CC BY
60
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ
Том XXI
1990
№ 4
УДК 629.7.03.063.6 : 621.431.37 : 534.131.2
МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЕБАНИЙ ЖИДКОСТИ
В ЖЕСТКИХ СОСУДАХ
М. С. Галкин, И. П. Жмурин, Н. И. Рудковский
В [1] были получены формулы для определения присоединенных масс жидкости, колеблющейся в упругом баке, отличительная особенность которых заключается в том, что смешения стенок входят в эти выражения в явном виде и для каждой формы колебаний стенок не нужно решать неоднородной краевой задачи. Достаточно знать формы колебаний жидкости в полости с неподвижными стенками для разных уровней заполнения. В настоящей работе приводится методика применения этих формул для определения параметров математической модели колебаний жидкости в жестких сосудах.
І. Рассмотрим бак произвольной формы (рис. 1), частично заполненный жидкостью и имеющий одну плоскость симметрии (х, у, 0). Начало координат разместим на свободной поверхности жидкости над ее центром тяжести. Пусть бак совершает поступательные колебания вдоль оси у и вращательные колебания относительно оси 0г.
Для кинетической энергии жидкости в соответствии с [1] имеем:
где О)—горизонтальное смещение точки о, 02—угол поворота вокруг Ог, /7211, т 12, т22 — присоединенные массы жидкости, р — плотность жидкости, *7* =
X
Рис. 1
(1)
— Як (0—лагранжевы координаты, описывающие колебания щщкдетр: х* =
= — безразмерная частота колебаний, со*—круговая частота колебайирй, а•ц-
характерный линейный размер, g—ускорение земного тяготения.
Потенциальную энергию запишем в следующем виде, выделив член, соответствующий затвердевшей жидкости:
П^'Яж-^-'итСТІ + р^ ^ хйхЛР,
а2У
где тж=рт — масса жидкости, т — объем полости, заполненный жидкостью, хцт—координата центра тяжести, /\ аг—свободная поверхность жидкости и смещения ее точек соответственно.
В соответствии с [1] потенциальную энергию запишем в виде:
П = ^-г^тждсцт —уЧ^ о\ +
(оо оо оо \
а? 2 Ли + 2а,ст22 ЛиЛгл + ОгЕ +
п=0 л=0 л=0 '
+ (^я1 ~ 2ст,<7*т11а —-2а2^*112* —^ , (2)
где
Л*/ — (3)
В динамике твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью, колеблющуюся жидкость заменяют математической моделью, состоящей из системы маятников (или грузов на пружинах) и неподвижных масс, жестко связанных с баком. Запишем выражения кинетической и потенциальной энергии для маятниковой модели:
(4)
Т = т\ туу°*+2тпу«1о°1°2 + 1г°1+Т>ткч1) .
^ *= 1 '
п = ^ т„10 + 2 «*/»(•£■ - і)] +
оо оо
1 ? V тк ткЬ
17—го1ст22: -Ц- +
к= 1 к=\
оо
+ — 2/*у*02 — 2у*о,), (5)
где туу, тхх, ]2, /о—массы при горизонтальном и вертикальном движении, момент инерции относительно точки о и, координата центра масс неподвижной массы; V*, т*, и /*—абсолютное боковое смещение, масса, длина и высота точки подвеса относительно свободной поверхности для й-го маятника.
Приравнивая соответствующие члены в выражениях для кинетической и потенциальной энергий (1) — (5), получим:
туу— тп>
туу10=т12; /2= т22;
•2 X* .2
"**П=р —
оо оо
2 -р-= р2 л?*;
А»! *=1
2 -£-1к = р2 ЛиЛг*;
Д»1 *= 1
оо ОО 00
2 -7^-2 я»*/*+»я„/овр2 л1*—Р^ «ЛМ;+'Иж*цт;
*к
-^^р—л,*?*;
т* , и»
"Ц" **у* — Р ~ Лг*?*.
т* 2 х* 2
-гП=9^Яи\
*•к а
Из равенств (9) — (15) получим:
ц — |
*к
I _ **** . ** — ~— > Л|*
х* 1 V* —9-* — —
° Ли
"»*=РГ^Т1?*-
х*
Уравнения (10) и (11) после подстановки (16) — (19) обращаются I дёства.
