Гидроупругие колебания стенок канала со слоем вязкой жидкости, установленного на вибрирующем основании Текст научной статьи по специальности «Физика»

Фундаментальные проблемы теоретической и прикладной механики Вестник Нижегородского университета им. Н.И. Лобачевского, 2011, № 4 (5), с. 2433-2435

2433

УДК 532.517.2:539.3

ГИДРОУПРУГИЕ КОЛЕБАНИЯ СТЕНОК КАНАЛА СО СЛОЕМ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ,

УСТАНОВЛЕННОГО НА ВИБРИРУЮЩЕМ ОСНОВАНИИ

© 2011 г. В. С. Попов, Р.В. Агеев, М.И. Волов

Саратовский государственный технический университет

victorpopov@rambler. ru

Поступила в редакцию 24.08.2011

Исследуется динамика взаимодействия упругих пластин, образующих стенки плоского канала, со слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящимся между ними. Найдены гидродинамическое давление в слое жидкости, законы движения стенок и их амплитудные и фазовые частотные характеристики.

Ключевые слова: гидроупругость, упругая пластина, вязкая жидкость, колебания, резонанс, амплитудные и фазовые частотные характеристики.

1. Рассматривается щелевой канал с тонким слоем вязкой несжимаемой жидкости, стенки ко -торого совершают гидроупругие колебания, вызванные инерционным возбуждением. Объект исследования (см. рис. 1а и б) включает в себя: абсолютно жесткий штамп 2 с упругой связью, упругую пластину 1 и слой вязкой несжимаемой жидкости 3 в зазоре между ними, заключенные в едином корпусе. Корпус установлен на основании, вибрирующем по гармоническому закону. Жидкость полностью заполняет зазор 50 и на торцах свободно истекает в окружающую жидкость с постоянным давлениемp0, находящуюся в торцевых полостях.

Исследованы два случая, когда параллельные друг другу штамп и пластина прямоугольны в плане или круглые. В первом случае рассматривается плоская задача и полагается, что длина штампа и пластины Ь значительно больше их ширины 21 >> 50. Пластина считается шарнирно опертой на торцах. Во втором случае рассматривается осесимметричная задача для круглых штампа и пластины радиусом R >> 50 и принимается, что пластина на торцах жестко защемлена.

В обоих случаях штамп совершает колебания вдоль оси г и амплитуды колебаний стенок значительно меньше зазора 50.

2. В случае плоской задачи введена декартова система координат хуг, связанная с невозмущенной срединной поверхностью пластины 1, и следующие безразмерные переменные и малые параметры:

у = 80/I << 1, Х = гт / 8 0 << 1,

^ = (г - И/2)/80, ^ = х/1, Уг = гт,

Ух = Щгт/ V, ™ = ^т^? Т = га1>

—2

Р = Р0 + Рургт «V / 80 —Рг0(г — г2Х

г2 =80 + И/2 + гmf2(т),

г0 = Е0f0(x), ■/’()(т) = ^ Т

где wm, гт — амплитуды колебаний пластины и штампа; w — прогиб пластины; И — толщина пластины; Ух, Уг — компоненты скорости жидкости; 50 — средняя толщина слоя жидкости; ю — частота колебаний; V — кинематический коэффициент вязкости жидкости; р — плотность жидкости.

С учетом (1) сформулирована задача гидроупругости плоского канала, состоящая из:

Рис. 1

— уравнения динамики тонкого слоя жидкости (с точностью до у) [1, 2]

Яе[ ди£ / дт + X (и£ ди£ / д£+Щ? ди£ / д£)] =

=—дР / д£+д2и£ / д^2, (2)

дР / д^ = 0, ди£ / д£ + ди? / д^ = 0;

— уравнения динамики стенок канала

БГ4 wmд4W / д£4 + р0Ига2( wmд2W / дт2 + + г0/®2) = р80г0(Х Wwm /гm — 1 — Х2) —

— Р0 —Ру Wm Ю$—1 Щ~2Р, (3)

m1( г + г0) + п1г =

= 2Ыр0 + 2Ыр\ гm га80 1 у—21 1Рё£, (4)

где Яе = ю8^—1, Б — цилиндрическая жесткость пластины, р0 — плотность материала пластины, m1 — масса штампа, п1 — коэффициент жесткости упругой связи (идеальной пружины).

Граничные условия уравнений (2)—(4) имеют

вид:

Щ^ = 0, и^= ёг2/ёт при ^ = 1+ХУ2;

и£ =0,

и?= (Wm / гm )дW / дт при Z=XWWm / гm, (5) Р = 0 при £=±1;

W = д2W/д£2 = 0 при £=±1.

