Колебания штампа, взаимодействующего с пластиной на упругом основании Пастернака, через слой вязкой жидкости Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 534.1

КОЛЕБАНИЯ ШТАМПА, ВЗАИМОДЕЙСТВУЮЩЕГО С ПЛАСТИНОЙ НА УПРУГОМ ОСНОВАНИИ ПАСТЕРНАКА, ЧЕРЕЗ СЛОЙ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ

Л. И. Могилевич1, В. С. Попов1, А. А. Попова1, А. В. Христофорова2

'Саратовский государственный технический университет имени Гагарина Ю.А., г. Саратов, Россия 2Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н.Г. Чернышевского, г. Саратов, Россия

DOI: 10.25206/2310-9793-2017-5-1-46-53

Аннотация — Исследованы вынужденные колебания упругозакрепленного штампа и пластины, установленной на упругом основании Пастернака. Колебания вызываются пульсацией давления в слое жидкости, находящейся между штампом и пластиной. Рассмотрена плоская задача для режима установившихся гармонических колебаний. Для упругого основания выбрана модель Пастернака. На основе аналитического решения задачи гидроупругости найдены законы движения штампа, прогибов пластины и давления в жидкости. Построены функции распределения амплитуд прогибов и давления жидкости вдоль пластины, а также амплитудная частотная характеристика штампа. Разработанная математическая модель позволяет изучать динамику гидроупругого взаимодействия штампа с пластиной, установленной на упругом основании, а также определять резонансные частоты колебаний штампа и пластины и соответствующие им амплитуды прогибов и давления жидкости.

Ключевые слова: гидроупругие колебания, пластина, вибрирующий штамп, вязкая жидкость, упругое основание Пастернака.

I. Введение

Исследование взаимодействия пластин с жидкостью является одной из важных проблем современной механики, которая позволяет изучать динамические процессы в сложных механических системах. Например, задача изгибных колебаний балки, взаимодействующей с идеальной жидкостью, решена в работе [1] и на ее основе построена модель для определения кавитационного ресурса гильзы цилиндра двигателя внутреннего сгорания с водяным охлаждением. В работе [2] проведено моделирование колебаний прямоугольной пластины, погруженной в идеальную несжимаемую жидкость, со свободной поверхностью. В работе [3] исследовано взаимодействие идеальной сжимаемой жидкости с пластиной, совершающей вынужденные колебания, за счет ее контакта с вибрирующей машиной. Рассмотрена плоская задача излучения пластиной акустических волн. В работе [4] исследованы свободные колебания консольно закрепленных пластин, частично погруженных в идеальную несжимаемую жидкость со свободной поверхностью. Исследование позволило оценить влияние инерции движения жидкости на собственные частоты колебаний пластин. Аналогичное исследование проведено в работе [5] для консольно закрепленных композитных пластин.

Численное исследование собственных колебаний прямоугольных пластин полностью погруженных в неподвижную идеальную жидкость или плавающих на ее свободной поверхности выполенено в работе [6]. Аналогичное исследование проведено в работе [7] для случая взаимодействия прямоугольных пластин с потоком идеальной жидкости. Авторами проведен анализ собственных частот колебаний пластин и найдены критические скорости потока соответствующие потери устойчивости. В работе [8] исследованы хаотические колебания пластины, взаимодействующей с потоком идеальной несжимаемой жидкости.

