Теория колебаний упругих тел с деформируемыми полостями, частично заполненными сжимаемой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦА Г И

Том VIII

1977

М 2

УДК 629.76.015.017.2:534.131.2

ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ УПРУГИХ ТЕЛ С ДЕФОРМИРУЕМЫМИ ПОЛОСТЯМИ, ЧАСТИЧНО ЗАПОЛНЕННЫМИ СЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

Приводится новый вариант теории малых колебаний идеальной сжимаемой жидкости, частично заполняющей полости упругого тела. С помощью метода параметрических производных разделяется решение краевых задач для жидкости и упругого тела.

Проблеме колебаний упругого тела, содержащего полости, частично заполненные сжимаемой жидкостью, посвящено много работ (см., например, [1—7]). Из этих работ следует, что трудности, связанные с удовлетворением условий взаимодействия тела и жидкости, существенно возрастают при переходе от тел с полостями простых форм к телам, имеющим полости сложной формы.

Целью настоящего исследования являлось создание теории, с самого начала ориентированной на устранение этих трудностей.

В статье предлагается новый вариант теории малых колебаний упругих тел, имеющих полости сложной формы, частично заполненные сжимаемой жидкостью. Этот вариант является дальнейшим развитием метода, разработанного автором при решении аналогичной задачи для несжимаемой жидкости [8].

Рассмотрим малые колебания упругого тела с деформируемыми полостями, заполненными идеальной сжимаемой жидкостью.

Уравнения и граничные условия для колеблющейся жидкости в полости запишем в виде:

М. С. Галкин

Дер = -—. "

г С2 дР '

1 д2<е

д2У]

д(2 ° дх |/=- ’

где

<р — потенциал смещения; с — скорость звука в жидкости;

п — внешняя нормаль к смачиваемой поверхности; а—нормальные смещения стенок полости;

С* = С*(лг, г:)!^—координатные функции, представляющие нор-

мальные перемещения стенок полости (формы упругих колебаний стенок): g — ускорение силы тяжести;

/" — свободная поверхность жидкости;

5 — смачиваемая поверхность полости.

Запишем лагранжиан задачи в виде:

(1)

где /.0 относится к упругому телу, а /,! — к жидкости; пред-

ставим в виде;

/., = 7,-11,, (2)

где кинетическая энергия жидкости

= (3)

потенциальная энергия жидкости

= Р£ Г / J (А?)2 йг, (4)

\т+Д^ т У

р — плотность жидкости; т — невозмущенный объем жидкости;

Дт — изменение области, занятой жидкостью при колебаниях;

1=-^-I г ’

р0—невозмущенное давление в жидкости.

Введем лагранжевы координаты с помощью следующего представления потенциала смещения:

<р = <р, -Ь Ср2 + ср3,

где

= X У> г)>

й = О

ями следующих краевь

1г1 = г^- У- 2*^ = 0.

Г1

й=0

а являются решениями следующих краевых задач:

д£2ь

Далее

00

?* = X я*№/*(*' У’ г)»

к= О

где /к—собственные функции, соответствующие поверхностным гравитационным волнам. Они являются решениями следующих краевых задач:

Л / .А д/й | _ р, д/% | _ { I

’ дп |5 ’ дх ^ а '

где ^ — безразмерное собственное число, связанное с частотой собственных колебаний жидкости рк следующим образом:

а ’ Ш ’

здесь а — характерный линейный размер, введенный для того, чтобы были безразмерными.

Далее

4*3 = 2 аьУ)^ь(х' У' г>’

к = О

ГДе Фй—собственные функции, соответствующие упругим волнам в жидкости. Они являются решениями следующих краевых задач:

дФа

= 0, ЬЛ =0,

Тй Д2 I Й> дп

где Чк — безразмерные собственные числа, связанные с собственными частотами упругих колебаний жидкости р\ следующим образом:

т* _

а2 с2 ’

здесь с — скорость звука в жидкости, равная

Величины дк{£) и ак{{) {к = 0, 1, 2 . . .) мы будем считать

лагранжевыми координатами. Кинетическую и потенциальную энергии (3) и (4), составляющие лагранжиан (2), в этих координатах запишем в виде:

!'=т1(Йт+“*Й + Т^2(=й*« +

/г I

П-рХ

«?« /с» (*г — X) (/5 + gq\

72 2 хй

2 а2

* / аьа

7йТг V -

1 а‘ ^

•Ьп'-Ы

■О „а

аз

где

/л

к1

— присоединенные массы жидкости;

Рй/ ~ / *й'Ь г1кI ~ / ^й//

/»

тй/ = J вШа:

(я-О;

— ордината свободной поверхности; а — местный угол наклона стенки бака (см. фигуру).

