Динамика и устойчивость колебаний цилиндрического резервуара с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531.36, 531.38, 533.6.013.42

ДИНАМИКА И УСТОЙЧИВОСТЬ КОЛЕБАНИЙ ЦИЛИНДРИЧЕСКОГО РЕЗЕРВУАРА С УПРУГИМ ДНОМ И ЖИДКОСТЬЮ СО СВОБОДНОЙ ПОВЕРХНОСТЬЮ

© 2013 г. Н.К. Дидок, Ю.Н. Кононов

Дидок Николай Константинович - аспирант, младший научный сотрудник, факультет математики и информационных технологий, кафедра прикладной механики и компьютерных технологий, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк, Украина, 83001, e-mail: nick_di@rambler. ru.

Кононов Юрий Никитович - профессор, факультет математики и информационных технологий, кафедра прикладной механики и компьютерных технологий, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк, Украина, 83001, e-mail: kononov_yuriy@telenet.dn.ua.

Didok Nikolay Konstantinovich - Post-Graduate Student, Junior Scientific Researcher, Faculty of Mathematics and Information Technology, Department of Applied Mechanics and Computer Technologies, Donetsk National University, Universitetskaya St., 24, Donetsk, Ukraine, 83001, e-mail: nick_di@rambler. ru.

Kononov Yuriy Nikitovich - Professor, Faculty of Mathematics and Information Technology, Department of Applied Mechanics and Computer Technologies, Donetsk National University, Universitetskaya St., 24, Donetsk, Ukraine, 83001, e-mail: kononov_yuriy@telenet.dn.ua.

Рассмотрены задачи о поступательных и вращательных колебаниях цилиндрического резервуара с упругим дном, содержащего идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью. Исходные задачи динамики твердого тела и гидроупругости сведены к счетным системам обыкновенных дифференциальных уравнений. Выведены выражения для присоединенной массы и присоединенного момента инерции жидкости. Получены необходимые условия устойчивости положения равновесия рассматриваемых механических систем.

Ключевые слова: твердое тело, гидроупругость, идеальная жидкость, модальный анализ, устойчивость движения.

Problems on translational and rotational oscillations of cylindrical tank with elastic base and containing an ideal incompressible liquid with free surface are considered. Original problems on rigid body dynamics and hydro-elasticity were reduced to countable systems of ordinary differential equations. Expressions for added mass and added momentum of inertia were deduced. Necessary conditions of stability of considered mechanical systems equilibrium position were obtained.

Keywords: rigid body, hydro-elasticity, ideal liquid, modal analysis, stability of a motion.

Совместные свободные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и пластинки на свободной поверхности идеальной жидкости рассмотрены в [1]. В [2, 3] исследована задача о поперечных колебаниях цилиндрического сосуда с упругим дном под действием упругой силы в случаях его полного и частичного заполнения жидкостью. В данной работе с единых позиций рассмотрены задачи о поступательных и вращательных колебаниях цилиндрического резервуара с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью.

Постановка задачи

Рассмотрим механическую систему, состоящую из цилиндрического резервуара, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью. Резервуар имеет произвольное поперечное сечение О, жесткую боковую стенку Е и упругое основание в виде тонкой пластины с изгибной жесткостью В , подверженной растягивающему усилию Т в срединной поверхности. Колебания жидкости и упругого дна предполагаются совместными (безотрывными).

Для описания движения введем две системы координат: неподвижную - 0ХХУ2 и связанную с твердым те-

лом - Оу . Связанную систему координат расположим таким образом, чтобы ось Ог была параллельна образующей цилиндра, проходила через центр масс поперечного сечения резервуара и была направлена противоположно вектору ускорения силы тяжести g . Поступательные колебания резервуара под действием упругой силы происходят вдоль оси ОХ и характеризуются смещением X, а вращательные колебания физического маятника совершаются относительно оси ОУ и характеризуются углом поворота 6 (рис. 1).

Рис. 1. Рассматриваемые механические системы

Движение жидкости будем считать потенциальным. Для обозначения потенциалов абсолютной и

относительной скоростей жидкости введем функции

* *

ф и ф [4]: ф =ф+ V0 • r + Ю-Т.

Здесь r - радиус-вектор в координатах OXYZ; Vo - скорость движения начала координатной системы Oxyz ; ю - угловая скорость вращения резервуара; Т - потенциал Стокса-Жуковского [4], определяе-

5Т

мый из граничной задачи АТ = 0, - = r х n .

an ъ

Для рассматриваемого случая колебаний физического маятника относительно оси OY потенциал Стокса-Жуковского вычисляется по формуле

w cosh кп (z - h) - cosh knz Т = 2S«n-—гт-— Vn - ^ >

n kn sinh Kn

an = J xvn dQ, Kn = knh , Q

где v n и kn - собственные функции и соответствующие им собственные числа граничной задачи [4]

А2 у + к2 у = 0 на Q , dУ dn

= 0.

