Собственные колебания жидкости в горизонтальном сосуде с симметричным двухсвязным поперечным сечением Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц АГ И

Том II

1971

№ 3

УДК 629.76.036.063.6

621.431.37:534.131.2

СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ГОРИЗОНТАЛЬНОМ СОСУДЕ С СИММЕТРИЧНЫМ ДВУХСВЯЗНЫМ ПОПЕРЕЧНЫМ СЕЧЕНИЕМ

И. В. Колин

Рассматривается задача о колебаниях жидкости в горизонтально расположенном сосуде цилиндрической формы, поперечное сечение которого представляет собой двухсвязную область. Получены приближенные дифференциальные уравнения для определения частот собственных колебаний жидкости и координат точек приложения гидродинамических сил. Результаты расчета сравниваются с результатами эксперимента.

При исследовании устойчивости возмущенного движения крылатых летательных аппаратов и в ряде других задач используются характеристики собственных колебаний жидкости: а>1 — частота г-го тона колебаний жидкости, — подвижная масса жидкости, /; — координата точки приложения равнодействующей гидродинамических сил. Здесь рассматриваются собственные колебания жидкости, частично заполняющей полости, образующая которых перпендикулярна вектору перегрузки.

В работах [1], [2] для решения этой задачи применен вариационный метод. В данной статье для определения динамических характеристик полостей с горизонтальной образующей разработан приближенный метод. Сравнение результатов расчета с результатами эксперимента показывает, что предложенный метод обладает точностью, достаточной для технических приложений.

Вывод основных уравнений приближенного метода определения динамических характеристик колебаний жидкости в полостях с горизонтальной образующей. Задача о собственных колебаниях жидости в полостях твердого тела формулируется следующим образом [1]:

д2 у д2 9 ( д 2

дх2 дуг дгг

0 в т, (I)

^-у<р = 0 на Ї, (2)

ду

айГ = 0 на 5, (3)

где (р (хуг) = сое л/а х Ф (у, г) — потенциал скоростей жидкости; т — объем, занятый жидкостью; 2 — свободная поверхность жидкости; 5 — смачиваемая поверхность полости; п — орт нормали к 6'; ш — частота собственных колебаний жидкости; у— напряженность поля массовых сил (фиг. 1); а — длина образующей полости.

Рассмотрим случай, когда сосуд имеет форму горизонтального цилиндра с двухсвязным поперечным сечением, симметричным относительно плоскости хОу.

Для решения задачи (1) — (3) применим приближенный метод, предложенный в работе [3] для решения задачи о колебаниях жидкости в полостях вращения. Предположим, что при некотором уровне Л заполнения полости определены значения <ог и 9г. Требуется определить эти величины при уровне А + ДА, где ДА— малое приращение уровня заполнения. При увеличении уровня заполнения на величину ДА объем т увеличился на величину т*. Обозначим свободную поверхность жидкости при уровне Л + ДА через 2*. Рассмотрим объем т**, имеющий форму параллелепипеда высотой ДА и площадью основания, равной площади 2 при уровне Л. Обозначим частоту колебаний в т + т** через ш* , тогда согласно [31 имеем

(“Г)2

2

-Г + -^ДА) ^ +ТДЛ| . (4)

Для вычисления частоты колебаний о>г- в объеме т -|— х* поступим следующим образом. При применении вариационного метода частота колебаний жидкости определяется следующим образом [1]:

Г“[| (j cP2rf5) ■ (5)

Применим соотношение (5) для определения <о{ и шг . Введем следующее предположение

(0, z) = const. (6)

Тогда с точностью до величин О (ДА2) получим следующее соотношение:

К)2 («Г)

Д/?1 - &R2 j 1

Я2

1 + /?,(! —5) I ’

где 5 = -тг" ; А/?! = Ях (Л + АЛ) — /?1 (Л); Д#2 = Яз(й + АЛ) — Д2 (Л), см. фиг. 1.

Л *<1 Обозначим

ж К) -= [(-;)*—?] <“>-• о»

Учитывая, что Д#1 и ДЛ3 являются величинами порядка О (ДА), из соотношений (7) и (8) получим следующее приближенное дифференциальное уравнение относительно со?//:

(9)

йк 1 /* 1 — 8 ЛЬ) а? —и- 1'

Зная частоту колебаний жидкости, можно определить подвижную массу жидкости [4]:

= (10)

■* г £

Учитывая соотношения

4д2

'И = Ф (У*) сое | <?. хс1Б = | Фг(0, г)йг; ^ $ йБ = а ^ Ф?(0, г)Лг

лз формулы (10) получим

Координата точек приложения равнодействующей гидродинамических сил определяется следующим образом [4]:

с Г1

(12)

где пх и Пу есть проекции вектора я —внешней нормали к 5 на оси Ох и Оу. Дифференцируя соотношение (12) по к, получим

Л1-,

Лк

I г угв* г а [•

= I 7“ .1 '•’г \ Т 3 9 і хаБ Лк ' 9і (уПх ~ ХПу) “

Г Г <1 «•? С Г а*

— З ’?і(.упх—хпу)й8 I 7“ _] ?г--*^ + 4-^5

с Ь V.

;2 <ік

йк

\ (13)

Используя соотношение (8) и предполагая Ф;(Л, г) = 1, из формулы (13). получим

— \ъл- а2 1 1 /^і -х~1

(1к а? ш2 1 [ + пг і _ 5 Я! ( сік ~ йк

Жтї

= 0.

(14)

Соотношения (9), (11) и (14) позволяют определить характеристики собственных колебаний жидкости в полостях, имеющих форму горизонтального цилиндра с произвольным симметричным сечением. Рассмотренный приближен-

ный метод позволяет стандартизировать практические расчеты характеристик собственных колебаний жидкости в полостях, частично заполненных жидкостью.

Результаты расчетов. С целью оценки точности приближенного метода были проведены расчеты для полостей с двухсвязными и односвязными поперечными сечениями. Начальные значения величин и>10 и /го при расчетах были выбраны равными значениям <ог и /г для равнообъемного параллелепипеда с площадью основания, равной площади I) при уровне ко.

В качестве примера на фиг. 2 приведены результаты расчета ш?/?10/у, Щ/рЯ10» //Яю для коаксиального горизонтального цилиндра, длина которого рав-

на 2,72 /?]0, а отношение внутреннего и внешнего радиусов окружностей в поперечном сечении полости равно 0,32. Там же приведены результаты экспериментального определения частот колебаний жидкости. При сравнении экспериментальные данные хорошо совпадают с теоретическими результатами, полученными приближенным методом. Расчеты были выполнены на ЭЦВМ с шагом Дй = 0,001 приблизительно в течение четырех минут.

ЛИТЕРАТУРА

1. Вариационные методы в задачах о колебании жидкости и тела с жидкостью. Сб. статей. М., изд. ВЦ АН СССР, 1962.

2. Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М., изд. ВЦ АН СССР, 1966.

3. Сухов В. Н. Приближенный метод определения частот колебаний жидкости в полостях вращения. МЖГ, № 2, 1967.

4. МикишевГ. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., .Машиностроение*, 1968.

Рукопись поступила 4)XII 1969 г.