Колебания геометрически нерегулярной пластины и штампа, взаимодействующих друг с другом через слой вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 532.517.2:539.3

КОЛЕБАНИЯ ГЕОМЕТРИЧЕСКИ НЕРЕГУЛЯРНОЙ ПЛАСТИНЫ И ШТАМПА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩИХ ДРУГ С ДРУГОМ ЧЕРЕЗ СЛОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Е.С. Скородумов, Д.В. Кондратов, Е.Л. Кузнецова, Л.И. Могилевич, В.С. Попов

Аналитически решена в плоской постановке задача о колебаниях ребристой пластины и абсолютно жесткого штампа, образующих стенки щелевого канала, заполненного слоем вязкой несжимаемой жидкости при заданном гармоническом законе вибрации основания канала. Вариационным методом получены уравнения динамики пластинки-полоски с односторонними ребрами. Для описания ребер использованы обобщенные функции Хевисайда. Сформирован комплекс безразмерных переменных рассматриваемой задачи и выделены малые параметры. Найдены законы прогибов пластины, перемещений штампа и распределения давления в слое вязкой несжимаемой жидкости. Построены амплитудная частотная характеристика штампа и частото-зависимая функция распределения прогибов ребристой пластины-полоски. Получены соответствующие им фазовая частотная характеристика и частотозависимая функция распределения фазового сдвига относительно заданного инерционного возмущения основания. На основе расчетов показана важность учета второго и последующих членов разложения в ряд при проведении практических вычислений.

Ключевые слова: гидроупругость, ребристая пластина, штамп, математическое моделирование, плоский канал, изгибные колебания, вязкая жидкость, вибрация основания.

Исследования колебаний упругих конструкций, взаимодействующих с жидкостью, составляют одно из современных направлений развития гидроупругости. В рамках данного направления можно выделить задачи по исследованию динамики вибрирующих упругих стенок плоского канала, заполненного жидкостью. В работе [1] решена задача об изгибных колебаниях стенки канала как балки-полоски, взаимодействующей с идеальной жидкостью, заполняющей канал, и на ее базе выполнено исследование причин возникновения вибрационной кавитации в жидкости. Однако в данном подходе пренебрежение вязкостью жидкости не позволяет учесть демпфирования в рассматриваемой колебательной системе, которые обуславливают ограниченность амплитуд колебаний стенки канала на резонансной частоте. В работе [2] исследованы колебания-балки полоски, погруженной в идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью. При рассмотрении граничных условий для скоростей жидкости рассмотрены линеаризованные граничные условия, то есть они снесены на невозмущенную поверхность. В [3] исследованы колебания консольно-закрепленной пластины, находящейся в неограниченном объеме вязкой несжимаемой жидкости с изначальным заданием линеаризованных граничных условий на невозмущенной поверхности пластины. С другой сто-

37

роны, в [4] исследованы хаотические колебания пластины при ее взаимодействии с потоком идеальной несжимаемой жидкости с учетом граничных условий на возмущенной поверхности пластины без снесения их на невозмущенную поверхность. Аналогичные граничные условия рассмотрены на возмущенной поверхности цилиндрической оболочки, взаимодействующей с ударной волной в газе [5].

Исследованию демпфирования гармонически вибрирующей бесконечно длиной балки-полоски на слое вязкой сжимаемой и несжимаемой жидкости посвящены работы [6-8]. В данных работах показано, что демпфирующие свойства слоя жидкости, на котором лежит вибрирующая бесконечно длинная балка-полоска, существенным образом возрастают при уменьшении толщины слоя. Исследование взаимодействия вибрирующих дисков со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними, выполнено в работе [9]. При этом показано, что упругие колебания стенок канала на резонансных частотах приводят к изменению давления в жидкости на несколько порядков и являются основной причиной вибрационной кавитации. В [10] рассмотрена аналогичная задача для двух вибрирующих пластин. Вибрация круглой пластины на свободной поверхности идеальной несжимаемой жидкости рассмотрена в [11]. При этом рассматривается область в жидкости, ограниченная жестким дном и цилиндрической поверхностью. Колебания круглой пластины, погруженной в воду со свободной поверхностью [12]. В работе [13] выполнено исследование гидроупругих колебаний балки в потоке вязкой жидкости применительно к пьезо-преобразователям, которые могут использоваться для получения энергии от потока. В работе [14] поставлена и аналитически решена в плоской постановке задача изгибных гидроупругих колебаний однородной пластины, образующей стенку щелевого канала с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости при заданном гармоническом законе пульсации давления на одном торце. В работах [15, 16] рассмотрена трехслойная стенка канала (пластина) при заданном гармоническом законе движения абсолютно жесткой стенки канала или противодавления в жидкости. Для решения задачи динамики пластины применен метод Бубнова-Галеркина в первом приближении.