Воспользуемся равенством
ОО / V 2 оо оо
= 2 р( 5 У МЛ = Р 2 л.*^г= 2 «1*^*,
^ *-! / *=1 * *=1
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
тож-
следующим из формулы Грина и условий (16) — (19) и преобразуем равенство (12) к виду
оо
2 тк (Ьк — /*) + тхх10 = тжх„, (20)
*=1
представляющему собой равенство статических моментов для модели и жидкости.
Выведем еще одно условие для коэффициентов аналога, воспользовавшись тем, что для поступательного движения потенциал смещений Й) равен:
&1 = у—Ъ\у!кс1Р^к{х,у,г). (21)
Теперь, используя формулу Грина, найдем:
оо
,= т,, = р5 (^0,)24т=тж-2 тк. (22)
туу
Это условие представляет собой равенство суммарных масс жидкости и аналога.
Соотношения (16) — (22) являются известными [2]. Новые результаты получим, подставляя в (6) — (8) выражения для присоединенных масс [ 1 ]:
тк1 = р( ( 2 т|*п’1/я) , (23)
<Дл=0 /
где Н — глубина заполнения полости. Так для туу получим:
н
(24)
я=10 л» 10
Приравнивая (22) и (24), найдем
= 2(™л+$-^л). (25)
Л= 1 0 " '
Далее для туу10 аналогично получим:
оо Н оо Н
туу10= т12= р2$ Л|«Л2л^А = 2 $(26)
п= 1 0 п= 1 0
Отсюда:
н
т.
ЛЬ
25^
!=1 0 оо Н
'° = ^------------------- (27)
т„
-йк
п~ 1 О
Выведем для 771,2 уравнение, аналогичное (22):
= "»12 = = $ (п[к X г])«/(/5+^ ^-уйР. (28)
Т ' Я Р
После несложных преобразований с помощью формул Грина найдем:
5 (п [ к х Г]) 1/^ == 5 — 5 ; (29)
5 Т Р
\^-У^='Еч\ (30)
Р Л= 1
Используя (16) —(19), а также (29) и (30), запишем (28) в виде:
оо
Щуу1о+ 2 т„(£* — /*) = тж*цт. (31)
*=1
Сравнивая (20) и (31), получим:
тхх = туу*.
Исключая тУу1о из (26) и (31), найдем условие для статических моментов, аналогичное (25):
тж*цт — Р$ У24Р = 2 ( тк1к—
^ *=д
Наконец, для момента инерции (8) в соответствии с (23) получим также простую формулу:
оо Н оо И
■^ = р2$ л1^Л = р2 (32)
к=1 0 *=| О
Таким образом, формулы (16) — (19), (24), (27) и (33) представляют собой параметры математической модели колебаний жидкости в жестких баках. Для их определения необходимо иметь только решение краевой задачи о собственных колебаниях жидкости в полости с недеформируемыми стенками.
Проанализируем соотношение моментов инерции в работах [2] и [3]. Согласно работам [2] и [3] потенциалы вынужденных колебаний и Ог должны соответственно удовлетворять следующим краевым задачам:
(33)
* Обратим внимание, что полная масса аналога при вертикальных колебаниях включает массу маятников.
ал _ ай,
АЙ, = 0) ~аГ
— р дЯ'
Эх
0;
Д£22= О,
д&2
дп
= 1, о2
= 0.
$пИ-
о /
Видно, что различие заключается в граничном условии на свободной поверхности жидкости. Обозначим разность потенциалов через
¥=0,-02,
которая будет решением следующей краевой задачи:
(34)
А¥ = 0,
дп
= 0, V = й|, д*¥ да2
Р дх дх
5 Р
Функцию У можно разложить в ряд Фурье по полной системе собственных функций /*:
^= 2 с*/*.
На свободной поверхности жидкости будем иметь:
дх
Теперь с учетом (34) можно записать:
(35)
(36)
О, — £22 -(- 2 С*/*-
*=о
В соответствии с [1] момент инерции
/=$(^й)2<*т.
