Колебания упругой пластинки, разделяющей жидкости в цилиндрическом сосуде с упругими основаниями Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 533.6.013.42

КОЛЕБАНИЯ УПРУГОЙ ПЛАСТИНКИ, РАЗДЕЛЯЮЩЕЙ ЖИДКОСТИ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ СОСУДЕ С УПРУГИМИ ОСНОВАНИЯМИ

© 2013 г. А.Ю. Карнаух

Карнаух Алина Юрьевна - аспирант, кафедра прикладной механики и компьютерных технологий, факультет математики и информационных технологий, Донецкий национальный университет, ул. Университетская, 24, г. Донецк-1, Украина, 83001, e-mail: aliftinaa@gmail.com.

Karnaukh Alina Yurievna - Post-Graduate Student, Department of the Applied Mechanics and Computer Technologies, Faculty of Mathematics and Information Technology, Donetsk National University, Universitetskaja St., 24, Donetsk, Ukraine, 83001, e-mail: aliftinaa@gmail.com.

Рассматривается задача о колебаниях упругой пластины, разделяющей идеальные жидкости в твердом двусвязном цилиндрическом сосуде с упругими основаниями. Исходная задача сведена к интегродифференциальным уравнениям для функций прогибов пластин. Получено уравнение собственных частот совместных колебаний пластин и жидкости для различных случаев закрепления и вырождения пластин.

Ключевые слова: упругие двусвязные пластины, идеальная жидкость, собственные частоты колебаний, устойчивость равновесия пластин.

The problem about oscillations of elastic plate dividing fluids in rigid double connected cylindrical vessel with elastic bottoms is considered. Origin problem was reduced to integrodifferential equations for functions of plates deflactions. The equation of eigen frequencies of plates and fluids joint oscillations is obtained for various cases of attachments and degenerations ofplates.

Keywords: elastic doubly-connected plates, idealfluid, eigenfrequencies of oscillations, stability of an equilibrium ofplates.

Работы [1, 2] посвящены рассмотрению свободных и вынужденных колебаний идеальной жидкости, частично заполняющей жесткий круговой цилиндрический сосуд с упругим плоским дном. В [3] приведены результаты экспериментальных исследований, в [4] исследованы собственные и вынужденные осесим-метричные колебания упругого кольцевого дна и идеальной жидкости в коаксиальном цилиндрическом сосуде и показана обобщенная ортогональность собственных функций. Статья [5] посвящена колебаниям упругой пластинки, разделяющей идеальную жидкость разной плотности в двусвязном цилиндрическом сосуде произвольного поперечного сечения с упругим верхним и жестким нижним основаниями. Получено частотное уравнение совместных колебаний пластин и жидкости, условия устойчивости положения равновесия. В данной работе обобщаются результаты из [5] на случай упругого нижнего основания, в [6] с позиции функционального анализа показана разрешимость задачи о колебании идеальной жидкости в сосуде с упругими основаниями.

Постановка задачи

Рассмотрим колебания двусвязной упругой пластинки, разделяющей жидкость разной плотности в двусвязном цилиндрическом сосуде произвольного поперечного сечения с упругими основаниями в виде пластин. Боковые поверхности цилиндрического сосуда £ . (] = 1,2) полагаются жесткими, упругие

пластины - изотропными с изгибной жёсткостью Б, и с растягивающими усилиями Т (' = 1,з) в срединной поверхности. Рассматриваются различные условия закрепления внешнего и внутреннего контуров (защемленный, опертый и свободный край). Обозначим через р и Нх соответственно плотность и глубину заполнения верхней жидкости, а через р и И2 -

нижней. Систему координат Охууг расположим так, чтобы плоскость Оху разделяла жидкости разной плотности в невозмущенном состоянии, а ось 02 была параллельна боковым поверхностям цилиндрического сосуда и направлена противоположно вектору ускорения силы тяжести g (рисунок).

Двусвязный цилиндрический сосуд произвольного поперечного сечения с упругими основаниями в виде пластин

Колебания пластин и жидкости будем рассматривать в линейной постановке, считая движение жидкости потенциальным, а совместные колебания пластин и жидкости - безотрывными.