С другой стороны, на практике широко применяются геометрически нерегулярные тонкостенные конструкции в виде пластин и оболочек, подкрепленных ребрами жесткости [17-19]. Работ по гидроупругости ребристых тонкостенных конструкций мало, например, в работе [20] рассмотрена постановка задачи гидроупругости кольцевого канала, одна из стенок, которого является цилиндрической оболочкой с внешними шпангоутами. В работе [21] рассмотрена задача взаимодействия пластины переменной толщины со сдавливаемым слоем жидкости. В данных работах, для описа-

ния геометрически нерегулярной тонкостенной конструкции использован подход, связанный с использованием аппарата обобщенных функций предложенный в [18].

Рассмотрим далее постановку и решение задачи гидроупругости ребристой пластины, взаимодействующей с жестким штампом через слой вязкой несжимаемой жидкости в условиях вибрации основания. Рассматриваемая механическая система (см. рис.1.) включает в себя: абсолютно жесткое тело, с упругим подвесом - штамп 1 и упругую ребристую пластину 2, между которыми находится слой вязкой несжимаемой жидкости 3. Указанные тела заключены в едином корпусе (он условно показан на рисунке пунктирными линиями), имеющем справа и слева торцевые полости, заполненные той же жидкостью, что и жидкость между штампом и пластиной. Давление жидкости в левой и правой торцевой полости постоянное р0, а истечение жидкости в эти полости можно считать свободным. Штамп может перемещаться в вертикальном направлении за счет наличия упругой связи (пружина или магнитный подвес) с корпусом, установленным на вибрирующем основании. При этом частота колебаний штампа ю, а амплитуда его колебаний 1т. Вибрация основания происходит только в вертикальной плоскости. Длина и ширина штампа и пластины совпадают. Длина пластины Ь значительно больше ее ширины 21. Внутренняя поверхность пластины, находящаяся в контакте с жидкостью, является плоской, а внешняя поверхность имеет п ребер жесткости. Ребра расположены параллельно стороне Ь пластины. Толщина статора на участках, где отсутствуют ребра жесткости, равна к0. Высота у'-го ребра равна Иру, а его ширина е}.

Вязкая несжимаемая жидкость 3 полностью заполняет щелевой зазор между штампом и пластиной. Средняя толщина слоя жидкости в канале д0. Возбуждение колебаний штампа и изгибных колебаний пластины происходит за счет переносного виброускорения основания канала, при этом ее деформации считаются малыми. На торцах пластина свободно оперта на вибрирующее основание.

I

I

Рис. 1. Рассматриваемая механическая система

39

Будем учитывать далее, что в рассматриваемой механической системе присутствуют сильное демпфирование, обусловленное учетом вязкости жидкости. В свою очередь, наличие демпфирования приводит к достаточно быстрому затуханию переходных процессов с течением времени, влияние начальных условий перестает сказываться и возникают установившиеся гармонические колебания. Следовательно, при рассмотрении достаточно длительных во времени процессов общее решение неоднородных уравнений и начальные условия будем исключать с самого начала исследования [22].

Заданный закон движения вибрирующего основания представим в

виде

= Ezfo(wt), Мш) = БШ^) , (1)

тогда ускорение вибрирующего основания можно записать как

2

= EzdJ0W± = ш2 Л(ш), (2)

dt2

где Ez - амплитуда колебаний основания; ш - частота колебаний; ? - время.

Принимая во внимание, что Ь >> £, далее рассмотрим плоскую задачу, введя декартову систему координат Oxyz, связанную со срединной поверхностью пластины.

Балка-пластинка имеет вдоль своей длины п поперечных ребер жесткости в виде ступеней параллельных оси Оу высотой hp] и длиной е}.

При этом текущее ребро имеет высоту hp] и длину е}. Началу ребра будет

соответствовать продольная координата начала ребра х]-. Таким образом, высота ребра скачкообразно изменяется при движении вдоль пластины по оси Ох. Нормальная к координатной поверхности координата z, верхней поверхности пластины постоянна:

zl = Ио/2. (3)

Часть нижней поверхности пластины постоянна Z2 = - ^/2, а расположенные вдоль оси Oх на интервалах х^ -е^ £ х £х^ (] = 1,2,..., п) ребра, ограниченны по высоте поверхностями

z 2 =- но/2 - + но =- V2 -{hpj/hо - фо =- V2 - k1 ]Ьо->

kl j =^/Но -1). (4)

Таким образом, нижняя поверхность претерпевает разрывы в точках оси Ох, соответствующих началу появления ребер и точках их окончания. Ступенчатый характер изменения высоты ребер можно описать при помощи разности двух функций Хевисайда [18]. Следовательно, вводя в рассмотрение разность функций Хевисайда общее уравнение, описывающие нижнюю поверхность ребристой пластины-полоски можно представить в виде