т
Подынтегральное выражение с учетом (36) имеет вид:
оо оо оо
5 ^0,)2</т=5 (\702)2йт + 2 2 Ск\ ^7Й22 2 Скс,\ V/*ЪПйт. (37)
*=0 т
*=<Н=0
Используя формулу Грина, легко показать, что второй член в правой части (37) равен нулю. Интеграл третьего слагаемого равен:
зі „
где бА( — символ Кронеккера.
Теперь равенство (37) можно записать в виде:
оо
$^а,)2^=$^а2)2<*т + 2 ^с\.
(38)
*=о
Используя формулу Грина, можно также получить:
30, . г 30,
С учещм (33) и (35) члены последнего равенства будут равны:
Для коэффициентов разложения Ск получим:
/-* _ (2
С к — ~~ Ц2к-Х*
Выражение (38) примет следующий вид:
оо
^ ^а,)2л=$
т т к—О
Последний член преобразуем следующим образом:
а 2 О 2 /
Используя (17) и (19), получим следующую окончательную формулу:
оо
Л = /2+ 2 тк12к.
(39)
(40)
*=1
2. В качестве примера рассмотрим хорошо изученную задачу о колебаниях жидкости в вертикально расположенном цилиндрическом баке с плоским
днищем, имеющую точное решение. Начало координат поместим на дне бака (рис. 2). Пусть бак совершает поступательное движение вдоль оси у и поворот относительно некоторой точки С. Смещения стенок бака можно записать следующим образом:
е, = (п|) = пу\
|2 = (п[кХ (г-гс)]) = пу{х-хс)-пху,
где п* и — проекции внешней нормали п к смоченной поверхности на оси хну.
В цилиндрической системе координат потенциал смещений и безразмерная частота колебаний будут равны [4]:
N.
тти
соэв,
Рис. 2
** = Б* «і (&*-£■) ,
где У, —функция Бесселя 1-го рода; — нули первой производной
функции Бесселя;
дг2 я^(Й-0 * 28
Функции т|и и г)2* в соответствии с (3) будут равны:
Т|,* = ‘^Г4,1(6*т) ’
= тйг[ 5*ш (Е*т) + “ '] •
где Л—переменная глубина заполнения бака.
Параметры математической модели колебаний жидкости будут следующими:
1‘= |,»(5.Я) ’ (41>
"’■-рІЇЇГ0,ь(І*/г); <42)
-г *(#-*,) 2 ЕЛ[,ц -«‘2 8(й_,• <45)
й= 1 Я= 1 -*
}с = рп/?2 [ 22- - Щ- + н (Н — Хс)2 + хс(я2—/?2) -
-2*(#-*,)’ї; -!іМ^+8Л»£ ^ь$>
м !■«-') "В(В-0
-8(Д-,,)Я,І ;а(ья)] .
(46)
Здесь #=#//?—относительная глубина заполнения бака.
Длина (41) и масса маятника (42), а также величина неподвижной массы (44) являются инвариантными к расположению точки поворота бака С. Расположив точку поворота на свободной поверхности жидкости (хс—Н),
получим следующие выражения для координат точки подвеса маятника (43), расположения неподвижной массы (45) и ее момента инерции (46):
; д]; (48)
•- к— 1 -*
+ (49)
£ = 1 —*
Заметим, что выражения (44) и (49) совпадают с аналогичными, полученными в работе [3] другим способом.
Если выражения для момента инерции (49), массы маятника (42) и положения точки подвеса (47) подставить в формулу (40), то получим следующее выражение для момента инерции:
г' _ оп/?2Г _ ЪН#_ . о/?3 V 5сЬ(Е»Д)-4 1
/о-ря/? ^ з 4 +2/? 2л &з(й_1)зН(54я)] ’
■- К— 1 -*
совпадающее с результатами [2].
Если точку поворота бака расположить на дне бака (хс = 0), то аналогичные выражения будут иметь следующий вид:
, „ , Л Г 2сЬ(|»Д)-1П .
