CC BY
84
УДК 531.381
М.И. Волов, В.С. Попов
МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИКИ ВЗАИМОДЕЙСТВИЯ ПУЛЬСИРУЮЩЕГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ ЖИДКОСТИ С УПРУГИМИ СТЕНКАМИ КАНАЛА, ОБРАЗОВАННОГО ДВУМЯ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПЛАСТИНАМИ
Исследуется динамика взаимодействия упругих пластин, образующих стенки плоского канала, с пульсирующим слоем вязкой несжимаемой жидкости, находящимся между ними. Найдены гидродинамическое давление в слое жидкости, законы движения стенок и их амплитудные и фазовые частотные характеристики.
Гидроупругость, вязкая жидкость, упругая пластина, колебания, резонанс, амплитудные и фазовые частотные характеристики
M.I. Volov, V.S. Popov
MATHEMATICAL MODELLING INTERACTION DYNAMICS BETWEEN PULSATING LAYER OF VISCOUS LIQUID AND ELASTIC WALLS OF CHANNEL,
CREATED BY TWO PARALLEL PLATES
The investigation dynamics of interaction of elastic plates, formative the walls of flat channel, with the pulsating layer of viscous incompressible liquid, being between them was done. Hydrodynamic pressure in the layer of liquid, laws of motion of walls and their amplitude and phase frequency characteristics were found.
Hydroresiliency, viscous liquid, resilient plate, vibrations, resonance, amplitude and phase frequency characteristics
Исследование динамических процессов взаимодействия слоя вязкой жидкости с ограничивающими ее упругими стенками представляет теоретический интерес, а его результаты имеют важное практическое значение для расчета и анализа работы ряда систем и объектов новой техники. С данной проблемой связано развитие гидродинамической теории смазки, начало которой положено трудами Н.П. Петрова и
О. Рейнольдса [1]. Первоначально в рамках указанной теории рассматривались задачи об установившемся движении тонкого слоя жидкости (в канале, образованном твердыми стенками) без учета ее инерции и удержанием части слагаемых уравнений Навье-Стокса, соответствующих силам вязкого трения. В последующих работах проводился учет конвективных членов инерции [2] и локального члена инерции [3] методом осреднения по толщине слоя.
В [4-8] рассмотрены плоские задачи с учетом инерции движения тонкого слоя жидкости и упругой податливости одной из стенок канала как однородной пластины, в том числе подкрепленной ребрами жесткости, или как трехслойной пластины. В [9] рассмотрена задача взаимодействия слоя вязкой жидкости с упругим цилиндром
конечных размеров с учетом инерции движения жидкости и особенности ее торцевого истечения.
В предлагаемой работе исследуется установившееся пульсирующее движение тонкого слоя вязкой несжимаемой жидкости 3 в плоском канале, образованном двумя параллельными упругими прямоугольными в плане пластинами 1 и 2 (см. рисунок). Пластины 1 и 2 шарнирно оперты на торцах. Толщина нижней пластины - к(1), а толщина верхней пластины - к(2). Длина пластин Ь значительно больше их ширины 21 и принимается бесконечно большой. Прогибы пластин можно считать цилиндрическими и значительно меньшими, чем зазор д между ними. Жидкость 3 полностью заполняет зазор д между пластинами, а на торцах свободно истекает в ту же жидкость, находящуюся в торцевых полостях, где поддерживается давление с постоянной составляющей р0 и
гармонически изменяющейся во времени составляющей рх(М) = рт/р(О), /р = 8Іп(0). Температура жидкости считается постоянной.
Введем декартову систему координат Охуг, связанную с невозмущенной срединной поверхностью пластины 1, и учитывая, что Ь >> 21, рассматриваем плоскую задачу, для которой введены следующие безразмерные переменные и малые параметры
¥=д<<і, і = д<<і, (=і_ор^, і, Т=т, у = ^ои:, ух = и{п'т'Мг,
^) = }№°'), р = ро + а(т) + Ру^тМу2/до, д = до +
4т ,
(1)
где і = 1, 2 для пластин 1 и 2; ’ - амплитуды прогибов пластин; д0 - средняя толщина
слоя жидкости; о - частота колебаний; Ух, У2 - компоненты скорости жидкости; у -кинематический коэффициент вязкости жидкости; р - плотность жидкости.
