((12) Л022)о2 +42) / о2 — тх

При численном решении считаем бак - тонкостенный и его масса и момент инерции могут пренебречь (~ 0). Результаты вычислений корней уравнений (47) и (48) при 'Е = 0,2, N = 10, Ь = 1 для различных значений К0Г, у, к приведены в таблицах №3,4,5 и 6.

Таблица №3 - Собственные частоты колебаний бака с жидкостью, полученные при решении уравнения (47)

с учетом к = 0,4, К0 Г = 0,04.

(48)

у С1,2 С3,4 с

4 -0,00201 ± 0,888351 -0,04758 ± 1,450981 -58,302

6 -0.00204 ± 0.888351 -0,04759 ± 1,450981 -72,412

(0 -0,00207 ± 0,888341 -0,04761 ± 1,450991 -100,63

30 -0,00212 ± 0,888341 -0,04763 ± 1,450991 -241,74

50 -0,00213 ± 0,888341 -0,04764 - 1,451001 -382,85

(00 -0,00214 ± 0,888341 -0,04764 ± 1,451001 -735,62

С(0)=0,81829 С(0) = 1,45716

Таблица №4 - Собственные частоты колебаний бака с жидкостью, полученные при решении уравнения (48)

с учетом к = 0,4, Гог = 0,04.

у ©1,2 ©3,4 ©5,6 ©7 ©8

4 -0.00194 ± 0.885991 -0,04759 ± 1,451081 -0,06233 ± 2,561471 -58,393 -16794

6 -0,00197 ± 0,885991 -0,04760 ± 1,451081 -0,06222 ± 2,561471 -72,526 -20890

10 -0,00200 ± 0,885991 -0,04761 ± 1,451091 -0,06209 ± 2,561461 -100,79 -29083

30 -0,00205 ± 0,885981 -0,04763 ± 1,451101 -0,06190 ± 2,561461 -242,11 -70044

50 -0,00207 ± 0,885981 -0,04764 ± 1,451101 -0,06185 ± 2,561451 -383,44 -111006

100 -0,00208 ± 0,885981 -0,04764 ± 1,451101 -0,06181 ± 2,561451 -736,76 -213411

©(0) =0,81829 ©(0)=1,45716 ^:(0)=2,44876

Таблица №5 - Собственные частоты колебаний бака с жидкостью, полученные при решении уравнения (48)

с учетом к = 0,4, у = 5 .

V * 0 Г ©1,2 ©3,4 ©5,6 ©7 ©8

0 -0,00025 ± 0,886131 -0,00008 ± 1,451551 -0,00091 ± 2,562391 -35,331 -10240

0,01 -0,00031 ± 0,886121 -0,01183 ± 1,451521 -0,01620 ± 2,562341 -42,863 -12391

0,02 -0,00087 ± 0,886091 -0,02376 ± 1,451431 -0,03153 ± 2,562161 -50,395 -14541

0,04 -0,00195 ± 0,885991 -0,04760 ± 1,451081 -0,06227 ± 2,561471 -65,459 -18842

0,06 -0,00301 ± 0,885821 -0,07142 ± 1,450511 -0,09305 ± 2,560311 -80,523 -23143

0,08 -0,00403 ± 0,885581 -0,09523 ± 1,449711 -0,12385 ± 2,558681 -95,587 -27444

0,1 -0,00503 ± 0,885281 -0,11903 ± 1,448671 -0,15465 ± 2,556591 -110,65 -31745

Таблица №6 - Собственные частоты колебаний бака с жидкостью, полученные при решении уравнения (48)

с учетом ¥0 Г = 0,02, у = 10.

к ©1,2 ©3,4 ©5,6 ©7 ©8

-0,5 -0,01193 ± 1,098041 -0,04975 ± 1,969291 -0,16919 ± 3,682251 -118,39 -216,51

-0,3 -0,04618 ± 1,134141 -0,10561 ±1,450521 -0,03049 ± 2,889141 -107,53 -728,73

-0,1 -0,04720 ± 1,040161 -0,09879 ± 1,238121 -0,01453 ± 2,661301 -100,45 -2431,0

0,01 -0,01757 ± 0,957341 -0,06416 ± 1,255071 -0,01733 ± 2,602581 -96,780 -5010,9

0,1 -0,00782 ± 0,911081 -0,04926 ± 1,289341 -0,02135 ± 2,571481 -91,425 -9756,6

0,3 -0,00169 ± 0,880031 -0,02930 ± 1,387761 -0,03038 ± 2,545481 -88,878 -66914

0,5 -0,00059 ± 0,899291 -0,02115 ± 1,530031 -0,02633 ± 2,605961 -82,562 -18072

• х

Замечание: В таблицах №3 и №4 ©©0) = —- безразмерная собственная частота

V ^ п

01

г(тв)