(5)

(6)

(7)

(В)

При составлении выражений (5) и (6) объемные интегралы преобразовывались в поверхностные, а интегралы по свободной поверхности Г — в интегралы по смачиваемой поверхности 5 с помощью формул Грина и равенства Парсеваля [9]. Например:

полагались полными соответственно в Т7 и т и ортонормирован-ными, т. е.

С помощью преобразований вида (9) из всех коэффициентов лагранжиана, кроме присоединенных масс жидкости тм, исключаются потенциалы Жуковского

Ниже приводится вывод несколько более сложных преобразований, позволяющих исключить Ик также и из выражений для присоединенных масс (7).

Используем для этого метод параметрического дифференцирования. В качестве параметра возьмем высоту уровня жидкости в баке А и будем считать все величины функциями этого параметра.

Пусть 2* (А, г) и (/г-|-Д/г, г) — потенциалы Жуковского, соответствующие уровням А и А + ДА. Их разность

При увеличении высоты уровня на величину ДА присоединенные массы жидкости соответственно увеличатся на Дты\

-ь р/(уФа:Уф/)^т +.| [Vе* (Л + Д/г, г) уЦ(А + ДА, г)]аГт. (12)

Р

П Р

Р

(9)

п Б

5

п

При этом системы функций

Ф* = 2*(А+ДА, Г)-2* (А, г)

(10)

удовлетворяет на Б (И) однородным граничным условиям

дп 5- (й)

Шы = ты (А + ДА) — ты (А) =

= Р ] [У2*(А + ДА, г) уй/(А+ДА, г)]й?т —

(И)

Используя (10), представим (11) в виде:

Атк1^?.\ [ УфйУ?г(А, г)] <*т + р /[ У9*(А, г)уФг]^т-|-

Применим к первому слагаемому формулу Грина. Предвари, д&к (Л, г) дФк

тельно заметим, что функции —'у и могут иметь на кон-

туре 50, ограничивающем Р, интегрируемые логарифмические особенности, поэтому интегралы следует понимать в смысле Лебега [10]. На примере первого слагаемого проиллюстрируем сходимость интегралов.

Для этого запишем формулу Грина для уменьшенной области т — Дт, соответствующей уровню А— ДА:

Р I уФйу£2г(А, г)с?х==р J д-~ 9ДА, г)й1 ^ | Й,(А, г)с?т,

т—Дх 5’—А 5 /■'—Д/7

а затем перейдем к пределу ДА 0.

Тогда, поскольку

тг[,=о " а,(*.г)|г = о.

получим

р | [УФЙУ2/(А, Г)]^х = 0

и аналогично для второго слагаемого в (12)

р | [уФ,у2*(А, г)]сИ = 0.

Рассмотрим третье слагаемое в (12). В области т

Нт Фк = 0

- Д/г^О

и при малых ДА почти всюду в т

уФй~ ДА;

РI ( уФгуФ/^МДА)2.

X

Следовательно,

Ит дГр [ ( VфlVфь)d^: = 0■

Дй-0ДП У

Аналогичный предел для четвертого слагаемого в (12) вследствие соотношения

9, (А + ДА, г) [,=л+дл = (Л + АЙ’ Г)

ду

а также вследствие (9) равен

_г=Л + Дй <?•? [л = /г+дй

‘т дТГ Г Vй* (А + ДА,г) у9г(А + ДА, г)й~ =

Нт

ЛЛ^0 ль

дл

Г ^Й(А, /-) дй,(А, г) у ,

дл: дх

дх ’ дх ^ У1кп Т,!п'

/?(Л) п=0

Окончательно для параметрических производных коэффициентов матрицы обобщенных масс имеем

йшъ[ ж-'-'

л=0

а для самих коэффициентов

н

ты = X /У1кЛ'1 ан~

п = О О

Коэффициенты г\кп согласно (8) не содержат потенциалов Жуковского. Таким образом, потенциалы Жуковского, единственные в рассматриваемой теории функции, требующие для своего определения задания перемещения стенок полости и решения соответствующих краевых задач с неоднородными краевыми условиями полностью, исключается из лагранжиана.