22 = - ^о /2 - ^ kljhoДГу (х), ДГ(х) = Г(х - х •) - Г(х - х • - е •) (5)

С учётом гипотез Кирхгофа связи между напряжением и деформацией, деформацией и упругими перемещениями пластины имеют вид:

® х =

Е 2 2= ди

2 е х, е х =

г

и2 = и - г

дЖ

Ж2 = Ж

(6)

1 -т2 дх дх

Здесь Е - модуль Юнга материала пластины; / - коэффициент Пуассона материала пластины, и, Ж - продольное перемещение и прогиб координатной поверхности.

Уравнения динамики ребристой пластинки-полоски получим при помощи вариационного интегрального принципа Гамильтона

= Г,'1 [5К - 5П - 5А] Ж = 0, (7)

где 5К - вариация кинетической энергия системы; 5П - вариация потенциальной энергии деформации системы; 5А - вариация работы внешних сил.

£ 21

5К = Ьр о I I

-£ 22

2Т т2

д 2и дг

■5и2 +

Гд 2Ж2

дг

+ 20

Л Л 2

5Ж'

d2dx ■■

= Р0к0Ь I

(1 + Хк1 • ДГj•)

д 2и к

+ ^ ХЬ уДГу

дг

2

2./т •

д 3Ж дхд,2

5и +

+

'-2

(1+ Хк1 • ДГj)

д 2Ж

дг

+ 20

3 2

к0Хк2 • ДГ•• - к0(1 +Хк3 • ДГ•) 2 ^ • дхд,2 3 ]

д 4Ж дх2д,2

5Ж

dx +

+ Р 0 к0Ь

к0 2

(1 + Хк1 • ДГj)

д 3Ж к

+ Хк 2 • ДГ ••

д 2и

. ___о 7 /Л1 7--

дхд,2 2 2 • д,2

5Ж

С о г

£ 2!

5П = Ь | | ох5еzxd2dx = Ь - £ 2 2

дг,

х

+

, 5и

дх дх2

дм

х

5Ж

dx +

Тх 5и +

дх

х

5Ж - Мх 5

21

гт С „2 У Ек0

Тх = I = 0

дЖ

к дх J J

лди к^ д Ж

(1 + Хк1; ДГ/ )^ + Т

-£ J

£

£

£

I

£

М х = | о = — 1

ЕНс

т о

2

Ип дП Иа

Sk2 уАГ ~ + -^(1 + Sk3jAГj)

2

дх 12

д V

дх 2

Ъ^ = Ь |(чхЪП + чпЪЖ^х, -£

2 3 2

где k2у = (klу) + ^у, kзу = 4(^у) + у) + 3^у, чх, чп - касательное

и нормальное напряжение на поверхности пластинки-полоски со стороны вязкой несжимаемой жидкости, ро - плотность материала пластины.

Как известно, выражения под знаками интегралов по х определяют уравнение динамики ребристой пластины-полоски, выражения с двойной подстановкой по х определяют возможные варианты начальных и граничных условий уравнения динамики ребристой пластины. Таким образом, уравнения динамики ребристой пластины-полоски имеют вид

ЕИо д

1 -Ц о дх

о

(1 + АГу)дП + И» ЕЪ .АГ,.3 Ж

дх 2

у

дх

Чх

Ро Ио

(1+ Щ у АГу )

д 2П И

о

ЕИо д

дt

2

1 -то дх2

И

Sk 2 у АГ у

дП И

2

2 у 7

+

2

2 о

2* 2у АГу

д 3Ж

дхдГ

дх 12

(1 + ^3 у АГу )

РоИо

(1 + у АГу)

д 3П

' д^. а*2

+ &&о

д 2Ж дх 2

= Чп

2

2/

^ дхд*2

Ип

+ АГу )

д 4Ж дх2д*2

(8)

Вариационному уравнению удовлетворяют условия свободного опирания на торцах пластинки-полоски

^ дП д 2Ж . ±,

Ж =-= —— = о при х = ±£ . (9)

дх дх2

Выражения для напряжений Чп и Чх , действующих со стороны жидкости, представим в виде [4, 5, 18 - 2о]

о дУ2 Чп =- Р + 2р^—4 дч

Чх = РП

Ж дУЛ

х

+

дх дч

Ио

при ч = Ж +

Ио

при ч = Ж +

(Ю) (11)

£

Уравнения динамики штампа запишутся в виде

m (z0 + z)+n1z = -b i Чп \z=80+h

z=S 0 +y+Zmfz (wt)

(12)

где т - масса штампа; п1 - коэффициент упругой жесткости подвеса (упругой связи) штампа; 2 - закон движения штампа; fz (ш?) - гармоническая функция времени.

Уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости запишутся в виде [23, 24]

V dVx dVx —x + Vx —x + Vz —x dt dx dz

1 dp

---—+ V

p dx

d 2Vx d 2Vx

+

dVz dVz dVz —- + Vx —- + Vz —z dx dz

dt

v dx2 dz2 y

.. 1 dp ^ ^ Л - zo--T" + V

dVx dVz

+

p dz

= 0.

d 2Vz d 2Vz

dx

2

+

dz

2

(13)

Эх Э2

где р - давление; р, п - плотность и кинематический коэффициент вязкости жидкости; Ух, У2 - проекции скорости движения жидкости на оси координат.

Уравнения динамики жидкости дополняются условиями прилипания жидкости к стенкам канала [4, 5, 18 - 20]

Ух = 0, = 2 при 2 = 5 0 + % + (ют),

2

„ dU dW ш h0

Vx =-, Vz =- при z = W + -0-.

x dt z dt 2

(14)

и условиями ее свободного торцевого истечения [23], заключающимися в совпадении давления жидкости на торце канала с давлением в правой и левой полости, с учетом давления за счет переносного виброускорения основания

Р = Po -Pz0( z "So - hol2 - zmfz(wt)) при x = ±l . (15)

Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры задачи:

z = (z - h0/2)/S0, x = x/L, t = wt, U = umUi, W = wmU3, (16)

P = P0 +

PV zmw

h

2 'P - Pz0 (z-Ö0 - zmfz (wt)), Vz = zm wU £ , §0¥ 2

Vx = zmWUx, 1 = zm/00 << 1, V = Ö0/L << 1,

y

L

где у - относительная толщина слоя жидкости; 1 - относительная амплитуда колебаний штампа; Р - безразмерное давление, ит, wm - амплитуды продольного перемещения и прогиба ребристой пластины.

Подставляя введенные безразмерные переменные (16) в уравнения динамики вязкой несжимаемой жидкости (13), получим запись данных уравнении в безразмерном виде

V

ди

Х

У

2 Ю^о

V

дт

ди £

"дТ

+ 1

+1

ди Х

иЫ+и г

диг

иХ-г+иг

Х дХ г

ди

дг

дР 2 д2 иХ д2иХ ■—+У +—^

2

дХ дХ2 д£

(17)

ди

дР 2

=--+ У 2

2 д2иг , д2иг

2

У

+ ■

дХ2 дг

диХ ди г

'X ди г Х +-г=О,

дХ ' дг

при этом соответствующие им граничные условия прилипания жидкости к стенкам канала (14) и условия свободного истечения на торцах (15) примут вид

иХ= О, иг= ^ при г = 1 + 1/(т),

и Х=у

ди 2

, и г

w

т

диз при г = 1

ит ди 2

2т дт 2т дт 2т

и3,

(18)

Р = О при Х=± 1.

В рассматриваемой постановке с учетом тонкости слоя жидкости у = §о/I << 1 и, следовательно, в нулевом приближении по у уравнения динамики жидкости (17) и соответствующие им граничные условия (18) существенно упрощаются, так как в них можно положить равными нулю

2

члены порядка у и у .

Нормальное и касательное напряжения (10), (11), действующие на гладкую поверхность упругой ребристой пластины-полоски со стороны слоя жидкости в безразмерных переменных (10), примут вид

w

при г=1—и3

2

т

Чп = - Р0

Рп 2т Ю

5о у

2

Р - 2 у

2 и

дг

+ Р5о2о(С- 1 -1/2 (т)).

(19)

w

при г=1-ти3

2

т

Чх

Рп 2т Ю

5о у

ди,

у

г

ди хл

дХ дг

(2о)

При сравнении полученных выражений для нормального и касательного напряжений, становится очевидным, что для тонкого слоя жидкости в щелевом канале выполняется условие чп >> чх. Следовательно, в рассматриваемой постановке можно пренебречь касательным напряжением на гладкой поверхности ребристой пластины по сравнению с нормальным напряжением. При этом нормальное напряжение (19), действующее на гладкой поверхности ребристой пластины-полоски, в нулевом приближении по у, примет следующий вид

Чп = - Ро

ру w¡

Р + р5о*о(С-1 -V*(т)) при С=1 ^3.

(21)

5оу2 ^т

Кроме того, принимая во внимание, что в предложенной постановке рассматриваются изгибные колебания ребристой пластины без учета распространения упругих волн и волновых процессов в жидкости в первом уравнении динамики пластины-полоски (8) исключим из рассмотрения силы инерции, как это предложено в [26] при исследовании задач гидроупругости.