С учётом (1) сформулирована динамическая задача гидроупругости, включающая:
- уравнения динамики тонкого слоя жидкости (с точностью до щ)
ода
у
дих
дт
- + А
и
дих
¥
-+и.
с
дих
=_дР +д и
дР
= о,
дих ди
+-
дХ дС гдс ’ дх дс
=о,
(2)
- уравнения динамики упругих стенок канала - пластин (балок полосок)
г4 ^рО'^'О2^^!^ = д”, (3)
Ю(і> 1 'ж
дХ
где г = 1, 2 для пластин-стенок канала 1 и 2; Е{‘) - модуль Юнга, тО’) - коэффициент Пуассона, рО’) - плотность материала пластин;О) = Е(()(^(г))3(12(1 — (р0))2))1; ) -
толщина пластины; д® =—р0 — р1(-) —рп^ СО$х /2Р при £ = 1(1) Ж(1);
№ = Ро +р(-) +рп№ О УР при £ = 1+1(2) ж(2).
Граничные условия уравнений (2)-(3) имеют вид [4-8, 10]
их= 0, ис=дЖ(2)/дт при £=1+Л(2) Ж(2), их= 0, ис= (^/ж^)дЖ(1)/дт при £=Л(1) Ж(1) ,
Р = 0 при /=±1; Ж(° =д2Ж(°/д/2 = 0 при X = ±1. (4)
Полагая <<^0, т.е. учитывая, что Л(г) = о(1), н{2) = О(1) решение задачи
представим в виде асимптотического разложения по малым параметрам Л(2) и
Л = Л Щ?/<2):
Р = Р0 +Л(2)р + О((Л(2)}2}, их = и/0 +Л(2% + О((Л(2))2), (5)
ис = и£0 +Л2)иа + О((Л(2))2).
В [3, 9, 11] показано, что при исследовании динамики взаимодействия тонких слоев вязкой несжимаемой жидкости с твердыми и упругими телами имеют место задачи о регулярных возмущениях, в которых последующие члены асимптотических разложений будут значительно меньше предыдущих во всем диапазоне изменений как независимых переменных, так и физических параметров. Поэтому уже в первом приближении по Л предлагаемая математическая модель будет адекватно описывать физические процессы в рассматриваемой механической системе.
Подставляя (5) в (2)-(4) в нулевом приближении по Л(2), произведена линеаризация задачи гидроупругости. Решение данной задачи определяем в виде гармонических функций по времени с коэффициентами, зависящими от координат Т0 = Ат собт + Вт бшт .
Под Т0 понимаются Р0, и^0, и^0, коэффициенты Ат, Вт для Р0 зависят только от /, для
их0, иг0 они зависят от / и £ . В результате найдено давление в слое жидкости
одп а
д2
V4
1 X/
■((Х—1)/2) Я| °80п~а
дт2 д2
Ж
(2)
(1)
(2)
Ж
(1)
+ 12у— Гдт
Ж
(2)
(1)
(2)
Ж
(1)
дт2
Ж(2)
(1)
(2)
Ж
(1)
+ 12^Г
дт
Ж(2)
(1)
(2)
Ж
/у
(1)
с1%с1% +
\
(6)
где а, у - частотозависимые коэффициенты, совпадающие с найденными в [4-6]. Учитывая граничные условия, форму прогибов пластин принимаем в виде
(’)
<'Ж<г) = £ № + Я'-'(т))соз((2к — 1)/ 2),
к=1
(7)
где верхний индекс 0 означает решение, соответствующие постоянному уровню давления в жидкости р0.
