Колебания жидкости в цилиндрическом сосуде с кольцевой перегородкой Текст научной статьи по специальности «Физика»

Том І

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И

то

№ 4

УДК 629.76.036.0636

621.431.37 : 534.131.2

КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ С КОЛЬЦЕВОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ

И. В. Колин

Рассматривается определение методом прямых динамических характеристик колебаний жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость с кольцевой перегородкой. Приведено сравнение результатов расчета с результатами эксперимента..

Для увеличения демпфирования колебаний жидкости в полостях устанавливаются различные демпфирующие перегородки: кольцевые, продольные, перфорированные и т. д. [1]. Поскольку теоретический анализ динамики жидкости в таких полостях является сложным, в настоящее время при определении динамических характеристик колебаний жидкости (частоты собственных колебаний со, подвижной массы жидкости т., координаты точки приложения гидродинамических сил I) в полостях с перегородками доминирующую роль играет эксперимент. Эксперименты показали, что постановка в полости кольцевых перегородок при колебаниях жидкости приводит к появлению вихрей, интенсивность которых определяет рассеивание кинетической энергии, т. е. демпфирование ее колебаний. Кроме того, введение в полость с жидкостью демпфирующих перегородок приводит к изменению динамических характеристик колебаний жидкости со, т, I.

Приближенное теоретическое исследование динамики жидкости в цилиндрической полости с кольцевыми перегородками малой ширины приведено в работе [2].

В данной статье рассматривается решение методом прямых задачи о колебаниях жидкости в полости с кольцевой перегородкой произвольной ширины. Этот метод позволяет оценить изменение динамических характеристик колебаний жидкости при введении в полость с жидкостью кольцевой перегородки. Расчеты методом прямых показали, что при уровнях, близких к перегородке, характеристики колебаний жидкости существенно отличаются от соответствующих характеристик в полости без перегородки.

Результаты расчета методом прямых удовлетворительно согласуются с результатами эксперимента.

§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ЖИДКОСТИ

В полости на расстоянии /гп под свободной поверхностью жидкости установлена кольцевая перегородка шириной (фиг. 1).

Известно, что задача о собственных колебаниях жидкости формулируется следующим образом:

Ду = 0 в объеме жидкости х; (1)

У = 0 на свободной невозмущенной (2)

°х поверхности жидкости Е;

= 0 на смачиваемой поверхности 5, (3)

дп

где 5 = + 5+ — смачиваемая поверхность полости без перегородки,

5+ и 5_ — верхняя и нижняя поверхности демпфирующей перегородки);

<р = Ф (г, -г], л:) е'™* — потенциал скоростей жидкости [(/% т], х) — цилиндрические

координаты]; п —орт нормали к 5.

Пусть полость представляет собой прямой круговой цилиндр с плоским днищем. Краевая задача для определения Ф (г, т|, х) имеет вид (см. фиг. 1)

~ д2Ф "

ДФ = л^ + г^-дг2 дг

1- Г* -^5. = О в т; 1 дхг

/дФ

дх

■ о>2ф = 0 при х = 0;

— 0 при г = Я\

дг

дФ

дх

= 0 при х ■■

■ и-

(4)

(5)

(6) (7)

Фиг. 1

дФ п о о

-— = 0 на 5, и 5 дх + ~

Рассмотрим плоскость, проходящую через демпфирующую перегородку. Она делит объем т на два объема т+ и т_, расположенные выше и ниже перегородки. Обозначим потенциалы скоростей в т+ через Ф+ (г, т], х), в т_ — через Ф_(Л *], х). Учитывая непрерывность изменения потенциалов скоростей и вер-

тикальных скоростей жидкости при переходе из т____ в т_|_, для определения по-

тенциалов Ф_^_ и Ф_ можно сформулировать следующие краевые задачи;

I. ДФ+ =0 в т+ . <ЭФ

дФ

дх

дг

= 0 при г =

■±- = 0 при х=-кп, )</•</?;

Ф+=Ф_ при х = -кп 0 </-<(/? —

/дФ+

дх +

II. ДФ =0 в т

О при х = 0.

дФ_

дг

= 0 при г = Я;

дФ_

дх

= 0 при лг = -Ап; (Я - е!п)<: г < Я;

дФ+ дФ

дх

- при л: = -Лп; 0 < г < (/? — дФ

- = 0 при х = — Я.

дх

(8)

(9)

(10)

(П)

(12)

(13)

(14)

(15)

(16) (17)

Для решения задач I и II применим метод прямых [3]. Выбирая число прямых, на которых разыскивается решение, достаточно большим, общее решение для потенциалов Ф+ и Ф_ можно представить в виде:

где — функции Бесселя первого порядка первого рода,

— корни уравнения У ($;) = О,

Ь+ — неизвестн Введем обозначения

а+!, Ь+ — неизвестные постоянные.

с,- = (¡1 — а_ из условий (12) и (17) следует

- а,- + я_г;

о Я / Н

сг = с*“27ё7: ь-‘ = &г ехр (~2 Ег "я

(20)

Общие решения для потенциалов Ф+ и Ф_ с учетом (20) принимают вид 00

I Г \ I X \ / X \ I

г); (21)

Ф+ = ^ У, (^1-^1 сг сЬ + о>2 /? С/«г) 1 зЬ J соя

ф- = ^-Л ^ехр ^ + ехр ^—2^-^ ехр ?*Тг)] С03 ^ (22>

При таком выборе решений граничные условия (8), (9) (12), (13), (14), (17) удовлетворены. Неизвестные величины с; и 6; определяются из граничных условий (10), (11) и (15), (16). В дальнейшем в общих решениях (21) и (22) учитывается п первых членов. Граничные условия (10), (11), (15), (16) рассматриваются в дискретном числе точек' (г* — Л„) — в точках пересечения вертикальных прямых с плоскостью перегородки (см. фиг. 1).