В случае осесимметричной задачи введена цилиндрическая система координат ггф, связанная с центром невозмущенной срединной поверхности круглой пластины, безразмерные переменные и малые параметры

у = 80/ Я << 1, Х = гm / 80 << 1, с = (г — И/2)/80, £ = г / Я, Уг = гm шЩ- ,

= U£ zma / у, w = wmW, т = at,

_2

Р = Р0 + PvP zm / 50 _PZo(z _ z 2 )■

+ 2пЯру гm га /(8 0У) £ Р£ё£,

4( £) = £—][д(£^2( *))/д£,

Ь,( £) = д(£—1 д(££ )/д£)/д£ (9)

Граничные условия (6) запишутся в виде

и£= 0, и£= ё/"/ёт при ^ = 1 + Xf2;

и£ = 0,

и?= (Wm / гm )дW / дт при Z=XWWm / гm,

Р = 0 при £=1,

£дР/д£ = £дW/д£ = 0 при £= 0,

W = дW/д£ = 0 при £= 1.

3. Учитывая, что X = о(1), wm/гm = 0(1), решение задач представим в виде асимптотического разложения: Р = Р0 + ХР1 + 0(Х2), и = и^0 + Хи^ + + 0(Х2), и = и^0 + Хи^1 + 0(Х2). В нулевом приближении по X задачи линеаризуются и решение определяется в виде Т0 = ЛуСОЪТ + В^тт. Под Т0 понимаются Р0, и^0, и^0, коэффициенты Лт, Вт для Р0 зависят только от £, а для и^0, и^0 — от £ и В случае плоской задачи выражение для давления в слое жидкости имеет вид

Р0 = ((£2 _ 1)/ 2)[Read2 f2 /ёт2 + 12ydf2 / ёт] +

2

,2

-кг1 Г£

+ (WmZm'Ч [£(Re ad2W / дт2

J£J 0

+

+ 12УдW / дт)ё£ё£ + (£ — ^ /(2гот ) X хД |0£(Яе aд2W / дт 2 +12^^ / дт)ё£ё£, (10)

а во втором случае (осесимметричная задача) давление определяется выражением

Р0 = ((£2 — 1)/4)[Яеаё2^ /ёт2 + 12уё>2 /ёт] +

+

(WmZm-1) [1(1/£j0(Re ад 2W / дт2

(6)

z2 =50 + h/2 + zmf2 (т)

Z0 = ^^(т), У0(т) = sin т, и с учетом (6) поставлена задача гидроупругости, которая (с точностью до ф) имеет вид:

Re[ 3U £ / дт + X (U £ 3U£ / д£+U z ди£ / д£)] =

=_дР / д£ + д 2U£ / д^2, (7)

дР/д^= 0, д(£и£)/д£ + £диz /д^ = 0,

Z3( DwmP ■1дW / д£) +

+ p0ha2( wmд 2W / дт2 + z0/ a2) =

= P§0z0 (X Wwm / zm _ 1 _ Xf2) _

_ Р0 _PVWm а5(_1 У_2Л (8)

m1( z + z0) + n1z = nP2 p0 +

+ 12yдW / дт)ё£ d£,

+

(11)

где а, у — частотозависимые коэффициенты [1, 2].

Формы прогибов пластин по координате £ приняты в виде бесконечных рядов по нормальным формам колебаний (в первом случае по тригонометрическим функциям, а во втором по функциям Бесселя). Производя подстановку форм прогибов и давления (10) или (11) в уравнения динамики пластин (3) или (8) и решая их, определяем прогибы пластин и распределения давления в слое жидкости, как функции заданного закона движения основания и неизвестного закона движения штампа. Затем из уравнения движения штампа (4) (для плоской задачи) или (9) (для осесимметричной задачи) находим закон движения штампа как гармоническую функцию времени, и

обратным ходом определяем окончательно прогибы пластин и давление жидкости через заданный закон виброускорения основания.

4. На конечном этапе исследования на базе полученного решения построены амплитудные частотные характеристики стенок канала и произведено их численное исследование на предмет нахождения резонансных частот. При этом показано, что для практических целей в законах движения штампа и прогибов пластин достаточно удержания первого члена рядов.

Работа выполнена при поддержке РФФИ, грант №10-01-00177-а.

Список литературы

1. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Изв. РАН. МГТ. 2004. №5. С. 179—190.

2. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С. 23—32.

THE HYDROELASTIC OSCILLATIONS OF THE WALLS OF A CHANNEL WITH A LAYER OF A VISCOUS LIQUID INSTALLED ON A VIBRATING FOUNDATION

VS. Popov, R.V. Ageev, M.I. Volov

The dynamics of interaction of elastic plates making up the walls of a flat channel with a layer of a viscous incompressible liquid between them is investigated. The hydrodynamic pressure in the layer of liquid, laws of motion of the walls and their amplitude and phase frequency characteristics are determined.

Keywords: hydroelasticity, viscous liquid, elastic plate, vibrations, resonance, amplitude and phase frequency characteristics.