Производя подстановку (6), (7) в (3) и раскладывая оставшиеся члены, входящие в правые части (3), в ряды по косинусам, с учетом линейности уравнений получим
£\ж(2к —1) | о«н«Я(’)0
к=1
21
(2к-1М = £ (2к — 1р/
2 к=Г(2к — \)ж" 2
(8)
£
к=1
Ж(2к — 1) ^ г>(’-^„(’- )р(,) _ (2к — 1)р/ +^ р(’)1,(’)О2л„(’) ^ ^к „„ „ (2к — 1)р/
21
= (—1)’+1 £
О{г)<)) С08
+ £ р00) к(г) О
к=1
к=1
2
4(—1)к ((2к — 1)р)—1 Р1 + Мко
dт2
-С08-
д 2
_д_
дт'
+ 2Кко^~_ (^ Як2) — н? Я?)
дт
С0Б
2(н!2) Я(к) — н? Я®) +
(2к — 1)р 2 :
т
т
1 0
т
т
т
т
т
2
где Мк —
русо
2
Уо,2
доУ У (2к _1)л
2е а
12о
, 2Кк =^РМк, Є = О к 2е а к
О2
у
і — 1,2 для пластин 1 и 2.
Приравнивая в (8) члены при одинаковых тригонометрических функциях и
d 2 Я’
учитывая, что для режима гармонических колебаний--------------к = —Я'к, получим алгебраические
йт
>(і)о
уравнения для определения Як .
'<2к—Ир)4.о'^^0 = ^Р0, р2—И,)4О^Р0 (9)
и систему обыкновенных дифференциальных уравнений для определения неизвестных функций и Я
(і)
Мк2 4(_1)к
Ч!ЧЛ1] + ап^~ + Ч?а13Дк2) + ч?а14 —^ = ~ч ^ рт/р
т 11 к т 12 Т _ т 13 к т 14 Т _ 7 ч _.гт^ р
йт
т 13 к
т 14
й$(1) й$(2) У? а21№ + м?т а22 ^ + м?т} а2Ж) + ^
т 21 к т 22 т 23 к т 24
йт (2к _1)Л т р
4(_1)к
(1о)
йт
йт (2к _1)л
р^./р
тр
где а11 = Ю
(1)
2к _ 1
21
Л | _(ро1)ко1) _Мк)о2, а12 =_2КкМ а1з =_Мк°2,
ч 4
а л — а10, а^л — аі
Из (9) находим, что
21
2
а22 = а14 = _а12 , а2з — Ю(2) I Л I _ (ро2)ко(2) _Мк О , а24 = а12 = _а14 .
2(_1)к 14 $(2)0 =
(2к _1)л
ро
2
к4
(2к _1)л
2(_1)к 1
у ^^ •
(11)
где к — 1, 2,... .
Разрешая (10) для режима установившихся гармонических колебаний, находим Я(г) ^ + в« /р} = ,4(—1)к_ | ^ +в® Р10)
4(_1)к р.
$к2) =
(2к _ 1)л ч
4(_1)к р
О йі
к
(12)
(2) + Д(2)/ I = 4^1) 1 J Гк ^(^) + д (2)
4(_1)к _1 ) Г(2) йрО)
(2к _ 1)л ч
(2)
т
здесь введены следующие обозначения:
срО
Р (!) = ____________ ,
к С2+ О2’ к
Ср 2О С2 + О2 ’
2к
В(1) —
СС
(1) _ р1
С2+О2
2к
В(2) —
о йі
СС
+ Вк2 р1(Оі)[
(2) ^р2
С2 + О2
Ср1 а13 + а23> Ср2 (а11 + а13)5 С — а11а23 а13^ О — а12а11 + а12а23 + 2а12а13 .