Однако в указанных выше исследованиях демпфирующие свойства жидкости, обусловленные ее вязкостью, исключены из рассмотрения. Исследование изгибных вибраций бесконечно длинной балки на слое вязкой жидкости рассмотрено в работе [9]. Исследование поперечных колебаний упругозакрепленной жесткой стенки плоского канала конечных размеров выполнено в [10]. Гидроупругие колебания консольно закрепленной балки, погруженной в вязкую несжимаемую жидкость, исследованы в [11]. Взаимодействие вибрирующих дисков, один из которых может быть упругим, с вязкой несжимаемой жидкостью, находящейся между ними, изучено в работе [12]. Аналогичная задача рассмотрена в работе [13] для двух вибрирующих пластин. В работе [14] исследованы гидроупругие колебания балки в потоке вязкой жидкости применительно к пьезоэлектрическим элементам. В работе [15] решена задача изгибных гидроупругих колебаний пластины, образующей стенку узкого канала, под воздействием пульсирующего слоя вязкой жидкости. Вынужденные гидроупругие колебания трехслойной круглой пластины, взаимодействующей со слоем вязкой несжимаемой жидкости, исследованы в [16].

С другой стороны, важной проблемой для современной техники является исследование колебаний упругих элементов конструкций с учетом упругой податливости оснований [17]. Например, в работах [18-21] изучены колебания и устойчивость многослойных стержней и пластин, установленных на упругом основании под воздействием локальных и распределенных нагрузок различной природы. Для моделирования реакций основания используются модели Винклера и Пастернака. Поэтому важной является оценка влияния упругости основания

на гидроупругие колебания пластин. Работ, посвященных этой тематике, мало. Например, в работе [22] исследованы колебания мембраны на упругом основании Винклера, расположенной на дне резервуара, заполненного идеальной несжимаемой жидкостью со свободной поверхностью. Гидроупругие колебания прямоугольных пластин, установленных на основании Пастернака и взаимодействующих с идеальной несжимаемой жидкостью, имеющей свободную поверхность, исследованы в работах [23-25]. Колебания пластины на упругом основании Винклера и взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости проведено в работах [26-29]. Колебания оболочки, окруженной упругой средой Винклера и взаимодействующей с кольцевым слоем сильновязкой жидкости, рассмотрены в работе [30].

II. Постановка задачи

В предлагаемой работе проводится исследование динамики взаимодействия штампа с упругой пластиной, установленной на основании Пастернака через слой вязкой жидкости. Колебания штампа и изгибные колебания пластины вызваны пульсацией давления в тонком слое вязкой несжимаемой жидкости, находящейся между ними (слой смазки) (рис. 1). Свяжем декартову систему координат 0x2 с центром срединной поверхности пластины в невозмущенном состоянии. Будем считать, что штамп имеет упругий подвес и может перемещаться только в вертикальном направлении. Пластина имеет длину 2£, толщину И0. Она установлена на упругом основании Пастернака и шарнирно оперта на торцах. Будем полагать, что пульсация давления на торцах происходит по гармоническому закону. Слой вязкой жидкости (смазки) имеет среднюю толщину 80 << £ , а амплитуды колебаний штампа 2т и прогибов пластины wm значительно меньше 30. Жидкость на торцах свободно истекает в ту же жидкость, где поддерживается заданный закон пульсации давления.

Рис. 1

Смазочный слой вязкой жидкости между штампом и пластиной обладает сильными демпфирующими свойствами. Поэтому переходные процессы в рассматриваемой колебательной системе быстро затухают и возникают установившиеся колебания. Следовательно, влияние начальных условий можно исключить из рассмотрения [31]. С учетом данного замечания далее будем исследовать режим установившихся гармонических колебаний. Заданный закон пульсации давления на торцах представим в виде

p = Ро + p (at), p (at) = pmfp (at), fp (at) = sin at,

здесь p0 - статический уровень давления, pm - амплитуда колебаний давления, a - частота, t - время. Уравнения динамики штампа имеют вид

d2 z,

dt

- + nz, = N,

(1)

(2)

здесь 21 = 2т/(ю/) - закон движения штампа, т - масса штампа, п - жесткость упругой связи, N - сила, действующая на штамп со стороны вязкой жидкости в канале. Выражение для N имеют вид

ды„

N = -b fq22dx, q22 = -p + 2pv—^ при z = d, + Zmf (at) J dz

-t

(3)

здесь - нормальное напряжение в жидкости.

