CC BY
38
Том І
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГ И
то
№ 4
УДК 629.76.036.0636
621.431.37 : 534.131.2
КОЛЕБАНИЯ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ С КОЛЬЦЕВОЙ ПЕРЕГОРОДКОЙ
И. В. Колин
Рассматривается определение методом прямых динамических характеристик колебаний жидкости, частично заполняющей цилиндрическую полость с кольцевой перегородкой. Приведено сравнение результатов расчета с результатами эксперимента..
Для увеличения демпфирования колебаний жидкости в полостях устанавливаются различные демпфирующие перегородки: кольцевые, продольные, перфорированные и т. д. [1]. Поскольку теоретический анализ динамики жидкости в таких полостях является сложным, в настоящее время при определении динамических характеристик колебаний жидкости (частоты собственных колебаний со, подвижной массы жидкости т., координаты точки приложения гидродинамических сил I) в полостях с перегородками доминирующую роль играет эксперимент. Эксперименты показали, что постановка в полости кольцевых перегородок при колебаниях жидкости приводит к появлению вихрей, интенсивность которых определяет рассеивание кинетической энергии, т. е. демпфирование ее колебаний. Кроме того, введение в полость с жидкостью демпфирующих перегородок приводит к изменению динамических характеристик колебаний жидкости со, т, I.
Приближенное теоретическое исследование динамики жидкости в цилиндрической полости с кольцевыми перегородками малой ширины приведено в работе [2].
В данной статье рассматривается решение методом прямых задачи о колебаниях жидкости в полости с кольцевой перегородкой произвольной ширины. Этот метод позволяет оценить изменение динамических характеристик колебаний жидкости при введении в полость с жидкостью кольцевой перегородки. Расчеты методом прямых показали, что при уровнях, близких к перегородке, характеристики колебаний жидкости существенно отличаются от соответствующих характеристик в полости без перегородки.
Результаты расчета методом прямых удовлетворительно согласуются с результатами эксперимента.
§ 1. ВЫВОД УРАВНЕНИЯ ЧАСТОТ КОЛЕБАНИИ ЖИДКОСТИ
В полости на расстоянии /гп под свободной поверхностью жидкости установлена кольцевая перегородка шириной (фиг. 1).
Известно, что задача о собственных колебаниях жидкости формулируется следующим образом:
Ду = 0 в объеме жидкости х; (1)
У = 0 на свободной невозмущенной (2)
°х поверхности жидкости Е;
= 0 на смачиваемой поверхности 5, (3)
дп
где 5 = + 5+ — смачиваемая поверхность полости без перегородки,
5+ и 5_ — верхняя и нижняя поверхности демпфирующей перегородки);
<р = Ф (г, -г], л:) е'™* — потенциал скоростей жидкости [(/% т], х) — цилиндрические
координаты]; п —орт нормали к 5.
Пусть полость представляет собой прямой круговой цилиндр с плоским днищем. Краевая задача для определения Ф (г, т|, х) имеет вид (см. фиг. 1)
~ д2Ф "
ДФ = л^ + г^-дг2 дг
1- Г* -^5. = О в т; 1 дхг
/дФ
дх
■ о>2ф = 0 при х = 0;
— 0 при г = Я\
дг
дФ
дх
= 0 при х ■■
■ и-
(4)
(5)
(6) (7)
Фиг. 1
дФ п о о
-— = 0 на 5, и 5 дх + ~
Рассмотрим плоскость, проходящую через демпфирующую перегородку. Она делит объем т на два объема т+ и т_, расположенные выше и ниже перегородки. Обозначим потенциалы скоростей в т+ через Ф+ (г, т], х), в т_ — через Ф_(Л *], х). Учитывая непрерывность изменения потенциалов скоростей и вер-
тикальных скоростей жидкости при переходе из т____ в т_|_, для определения по-
тенциалов Ф_^_ и Ф_ можно сформулировать следующие краевые задачи;
I. ДФ+ =0 в т+ . <ЭФ
дФ
дх
дг
= 0 при г =
■±- = 0 при х=-кп, )</•</?;
Ф+=Ф_ при х = -кп 0 </-<(/? —
/дФ+
дх +
II. ДФ =0 в т
О при х = 0.
дФ_
дг
= 0 при г = Я;
дФ_
дх
= 0 при лг = -Ап; (Я - е!п)<: г < Я;
дФ+ дФ
дх
- при л: = -Лп; 0 < г < (/? — дФ
- = 0 при х = — Я.
дх
(8)
(9)
(10)
(П)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16) (17)
Для решения задач I и II применим метод прямых [3]. Выбирая число прямых, на которых разыскивается решение, достаточно большим, общее решение для потенциалов Ф+ и Ф_ можно представить в виде:
где — функции Бесселя первого порядка первого рода,
— корни уравнения У ($;) = О,
Ь+ — неизвестн Введем обозначения
а+!, Ь+ — неизвестные постоянные.
с,- = (¡1 — а_ из условий (12) и (17) следует
- а,- + я_г;
о Я / Н
сг = с*“27ё7: ь-‘ = &г ехр (~2 Ег "я
(20)
Общие решения для потенциалов Ф+ и Ф_ с учетом (20) принимают вид 00
I Г \ I X \ / X \ I
г); (21)
Ф+ = ^ У, (^1-^1 сг сЬ + о>2 /? С/«г) 1 зЬ J соя
ф- = ^-Л ^ехр ^ + ехр ^—2^-^ ехр ?*Тг)] С03 ^ (22>
При таком выборе решений граничные условия (8), (9) (12), (13), (14), (17) удовлетворены. Неизвестные величины с; и 6; определяются из граничных условий (10), (11) и (15), (16). В дальнейшем в общих решениях (21) и (22) учитывается п первых членов. Граничные условия (10), (11), (15), (16) рассматриваются в дискретном числе точек' (г* — Л„) — в точках пересечения вертикальных прямых с плоскостью перегородки (см. фиг. 1).