Добавим к лагранжиану для жидкости Ь, лагранжиан для упругого тела Ь0:

а и а{£1 соответственно обобщенные массы и жесткости „сухой* оболочки.

Подставим (13) в (1) и запишем соответствующие (1) лагран-жевы уравнения движения в виде:

Мы выбрали наиболее распространенный случай, когда внешние воздействия приложены только к телу. Уравнения (14)—(16) могут быть использованы непосредственно в методах Ритца, Трефца и Бубнова — Галеркина.

В тех методах, где координатами являются перемещения точек тела (конечно-разностные методы, метод конечного элемента), эти уравнения также могут использоваться. Нужно лишь предварительно построить координатные функции, проходящие через координатные точки. Эти функции находятся интерполяционным методом или посредством решения соответствующих статических задач теории упругости.

Пусть каждая из этих функций соответствует единичному смещению только одной точки тела. Если взять эти функции

і ^ т_______________гг

ь0 — і и а1о

(13)

где

і Л'

‘ \ Я 5

^ ^ІпЧкп

(14)

п

п

(15)

I

(16)

в качестве функций С*, тогда соответствующие обобщенные координаты будут численно равны перемещениям точек тела.

Проанализируем приведенные в статье уравнения с позиций эффективности методов решения проблемы взаимодействия двух разнородных сред.

В большинстве случаев уравнения, описывающие колебания жидкости и оболочки, интегрируются приближенно методами Ритца, Трефтца или Бубнова — Галеркина (см. [1, 6, 7]). Успех решения во многом зависит от выбора координатных функций. Системы координатных функций, хорошо описывающие колебания жидкости, могут плохо описывать деформации оболочки и наоборот.

Использование единой системы координатных функций в таких условиях является одной из основных причин плохой сходимости получаемых рядов.

Метод, изложенный в настоящей статье, позволяет гидродинамическую задачу решать отдельно от упругой и пользоваться при решении обеих задач „своими" системами координатных функций,, порознь хорошо описывающими колебания жидкости и деформации оболочки.

ЛИТЕРАТУРА

1. Моисеев Н. Н. К теории колебаний упругих тел, имеющих

жидкие полости. ПММ, т. 23, вып. 5, 1959.

2. Б а л а б у х Л. И. Взаимодействие оболочек с жидкостью

и газом. „Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. Баку, 1966 г.“, М., „Наука*, 1966. •

3. Микишев Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостен-

ных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М., „Машиностроение", 1971.

4. И л ь г а м о в М. А. Колебания упругих оболочек, содержащих жидкость и газ. М., „Наука", 1969.

5. LL1 е й н и н И. С. Колебания конструкций гидросооружений в жидкости. М., „Энергия*, 1967.

6. Шмаков В. П., Мельникова Л. М., Яблокова А. В.

Применение численных методов к задачам о колебаниях упругих

оболочек вращения, заполненных идеальной жидкостью. В сб. „Колебания упругих конструкций с жидкостью". Новосибирск, Изд. НЭТИ, 1973.

7. ЛамперР. Е., Александрович А. А. О системе функции и численной сходимости при применении метода Ритца к колебаниям упругого сосуда. „Изд. АН СССР, МТТ“, 1967, № 5.

8. Галкин М. С. Определение присоединенных масс жидкости, частично заполняющей колеблющийся бак с деформируемыми стенками. В сб. „Колебания упругих конструкций с жидкостью". Новосибирск, Изд. НЭТИ, 1973.

9. Р и с с Ф., Секефальв и-Н а д ь Б. Лекции по функциональному анализу, гл. II. М., Изд. иностр. лит., 1954.

10. Соболев С. Л. Уравнения математической физики, лекция VI. М., ГИТТЛ, 1950.

Рукопись поступила 29jl 1976 г.