Уравнение изгибных колебаний пластины, установленной на основание Пастернака, можно записать как [29, 32]

^ д4w д2w д2w

D "дй + ™ + p0 ЦТ = qz

=й0/2+w

(4)

где В - цилиндрическая жесткость пластины, к0 - толщина пластины, р0 - плотность к - коэффициент сжатия основания, п - коэффициент сдвига основания.

m

t

z

Уравнения динамики пластины дополняются краевыми условиями - условиями шарнирного опирания:

w = д2дх2 = 0 при х = ±1. (5)

Движения тонкого слоя вязкой жидкости между пластиной и штампом можно рассматривать как ползучее [33]. Следовательно, уравнения динамики жидкости представляют собой уравнения Навье-Стокса, в которых опущены инерционные члены:

В узкой щели между штампом и пластиной движение жидкости можно считать ползучим [25]. Уравнения динамики вязкой жидкости в этом случае имеют вид:

_L DP -

р дх

Í я2 Л

д ux + д ux

V дх2 dz2 у

_L DP —

р dz

Í ^2 я2 Л

д uz + д uz

V дх2 Dz2 у

Dux Duz

—- +—- - 0. (6)

дх Dz

где ux, uz - проекции вектора скорости жидкости на оси координат, р, v - плотность и коэффициент кинематической вязкости жидкости, p - давление.

Граничные условия уравнений (6) включают в себя:

- условия прилипания жидкости к поверхностям пластины и штампа, выражающиеся в равенстве скоростей жидкости и ограничивающих ее стенок

ux —Du¡dt, uz —Dw/dt при z - h0/2 + w , (7)

- условия для давления на торцах

p — Po + Pmfp (at) при x — ±l. (8)

Здесь u, W - законы продольного перемещения и прогиба пластины.

III. Теория

Введем в рассмотрение безразмерные переменные и малые параметры

I— x/1 , Z = (z - 0,5/?!)/do , t — at , uz — zm^üz , ux — (, W — WmW , (9)

u — umü , P — Po + P*(T) + PvPZmaV~2^d0, X — zmldoo << У — d()A << ^ Задача динамики жидкости в безразмерных переменных (9) в нулевом приближении по у и X запишется как

дР д 2üe dp Düf DüZ

— —-f, ——o,-f+-Z— 0 (10)

df 3Z2 DZ df DZ

с граничными условиями

üf — 0 , üz— df (t)/dT при Z — 1, üf- 0 , üz— (Wm/zm )3W/дт при Z — 0, (11)

P — 0 при f — ±1.

Нормальное напряжение в жидкости в нулевом приближении по у запишется как

qzz --P0-do-ip - 2у2 d-z\--P0-d^P, (12)

5у2 V dz ) 5у2

а выражение для силы (3) примет вид

1

N — 21Ь(P0 + p*(t)) + Ыf Pdf . (13)

d0y -1

Далее, решая уравнения (10) с граничными условиями (11), получаем

ü,— Z^ZDP, üz—W^W -2Z3 - 3Z2 D^, (14)

f 2 Df Z zm Dt 12 Df2

а также уравнение для давления

д2Р wm DW df Л

Df

- — -12

V zm дт dTJ

(15)

Решая уравнение (15) и удовлетворяя граничным условиям для давления на торцах (11), находим

P = 6(%2 -1)+12\\dWjдгйЩ + 6(% -1)\\dWjдгйЩ .

йт 2

(16)

Согласно граничным условиям (5) зависимость упругих прогибов пластины представим в виде рядов по тригонометрическим функциям

» = WmW = М>т £ + Кк (т))о08((2к - 1)^/2) :

к=1

(17)

здесь як (т) - гармоническая функция времени, К° - постоянная. Безразмерное давление (16) с учетом (17), можно записать в виде

р = б(д2 -1) +12»т У йт '

2т к=11 (2к - 1)п

йЛк 2к -1 с

--008-Щ .