Уравнения движения рассматриваемой механической системы имеют вид

кп

д 2W

dt2

+ ДA2W - TДоW = P - P

при z = z (i = 1,3) , ДФ, = 0 (г = 1,2) .

Граничные условия

dW dt dФl = ~dz~ при z=h,

dW2 dt dФ2 dz dФl при z = 0, (2)

d0i dv = 0, dW3 dt d02 u =-- при z = -h2, dz (3)

№ 1,= 0, (ЬЩ0 (] — 1,2), (4)

Щ <ж, УЩ <ж на 5, (5)

|ЩЖ — ¡Щ2Ж — ¡Щ3Ж . (6)

Здесь ко! = Р0<$01 ; Щ, Р01 и 80' - пРоги6, плотность и толщина i-й пластинки ( = 1,з); Д2 и Д - двумерный и трехмерный оператор Лапласа; P1(x,y,z,t) -гидродинамическое давление в i-й жидкости; Po(t) и Pз(t) - внешнее давление соответственно на верхнее и

при ' = 1 0 при , = 2 ; - й2 при , = 3

Ф1(x,y,z,t) - потенциал скорости i-й жидкости; V - орт внешней нормали к боковой поверхности Е- (/'=1, 2); L\ и L2 - дифференциальные операторы граничных условий закрепления пластинок по внешнему у1 и внутреннему у2 конторам двусвязной области 5". Так, например, для наиболее интересного случая жесткого защемления

пластинок оператор L1 будет единичным, а L2 =

kn

= \P

dt2

+D&w, - T:а2щ + gApW =

dФ.

P

+ gz^p +

Ф, = 00, + а-2 + Е(4„ек"2 + Бшв-кп)¥п(х,у) . (8)

п

Коэффициенты а0г, аи, Агп и Вгп являются функциями времени. Собственные функции уп(х,у) и соответствующие им собственные числа кп описывают колебания идеальной жидкости в двусвязном цилиндрическом сосуде. Функции фп после добавления к ним произвольной константы образуют полную и ортогональную систему функций на области 5 [7].

Из граничных условий (2), (3), (6) и ортогональности функции уп вытекают соотношения

W - W е-*1"

^ _ W1n W 2n е

1n 2kn sinh*1n

W е*2" - W

л _ w2n е w3n

А^ = -

2k„ sinh*

W - w е*1"

ß _ W 1n w 2n e

1n 2kn sinh*1n

W e *2n - W

ß _ ' 2n e_' 3n

2n 2k sinh*9„

(9)

Гидродинамическое давление Рг находится из ин-

дФ Р

теграла Коши-Лагранжа —'- + gz +— = Q¡, где Q¡ -

д/ р

произвольная функция времени. С учетом этого интеграла уравнение (1) запишется следующим образом:

д2Щ

а^^ — а^2 — . Здесь

Щ'п —4т Щ , N — №С , Кпп — Нкп , (10)

X X

Щ — ^¡Щ^ — — ^¡Щз^. (11)

XX XX XX

С учетом выведенных соотношений (9) и представления (8) запишем систему интегродифференци-альных уравнений для определения динамического

прогиба Щ ы (х y, /) { —1,3)

д 2Щ

К + ДА2Щ-с - ТАтЩ-с + gАр¡W¡d — д/

— ^(р-щЩ-щ -аЛп + ЬппЩМ2п№п + (12)

п к

д/ ' д/

- 2-

+ Р& - Р-1Й-1 - 81Р + 83Рз ( —1,3).

Здесь Ар — (р0 — р3 — 0); 8л - символ Кронекера.

Метод решения

Представим отклонение пластинок в виде суммы динамического и статического прогибов Wi=Wi¿+Wis. Статический прогиб находится из краевой задачи

ДА2Щ -Т'.АЩ „ + gАр¡W¡s — АС', Щ, <х, УЩ <» на 5, (ЬЩ 0, (Ь2Щ )г. — 0 (' — 1,3, ] — 1,2), (7)

Щс — ¡Щ2с — Щс,

XXX

где АС'. — С'. - С'.-1 (С — С3 — 0). Константы С1 и С2 неизвестны. Для односвязной полости и двух пластин в [6] показана разрешимость задачи (7).