(1)

у

Здесь Д 2 - двумерный оператор Лапласа.

Функции уп вместе с константой образуют полную ортогональную систему в пространстве функций, интегрируемых с квадратом модуля на О и удовлетворяющих указанному в (1) граничному условию [4].

Исходная граничная задача, описывающая движение твердого тела, упругих пластин и жидкости, имеет вид

dQ + юх Q = K, dt

dG + юх G + V х Q = L , dt 0

. = 0

на Q, — dn

= 0 , pz=h/2 = А)

X-

d W

dt

2

■+ D

DAW - TA2W2 = Р0 - p\z=_

h/2'

B W2 = 0 , B 2W2 = 0, J WjdQ= J W2dQ,

Q Q

-Ф

dz z=h /2

dW1 5Ф dt ' dz

SW2 dt

(2)

(3)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

ф = a0 + a1z + z(a„

ek"z + Ä, e-k"z

\vn-

(9)

где а0, ах, Ап и Вп - некоторые функции времени.

Следуя Л.В. Докучаеву [5], исключим из системы уравнений (5) функцию ф . Для этого воспользуемся представлением (9), условиями совместности колеба-

ний (8), ортогональностью функций у п . Выражение для гидродинамического давления следует из интеграла Коши-Лагранжа [4, 6]. В результате получим систему интегродифференциальных уравнений относительно функций Wi

pgW =PQ* + f -f F0

d2W2 dt2

+ pZ

n

bnFn

d 2W2

It2"

_ ~ F

cn' n

d2W1

Уп

d2Wo ? *

X2 --¡T + D2A22W2 - T2A2W2 - pgW2 =-pQ - f -

dt ph

--Fr

2 0

(10)

d 2W2 dt2

+ pZ

n

bnFn

d W dt2

- ~ F

nn

d2W2 dt2

Уп

удовлетворяющих граничным условиям (6), (7). Здесь

Q* = Qd - ¿0, bn =

p

p

kn sinh кп

kn tanh кп

F0[w] =1JwdQ, FnM = Jwyn dQ

О J " T n '

Nn2 Q

г=-к/2

Здесь О и О - количество движения и момент количества движения механической системы; К и Ь - главный вектор и главный момент; % - поверхностная плотность пластины; р и ро - давление жидкости и внешнее давление; W■í и - смещение свободной поверхности жидкости и нормальный прогиб пластины; В, - операторы граничных условий закрепления пластины.

Решение задачи (4) может быть записано в виде

5 о

N1 = 1уП«О .

О

Величина / определяется характером движения твердого тела. В задаче о поступательных колебаниях под действием упругой силы / = -рхХ, в задаче о вращательных колебаниях физического маятника / = р[(/оё+ея )х -тё]; 10 - расстояние от оси вращения до свободной поверхности жидкости.

Метод решения

Представим прогиб основания в виде суммы статического и динамического: ^2 = + . Далее будем рассматривать только динамическую составляющую, опуская индекс d.

Вытекающую из (10) систему интегро-дифференциальных уравнений для динамической компоненты прогиба запишем в виде обобщенного волнового уравнения [5]

A

d 2W

It2

+ CW = f .

(11)

Здесь W = ) - вектор, компоненты которого

есть возмущение свободной поверхности жидкости и прогиб основания; А и С - инерционный и упругий операторы в пространстве функций, удовлетворяющих граничным условиям (6), со скалярным произведением

2

(и, V) = £ 1 бО;

I=1О

A =

^Z ~nVnFn phF0-Z bnfnFn ^

n n

- Z ЬпУп Fn X + phF0 + Z ~пУп Fn

n n

+

n

E

n

C =

pg

0

0 da2, -TA2 -pg

f =

f

Решение уравнения (11) будем искать в виде разложения в ряд по собственным формам колебаний пластины и свободной поверхности жидкости Wk [5]

Ж = 2РкЩ . (12)

к

Собственные формы колебаний, соответствующие различным собственным частотам Юк, попарно ортогональны по кинетической и потенциальной энергии [5]

/ \ |0, апёе к ф /,

(ЛЖк)=] '

[Цк, апёе к = /

(сщ )=Ю| (лЖк ).