Таким образом, из первого уравнения (8) с учетом сделанных замечаний находим связь между продольным перемещение и прогибом пластины.

дх

ко дV

—Еки АГ;ТТ

2

дх

(22)

Подставляя нормальное напряжение (21) в уравнения динамики ребристой пластины-полоски (8) с учетом введенных безразмерных переменных и связи (22) получим уравнение ее изгибных колебаний в виде

БН^

т

12(1 -^Х4 дХ2

рП*тО>

(1 + S(kзJ - зуу )АГу)

д 2и3

-Ро

дХ2

Р + р5о* о(1из -1 -У*(т))-

-Ро ко

5оу 2 (1 + Щ у АГу)

'д 2и з

дт

2

WmW

ко

Ш

2

(1 + Е(кзу - 3к1 ук2у )АГу )

д 4из дХ2дт2

(2з)

с граничными условиями

из =

ди 2

д 2и з

дХ дХ2

= о при Х = ±1.

(24)

Как видно из (23), среди инерционных членов можно пренебречь

h2

слагаемым при коэффициенте —— << 1 в силу его малости. Заметим, что в

12L 2

уравнении (23) возможно осуществить переход к однородной пластинке для этого достаточно положить равными коэффициенты ki j, ^ j, кз j равными нулю.

С учетом сделанных выше замечаний, решение задачи сформулированной задачи гидроупругости (12), (17), (23) с граничными условиями (18), (24) проведем методом возмущений [25] по малому параметру l, представляя его в виде асимптотического разложения

P = P0 + lP1 + •••, Ux = U xo + •••,

U с = U z o + 1U С1 + •, U3 = U30 + IU30 + • (25)

Подставляя разложения (25) в уравнения (12), (17), (23), выражение для нормального напряжения (21) и граничные условия (18), (24), в которых положены нулю члены порядка у и у2, и рассматривая первый член разложения, получим линеаризованную задачу гидроупругости, включающую в себя

уравнение динамики жесткого штампа

m1(z0 + z) + n1z = 2bLp0 + pVZmWL jP0dX, (26)

60V -1

уравнения динамики тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости

who эцх0 =-эръ,э2uX0 аръ = 0 ^UXg +эцсс=0 (27) v Эх эх эс2 , эс , эх эс , ( )

уравнение изгибных колебаний ребристой пластины-полоски

э2и

Eh^wm э

12(1 -m2)L4 эх2

(1 + S(k3j - 3k1 jk2j )АГj )■

3

эх

2

-P0-PZ080-PVZmW P0

60V

2

-P0h0Wmw (1 + Sk1 jAGj )

Г э 2u 3 + z0

л 2 2

v эх wmw у

(28)

и граничные условия прилипания жидкости, снесенные на невозмущенные поверхности штампа и пластины

иХо = о, ис0 = ^^ при С=1, (29)

иХ0 = о, = при с=0, (30)

46

а также условия свободного истечения жидкости и закрепления пластины на торцах

Р0 = 0 при Х=± 1, (31)

Uз = 0,

Э 2Uз

ЭХ

2

0 при Х = ±1-

(32)

Для решения полученной задачи определяется частное решение неоднородных линейных уравнений в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат. Решение уравнений (27) с граничными условиями (29), (30), (31) представлены в виде To = At cost + Bt sint. Здесь под То понимаются Ро, U£о, U£о, U30 коэффициенты At , Bt для Ро и Uзо зависят только от X, для U£о, Uхо они зависят от X и Z. В результате найдено безразмерное давление в виде

* = 2 (x2 -

2e 2a(w)d 2fz

dt

2

+ 12g(w)

dh dt

+

w

m

z

m

1

ÍÍ

x

' 2e 2a(w)Э 2u30

Эт

2

+ 12g(w)

эи

30

Эт

dXdX +

+2 (x-1)

w

m

z

Я

m -1

2e 2a(w) Э2из0 + 12y(w)Эи 30

Эт

Эт

dXdX

(33)

где

2e2 = a>5 2/v, g(w) = 1

e (she-sine)

a(w) =

6 e2 (che + cos e) - 2e(she + sin e) + 2(che - cos e) e(e(che + cos e) - (she + sin e))

e (che + cos e) - 2e(she + sin e) + 2(che - cos e) Форму прогиба ребристой пластины-полоски с учетом краевых условий (32) представим в виде

¥ 2 k_1

WmU30 = Wm IR + Rk(t))cos-^-рХ• (34)

W

k=1

2

Здесь - постоянный коэффициент, соответствующий постоянному

уровню давления ро; Р^ (т) - гармоническая функция времени t.