йт 2

(18)

Подставляя (18) в выражение (12) и проводя разложение оставшихся членов в ряды по выбранным тригонометрическим функциям продольной координаты д, получаем

422 = (Р0 + /(Т))Х

4(-1)к 2к -1 „ -008—:— пд -

к=1 (2к - 1)п

2

Р^тЮ

8{р

12 у

2

йЛк 2к -1 „

-- 008-Щ +

тк= V (2к - 1)л ) йт 2

(19)

+/ 4(-1)

к (

йт к= (2к - 1)п

2

(2к - 1)п

2к -1 008-лд

С учетом (17), (19) уравнение (4) можно записать в виде

В ((2к - 1)пу + ( (2к - 1)п

£4

2

£2

2

2 А

й 2 Л.

»т (Лк + Лк ) + Р0А0® —

йт

= -12

2 ^ +12 ГЮ^4^

рю

~8р V (2к - 1)п ; т йТ (2к - 1)п V (2к - 1)п

(20)

+ (Ро + р (т))

4(-1)к (2к - 1)п

В силу линейности уравнения (20) для постоянной составляющей давления получаем следующее выражение

о0

»тЛк = Р0

4(-1)к

(2к - 1)п

2 Л

В ( (2к - 1)п А4 + п( (2к - 1)п А2 + к

(21)

Решение уравнения (20) для режима установившихся гармонических колебаний имеет вид

»тЛк =

4(-1)к

(2к - 1)п

РП

С рк/рТ)+врк

/ Т) йт

+

'С й/ (Т) + К й 2 / (т)А

С2к Т~+ п2к ~

йт

(22)

где С к =

а2к с =__01

2.2' Рк _2 , _2

2к

а1к + а2к

а1к + а2к

п _ а2ка1к К2к = 9 2

а1к + а2к

в^ =

Рк 2

Лк

а1к + а2к

~ ,2 п Р®

а1к = Вк - РоКЮ > а2к =

8р

2

(2к - 1)п

Вк = 7 ()4 + ^ (^ Г + к.

т

т

2

2

2

2

2

£

£

2

Подставляя (22), (18) в выражение для силы (13), а затем, учитывая полученное выражение в уравнении динамики штампа (2), получим

а2 г!

(т + Мг)^2т + П21 + Кг~Т = 2£Ьро + (2£Ь + Мр)р' + ,

¡г2 ¡1 ¡1

ар

(23)

где Кг = ИЬ

ру

80)¥

1 -6!

к=Л(2к - 1)п

В

гк

КР = 48«^ X

80У к=1 V (2к - 1)п

В

рк '

ад / V / л

М2 = 4!ЧЬ-^г у(-2-I С2к , Мр = 481Ь Щ У}—2—

г ®8,¥2 к=1 V (2к - 1)л гк р 8^2 к=1 V (2к - 1)л

Срк .

Решение уравнения (23) для режима установившихся гармонических колебаний имеет вид:

2£Ьр0 г =-— + рт

С/р (т) + В1 = + ртАг (® ) БШ® + р (® )) ,

ат ) п

(24)

где

Аг (®) = 4ё2+¥, р (0) = аго1Е(в~/ С~), С = 61 ¡2 62 ¡¡2 , В = 61 + ^

+ а12

а12 + ¡2

а = п - (т + Мг)®2 , а2 = Кг® , 6 = (2£Ь + М2)®2 , е2 = Кр® .

Окончательно, с учетом (21), (22), (24), закон гидроупругих прогибов пластины (17) примет вид

^ ^ 4(-1)к

У

л к=1 (2к - 1)л

(2к - 1)л )4 Г (2к - 1)л ' _

2 ] + "о" 1 2 ] +

2 „И )

- ГтА-м (х,®)Б1п(®г + р» (X,®)), (25)

где

А» (х, 0) =4г2+Ё2 , ^^ (х, 0) = аг^К/Т), Т = У 4( ^ (Врк - (В&С + С&В)}

2к -1

(2к - 1)л

1соб-лх,

2£

К - (ВгкВ - СгкС)}

2к -1

СОБ-лх.