Подставим разложение (12) в уравнение (11), умножим левую и правую части этого уравнения на Wk и проинтегрируем полученные соотношения по области О. В результате получим счетную систему обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) для обобщенных координат Рк , характеризующих отклонение свободной поверхности и деформацию пластины при возбуждении к-го тона колебаний

Цк (рк +Ю2 Рк) = /к (к =

где

Цк = (А™к> ^к) = РА^С2к0 + (Х + Р^)?2к0 + + 2 N2

Ыкпсп + С2ки(Х + сп) - 2?1ки?2кФп]>

п

Сгк0 = р0Кк ] > Сгкп = ] .

Для вывода уравнений поступательного движения твердого тела под действием упругой силы воспользуемся теоремой об изменении количества движения механической системы (2)

ЫУ0 +р! УхйУ = -сХ,

V

вращательных колебаний - теоремой об изменении момента количества движения (3)

у

Здесь М - масса механической системы; с - жесткость пружины; . - момент инерции твердого тела, замороженной жидкости и пластин относительно оси ОУ .

Так как

б2<р

д2ср

в.

MX + p2 Cn

FJW] - F„[W2]

= -cX,

JQ +k2e = pE^2nFnW2] + gFn[W2] -

(13)

-ßlnFn [W] - gFn[Wx ]

где

Cn = Л dß=JVn*dß, k2 ß c* ß

k2 = gM21 /о + h + sl + g(mo~0 + m2~2),

2 к ß1n = /0 +—tanh -2.

12 0 К 2

2 к ß2n = /0--tanh— + h,

22 0 К 2 '

М2 - масса жидкости; т и /0 - масса твердого тела и расстояние от центра масс твердого тела до оси вращения; ш2 и /2 - масса пластины и расстояние от центра масс пластины до оси вращения. Величина 5 представляет собой смещение центра масс жидкости,

обусловленное статическим прогибом основания Ж21

Г Л2

1

2Sh

J W2dß

Vß

-j(w/ fdß

ß

Подставив (12) в (13), получим счетные системы ОДУ возмущенного движения рассматриваемых механических систем

2 ,

^k (Pk +ю2 Pk )=akX>

MX + cX = 2а kPk, k=1

^k (pk + ю 2 Pk ) = ßke + gak e>

je+k 2e= 2 (ßkPk + gakPk k=1

)

(14)

дхд( 8гд1 &

то с учетом представления потенциала ф в виде (9) уравнения движения твердого тела при поступательных и вращательных колебаниях можно записать следующим образом:

Здесь

ак = РI (^2к - ^1к )х = Р2 Сп (С2кп - С1кп) > О п

Ок = р2 Сп (О2пС2пк - О1пС1пк ) . п

Таким образом, задача о движении цилиндрического резервуара с упругим дном, частично заполненного идеальной несжимаемой жидкостью, сведена к интегрированию бесконечных системы ОДУ относительно обобщенных координат. Эти координаты характеризуют положение твердого тела, колебания жидкости и пластины.

Разрешив системы уравнений (14) относительно Рк , получим выражения для присоединенной массы и присоединенного момента инерции жидкости

М 2х = М 2, .~2у = J 2-2Ок .

к Ц к к Цк

При этом 0 < М2х < М2 и 0 < .2у < .2 . Для резервуаров в виде прямого кругового и коаксиального цилиндров Сп = 0, и в этом случае будут возбуждаться только одноузловые несимметричные колебания.

Собственные формы колебаний

Как отмечено выше, для применения модального анализа необходимо иметь аналитические выражения для собственных форм колебаний м>к =(м1к, ^2к).

s =

n

Задача на собственные колебания следует из уравнений (10) при \ = 0 . Используя методику, описанную в

[1, 2], получим следующие выражения для собственных совместных форм колебаний упругого основания и свободной поверхности:

2

q + рю 2 h

\k

+ 2

n

2

2 Q + 2 A

pg (q + рю 2 h /2) i=1

gm2 hFo[M°] g (2q + рю 2h)

m2 dnFn[ui0]

w2,k =

(dn "Tn)(ю2 "

Q

kdnFn[ui

•(m2 -mn)

n/'cosh Kn

"Vn

q + рю kh/2

+ 2 A Jw0 -

(15)

2 1 0 рю2hF0[ui0] , ^ ^nFn[ui0]

■+z

i=1

2q + рю 2 h n

(dn -Tn )

Vn

2

где q = xmk +pg; xn =

рю2tanhKn ю2-ю2cothKn

2 ~2

mk -mn

= (окП + Т^П - Ч ; функции и0 представляют собой ограниченные независимые решения однородного уравнения ОА2и - ТА2и - чи = 0; ^, А2, б - константы, определяемые с точностью до постоянного множителя из системы линейных уравнений