Ограничиваясь в (34) п членами ряда и осуществляя подстановку (33), (34) в уравнения динамики штампа (26), ребристой пластины (28) с учетом заданного закона вибрации основания (2), и используя процедуру Бубнова-Галеркина для решения уравнений динамики ребристой пластины, были найдены законы движения вибратора и прогиб ребристой пластины в виде:

1

г = 21Ьро/ П1 + Е* ю2

2 ^

бос (ю) — + 00, (ю)

йт йт2

= 21Ьро/П1 + Е*ю П* (ю)Бт(ю? + ф2(ш));

w = ^ Е

Ро Ве*к , Е* ю

к=1 I ^

+ -п wm

(4?(ю) -

■ [ Акп) (ю)бо, (ю) + 4п) (ю)бос (ю)]) — +

йт

+

й 2 —

(воп (ю) + [ Акп) (ю)бос (ю) - вкп) (ю)бо, (ю)]) — о

йт

2

2к -1 „

г>СОБ-ЛХ :

2

(з5)

Е Ро

Ов1к___2к -1____ ^ _2

СОБ-

к=1 Б^Лп И

лх + Е* ю П w (х, ю)Бт(ю? + ф w (х, ю)), (зб)

где введены обозначения

П * (ю) = (бос 2 (ю) + Qоs2 (ю) )/2 , tgфz (ю) = - бос («Vбо^ (ю),

П w (X, ю) =

п

Е 4? (ю) - [ Лккп) (ю)бо^ (ю) + вкп) (ю)бос (ю)] )сов V к=1

|(п),

?(п)/

✓ ч\2

'2к -1

лх

и

+

+

✓ ч\2 {1 \ ^

' (п) (/-.-Л -¡-[Л(п) Ъ(п)(г.л\п„ ' 2к 1

Е [вок (ю) + [Л^ (ю)бос (ю) - вк"> (ю)бо^ (ю)] ]сов V к=1

V

2

лх

12

tg(фw (X, ю)) =

Е ([ лкп) (ю)бо 5 (ю) + вкп) (ю)бос (ю)] - Л<оп) к=1

п

(ю) )соБ((2к - 1)лх/2£)

п

Е (во? (ю) + [ Лкп) (ю)бос (ю) - вкп) (ю)бо^ (ю)] к=1

Выражения для Ве1к, БеЛ, 4?, во?,Л^, вкп) бос, бо*, не

приведены ввиду их громоздкости.

Найденные законы движения штампа и прогиба ребристой пластины позволяют исследовать напряженно-деформированное состояние пластины, давление в жидкости, а также использоваться для определения резонансных частот колебаний в рассматриваемой механической системе.

48

|(п),

>(п),

)соБ((2к - 1)лх/2£)

оо

Заметим, что в выражениях (35), (36) первое слагаемое соответствует нагрузке от постоянного давления ро, а второе слагаемое соответствует воздействию переносного виброускорения основания канала с амплитудой Ега2. Функция Пг (а) представляет собой амплитудную частотную характеристику штампа, а функцию П „ (х,а) можно рассматривать как частото-зависимую функцию распределения амплитуд прогиба вдоль пластины, отнесенную к единице виброускорения. Аналогично, функция р2(а>) представляет собой амплитудную частотную характеристику штампа, а функцию рк(х,а) можно рассматривать как частотозависимую функцию распределения фазового сдвига прогиба пластины. В случае фиксированного значения продольной координаты х, функции П„ (х,а) и рк (х,а) представляют собой амплитудную частотную характеристику и фазовую частотную характеристику прогиба ребристой пластины. Таким образом, на базе расчетов функций Пг(а), р2(а), П„(х,а), рк(х,а) можно исследовать колебания штампа и пластины, взаимодействующих друг с другом через слой вязкой несжимаемой жидкости, возбуждаемые переносным виброускорением основания.

В качестве примера на рис. 2 приведем результаты расчетов амплитуд прогибов ребристой пластины-полоски в центре канала (х = 0), обусловленных переносным виброускорением основания с амплитудой Ега>2 = 1? . Расчеты проводились для случаев п=1,2,...5 для варианта канала, образованного пластиной с двумя ребрами и параметрами: I = 0,1 м; 80/1 = 0,08; Ь = 10; р0 =2,7-103 кг/м2; р = 1,84 103 кг/м2; =0,3; V = 2,510" 4 м2/с; т1 = 2,5 кг; п1 = 9,5-107 кг/с2, Лр1 = 1,1А0, Х1/1 = -0,4, е1/1 = 0,1, Ир2 = 1,1^0, Х2/1 = 0,3, е2/1 = 0,15, материал пластины - сплав Д16Т и для варианта канала, с указанными выше параметрами, но образованного пластиной с одним ребром: X1/1 = -0,05, е1/1 = 0,1.