И

Таким образом, подставляя (22) в (18) и учитывая (7) давление в слое жидкости между штампом и пластиной можно записать как

где

р = р0 + рт Б1п®г + ртП(х,®)Б1п(®г + рр (х,®)), П(х,®) = 4Б2 + е2 , рр (х,®) = агс1м(0/Б),

(26)

е=6

Б = 6

(/ Л2 А

'-(Г! ^

V 4 '

С + 24У

к=1 V (2к - 1)п

(-1) (Врк - СгкВ - ВгкС)

2к -1

) соб-лх,

В + 24у

И

2к -1

п I ("1)к (ВгкВ - С2кС - Срк)соб—— пх. V (2к - 1)п ^ 2г

IV. Выводы и заключение Полученное аналитическое решение задачи позволяет сделать следующие выводы. Функция Аг(т) в выражении (24) представляет собой амплитудную частотную характеристику штампа, а функция фг(т) его фазовую частную характеристику. Первое слагаемое выражения для прогиба (25) представляет собой статический прогиб пластины, обусловленный статическим давлением в жидкости р0 , второе слагаемое - динамический прогиб, обусловленный взаимодействием пластины со штампом через слой вязкой жидкости. Значения данной со-

л4

4

2

2

4

п

№ =

3

2

3

ставляющей прогиба определяются функцией Aw(x,a>), которую можно рассматривать как частотозависимую функцию распределения амплитуд прогиба вдоль канала. При фиксированном значении продольной координаты х данная функция является амплитудной характеристикой прогиба в заданном сечении канала.

Аналогичные замечания можно сделать относительно закона изменения давления в канале (26). В частности, первый и второй члены в законе давления (26) представляют собой заданные статический уровень и закон пульсации давления жидкости на торцах. Третий член - динамическое давление жидкости в канале, обусловленное движением штампа и колебаниями пластины, установленной на упругом основании Пастернака. Значение третьего члена определяется функцией П(x,w), которая является частотозависимой функцией распределения амплитуд динамического давления вдоль канала. При фиксированном значении продольной координаты х данная функция представляет собой амплитудную частотную характеристику давления в заданном сечении канала. Функции pw (x,a), pp (x,a) - частотозависимые функции распределения фазового сдвига прогиба пластины и давления вдоль канала соответственно.

Исследование поведения указанных выше функций дает возможность изучать динамические процессы в рассматриваемой колебательной системе. Анализ полученного выражения для прогиба пластины (25) позволяет утверждать, что коэффициенты, определяющие реакцию основания Пастернака, будут сказываться как на статическом прогибе пластины, так и на динамике амплитуды прогибов. Также в рамках полученного решения возможен переход от основания Пастернака к основанию Винклера, для этого достаточно положить равным нулю коэффициент сдвига основания г/. Таким образом, результаты, полученные в работе, могут быть использованы для моделирования и анализа гидроупругих колебаний упругих элементов конструкций, установленных на упругие основания и взаимодействующих с вязкой жидкостью.

Источник финансирования. Благодарности

Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, гранты № 15-01-01604-a и № 16-01-00175-a.

Список литературы

1. Индейцев Д. А., Полипанов И. С., Соколов С. К. Расчет кавитационного ресурса втулки судовых двигателей // Проблемы машиностроения и надежности машин. 1994. № 4. С. 59-64.

2. Haddara M. R., Cao S. A Study of the Dynamic Response of Submerged Rectangular Flat Plates // Marine Structures. 1996. Vol. 9, № 10. P. 913-933. DOI: 10.1016/0951-8339(96)00006-8.