ап а-12 а1з У А1 ^

= 0 , (16)

a21 a22 a23 a31 a32 a33

A2 Q

которую получаем, подставляя выражения для собственных форм (15) в граничные условия (6), (7). Например, в случае граничных условий жесткого защемления имеем

о qg^olu^ , v,^nFn[u0],., a1i = ui\--2--h2~-

ly

q + рю h

'(dn -xn )

a3i =

q\

2;

■ -ю h

i F

g(q + рю h

[И0] (i = 1,2), a13 =

a2i =

1

9v

q + рю h

^23

= 0,

a33 =

р(д - rn2h)- (q + рю2^

g(q + рю^

Из равенства нулю определителя однородной системы линейных уравнений (16) следует уравнение для собственных частот Юк.

Устойчивость малых колебаний

Положив X = Xoe

iat

Рк = ркоеш и 9 = 9ое'0/, получим уравнения частот ст соответственно поступательных и вращательных колебаний резервуара

Мст2 - с = ст4 2

2

a2

22 k=1 ^k (ст -ю^)

^ - k2 =2 (^kст2 - g*k)2 k=1 M-k (ст -®2)

(17)

(18)

Исследование этих уравнений удобно проводить графоаналитическим методом [6], представив левую и правую части соответственно как функции /1(х) и 2

/2(х), х = ст (рис. 2). Штриховой линией на рисунке обозначены асимптоты кривой /2 (х) . Из рис. 2 видно, что высокие частоты колебаний системы ст2 весьма близки к собственным частотам совместных колебаний упругой пластины и свободной поверхно-

2

сти жидкости в неподвижном сосуде Юк .

2

Из рис. 2а видно, что упругость основания (а2 Ф 0) приводит к смещению её основной частоты влево. Чтобы показать отсутствие корней в левой полуплоскости, заметим, что прямая /1( х) имеет тангенс угла наклона, равный полной массе системы М, а функция / (х) монотонна при х < 0 и имеет наклонную асимптоту с тангенсом угла наклона М . Так как /1 (0) < -с = / (0) и М = М2 - М2х ^ М2 < М, графики функций /1(х) и /2 (х) в левой полуплоскости не пересекаются.

F С 1 r-"*""^ 1 \ г i \ \ 1 \ V 1 \ л ! \

с! -i \ 1 . 1 1 1 1 1

а б

Рис. 2. График левой и правой частей (17) - а, (18) - б

Аналогичные рассуждения для уравнения (18) (рис. 2б) показывают, что пересечений в левой полуплоскости не будет, если

k2 > g2 2

a

2

k

k =1 Ц k ®k

(19)

Таким образом, соотношение (19) дает необходимое условие устойчивости положения равновесия в задаче о физическом маятнике.

Выводы

В линейной постановке на основании модального анализа исследованы поперечные поступательные и

+

+

k

n

y

n

У

вращательные колебания цилиндрического резервуара с упругим дном и жидкостью со свободной поверхностью. Постановки задач и основные аналитические результаты получены для резервуара с произвольным поперечным сечением. Выведены выражения для присоединенной массы и присоединенного момента инерции жидкости. Для задачи Сретенского показано, что учет упругости основания не нарушает устойчивость твердого тела, а в задаче о колебаниях физического маятника возможна потеря устойчивости механической системы.

Литература

1. Кононов Ю.Н., Дидок Н.К. Совместные колебания упругого дна цилиндрического сосуда и пластинки на свободной поверхности жидкости // Современные пробле-

Поступила в редакцию_

мы механики сплошной среды: тр. XIII междунар. конф. Т. 2. Ростов н/Д, 2009. С. 108-112.

2. Кононов Ю.Н., Дидок Н.К. Задача Сретенского для ци-

линдрического сосуда с идеальной жидкостью и упругими основаниями // Механика твердого тела. 2010. Т. 40. С. 210.

3. Дидок Н.К. Поперечные колебания цилиндра с упругим

дном, содержащего жидкость со свободной поверхностью // Тр. ин-та прикл. мат. и механики НАН Украины. 2011. Т. 22. С. 71.

4. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с

полостями, частично заполненными жидкостью. М., 1968. 532 с.

5. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппа-

ратов с деформируемыми элементами. М., 1987. 232 с.

6. Моисеев Н.Н., Румянцев В.В. Динамика тела с полостя-

ми, содержащими жидкость. М., 1965. 439 с.

15 июня 2013 г.