Расчеты показали, что в случае удержания 1-го члена ряда в (36) у ребристой пластины наблюдаются две резонансные частоты. Учет каждого последующего члена ряда приводит к появлению дополнительной резонансной частоты, расположенной выше предшествующих. Амплитуды, соответствующие дополнительным резонансным частотам, оказываются больше амплитуд на этих же частотах при удержании одного члена ряда. При этом, значение первой резонансной частоты практически не меняется. Поэтому, решение задачи в первом приближении по методу Бубнова-Галеркина будет корректно определять только нижний тон гидроупругих колебаний пластины, а для практических целей достаточно удержания первых 1-2 членов ряда в решении. При этом расчёты подтверждают введённое при постановке задачи предположение, что гт/80 << 1. Наличие ребер жесткости у пластины-полоски приводит к уменьшению амплитуды и увеличению значений резонансных частот. В частности, в случае

ребристого статора резонансные частоты оказываются большими (до 2 -3,3 раза), то есть происходит сдвиг резонансных частот в высокочастотную область.

ignora), м

1gnw(0,w),

ю, рад/с

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (виброускорение основания (одно ребро) 1 - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда;

ю, рад/с

АЧХ прогибов в центре плоской ребристой пластины с использованием материала Д16Т (виброускорение основания (два ребра)

1 - при 1-м члене ряда; 2 - при 2-х членах ряда; 3 - при 3-х членах ряда; 4 - при 4-х членах ряда; 5 - при 5- членах ряда;

Рис. 2. Результаты расчетов амплитуд прогибов ребристой пластины-полоски в центре канала

1е-5

1е-5

1е-6

1е-6

1е-7

1е-7

1е-8

1е-8

1е-9

1е-9

1е-10

1 е-10

Полученные в работе результаты и построенная математическая модель гидроупругих колебаний штампа и ребристой пластины могут быть использованы как для исследования резонансных колебаний ребристой пластины и жесткого штампа, являющимися стенками плоского канала, содержащего вязкую несжимаемую жидкость, так и для исследования напряженно-деформированного состояния ребристой стенки канала.

Работа выполнена при финансовой поддержке гранта РФФИ № 15-01-01604а и гранта Президента РФ МД-6012.2016.8, МД-398.2017.8.

Список литературы

1. Индейцев Д. А., Полипанов И.С., Соколов С.К. Расчет кавитаци-онного ресурса втулки судовых двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. №4. С.59-64.

2. Haddara M.R., Cao S. A Study of the Dynamic Response of Submerged Rectangular Flat Plates // Marine Structures. 9. 1996. P. 913-933

3. Cassio T. Faria, Daniel J. Inman Modeling energy transport in a canti-levered Euler-Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing. 45. 2014. P. 317-329.

50

4. Avramov K.V., Strel'nikova E.A. Chaotic oscillations of plates interacting on both sides with a fluid flow // International Applied Mechanics. Vol. 50. № 3. 2014. P. 303-309.

5. Липницкий Ю.М., Ляхов В.Н., Фельдштейн В. А. Нестационарное взаимодействие ударной волны с упругой цилиндрической оболочкой // Ученые записки ЦАГИ. 1976. T.VII. №1. С. 80-88.

6. Enelund M. Vibration and damping of a plate on a viscous fluid layer. Proceeding of the 13th International Modal Analysis Conference (IMAC). 1995. P. 261-267

7. T. Onsay Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration. 1993. Vol. 163. P. 231-259.

8. T. Onsay Dynamic interactions between the bending vibration of a plate and a fluid layer attenuator // Journal of Sound and Vibration. 1994. Vol. 178. P. 289-313.

9. Могилевич Л.И., Попов В.С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соос-ными вибрирующими дисками // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №3. С. 42-55.

10. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.

11. M. Amabili, Vibrations of Circular Plates Resting on a Sloshing Liquid: Solution of the Fully Coupled Problem // Journal of Sound and Vibration. 2001. Vol. 245, Iss. 2, P. 261-283

12. E. Askari, K.-H. Jeong, M. Amabili, Hydroelastic Vibration of Circular Plates Immersed in a Liquid-filled Container with Free Surface // Journal of Sound and Vibration. 2013. Vol. 332, Iss. 12. P. 3064-3085

13. Akcabay D.T., Young Y.L., Hydroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow // Physics of Fluids. 2012, Vol.24. Iss. 5.

14. Агеев Р.В., Кузнецова Е.Л., Куликов Н.И., Могилевич Л.И., Попов В.С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35.

15. Могилевич Л.И. Динамика взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной // Изв. РАН. Механика твердого тела. 2008. №. 5. P. 114-123.

51

16. Агеев Р.В., Могилевич Л.И., Попов В.С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

17. Савин Г.Н., Флейшман Н.П. Пластинки и оболочки с ребрами жесткости. Киев: Наукова думка, 1964. 384 с.

