Вынужденные колебания упругого участка стенки прямоугольного бака при различных уровнях его заполнения идеальной несжимаемой жидкостью Текст научной статьи по специальности «Физика»

УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И Т о м VII 19 7 6

М 6

УДК 534.131.2

ВЫНУЖДЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ УПРУГОГО УЧАСТКА СТЕНКИ ПРЯМОУГОЛЬНОГО БАКА ПРИ РАЗЛИЧНЫХ УРОВНЯХ ЕГО ЗАПОЛНЕНИЯ ИДЕАЛЬНОЙ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТЬЮ

В. И. Валяев

На примере прямоугольного бака,заполненного идеальной несжимаемой жидкостью со свободной поверхностью, рассматриваются особенности решения трехмерной задачи о малых вынужденных колебаниях упругого участка стенки бака методом заданных форм. В качестве координатных функций выбираются формы собственных колебаний панели при заданном уровне заполнения бака жидкостью, которые определяются в соответствии с вариантом теории о колебаниях угругих тел с полостями, частично заполненными жидкостью, позволяющим в явном виде выразить энергию жидкости через смещения стенок полости.

Формы собственных колебаний упругой конструкции и заполняющей ее жидкости имеют разную природу, что обусловливает недостаточно быструю сходимость решения задачи об их взаимодействии методами заданных форм, эффективно используемыми при анализе вынужденных колебаний и флаттера элементов „сухих" конструкций [4, 6]. Одиако результаты [1], где автору удалось вывести соотношения для энергии жидкости, содержащие смещения стенок в явном виде, позволяют естественным образом применить метод Релея — Ритца к рассматриваемой задаче. Эффективность такого подхода была подтверждена на примерах решения ряда модельных двумерных задач внутренней гидродинамики. Представляют интерес возможности его приложения к исследованию конкретных объектов пространственной конфигурации.

На фиг. 1 изображена расчетная схема одного из таких объектов в виде прямоугольного жесткого бака, наполненного до уровня /г идеальной несжимаемой жидкостью, с произвольно расположенным упругим участком боковой стенки. Упругий участок представляет собой однородную ортотропную прямоугольную панель постоянной толщины. Выбор объекта такой простой конфигурации обусловлен желанием не осложнять анализ особенностей метода.

Рассмотрим вынужденные колебания панели, считая, что частота первого тона упругих колебаний панели в несколько раз выше частоты первого тона собственных колебаний жидкости в жестком баке. В этом случае, пренебрегая связью упругих и „жидкостных“ тонов, уравнения Лагранжа, описывающие движение .точек поверхности панели, запишем в виде

2 Мтп Вт + ^ Ктп Вт = (?„, п = 1, 2, 3,..(1)

т т

где Вт — обобщенная координата, являющаяся коэффициентом разложения искомого нормального смещения точек поверхности панели и(х, у, ¿) в ряд по координатным функциям ик(х, у):

«(х, у, 0 = 2 Вк (0 ик (х, у). (2)

к

Фиг. 1

Обобщенные массы Мтп и жесткости Ктп состоят из двух частей, одна из которых связана со свойствами конструкции (УИ^

и Ктп), другая часть—'СО свойствами ЖИДКОСТИ (Мтп и Ктп). Для рассматриваемой панели

А тп —

-Я

уИ(1)

тп

=р а и„1и п

гл д- Ч,п д-ип

х дх2 дх2

£) ( д~11’» (Ри” _1_

дх2

с)у2

А- О д2ит дЧп | д2ат &и„

у ду2 ду2 ху дх ду дхду

д‘Чт д*ип ду3 дх*

йБ,

+

(3)

где р — поверхностная плотность панели; 5 — площадь поверхности панели; Ох, Оу, Оху — модули, характеризующие жесткость ортотропной панели.

На основании результатов работы [1], пренебрегая влиянием гидростатического давления и сил поверхностного натяжения, получим

50 — смачиваемая поверхность бака; а —угол между нормалью к смачиваемой поверхности и горизонтальной плоскостью;

/к1~ форма собственных колебаний жидкости в баке с жесткими стенками.