В матричной записи эти условия имеют вид

, " А1Х — ф^/-1А2Х = А3У, (23)

. ВгХ — ш2 /-1В2Х = В3У, (24)

где

(25)

■С1 ' г 1

Сг ь2

А" = • ; г =

- сп - - Ьп-

Элементы матриц Л; и В,- имеют вид

*1 ¡к

а2 ¡к

и\ ¡к

сН * = 1,2..../>; / = 1,2.....я;

Е*/г_1у1(б'х)‘ь(е|'^'); А=(/,+1)..........я; г=1-2’-

ЛЕ,_1у1(е,'^')в11(?,Т') к = ’’2.........г = 1, 2....л:

у»(е»-х)сЬ(б,-^-); к = (р+ 1)-------«; /=1,2.........я;

0;

0;

'■(6,£Н6,тг);

0:

. л;

(26)

*з »------6* ^~1 (6| •

ехр|

•2 5г -^-) ехр |

II о« 11 1, 2,.. •, я;

* = (/> +1),..., я; / = I. 2,. . •, я;

*= 1, 2 р\ ‘ = 1,2,.. •, я;

к =(р + 1), .. . ,л; <• = 1,2,.. • , я;

*= 1, 2,... ,/>; / = 1,2,. . ■, я;

* = (Р^Ь *)> • • • > п> ' = 1,2,.. ., я;

(“*■) .е*рН‘тЬ

(£| тг)] ; /,*=1,2,... , л.

Компоненты У определяются из однородной системы алгебраических урав нений . . 1 \ ‘ .

(А1-А3В^В1)У-<о*/-1(А2-Л3Вз1В2)¥=0.

Уравнение частот имеет вид . ,

I (^1 — -^з б3 1 В{) — «>2/ 1 (Л2 — А3В3 1 В2) |

:0.

(28)

(29)

Приведенные выше формулы пригодны лишь при Лп>0. При Лп = 0 задача решается методом, изложенным в работе [3]. Таким образом, определение методом прямых потенциалов скоростей й частот колебаний жидкости в полости •с кольцевой перегородкой сводится к задаче о собственных числах и векторах некоторых матриц.

Зная потенциалы скоростей жидкости, можно определить подвижную массу жидкости т и координату точки приложения /, равнодействующей гидродинамических сил [4]:

¿■I

,г — гпх)й8 11

г ср (18.

(30)

(31)

§ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА

Для оценки точности и эффективности метода прямых был проведен расчет цилиндрической полости с перегородкой ширины ¿„ = 0,3/?, установленной на расстоянии 1,45/? от днища. На фиг. 2 приведены результаты расчета (п = 20) частот первого (ф, кривая 1), второго (¿, кривая 2) тонов колебаний жидкости.

Там же приведены результаты расчета подвижных масс (X. кривая 3) и координат точек приложения гидродинамических вил [□, кривая 4) Результаты расчета

Ш1Я Л

величин —1— и сравнивались с

результатами эксперимента (0, ■). При

Фиг. 3

4,0

'(ж> (?)

,0,07 '0,1 '0,2 '0,4

у

/ / Ж / Л

к V \ \\

V V \ ■? <Ч~

> У

0,5 Юг.

п

Фиг. 2

Фиг. 4

сравнении теоретических и экспериментальных результатов наблюдается хорошее совпадение. Следует отметить, что при приближении уровня заполнения к перегородке сверху частота колебаний жидкости уменьшается, что объясняется эффектом плоского днища, создаваемого перегородкой. При совпадении свободной поверхности жидкости с плоскостью перегородки частота колебаний жидкости в полости с перегородкой выше частоты в полости без перегородки при том же уровне заполнения.

^ *

/ / i ; ' ' ' — ' ^ ^ *

'z"OJR' ' 'о,2П~ ' '

' 1 j-_______

%05К

О

■ 0,05 R

Xі

Фиг. 5

На фиг. 3 и 4 приведены Сі (г) и £2 (г) — расчетные значения форм свободной: поверхности жидкости, соответствующие первому и второму тонам колебаний. Поле-ортов скоростей вблизи перегородки, соответствующее первому тону колебаний жидкости, приведено на фиг. 5.

Удовлетворительное совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что метод прямых с достаточной для технических приложений точностью можно применять для расчета полостей вращения с кольцевыми перегородками.

ЛИТЕРАТУРА

1. Mils J. N. Ring Damping of free surf асе oseillations in circular

tank. J. Appl. Mech., 1958, v. 25, № 2.

2. В а u e r H. F. Zur Belasting Trägheitsmoment Erhöung und

Schwappenmassenreduktion durch Dämfungsringe in Treibstofftank. Raumfahrtforschung, Hf. 4, 1967.

3. К о л и н И. В., Сухов В. Н. Решение задачи о колебаниях

жидкости в полостях вращения методом прямых. «Ученые записки

ЦАГИ», № 3, 1970.

4. Микишев Г. H., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., «■Машиностроение», 1968.

Рукопись поступила 14/XII 1969 г.