3. Chapman C. J., Sorokin S. V. The forced vibration of an elastic plate under significant fluid loading // Journal of Sound and Vibration. 2005. Vol. 281(3). P. 719-741. DOI: 10.1016/j.jsv.2004.02.013.

4. Ergin A., Ugurlu B. Linear vibration analysis of cantilever plates partially submerged in fluid // Journal of Fluids and Structures. 2003. Vol. 17. P. 927-939. DOI: 10.1016/S0889-9746(03)00050-1.

5. Kramer M. R., Liu Z., Young Y. L. Free vibration of cantilevered composite plates in air and in water // Composite Structures. 2013. Vol. 95. P. 254-263. DOI: 10.1016/j.compstruct.2012.07.017.

6. Kerboua Y., Lakis A. A. Thomas M., Marcouiller L. Vibration analysis of rectangular plates coupled with fluid // Applied Mathematical Modelling. 2008. Vol. 32 (12). P. 2570-2586. DOI: 10.1016/j.apm.2007.09.004.

7. Bochkarev S. A., Lekomtsev S. V., Matveenko V. P. Hydroelastic Stability of a Rectangular Plate Interacting with a Layer of Ideal Flowing Fluid // Fluid Dynamics. 2016. Vol. 51, № 6. P. 821-833. DOI: 10.1134/S0015462816060132.

8. Avramov K. V., Strel'nikova E. A. Chaotic oscillations of plates interacting on both sides with a fluid flow // International Applied Mechanics. 2014. Vol. 50 (3). P. 303-309. DOI: 10.1007/s10778-014-0633-y.

9. Onsay T. Effects of layer thickness on the vibration response of a plate-fluid layer system // Journal of Sound and Vibration. 1993. Vol. 163, № 2. P. 231-259. DOI: 10.1006/jsvi.1993.1162.

10. Ageev R. V., Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Kondratov D. V. Mathematical Model of Pulsating Viscous Liquid Layer Movement in a Flat Channel with Elastically Fixed Wall // Applied Mathematical Sciences. 2014. Vol. 8. № 159. P. 7899-7908. DOI: 10.12988/ams.2014.410795.

11. Faria Cassio T., Inman Daniel J. Modeling energy transport in a cantilevered Euler-Bernoulli beam actively vibrating in Newtonian fluid // Mechanical Systems and Signal Processing. 2014. Vol. 45, № 2. P. 317-329. DOI: 10.1016/j.ymssp.2013.12.003.

12. Могилевич Л. И., Попов В. С. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Известия РАН. Механика жидкости и газа. 2011. № 3. С. 42-55.

13. Могилевич Л. И., Попов В. С., Попова А. А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. № 4. С. 23-32.

14. Akcabay D. T., Young Y. L., Hydroelastic Response and Energy Harvesting Potential of Flexible Piezoelectric Beams in Viscous Flow // Physics of Fluids. 2012. Vol. 24, № 5. DOI: 10.1063/1.4719704.

15. Агеев Р. В., Кузнецова Е. Л., Куликов Н. И., Могилевич Л. И., Попов В. С. Математическая модель движения пульсирующего слоя вязкой жидкости в канале с упругой стенкой // Вестник Пермского национального исследовательского политехнического университета. Механика. 2014. № 3. С. 17-35.

16. Агеев Р. В., Могилевич Л. И., Попов В. С. Колебания стенок щелевого канала с вязкой жидкостью, образованного трехслойным и твердым дисками // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2014. № 1. С. 3-11.

17. Wang Y. H., Tham L. G., Cheung Y. K. Beams and plates on elastic foundations: A review // Progress in Structural Engineering and Materials. 2005. Vol. 7 (4). P. 174-182. DOI: 10.1002/pse.202.

18. Kubenko V. D., Pleskachevskii Yu. M., Starovoitov E. I., Leonenko D. V. Natural vibration of a sandwich beam on an elastic foundation // International Applied Mechanics. 2006. Vol. 42, № 5. P. 541-547. DOI: 10.1007/s10778-006-0118-8.