Для рассматриваемой конфигурации бака [2]:

Значения коэффициентов Ак1 выбираются из условия нормировки на свободной поверхности Т7:

Обобщенную силу (3„ будем считать состоящей из обобщенной силы внешней распределенной нагрузки ц(х, у, £) и обобщенного внутреннего трения, вводимого на основании гипотезы Е. С. Сорокина [5]:

где 3 — логарифмический декремент колебаний; П — потенциальная энергия системы.

С целью упрощения исходных уравнений (1) выберем в качестве координатных функций формы собственных колебаний панели при наличии топлива в баке, которые, в свою очередь, получаются из решения однородной системы линейных алгебраических уравнений, являющихся следствием уравнений Лагранжа, аналогичных (1):

л

О \ к I

Ктп — Ро ё^тп Ро§^'«"’

(4а)

(46)

где Рц— плотность жидкости;

¿•—ускорение свободного падения;

к 1

Л/ =/*;(*. V- г) = Ак/ соэ

Ы (г — Ь) с!1 Ал:

соэ —-------------------------_____,

Ь с!1 ЛЛ

ЛАкя= 1.

р

22 (—гпкшч “2 + кыкЧ') СЙ” = 0, £', /'=1,2,3,... (5)

к I

Здесь обобщенные массы mkik'v и жесткости kkik’v имеют вид соотношений (3) и (4), в которых одинарную индексацию координатных функций следует заменить двойной, а координатные функции ит заменить координатными функциями СА1, по которым раскладывается форма собственных колебаний панели при наличии топлива в баке,

(6)

и которые удовлетворяют, например, условию защемления на краях панели:

X jcos

С = jcos *(/- I)

h

у-ЪJ н-

(x — d)

h

— cos

— cos

. /. Mj+j)

и

(x — d)

X

)•

Учитывая соотношения (5) и (6), а также считая внешнюю нагрузку изменяющейся по гармоническому закону с частотой 2, так что Вт = Ьте‘и1, вместо неоднородной системы линейных дифференциальных уравнений (1) получим неоднородную систему линейных алгебраических уравнений относительно коэффициентов Ьт

Мпгп К ~ Q2) + 1-

■ 0)2 Мт

тп тп

Ь,п = Я q (*, у)4udS, п = 1, 2, 3 ...,

решение которой определит реакцию панели на внешнее гармоническое возбуждение. Точность получаемого решения зависит от числа координатных функций в разложении (6) и числа членов при суммировании вида (4). Следует заметить, что после оценки точности определения тонов собственных колебаний панели при заданном уровне заполнения бака вопрос о сходимости решения (2) аналогичен вопросу о сходимости решения для „сухой“ конструкции, имеющей найденные частоты и формы собственных колебаний. Поэтому основной задачей является определение тонов собственных колебаний панели при различных уровнях заполнения бака жидкостью.

В качестве примера выберем бак и жидкость со следующими безразмерными параметрами (а — характерный линейный размер):

а

: 0,6;

к

а

= 0,005;

0,62;

а

g (■*> У)

: 0,345; -^-=0,355; — = 0,15;

а а

0,5;

Ро ga

0,0325; —£-■ = 0,029;

Рой ’

D,

Ро ,

= 0,406;

А

Ро ga

0,0006;

D

ху

Ро ga

Ро ga = 0,0002.

Порядок системы уравнений (5) выберем по условию сходимости собственных частот „сухой“ панели при увеличении числа членов в разложении (6). Если ограничиться рассмотрением первых трех тонов, то для достижения точности в определении частоты третьего тона в пределах 596 достаточно взять 9 членов ряда (6). При заполнении бака жидкостью важную роль играет быстрота сходимости рядов, входящих в выражения типа (4), поскольку суммирование здесь осуществляется по формам собственных колебаний жидкости в жестком баке, нахождение достаточного

числа которых для полостей произвольной формы встречает значительные трудности [2]. На фиг. 2 изображена зависимость приведенной частоты первых трех тонов колебаний панели <юг от числа п учитываемых „жидкостных“ тонов для уровня заполнения Ща = 0,75

[о), (Л) , где ш(. (0) — частота колебаний „сухой“ панели]. Как

“/(«) ' видим, сходимость является достаточно быстрой, причем формы колебаний панели проявляют меньшую чувствительность к изменению числа членов в сумме по сравнению с частотой, которую следует использовать в качестве указателя сходимости. В данном случае для трех тонов собственных колебаний ограничимся четырьмя „жидкостными“ тонами или 16 членами суммы в соотношениях (4).