'*”я + тг[ Й(ЬЯ) ]■
”• 1 2
* , ь(а-о
к= 1
<д.у ' 1 •
Я= 1
/0 = ря*Г.££+*,2 *я’2
(50)
Мб» Я)
Б* (8-О
+
4- 8/?3 2 2
62(8-0 ' . 8(8-0<*(б,я)
(51)
Таким образом, получены аналитические выражения параметров математической модели колебаний жидкости в цилиндрическом баке при его повороте относительно осей, расположенных на свободной поверхности жидкости или на дне бака. Следует отметить, что выражения для момента инерции (49) и (51) удовлетворяют теореме Штейнера. Чтобы показать это, найдем собственный момент инерции неподвижной массы, например, из выражений (44), (48) и (49):
I _ т (Г\2_____________________________ Г я4-зя2/?2-з/?4
“• " оЫ г„ „„V “■(«.*> 1 'I 12
I г.ьи3*!
16/?42
=, 8(8-0
1 + 8/?3Я2 +
8(8-0
+
НІі(9ІІ2 — 4Н2) V ІЬ (8 я)
8(8-0
+
+ 4/?2(/?2-Я2)2
*=І
Й(8-0<*(Ь
*я)]
Теперь, используя (52), можно найти момент инерции относительно оси, расположенной на дне бака:
Л>=/Соб + тоС
После непосредственной постановки выражений для т0 (44) и /0 (50) получим выражение (51).
На рис. 3—5 приведены графические зависимости параметров математической модели I тона собственных колебаний жидкости от относительной глубины заполнения цилиндрического бака.
На рис. 3 приведены зависимости длины маятника положения
точки подвеса маятника относительно свободной поверхности жидкости Г{/1? и относительно дна бака 1{/Я. Видно, что с увеличением глубины заполнения бака длина маятника сначала резко уменьшается, а затем асимптотически стремится к значению, равному 1Дь Аналогичный характер имеет зависимость положения точки подвеса маятника относительно свободной поверхности: если при малых глубинах заполнения точка подвеса расположена выше свободной поверхности жидкости, то при увеличении глубины заполнения она резко опускается вниз и при больших глубинах заполнения расположена на расстоянии И/Ъ, ниже свободной поверхности жидкости. Если же положение точки подвеса маятника определять относительно дна бака, то оно при увеличении относительной глубины заполнения сначала опускается, а затем возрастает практически по линейному закону.
На рис. 4 приведены зависимости массы маятника I тона колебаний жидкости. Видно, что масса маятника сначала резко возрастает, а затем асимптотически стремится к значению, равному 2рл/?3/[£1 (£?— 1)].
Если же массу маятника отнести к полной массе жидкости, заполняющей бак, то с увеличением глубины заполнения относительная масса монотонно уменьшается. Отметим, что при нулевой глубине заполнения относительная масса маятника имеет значение, отличное от единицы:
Ііт—- = ІІГЇ1
//—о
= Ііт
я—о 2
я-о (ЕЇ-і)сЬ2(б,Я)
2«і (|,Я) 6,(Й-1)Я ~
= 0,836.
На рис. 5 приведены зависимости момента инерции неподвижной массы. Если момент инерции относительно оси, расположенной на дне бака, при увеличении глубины заполнения монотонно возрастает, то момент инерции относительно оси, расположенной на свободной поверхности жидкости, сначала
Рис. З
J__________L_________I .1..........-,-J
0,8 1,6 J
Рис. 5
возрастает, затем несколько снижается, а при дальнейшем увеличении глубины заполнения снова возрастает.
Таким образом, метод и новые формулы для характеристик присоединенной массы, приведенные в настоящей работе, позволяют получать параметры математической модели колебаний жидкости в полостях произвольной формы.
ЛИТЕРАТУРА
1. Галкин М. С. Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью. — Ученые записки ЦАГИ, 1977, т. 8, № 2.
2. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика твердого тела с полостями, частично заполненными жидкостью. — М.: Машиностроение, 1968.
3. Охоцимский Д. Е. К теории движения тела с полостями, частично заполненными жидкостью. — ПММ, 1956, т. 20, вып. 1.
4. Моисеев Н. Н., Петров А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. — М.: ВЦ АН СССР, 1966.
Рукопись поступила 14/У1 1989 г.