Для определения динамического прогиба потенциал скоростей жидкости Фг представим в виде

+ aQ- -^13WSaP0+sI3P3, где bn=p /sinh*n, aq:=pQ: -p-ü-i, q' =-

S'13 = P1ft1S1 + P2h2S,3, ain = P coth *n + P-1 coth *-1n.

Таким образом, совместные колебания упругих пластин и жидкости находятся из интегродиф-ференциальных уравнений (10)-(12), граничных условий (4) и статической задачи (7).

Собственные совместные колебания упругих пластин и жидкости

Для нахождения собственных частот совместных колебаний упругих пластин и жидкости положим

P0=P3=0 и

Wd(x,y,t) = (x,у)еш, W = weia, Q =rn2Qieia . (13) В в^1ражениях (13) слезет различать нижний индекс i = 1,3 от мнимой единицы i в показателе степени экспоненты.

Подставив (13) в (10)-(12) и граничные условия (4), получим

А (wi ) = Di A2 wi - T A2 wi + (gAP, - k0i®2)wi =

Z-1 (- bi-1,nWi-1,n + ainWin - binWi+1,n Vn + n k„

+ AQ~i +Si13 wj (i= 1,3),

win =~n2iWVnds,

(14)

(15)

ж = — |=11= — |, (16)

X я X я X я

(Ь^ \.= 0, (Ь2 wi 0. (17)

Здесь щ =р& -р_1<5,_1.

Общее решение уравнения (14) будем искать в виде линейной комбинации четырех независимых решений соответствующего однородного уравнения

A )= о

w = i Alwik+®2

+ (дй +^'13\ (' = 1,3 ).

Подставив в (15) и разрешив полученную систему относительно , получим

w, = I AX + 1 Cin¥n +(aö, +¿„3 w)~o,■

(18)

f

D - = J-

n A.

T2nT3n b2n b1nT3n

" b1nT3n b1nb2n

bnbln

S T1nb2n " ~nb2n ~nT2n " b1

Л

T T

1 1 nT 3n

/

k„d.

^ikn д т-2 J ' ikT n n

-fwO^ dy, T =T -a. , T =_^Jn

2 J ikrn* in in in > in 2

n S ®

d,n = (Dkl + T k + gAp - koi®2, ~oi = "

gAPi - koi®

W = iil w

i=i k=1 V

Здесь - элементы матрицы D,- 1 Tn - E

ö11n [(T2nT3n - b22n )ain + b12nT3n ]> ai2n T2nT3nb1n ■

An A n

a13n = "T T3nb1nb2n ■ a21n = 7 T1nT3nb1n ■

A„ A„

a22n = (T1nT3na2n + b1nT3n + blT1n ) ■

(21)

a23n = . T1nT3nb2n ' a31n = . T1nb1nb2n ■

1

a32n . T1nT2nb2n ■ a33n = .

An A n

^ [TLT2B - bin )э3И + blT1n ]

a1n = P COth ^1n ■ a3n = A2 COth K2n ■ a2n = + a3n =

An T1nT2nT3n b2nT1n b1nT3n •

В формулу (20) входит 15 неизвестных констант: О , , w и 12 констант Л°к. Из граничных условий закрепления пластин (17) имеем 12 линейных уравнений

£ £ I ЬРЛА> + £ аПпа1кпЬрп] |Лйт +

+(aqlp +¿13 wzp )~oi = о

W¡к) = 0 и частного решения неоднородного. Обычно для пластинок простой формы функции

известны, а частное решение неоднородного уравнения (14) можно построить методом варьирования постоянных. Однако проще искать это решение в виде разложения по собственным функциям уп [8]

— Ь. , ж. , + а ж — Ь. ж.,,

1—1,п 1—1,п гп гп гп г+1,п ^ ^ п к ^ п

(22)

■Pik, =Mk■ Lpnj =(lp^„ ■ (^i^Lp = LpQ ■

жЬр = ЬрЖ (р = 1,2, 1 = 1,3 , у = 1,2).