18. Жилин П. А. Линейная теория ребристых оболочек // Изв. АН СССР. МТТ. 1970, № 4. С. 150 - 162.

19. Мыльцина О.А., Белосточный Г.Н. Термоупругость подкрепленной пластинки под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий на границе // Вестник Московского авиационного института. 2014. Т. 21. № 2. С. 169-174.

20. Кондратов Д.В., Калинина А.В. Исследование процессов гидроупругости ребристой трубы кольцевого профиля при воздействии вибрации // Электронный журнал «Труды МАИ». № 78. 2014. http://www.mai.ru/science/trudy/published.php7ID =53453 (дата обращения 12.11.2016).

21. Могилевич Л.И., Попова А.А. Динамическая задача виброопоры с упругой ребристой пластиной // Наука и техника транспорта. 2007. № 4. С. 55-61.

22. Panovko Y.G., Gubanova I.I. Stability and Oscillations of Elastic Systems. Consultants Bureau Enterprises, Inc., New York, N.Y., 1965.

23. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003.

840 с.

24. Горшков А.Г., Морозов В.И., Пономарев А.Т., Шклярчук Ф.Н. Аэрогидроупругость конструкций. М.: Физматлит, 2000. 591 с.

25. Van Dyke, M. Perturbation methods in fluid mechanics. Stanford, California. The Parabolic Press. 1975.

26. Вольмир А.С. Оболочки в потоке жидкости и газа. Задачи аэроупругости. М.: Физматлит, 1976. 416 с.

27.Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Метод поверхностных функций влияния в нестационарных задачах дифракции. М.: Изд-во. МАИ, 2007. 255 с.

28. Жаворонок С.И., Куприков М.Ю., Медведский А.Л., Рабинский Л.Н. Численно-аналитические методы решения задач дифракции акустических волн на абсолютно твердых телах и оболочках. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2010. 223 с.

Скородумов Евгений Сергеевич, асп., evgen_rgot@mail. ru, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина,

Кондратов Дмитрий Вячеславович, д-р физ.-мат. наук, проф., kondra-tovdv@yandex.ru, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина,

Кузнецова Екатерина Львовна, д-р физ.-мат. наук, проф., ведущий научный сотрудник НИО-9 МАИ, lareyna@mail.ru, Россия, Москва, Московский авиационный институт (Национальный исследовательский университет),

Могилевич Лев Ильич, д-р техн. наук, проф., mogilevichasgu.ru, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина,

Попов Виктор Сергеевич, д-р техн. наук, проф., vic pahk.ru, Россия, Саратов, Саратовский государственный технический университет имени Ю.А. Гагарина

THE OSCILLATIONS OF GEOMETRICALLY IRREGULAR PLATE AND STAMP, INTERACTING THROUGH THE VISCOUS LIQUID LAYER

E.S. Skorodumov, D.V. Kondratov, E.L. Kuznetsova, L.I. Mogilevich, V.S. Popov

The task about the fluctuations of a ridge plate and absolutely tough stamp forming walls of the slot-hole channel filled with a layer of viscous incompressible liquid in case of the set harmonious law of vibration of foundation of the channel is analytically solved in flat statement. The variation method received the equations of dynamics of a plate strip with unilateral edges. For the description of edges the generalized Hevisayd's functions are used. The complex of dimensionless variables of the considered task is created and small parameters are allocated. Laws of deflections of a plate, movements of a stamp and distribution of pressure are found in a layer of viscous incompressible liquid. The amplitude frequency characteristic of a stamp and chastotozavisimy function of distribution of deflections of a ridge plasti-ny-strip are constructed. The phase frequency characteristic and chastotozavisimy function of distribution of phase shift corresponding to them concerning the set inertial indignation of the basis are received. On the basis of calculations importance of accounting of the second and the subsequent members of decomposition is shown in a row when carrying out practical calculations.

Key words: hydroelasticity, ribbed plate, stamp, mathematical modeling, flat channel, bend oscillations, viscous liquid, vibration of foundation.

Skorodumov Evgenij Sergeevich, postgraduate, evgen_rgot@mail. ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,

Kondratov Dmitrij Vjacheslavovich, doctor of physical and mathematical sciences, professor, kondratovdvayandex. ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,

Kuznetsova Ekaterina Lvovna, doctor of physical and mathematical sciences, professor, lareynaa mail.ru, Russia, Moscow, Moscow Aviation Institute (National Research University),

Mogilevich Lev Ilich, doctor of technical sciences, professor, mogilevichasgu.ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov,

Popov Viktor Sergeevich, doctor of technical sciences, professor, vic_p@bk.ru, Russia, Saratov, Yuri Gagarin State Technical University of Saratov