Окончательно, учитывая (12), прогибы стенок канала (7) выражаются через заданный закон пульсации давления жидкости на торцах:
14 Г 2 |5
,1)™-(1) Х""' ^
ж —
,1 — (1) — ^2(_1)к ро1
к—1
Ю
(1)
(2к _ 1)л
+ рт^,(1) 8Іп(т + ^,(1)) \ С°8 -(2к 1)
2
Ж(2) — £J2(-1)
к+1 р014 Г 2
к—1
Ю
(2)
л5
(2к _ 1)р
+ ртА,(2) 5ІП(т+ ^к(2)) ^ СОЭ (2к 21)ЛХ
(13)
где
АГ —y|cїJ(CT+GГ), А12) ^С2р2/(С2 + О2)
амплитудные частотные
5
т
G
характеристики k-й гармоники пластин, образующих стенки канала, Yt(1) = = -arctg—
- фазовые частотные характеристики k-й гармоники пластин, образующих стенки канала.
Таким образом, определены законы упругих перемещений стенок канала и давление в плоском канале, обусловленное сдавливанием жидкости упругими стенками. Разработанная математическая модель позволяет определить резонансные частоты упругих колебаний стенок канала, значения амплитуд прогибов стенок канала, а также значения амплитуд пульсации давления в слое жидкости за счет сдавливания ее стенками канала. При этом возможна оценка возникновения и мест локализации вибрационной кавитации в слое вязкой несжимаемой жидкости и определения частотного диапазона, в котором она наиболее вероятна. Полученные результаты могут быть использованы для изучения динамических процессов в системах смазки машин и приборов, а также для исследования динамических характеристик гидравлических демпферов и опор.
Выполнено при поддержке гранта РФФИ № 10-01-00177-а.
ЛИТЕРАТУРА
1. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Дрофа, 2003. 840 с.
2. Слезкин Н.А. Динамика вязкой несжимаемой жидкости. М.: Гостехиздат, 1955. 520 с.
3. Андрейченко К.П. Динамика поплавковых гироскопов и акселерометров. М.: Машиностроение, 1987. 126 с.
4. Могилевич Л. И. Динамика взаимодействия сдавливаемого слоя вязкой несжимаемой жидкости с упругой трехслойной пластиной // Известия РАН. МТТ. 2008. №5. С.114-123.
5. Динамика взаимодействия подвижных стенок плоского канала со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними / Р.В. Агеев, Т.В. Быкова, Л.И. Могилевич, В С. Попов // Вестник СГТУ. 2009. №4. Вып. 1. С. 7-13.
6. Попов В.С. Динамическая задача гидроупругости виброопоры с пластиной, подкрепленной ребрами жесткости // Вестник СГТУ. 2008. №3. Вып.1. С. 7-13.
7. Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Динамика взаимодействия упругих элементов вибромашины со сдавливаемым слоем жидкости, находящимся между ними // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2010. №4. С. 23-32.
8. Попов В.С., Могилевич Л.И. Исследование взаимодействия слоя вязкой несжимаемой жидкости со стенками канала, образованного соосными вибрирующими дисками // Изв. РАН. Механика жидкости и газа. 2011. №3. С. 55-68.
9. Могилевич Л.И., Попов В.С. Динамика взаимодействия упругого цилиндра со слоем вязкой несжимаемой жидкости // Изв. РАН. МТТ. 2004. № 5. С.179-190.
10. Аэрогидроупругость конструкций / А.Г. Горшков, В.И. Морозов, А.Т. Пономарев, Ф.Н. Шклярчук. М.: Физматлит, 2000. 591 с.
11. Коновалов С. Ф. Теория виброустойчивости акселерометров. М.: Машиностроение, 1991. 272 с.
Попов Виктор Сергеевич - Popov Victor Sergeevich -
доктор технических наук, профессор Doctor of Technical Sciences, professor
кафедры «Г идравлика, гидравлические of the Department «Hydraulics,
машины и водоснабжение» Саратовского Hydraulic machines and Water supply»
государственного технического of Saratov State Technical University
университета
Волов Михаил Игоревич - Volov Michail Igorevich -
аспирант кафедры «Гидравлика, Post-graduate student of the Department
гидравлические машины и водоснабжение» «Hydraulics, Hydraulic machines and
Саратовского государственного Water supply» of Saratov State Technical
технического университета University
Статья поступила в редакцию 27.02.2011, принята к опубликованию 30.03.2011