«затвердевшей» жидкости (- безразмерный момент инерции «затвердевшей»

жидкости относительно оси Oy, определенный по формулам (44)) а co(f> и со^ -

безразмерные собственные частоты первого и второго тона колебаний жидкости в неподвижном баке [13].

Заключение

В заключение можно отметить, что полученные результаты подтверждают выводы, что спектр колебаний бака с жидкостью обладает двумя ветвями собственных значений: дискретного множества комплексно-сопряженных чисел, расположенных вблизи мнимой оси и дискретного множества вещественных чисел. Случай отрицательных вещественных составляющих решений является колебательная составляющая устойчивости. Случаем отрицательных вещественных корней является апериодическая устойчивость собственных колебаний.

Список литературы

1. Колесников К.С. Динамика ракет. М.: Машиностроение, 2003. 500 с.

2. Луковский И.А. Введение в нелинейную динамику твердого тела. Киев: Наукова думка, 1990. 296 с.

3. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тел с полостями, содержащими жидкость. М.: Наука, 1965. 440 с.

4. Луковский И.А., Барняк М.Я., Комаренко А.Н. Приближенные методы решения задач динамики ограниченного объема жидкости. Киев: Наукова думка, 1984. 212 с.

5. Колесников К.С., Пожалостин А.А., Шкапов П.М. Задачи динамики гидромеханических систем в трудах кафедры теоретической механики имени профессора Н.Е. Жуковского // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. № 7. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-7-285

6. Лимарченко О.С., Матараццо Д., Ясинский В.В. Динамика вращающихся конструкций с жидкостью. Киев: ГНОЗИС, 2002. 304 с.

7. Дьяченко М.И., Темнов А.Н. Проблемы динамики перераспределения топлива в крупногабаритных ракетно-космических объектах // Инженерный журнал: наука и инновации. 2012. № 8. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-8-457

8. Степанова М.И., Темнов А.Н. Малые движения жидкости с поверхностной диссипацией энергии // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Естественные науки. 2011. № 4. С. 99-110.

9. Дьяченко М.И., Орлов В.В., Темнов А.Н. Колебания жидкого топлива в цилиндрических и конических ёмкостях // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2013. № 11. С.175-192. DOI: 10.7463/1113.0623923

10. Нгуен З.Х., Темнов А.Н. Колебания жидкого топлива непостоянного объёма в сферической ёмкости // Наука и Образование. МГТУ им. Н.Э. Баумана. Электрон. журн. 2014. № 12. С. 426-439. DOI: 10.7463/1214.0744115

11. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М.: Машиностроение, 1968. 540 с.

12. Моисеев Н.Н., Петров А.А. Численные методы расчёта собственных частот колебаний ограниченного объёма жидкости. М.: ВЦ АН СССР, 1966. 270 с.

13. Нгуен З.Х. Собственные колебания жидкости в сферических ёмкостях // Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение. 2015. № 2. С. 84-90. DOI: 10.18698/0236-3941 -2015-2-84-90

Science and Education of the Bauman MSTU, 2015, no. 10, pp. 141-160.

Science^Education

of the Bauman MSTU

ISS N 1994-0408 © Bauman Moscow State Technical Unversity

Oscillations of the Physical Pendulum Having a Spherical Cavity with Effluent

DOI: 10.7463/1015.0813746

Received: Revised:

07.09.2015 23.09.2015

H.D. Nguyen1*, A.N. Temnov1

free dom_dhjg:Y ahio Q-Com-vn bauman Moscow State Technical University, Moscow, Russia

Keywords: small fluctuations, the fluid draining surface, the dissipation, the physical pendulum

Many authors have considered a problem of small fluctuations of an incompressible ideal fluid, partially filled a movable arbitrarily shaped tank. Long list of references in the field concerned proves it. The article presents a solution to the problem of natural oscillations of the axi-symmetric pendulum with a spherical cavity, partially filled with fluid, with the boundary conditions at the free surface and resistance surface - fluid draining surface. The relevance of the problems is stipulated by finding the eigenvalues and frequency of oscillation equations of perturbed motion of axisymmetric pendulum and fluid with dissipation available on the boundary surfaces.