Анализ элементов матрицы обобщенных жесткостей с учетом волнообразования на свободной поверхности и без него [первый член в соотношении (46)] показал, что для рассматриваемого бака этот эффект сказывается на четвертой значащей цифре и его влиянием можно пренебречь. Учитывая также, что второй член в соотношении (46) в данном случае обращается в нуль, можно заключить, что присутствие жидкости описывается введением дополнительных

Фиг. 3

инерционных сил, характеризуемых матрицей присоединенных масс (4а). С увеличением порядкового номера тона влияние жидкости, как это следует из анализа элементов матрицы обобщенных масс, убывает, причем неравномерно: для второго тона, не имеющего узлов вдоль оси х, это влияние меньше, чем для третьего. Неравномерность изменения присоединенных масс приводит к тому, что по мере понижения уровня жидкости возможна перестройка тонов: третий тон станет вторым, а второй — третьим (фиг. 3). На фиг. 4 показаны формы собственных колебаний в сечениях панели, отмеченных на фиг. 1, при различных уровнях заполнения. Видно, что точка пересечения узловой линии с линией максимальных амплитуд (см. фиг. 4, б, в) или точка пересенения линий максимальных амплитуд в двух взаимно перпендикулярных плоскостях (см. фиг. 4, а) „смещается“ по мере изменения уровня заполнения в сторону смещения центра масс системы панель—жидкость. Это свойство было замечено в работе [3] для цилиндрического бака, в котором подобное смещение вследствие осевой симметрии имело место только в одном направлении.

Так как частота первого тона собственных колебаний панели при всех уровнях заполнения удалена от частот последующих тонов, то при нахождении отклика панели на гармоническое возбуждение с частотой, близкой к частоте первого тона, ограничимся в разложении (2) тремя приведенными выше тонами. На

фиг. 5 изображен характер изменения формы динамической реакции конструкции при прохождении резонанса при уровне /г/а = 0,42 (здесь ш = в>/си0, где ш0 — резонансная частота). Пунктирной линией обозначен отклик „сухой“ панели при ш0= 1. Как и следовало ожидать, возбуждается почти чистый первый тон собственных колебаний, изображенный на фиг. 4, а. При этом максимальное отклонение амплитуды колебаний от амплитуды колебаний „сухой“ панели в отдельных точках составляет порядка 30%, а величина максимальной амплитуды изменяется незначительно.

Автор приносит искреннюю благодарность М. С. Галкину за ряд ценных советов и указаний, сделанных в процессе работы над статьей.

ЛИТЕРАТУРА

1. Галкин М. С. Определение присоединенных масс жидкости, частично заполняющей колеблющийся бак с деформируемыми стенками. В сб. „Колебания упругих конструкций с жидкостью-. Новосибирск, Изд-во НЭТИ, 1973.

2. Моисеев H. Н., П е т р о в А. А. Численные методы расчета собственных частот колебаний ограниченного объема жидкости. М., Изд. ВЦ АН СССР, 1966.

3. L a k i s А. А., Р a d о u s s i s M. P. Free vibration of cylindrical shells partially filled with liquid. J. of Sound and Vibration, vol. 19, № 1, 1971.

4. M и к и ш е в Г. Н., Рабинович Б. И. Динамика тонкостенных конструкций с отсеками, содержащими жидкость. М., „.Машиностроение', 1971.

5. Сорокин Е. С. К теории внутреннего трения при колебеннях упругих систем. М., Госстройиздат, 1960.

6. Болотин В. В. Неконсервативные задачи теории упругой устойчивости. М., Физматгиз, 1961.

Рукопись поступила 291X11 1975 г.