Подставив (20) в (16), получим следующие два линейно независимых уравнения:

£ (« — Ж2кЛ2к )+ КРАЖ +

к=1

+ Р (~01 + ~02— Р2^02^2 = 0 > (23)

££ (ж10кЛ10к — Ж~3'кЛ30к )+ (Р1^1к'01 + Р2^03 )ж +

к=1

+ Р^Д — Р2 ^03^22 = 0 > где = ^ I .

х я

Из (20) и (15) следует последнее недостающее уравнение

где С1п - координаты вектора Сп = (Б— Тп — Е)Ап; Тп -диагональная матрица с элементами Т,п; Е - единичная матрица, вектор А состоит из элементов А,п

4

4п = £ АЦа1кп , (19)

к=1

i W\kA°

k=1

A1ok + (aAV - 1)w + pJ~o1Q1 = o •

(24)

Таким образом, собственные частоты и формы совместных колебаний двусвязных упругих пластин и идеальной жидкости определяются из линейной однородной системы (22)-(24). Из равенства нулю определителя этой системы следует частотное уравнение

\C„,

11 q,r=1

= o.

(25)

С учетом (18) и (19) окончательное выражение для формы колебаний / -й пластинки примет вид

£ £ (+ £ аапа,кпУп 1 Л/°к + (ДО, + §13 ж)~0,. (20)

Некоторые частные случаи исходной задачи.

Устойчивость плоской формы равновесия упругого дна

Частотное уравнение (25) является довольно общим, так как позволяет рассматривать различные случаи закрепления пластин, например, жестко защемленный, опертый или свободный край, случаи отсутствия пластин (наличие свободной поверхности или поверхности раздела жидкостей), различные случаи вырождения пластин в мембраны и в абсолютно жесткие. Если обозначить через N порядок определителя уравнения (25), то при вырождении одной, двух или трех пластин в мембраны N соответственно будет равно 13, 11 и 9. При отсутствии верхнего основания (наличие свободной поверхности) N = 11. Если отсутствует пластинка, разделяющая жидкости разной плотности, то N = 10 (О = О, Л^к = 0). В этом случае можно рассмотреть задачу о влиянии стратификации (разделение жидкости на слои различной плотности) на собственные частоты колебаний упругих оснований. Для односвязной цилиндрической полости порядок определителя в уравнении (25) N = 9.

Наибольшее упрощение рассматриваемой задачи и соответственно частотного уравнения (25) происходит, когда одна из пластин становится жесткой. В этом случае отпадает необходимость в решении статической задачи (^=0), отсутствуют вертикальные колебания

n

n

15

V

столба жидкости как одного целого (а0,=0, а\,=0), функции Q\(f) и Q2(t) можно считать равными нулю, порядок определителя частотного уравнения N = 8.

Так, например, в случае жесткого верхнего основания (^!=0) в формулах (21) необходимо перейти к пределу при Г^да. Формы колебаний защемленных второй и третьей пластинок будут находиться из соотношений (20), в которых следует считать ' — 2,3, I — 2,3, а частотное уравнение (25) примет вид

\C„

= 0 .

(26)

q, r = 1

ЗдесЬ Cjk = A°2k; + Zß2nkL

Inj

C

j,k +4

= ZT3»kA n

Cj+2,k = L22kj , Cj+2,k +4 = 0 , Cj+4,k = ZT2nkL\nj ,

n

Cj+4,k +4 = L12kj + Z ß2nkL1nj , Cj+6,k = 0 , Cj+6,k+4 = L23kj

(k = 1,4, j = 1,2), где L\ikj = w\k1

L =■

L2 ikj =

dw0

dv

L1nj Vn

L„ = 0, ßk = (аъТ, + b

2nk

yj

/ A„

ß3nk =(a3n?2n + bin)h3nk /A, (b

T2 nk = (b2nT2na2nk ) An ,

k)/ A n

)/ An , An = тщтЗ" - bin .

C

q, r = 1

= 0.

(27)

A я

, 2 _ (D3kn + T3 )k' - gPi „ 2 _ gkn (Pi - P )

kn-

(28)

(Dkl +T)k2n >gpi.