В матричной записи эти условия имеют вид
, " А1Х — ф^/-1А2Х = А3У, (23)
. ВгХ — ш2 /-1В2Х = В3У, (24)
где
(25)
■С1 ' г 1
Сг ь2
А" = • ; г =
- сп - - Ьп-
Элементы матриц Л; и В,- имеют вид
*1 ¡к
а2 ¡к
и\ ¡к
сН * = 1,2..../>; / = 1,2.....я;
Е*/г_1у1(б'х)‘ь(е|'^'); А=(/,+1)..........я; г=1-2’-
ЛЕ,_1у1(е,'^')в11(?,Т') к = ’’2.........г = 1, 2....л:
у»(е»-х)сЬ(б,-^-); к = (р+ 1)-------«; /=1,2.........я;
0;
0;
'■(6,£Н6,тг);
0:
. л;
(26)
*з »------6* ^~1 (6| •
ехр|
•2 5г -^-) ехр |
II о« 11 1, 2,.. •, я;
* = (/> +1),..., я; / = I. 2,. . •, я;
*= 1, 2 р\ ‘ = 1,2,.. •, я;
к =(р + 1), .. . ,л; <• = 1,2,.. • , я;
*= 1, 2,... ,/>; / = 1,2,. . ■, я;
* = (Р^Ь *)> • • • > п> ' = 1,2,.. ., я;
(“*■) .е*рН‘тЬ
(£| тг)] ; /,*=1,2,... , л.
Компоненты У определяются из однородной системы алгебраических урав нений . . 1 \ ‘ .
(А1-А3В^В1)У-<о*/-1(А2-Л3Вз1В2)¥=0.
Уравнение частот имеет вид . ,
I (^1 — -^з б3 1 В{) — «>2/ 1 (Л2 — А3В3 1 В2) |
:0.
(28)
(29)
Приведенные выше формулы пригодны лишь при Лп>0. При Лп = 0 задача решается методом, изложенным в работе [3]. Таким образом, определение методом прямых потенциалов скоростей й частот колебаний жидкости в полости •с кольцевой перегородкой сводится к задаче о собственных числах и векторах некоторых матриц.
Зная потенциалы скоростей жидкости, можно определить подвижную массу жидкости т и координату точки приложения /, равнодействующей гидродинамических сил [4]:
¿■I
,г — гпх)й8 11
г ср (18.
(30)
(31)
§ 2. РЕЗУЛЬТАТЫ РАСЧЕТА
Для оценки точности и эффективности метода прямых был проведен расчет цилиндрической полости с перегородкой ширины ¿„ = 0,3/?, установленной на расстоянии 1,45/? от днища. На фиг. 2 приведены результаты расчета (п = 20) частот первого (ф, кривая 1), второго (¿, кривая 2) тонов колебаний жидкости.
Там же приведены результаты расчета подвижных масс (X. кривая 3) и координат точек приложения гидродинамических вил [□, кривая 4) Результаты расчета
Ш1Я Л
величин —1— и сравнивались с
результатами эксперимента (0, ■). При
Фиг. 3
4,0
'(ж> (?)
,0,07 '0,1 '0,2 '0,4
у
/ / Ж / Л
к V \ \\
V V \ ■? <Ч~
> У
0,5 Юг.
п
Фиг. 2
Фиг. 4
сравнении теоретических и экспериментальных результатов наблюдается хорошее совпадение. Следует отметить, что при приближении уровня заполнения к перегородке сверху частота колебаний жидкости уменьшается, что объясняется эффектом плоского днища, создаваемого перегородкой. При совпадении свободной поверхности жидкости с плоскостью перегородки частота колебаний жидкости в полости с перегородкой выше частоты в полости без перегородки при том же уровне заполнения.
^ *
/ / i ; ' ' ' — ' ^ ^ *
'z"OJR' ' 'о,2П~ ' '
' 1 j-_______
%05К
О
■ 0,05 R
Xі
Фиг. 5
На фиг. 3 и 4 приведены Сі (г) и £2 (г) — расчетные значения форм свободной: поверхности жидкости, соответствующие первому и второму тонам колебаний. Поле-ортов скоростей вблизи перегородки, соответствующее первому тону колебаний жидкости, приведено на фиг. 5.
Удовлетворительное совпадение теоретических результатов с экспериментальными данными показывает, что метод прямых с достаточной для технических приложений точностью можно применять для расчета полостей вращения с кольцевыми перегородками.
ЛИТЕРАТУРА
1. Mils J. N. Ring Damping of free surf асе oseillations in circular
tank. J. Appl. Mech., 1958, v. 25, № 2.
2. В а u e r H. F. Zur Belasting Trägheitsmoment Erhöung und
Schwappenmassenreduktion durch Dämfungsringe in Treibstofftank. Raumfahrtforschung, Hf. 4, 1967.
3. К о л и н И. В., Сухов В. Н. Решение задачи о колебаниях
жидкости в полостях вращения методом прямых. «Ученые записки
ЦАГИ», № 3, 1970.
4. Микишев Г. H., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., «■Машиностроение», 1968.
Рукопись поступила 14/XII 1969 г.