The paper also considers a variational adjustment of the auxiliary boundary value problems. Associated Legendre functions are used in solving the variational problems, as the coordinate functions. Next, after substituting solutions of variational problems in the boundary conditions and upon the following mathematical operations based on the equations of the pendulum motion was obtained a characteristic equation. The validity of numerical results is confirmed by proximity when comparing with the result of calculating frequencies of natural fluctuations of the "solidified" fluid and frequencies obtained from the solution to the problem of natural fluid fluctuations in a spherical tank with the constant depth of fluid. All numerical calculations were performed using the Matlab computing environment.

References

1. Kolesnikov K.S. Dinamika raket [Dynamics of missiles]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 2003. 500 p. (in Russian).

2. Lukovskiy I.A. Vvedenie v nelineynuyu dinamiku tverdogo tela [Introduction to nonlinear rigid body dynamics]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1990. 296 p. (in Russian).

3. Moiseev N.N. Rumyantsev V.V. Dinamika tel spolostyami, soderzhashchimi zhidkost' [Dynamics of bodies with cavities containing liquid]. Moscow, Nauka Publ., 1965. 440 p. (in Russian).

4. Lukovskiy I.A., Barnyak M.Ya., Komarenko A.N. Priblizhennye metody resheniya zadach dinamiki ogranichennogo ob"ema zhidkosti [Approximate methods for solving problems of dynamics of limited liquid volume]. Kiev, Naukova dumka Publ., 1984. 212 p. (in Russian).

5. Kolesnikov K.S., Pozhalostin A.A., Shkapov P.M. Problems of Hydromechanical Systems Dynamics in Proceedings of the Zhukovsky Theoretical Mechanics Department. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering Journal: Science and Innovation, 2012, no. 7. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-7-285 (in Russian).

6. Limarchenko O.S., Mataratstso D., Yasinskiy V.V. Dinamika vrashchayushchikhsya konstruktsiy s zhidkost'yu [Dynamics of rotating structures with liquid]. Kiev, GNOZIS Publ., 2002. 304 p. (in Russian).

7. D'yachenko M.I., Temnov A.N. Problems of Fuel Redistribution Dynamics in Large-Sized Rocket and Space Objects. Inzhenernyy zhurnal: nauka i innovatsii = Engineering Journal: Science and Innovation, 2012, no. 8. DOI: 10.18698/2308-6033-2012-8-457 (in Russian).

8. Stepanova M.I., Temnov A.N. Small motions of liquid with surface energy dissipation. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Estestvennye nauki = Herald of the Bauman MSTU. Ser. Natural science, 2011, no. 4, pp. 99-110. (in Russian).

9. D'yachenko M.I., Orlov V.V., Temnov A.N. A problem of propellant oscillations in cylindrical and conical tanks. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2013, no. 11, pp. 175-192. DOI: 10.7463/1113.0623923 (in Russian).

10. Nguyen H.D., Temnov A.N. Fluid Fuel Fluctuations in the Spherical Tank. Nauka i obrazovanie MGTU im. N.E. Baumana = Science and Education of the Bauman MSTU, 2014, no. 12, pp. 426-439. DOI: 10.7463/1113.0623923 (in Russian)

11. Mikishev G.N., Rabinovich B.I. Dinamika tverdogo tela s polostyami, chastichno zapolnennymi zhidkost'yu [Dynamics of rigid body with cavities partially filled with liquid]. Moscow, Mashinostroenie Publ., 1968. 540 p. (in Russian).

12. Moiseev N.N., Petrov A.A. Chislennye metody rascheta sobstvennykh chastot kolebaniy ogranichennogo ob'ema zhidkosti [Numerical methods of calculation of natural frequencies of oscillations of limited volume of fluid]. Moscow, Publ. of Computing Centre of AS of USSR, 1966. 270 p. (in Russian).

13. Nguyen D.H. The Liquid's Self-Oscillations in a Spherical Vessel. Vestnik MGTU im. N.E. Baumana. Ser. Mashinostroenie = Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Mechanical Engineering, 2015, no. 2, pp. 84-90. DOI: 10.18698/0236-3941 -2015-284-90 (in Russian).