При естественной стратификации (р2 >р{) вторая частота всегда положительная. Для коаксиальной цилиндрической полости внешнего радиуса а и внутреннего Ь и первого тона антисимметричного прогиба пластинки зависимость ак\ от Ь/а приведена в таблице, из которой следует, что существенное влияние двусвязности полости на условие устойчивости (29) начинает сказываться при Ь/а>0,2.

Зависимость ак\ от Ыа

bla 0,0 0,2 0,4 0,6 0,8

ак1 1,8412 1,7051 1,4618 1,2621 1,1134

Т3пк — \р2пТ3па3пк

Если внутренняя пластинка отсутствует (Г2=0, -02=0, к02=0, Л°к — 0), то частотное уравнение (26) запишется в виде

Здесь Сл — Ь03к, +ТР3пкЬп , С+п — ¿^ (к —1,4, /=1,2).

п

В первом приближении (п=1) уравнение (27) имеет

Т Т

вид /(Ь0°3к}.,Ь°23к/) 3п 2п — 0 и содержит корни

Если предположить, что уравнение / (Ьк, 1Ь23к/) =0

не имеет корней, то в первом приближении существует только две частоты собственных колебаний двухслойной жидкости в цилиндрическом сосуде с упругим дном. Первая определяется параметрами упругой пластинки и плотностью нижней жидкости и не зависит от глубин заполнения жидкостей и плотности верхней жидкости, вторая - частотой колебаний внутренней поверхности при абсолютно жестком нижнем основании (Г3=да) [5]. Следует отметить, что для безинерционной пластинки (к0з=0) существует только вторая частота, так как в этом случае коэффициенты Ь0 , Ь0 не зависят

от а>2, и в первом приближении других корней нет. Из (28) следует, что для положительности первой частоты необходимо потребовать, чтобы

(29)

Необходимое условие устойчивости (29) может быть уточнено за счет учета большего числа членов в рядах уравнения (27), а достаточное может быть получено из условий положительной определенности потенциальной энергии системы [9].

Таким образом, при невыполнении условия (29) может произойти потеря устойчивости плоской формы равновесия упругого основания.

Частотное уравнение (25) для случая абсолютно жесткого дна было исследовано в [5], а в случае вырождении пластин в мембраны - в [10].

Литература

1. Петренко М.П. Собственные колебания жидкости со свободной поверхностью и упругого днища цилиндрической полости // Прикладная механика. 1969. Т. 5, № 6. С. 44.

2. Петренко М.П. Вынужденные совместные колебания жидкости и упругого днища цилиндрического бака // Прикладная механика. 1970. Т. 6, № 6. С. 127.

3. Лакиза В.Д. Исследование динамических процессов в жестком цилиндрическом сосуде с упругим днищем, частично заполненном жидкостью // Прикладная механика.

2006. Т. 42, № 11. С. 114.

4. Карнаух А.Ю. Вынужденные колебания плоского упругого дна и идеальной жидкости в коаксиальном цилиндрическом сосуде // Современные проблемы механики сплошной среды: тр. XII междунар. конф. Т. I. Ростов н/Д, 2008. С. 114 - 118.

5. Карнаух А.Ю. Об устойчивости колебаний двусвязных упругих пластинок в двухслойной идеальной жидкости // Механика твердого тела. 2008. Вып. 38. С. 181.

6. Копачевский Н.Д., Крейн С.Г., Нго Зуй Кан. Операторные методы в линейной гидродинамике: Эволюционные и спектральные задачи. М., 1989. 416 с.

7. Микишев Г.Н., Рабинович Б.И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. М., 1978. 247 с.

8. Докучаев Л.В. Нелинейная динамика летательных аппаратов с деформируемыми элементами. М., 1987. 232 с.

9. Шевченко В.П., Кононов Ю.Н. Об устойчивости упругих пластинок, разделяющих многослойную идеальную жидкость // Актуальные аспекты физико-механических исследований. Механика. К., 2007. С. 348.

10. Шевченко В.П., Карнаух А.Ю. Об устойчивости положения равновесия кольцевой мембраны, разделяющей жидкость разной плотности // Тр. ИПММ НАН Украины.

2007. Т. 14. С. 198.

Поступила в редакцию

12 декабря 2012 г.

8

СО

n=1

n

n

4

а

n