19. Starovoitov E. I., Leonenko D. V. Thermal Impact on a Circular Sandwich Plate on an Elastic Foundation // Mechanics of Solids. 2012. Vol. 47, № 1. P. 111-118. DOI: 10.3103/S0025654412010116.

20. Starovoitov E. I., Leonenko D. V. Vibrations of circular composite plates on an elastic foundation under the action of local loads // Mechanics of Composite Materials. 2016. Vol. 52, № 5. P. 665-672. DOI: 10.1007/s11029-016-9615-y.

21. Dash P. R., Pradhan M., Pradhan P. K. Static and dynamic stability analysis of an asymmetric sandwich beam resting on a variable Pasternak foundation subjected to thermal gradient // Meccanica. 2016. Vol. 51 (3). P. 725-739. DOI: 10.1007/s11012-015-0229-6.

22. Alekseev V. V., Indeitsev D. A., Mochalova Yu. A. Resonant oscillations of an elastic membrane on the bottom of a tank containing a heavy liquid // Technical Physics. 1999. Vol. 44, № 8. P. 903-907.

23. Hosseini-Hashemi S., Karimi M., Hossein Rokni D. T. Hydroelastic vibration and buckling of rectangular Mindlin plates on Pasternak foundations under linearly varying in-plane loads // Soil Dynamics and Earthquake Engineering. 2010. Vol. 30 (12). P. 1487-1499. DOI: 10.1016/j.soildyn.2010.06.019.

24. Ergin A., Kutlu A., Omurtag M. H., Ugurlu B. Dynamic response of Mindlin plates resting on arbitrarily ortho-tropic Pasternak foundation and partially in contact with fluid // Ocean Engineering. 2012. Vol. 42. P. 112-125. DOI: 10.1016/j.oceaneng.2012.01.010.

25. Ergin A., Kutlu A., Omurtag M. H., Ugurlu B. Dynamics of a rectangular plate resting on an elastic foundation and partially in contact with a quiescent fluid // Journal of Sound and Vibration. 2008. Vol. 317 (1-2). P. 308-328. DOI: 10.1016/j.jsv.2008.03.022.

26. Kuznetsova E. L., Mogilevich L. I., Popov V. S., Rabinsky L. N. Mathematical model of the plate on elastic foundation interacting with pulsating viscous liquid layer // Applied Mathematical Sciences. 2016. Vol. 10, № 23. P. 1101-1109. DOI: 10.12988/ams.2016.6242.

27. Могилевич Л. И., Попов В. С., Попова А. А. Динамика взаимодействия пульсирующей вязкой жидкости со стенками щелевого канала, установленного на упругом основании // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2017. № 1. С. 15-23.

28. Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Christoforova A. V. Mathematical modeling of highly viscous liquid dynamic interaction with walls of channel on elastic foundation // IEEE Conference Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016). DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819051.

29. Mogilevich L. I., Popov V. S., Popova A. A., Christoforova A.V. Mathematical Modeling of Hydroelastic Walls Oscillations of the Channel on Winkler Foundation Under Vibrations // Vibroengineering PROCEDIA. 2016. Vol. 8. P. 294-299.

30. Mogilevich L. I., Popov V. S. Mathematical modeling of incompressible viscous liquid layer interaction dynamics in an annular slit with its wall, surrounded by elastic medium // IEEE Conference Dynamics of Systems, Mechanisms and Machines (Omsk, 2016). DOI: 10.1109/Dynamics.2016.7819050.

31. Пановко Я. Г., Губанова И. И. Устойчивость и колебания упругих систем. М.: Наука, 1987. 352 с.

32. Пастернак П. Л. Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании при помощи двух коэффициентов постели. М.: Госстройиздат, 1954. 56 с.

33. Лойцянский Л. Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.